2021-2022學(xué)年陜西省榆林市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)得除法運算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)虛部的定義即可得出答案.【詳解】解：由，得，所以虛部為.故選：A．2．已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，則（

）A．1 B．2 C． D．6【答案】B【分析】先對進行化簡變形，轉(zhuǎn)化成導(dǎo)數(shù)的定義式，即可解得.【詳解】在處的導(dǎo)數(shù)為，，則.故選：B3．若兩個不同平面的法向量分別為，則（

）A． B． C．相交但不垂直 D．以上均不正確【答案】A【分析】根據(jù)法向量，可得，可得法向量和平行即可得解.【詳解】由，所以法向量和平行，所以平面和平行，故選：A.4．甲?乙兩人下象棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲輸?shù)母怕蕿椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【分析】記“兩人下成和棋”為事件，“甲獲勝”為事件，則互斥，則甲不輸即為事件，由互斥事件的概率公式可得：，結(jié)合條件，即可求得答案.【詳解】記“兩人下成和棋”為事件，“甲獲勝”為事件，則互斥，則則甲不輸即為事件，由互斥事件的概率公式可得，則甲輸?shù)母怕适枪蔬x：A5．下列求導(dǎo)運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運算法則，分別進行判斷即可.【詳解】因為，所以A錯誤；因為，所以B錯誤；因為，所以C錯誤；因為，所以D正確.故選：D6．已知三棱錐中，點、分別為、的中點，且，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空間向量的線性運算可得出關(guān)于的表達式.【詳解】，所以，.故選：D.7．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．是函數(shù)的極小值點 B．是函數(shù)的極小值點C．是函數(shù)的極大值點 D．1是函數(shù)的極大值點【答案】A【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，確定導(dǎo)數(shù)為正或負的x取值區(qū)間，再逐項判斷作答.【詳解】觀察導(dǎo)函數(shù)的圖象知，當時，，當時，，當且僅當時取等號，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，于是得是函數(shù)的唯一極值點，且是極小值點，A正確，B，C，D都不正確.故選：A8．農(nóng)村電子商務(wù)是通過網(wǎng)絡(luò)平臺嫁接各種服務(wù)于農(nóng)村的資源，拓展農(nóng)村信息服務(wù)業(yè)務(wù)、服務(wù)領(lǐng)域，使之兼而成為遍布縣、鎮(zhèn)、村的三農(nóng)信息服務(wù)站．作為農(nóng)村電子商務(wù)平臺的實體終端直接扎根于農(nóng)村服務(wù)于三農(nóng)，真正使三農(nóng)服務(wù)落地，使農(nóng)民成為平臺的最大受益者．某鎮(zhèn)信息服務(wù)站統(tǒng)計了該鎮(zhèn)電商2020年1至12月份的月利潤，得到如圖所示的折線圖，根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．月利潤最小的月份為10月B．相對于上個月，月利潤增幅最大的月份為11月（起始月份的增幅記為0）C．月利潤的中位數(shù)為2月和9月月利潤的平均數(shù)D．1至6月份的月利潤相對于7至12月份波動性更小【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合折線圖以此判斷各項即可.【詳解】解：由題意得：對于選項A：由上圖可知利潤最小的月份為10月，故A正確；對于選項B：從10月到11月連線的斜率最大，即月利潤增幅最大的是11月，故B正確；對于選項C：月利潤的中位數(shù)為3月和9月的月利潤的平均值，故C錯誤；對于選項D：1-6月的月相對于7-12月比較集中，即波動性更小，D正確；故選：C9．若是非零向量，則“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，以及數(shù)量積的定義即可得出答案.【詳解】由可得，設(shè)與的夾角為，可得因為是非零向量，所以或與的夾角，所以由得不出，若則即，所以由可推出，所以是的必要不充分條件，故選：B.10．已知橢圓的左，右頂點分別為，且以線段為直徑的圓與直線相切，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得以線段為直徑的圓的方程為，利用該圓與直線相切，可得的關(guān)系，即可求得橢圓離心率.【詳解】由題意知，以線段為直徑的圓與直線相切，故，化為：，所以橢圓C的離心率，故選：C．11．某單位做了一項統(tǒng)計，了解辦公樓日用電量y（度）與當天平均氣溫(℃)之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了四個工作日用電量與當天平均氣溫，并制作了如下對照表：日平均氣溫(℃)181310日用電量y（度）24343864由表中數(shù)據(jù)得到線性回歸方程，則當日平均氣溫為℃時，預(yù)測日用電量為（

）A．64度 B．66度 C．68度 D．70度【答案】B【分析】根據(jù)樣本中心滿足回歸方程即可解決.【詳解】由表中數(shù)據(jù)可知，，所以回歸方程過，得，即，則回歸方程為，當時，，故選：B12．已知定義在上的函數(shù)滿足且有，則的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后確定其單調(diào)性，原不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，再利用單調(diào)性得解集．【詳解】設(shè)，則，因為，所以，所以是上的增函數(shù)，，不等式即為，即，所以，故選：D．二、填空題13．若橢圓上一點到一個焦點的距離為，則點到另一個焦點的距離為___________．【答案】【分析】由橢圓方程求得，再由已知結(jié)合橢圓定義求解.【詳解】由橢圓，得，即，由題意不妨設(shè)，由橢圓定義可知，，即.所以點到另一個焦點的距離為.故答案為：14．在區(qū)間上隨機取一個實數(shù)，則的概率為______．【答案】【分析】滿足的區(qū)間長度與總區(qū)間長度之比，即為所求的概率.【詳解】由題意可得，總區(qū)間長度為6，滿足的區(qū)間長度為2，故所求的概率為.故答案為：15．已知命題：且，；命題：，．則下列命題中，所有真命題的序號是______．①；

