廣東省2022-2023年高三數(shù)學(xué)期末試卷分類(lèi)匯編專(zhuān)題12：圓錐曲線(xiàn)解析版一、單選1.（廣東省五校期末試題）設(shè)，分別為雙曲線(xiàn)（，）的左、右焦點(diǎn)，A為雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)，以為直徑的圓交雙曲線(xiàn)的某條漸近線(xiàn)于M，N兩點(diǎn)，且，（如圖），則該雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用余弦定理，求出a,c之間的關(guān)系，即可得了雙曲線(xiàn)的離心率.【詳解】解：不妨設(shè)圓與相交，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，聯(lián)立，得，又且，所以，所以由余弦定理得：，化簡(jiǎn)得，所以，所以.故選：A2.（深圳市南山區(qū)期末試題）已知交于點(diǎn)的直線(xiàn)，相互垂直，且均與橢圓相切，若為的上頂點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)，由條件聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，得到點(diǎn)的軌跡是圓，從而得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)橢圓的切線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)，且過(guò)與橢圓相切的直線(xiàn)方程為：，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，消去可得，所以，即，設(shè)為方程的兩個(gè)根，由兩切線(xiàn)相互垂直，所以，所以，即，所以，當(dāng)橢圓切線(xiàn)斜率不存在時(shí)，此時(shí)，，也滿(mǎn)足上式，所以，其軌跡是以為圓心，為半徑的圓，又因?yàn)锳為橢圓上頂點(diǎn)，所以，當(dāng)點(diǎn)位于圓的上頂點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)位于圓的下頂點(diǎn)時(shí)，，所以，故選:D3.（深圳市羅湖區(qū)期末試題）圓與圓公共弦長(zhǎng)為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】?jī)蓤A的一般方程相減得到公共弦所在直線(xiàn)的方程，求出圓的圓心到公共弦的距離，再由公共弦長(zhǎng)公式求出答案即可.【詳解】聯(lián)立兩個(gè)圓的方程，兩式相減可得公共弦方程，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到公共弦的距離為，公共弦長(zhǎng)為.故選:.4.（清遠(yuǎn)市高三期末試題）古希臘的數(shù)學(xué)家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.如圖，某種橢圓形鏡子按照實(shí)際面積定價(jià)，每平方米200元，小張要買(mǎi)的鏡子的外輪廓是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為1.8米且離心率為的橢圓，則小張要買(mǎi)的鏡子的價(jià)格約為（）A.1356元 B.341元 C.339元 D.344元【答案】C【解析】【分析】設(shè)鏡子的外輪廓對(duì)應(yīng)的橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)分別為a米，b米，進(jìn)而結(jié)合題意得再計(jì)算面積即鏡子的價(jià)格?！驹斀狻拷猓涸O(shè)鏡子對(duì)應(yīng)的橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)分別為a米，b米，因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)為1.8米且離心半為，解得，即，元故選：C.5.（清遠(yuǎn)市高三期末試題）已知P，Q為圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，且，則坐標(biāo)原點(diǎn)О到直線(xiàn)PQ的距離的最大值為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，求得點(diǎn)的軌跡，由此求得正確答案.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，由，得，設(shè)，由，得，即，即，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓.則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值為.故選：C6.（惠州市高三期末試題）設(shè)，則“”是“直線(xiàn)與直線(xiàn)平行”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】若直線(xiàn)y=a2x+1與直線(xiàn)y=x﹣1平行，則a2=1，解得a=1或a=﹣1．經(jīng)檢驗(yàn)成立所以“a=1”是“直線(xiàn)y=a2x+1與直線(xiàn)y=x﹣1平行”的充分不必要條件．故選A．7.（惠州市高三期末試題）設(shè)，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線(xiàn)和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線(xiàn)交于點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】可得直線(xiàn)分別過(guò)定點(diǎn)和且垂直，可得設(shè)，則，,,則，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求值域．【詳解】由題意可知，動(dòng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，動(dòng)直線(xiàn)即，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，時(shí)，動(dòng)直線(xiàn)和動(dòng)直線(xiàn)的斜率之積為，始終垂直，時(shí)，也垂直，所以?xún)芍本€(xiàn)始終垂直，又P是兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)，，．設(shè)，則，，由且，可得，，，，，，故選:D．8.（華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三期末試題）已知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)關(guān)于漸近線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性的性質(zhì)及直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半，結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義及雙曲線(xiàn)的離心率的公式即可求解.