第4課時(shí)余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例——高度、角度問題

關(guān)鍵能力探究探究點(diǎn)一計(jì)算高度【典例1】如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600m后到達(dá)B處,測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,那么此山的高度CD=________m.

【思維導(dǎo)引】畫出空間圖形和平面圖形,將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,解三角形.【解析】如下圖,由得∠BAC=30°,AB=600m,∠EBC=75°,∠CBD=30°,在△ABC中,∠ACB=∠EBC-∠BAC=45°,由得在Rt△BCD中,答案:100【類題通法】測(cè)量高度問題的解題思路1.高度的測(cè)量主要是解決一些底部不能到達(dá)或者無法直接測(cè)量的物體的高度問題.常用正弦定理或余弦定理計(jì)算出物體的頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離,然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.2.這類物體高度的測(cè)量是在與地面垂直的豎直平面內(nèi)構(gòu)造三角形或者在空間構(gòu)造三棱錐,再依據(jù)條件利用正、余弦定理解其中的一個(gè)或者幾個(gè)三角形,從而求出所需測(cè)量物體的高度.【定向訓(xùn)練】如圖,要在山坡上A,B兩處測(cè)量與地面垂直的鐵塔CD的高,由A,B兩處測(cè)得塔頂C的仰角分別為60°和45°,AB長為40m,斜坡與水平面成30°角,那么鐵塔CD的高為________m.

【解析】延長CD交過A,B的水平線于點(diǎn)E,F,那么∠CAE=60°,∠CBF=45°,∠DBF=30°,所以∠BCF=45°,∠ACE=30°,∠BDF=60°,所以∠BCA=15°,∠ADC=120°,∠CBA=15°,∠CAD=30°.所以AC=AB=40m,在△ACD中,由正弦定理得,即解得答案:探究點(diǎn)二計(jì)算角度【典例2】某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上,在小艇出發(fā)時(shí),輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處,并正以30海里/小時(shí)的航行速度向正東方向勻速行駛,經(jīng)過t小時(shí)小艇與輪船相遇.假設(shè)小艇的最高航行速度只能到達(dá)30海里/小時(shí),試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短的時(shí)間與輪船相遇,并說明理由.【思維導(dǎo)引】先畫出簡圖,再對(duì)照?qǐng)D形理解題意,然后確定各個(gè)角度、各條邊長(邊長有的,有用字母表示的),并嘗試用正、余弦定理,函數(shù),不等式的知識(shí)解答.【解析】設(shè)小艇航行速度的大小是v海里/小時(shí),如下圖,設(shè)小艇與輪船在B處相遇.由余弦定理得:BO2=AO2+AB2-2AO·ABcosA.所以(vt)2=400+(30t)2-2×20×30tcos(90°-30°),即(v2-900)t2+600t-400=0(其中0<v≤30),①當(dāng)0<v<30時(shí),那么Δ=360000+1600(v2-900)=1600(v2-675),令Δ=0,即1600(v2-675)=0,那么v=15,1°當(dāng)0<v<15時(shí),兩船不會(huì)相遇;2°當(dāng)15≤v<30時(shí),當(dāng)時(shí),令那么x∈[0,15),當(dāng)且僅當(dāng)x=0,即v=15時(shí),等號(hào)成立;當(dāng)時(shí),同理可得所以當(dāng)15≤v<30時(shí),t>;②當(dāng)v=30時(shí),可求得t=;綜合①②可知,當(dāng)v=30時(shí),t取得最小值,且最小值是,此時(shí),在△OAB中,有OA=OB=AB=20,所以可設(shè)計(jì)方案如下:小艇的航行方向是北偏東30°,航行速度為30海里/小時(shí),此時(shí)小艇能以最短的時(shí)間與輪船相遇.【類題通法】解決測(cè)量角度問題的本卷須知(1)首先應(yīng)明確“方位角〞或“方向角〞的含義,方位角大小的范圍是[0,2π),方向角大小的范圍是(0,].(2)分析題意,分清與所求,再根據(jù)題意畫出正確的示意圖,這是最關(guān)鍵、最重要的一步.(3)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后,注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂〞使用.【定向訓(xùn)練】本例中假設(shè)小艇無最高航行速度限制,其他條件不變.問:(1)假設(shè)希望相遇時(shí)小艇航行距離最小,那么小艇航行速度為多少(2)假設(shè)保證小艇在30分鐘內(nèi)(含30分鐘)與輪船相遇,試求小艇航行速度的最小值.【解析】(1)設(shè)相遇時(shí)小艇航行距離為S,那么故當(dāng)t=時(shí)航行距離最小為S=10海里,此時(shí)v==30(海里/小時(shí)),即小艇以30海里/小時(shí)的速度航行,相遇時(shí)航行距離最小.(2)設(shè)小艇航行速度的大小是v海里/小時(shí),小艇與輪船在B處相遇如圖,由余弦定理OB2=OA2+AB2-2OA·AB·cos∠OAB得,(vt)2=202+(30t)2-2×20×30tcos(90°-30°),化簡得由于0<t≤,所以≥2,故當(dāng)=2時(shí),v取最小值10,即小艇航行速度的最小值為10海里/小時(shí).【課堂小結(jié)】課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.在某測(cè)量中,A在B的北偏東55°,那么B在A的 ()A.北偏西35° B.北偏東55°C.北偏東35° D.南偏西55°【解析】選D.根據(jù)題意和方向角的概念畫出草圖,如下圖,α=55°,那么β=α=55°,所以B在A的南偏西55°.2.如圖,要測(cè)出山上信號(hào)發(fā)射塔BC的高,從山腳A測(cè)得AC=30m,塔頂B的仰角為45°,塔底C的仰角為15°,那么信號(hào)發(fā)射塔BC的高為 ()A.15m B.15m C.30m D.30m【解析】選B.由題意可知,AC=30,∠BAD=45°,∠CAD=15°,得∠B=45°,∠BAC=30°,由正弦定理可知,解得BC=15.3