②；

③；

④．【答案】①④【分析】先分析命題和命題的真假性，然后再結(jié)合復(fù)合命題的真假關(guān)系即可求解【詳解】對于命題：，則，當時，，即命題是假命題；對于命題：，不存在，使，即命題也是假命題；由復(fù)合命題的真假關(guān)系得：①，假，真，為真命題，②，假，假，是假命題，③，真，假，為假命題，④，真，真，為真命題，故答案為：①④三、雙空題16．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的方程可以為___________(寫出一個正確答案即可)；此時，你所寫的方程對應(yīng)的雙曲線的離心率為___________.【答案】

【分析】由雙曲線的漸近線方程，可寫出雙曲線的方程，進而求得離心率.【詳解】因為雙曲線的一條漸近線方程為，所以雙曲線的方程為，故可取，此時，所以離心率故答案為：，四、解答題17．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；(2)求曲線在點處的切線方程.【答案】(1).(2).【分析】（1）根據(jù)求導(dǎo)法則，可得答案；（2）求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值和函數(shù)值，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案.【詳解】（1）因為,所以.（2）由（1）知，又，曲線在點處的切線方程為，即.18．在某市的科技創(chuàng)新大賽活動中，10位評委分別對甲學(xué)校的作品“乒兵球簡易發(fā)球器”和乙學(xué)校的作品“感應(yīng)垃圾桶”進行了評分，得分的莖葉圖如圖．(1)根據(jù)莖葉圖寫出甲、乙兩所學(xué)校的作品得分的中位數(shù)；(2)根據(jù)莖葉圖計算甲、乙兩所學(xué)校的作品得分的平均數(shù)，并判斷哪一件作品更受評委的歡迎？【答案】(1)甲學(xué)校作品得分的中位數(shù)為，乙學(xué)校作品得分的中位數(shù)為；(2)甲學(xué)校作品得分的平均數(shù)為，乙學(xué)校作品得分的平均數(shù)為，甲學(xué)校的作品更受評委的歡迎.【分析】（1）根據(jù)莖葉圖求得甲乙兩所學(xué)校作品的得分，并按照從小到大進行排序，再求中位數(shù)即可；（2）根據(jù)（1）中所得數(shù)據(jù)，直接求平均數(shù)，再從中位數(shù)和平均數(shù)的角度，即可判斷.【詳解】（1）甲學(xué)校作品的得分由小到大排列為：62，65，68，75，77，83，84，91，92，93，所以甲學(xué)校作品得分的中位數(shù)為；乙學(xué)校作品的得分由小到大排列為：60，63，75，75，77，79，81，82，87，91，所以乙學(xué)校作品得分的中位數(shù)為.（2）甲學(xué)校作品得分的平均數(shù)為；乙學(xué)校作品得分的平均數(shù)為．甲學(xué)校作品得分的中位數(shù)和平均數(shù)都大于乙學(xué)校作品得分的中位數(shù)和平均數(shù)，所以甲學(xué)校的作品更受評委的歡迎．19．為了謳歌中華民族實現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗歷程，增進學(xué)生對黨史的了解，某班級開展黨史知識競賽活動，現(xiàn)把50名學(xué)生的成績繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求圖中的值；(2)用分層抽樣的方法從成績在，這兩組的學(xué)生中抽取5人進行培訓(xùn)，再從這5人中隨機抽取2人參加校級黨史知識競賽，求這2人來自不同組的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）由概率之和為1即小長方形的面積之和等于1可求得圖中的值.（2）首先利用分層抽樣確定在，這兩組的學(xué)生中各抽到的學(xué)生人數(shù)，再計算出基本事件的個數(shù)及2人來自不同組的可能情況，即可求出相應(yīng)概率.【詳解】（1）由頻率分布直方圖得，解得.（2）易知用分層抽樣方法在小組內(nèi)抽取3人，記為，在小組內(nèi)抽取2人，記為、，從這5人中隨機抽取2人，基本事件有，，，，，，，，，，共10個，這2人來自不同組的基本事件有，，，，，，共6個，這2人來自不同組的概率.20．已知拋物線的焦點為.(1)求拋物線的標準方程；(2)若過焦點的直線交拋物線于兩點，且，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)求出，代入拋物線方程即可得解；（2）設(shè)直線的方程為，將代入中，根據(jù)韋達定理得到，，結(jié)合拋物線的弦長公式求出，即可得解.【詳解】（1）拋物線的焦點為，，得，拋物線的標準方程為.（2）顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，將代入中，得，，所以，，由，得，即，得，直線的方程為：.21．如圖，且，，且，且，平面，，為的中點，為的中點.請用空間向量的知識解答下列問題：(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）由題可知，，兩兩垂直，以為原點，，，分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，運用空間向量法解決線面平行即可；（2）運用空間向量法解決二面角即可；【詳解】（1）因為，平面，所以，，兩兩垂直.以為原點，，，分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，所以可得，，，，，.所以，，，因為為的中點，為的中點，所以，.所以.設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨令，可得.所以，所以.又平面，所以平面.（2）由（1）得，設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨令，可得.由（1）知，平面的一個法向量為.所以，于是.所以二面角的正弦值為.22．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個不同的零點，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論和時的導(dǎo)數(shù)的正負情況，可得答案；（2）將函數(shù)有兩個不同的零點，轉(zhuǎn)化為的圖象有兩個交點的問題，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得最值，數(shù)形結(jié)合，求得答案.【詳解】（1）因為，所以，當時，，在上為增函數(shù)；當時，令，得，令，得，即在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，綜上：當時，在