【詳解】關(guān)于漸近線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，如圖所示，則.所以是的中位線(xiàn)，所以,.所以到漸近線(xiàn)的距離為，即，在中，，，所以，進(jìn)而,所以離心率.故選：C9.（東莞市高三期末試題）已知F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，P為拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)定義結(jié)合，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可求得答案.【詳解】由題意F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，則,且準(zhǔn)線(xiàn)方程為，設(shè),由可得,代入得，即,故,故選：C10.（梅州市大埔縣高三期末試題）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M，N在C上（M位于第一象限），且點(diǎn)M，N關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，若，，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.【答案】C【詳解】依題意作圖，由于，并且線(xiàn)段MN，互相平分，∴四邊形是矩形，其中，，設(shè)，則，勾股定理，，整理得，由于點(diǎn)M在第一象限，，由，得，即，整理得，即，解得．故選：C．11.（江門(mén)市高三期末試卷）已知直線(xiàn)：和直線(xiàn)：，拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)和直線(xiàn)的距離之和的最小值是（）A．B．C．D．A【詳解】∵拋物線(xiàn)，∴拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為，焦點(diǎn)為，∴點(diǎn)P到準(zhǔn)線(xiàn)的距離PA等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離PF，即，∴點(diǎn)P到直線(xiàn)和直線(xiàn)的距離之和，∴當(dāng)B，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，∵，∴，∴點(diǎn)P到直線(xiàn)和直線(xiàn)的距離之和的最小值為．故選：A．二、多選12.（深圳市南山區(qū)期末試題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的右支上運(yùn)動(dòng)，平行四邊形的頂點(diǎn)，分別在的兩條漸近線(xiàn)上，則下列結(jié)論正確的為（）A.直線(xiàn)，的斜率之積為 B.的離心率為2C.的最小值為 D.四邊形的面積可能為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意可得：雙曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)，即可得到離心率為，漸近線(xiàn)方程為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)漸近線(xiàn)互相垂直可得：平行四邊形為矩形，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式和基本不等式進(jìn)而進(jìn)行判斷即可.【詳解】由題意可知：雙曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)，則離心率為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；由方程可知：雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，不妨設(shè)點(diǎn)在漸近線(xiàn)上，點(diǎn)在漸近線(xiàn)上.因?yàn)闈u近線(xiàn)互相垂直，由題意可知：平行四邊形為矩形，則，，所以直線(xiàn)，的斜率之積為，故選項(xiàng)正確；設(shè)點(diǎn)，由題意知：為矩形，則，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得：，，則當(dāng)且僅當(dāng)，也即為雙曲線(xiàn)右頂點(diǎn)時(shí)取等，所以的最小值為，故選項(xiàng)正確；由選項(xiàng)的分析可知：，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：.13.（深圳市羅湖區(qū)期末試題）已知，為橢圓左、右頂點(diǎn)，為的右焦點(diǎn)，是的上頂點(diǎn)，，的垂直平分線(xiàn)交于，，若，，三點(diǎn)共線(xiàn)，則（）A.B.的離心率為C.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為D.直線(xiàn)，的斜率之積為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意得的方程為，進(jìn)而得，再整理得，進(jìn)而求，離心率判斷AB；求出直線(xiàn)的方程并結(jié)合點(diǎn)線(xiàn)距公式求解判斷C；設(shè)，則，進(jìn)而求解即可判斷D.【詳解】解：由題知，，，，所以，，的中點(diǎn)為，所以，的垂直平分線(xiàn)的方程為，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線(xiàn)，所以，整理得，所以，即所以，，故A選項(xiàng)正確；所以，即，解得或（舍）所以，橢圓的離心率為，故B選項(xiàng)正確；因?yàn)橹本€(xiàn)的方程為，即，所以，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)，則，故，由于，所以，故D選項(xiàng)正確；故選：ABD14.（深圳市高級(jí)中學(xué)集團(tuán)期末試題）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)圓滿(mǎn)結(jié)束.根據(jù)規(guī)劃，國(guó)家體育場(chǎng)（鳥(niǎo)巢）成為北京冬奧會(huì)開(kāi)、閉幕式的場(chǎng)館.國(guó)家體育場(chǎng)“鳥(niǎo)巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥(niǎo)瞰圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若橢圓：和橢圓：的離心率相同，且.則下列正確的是（）A.B.C.如果兩個(gè)橢圓，分別是同一個(gè)矩形（此矩形的兩組對(duì)邊分別與兩坐標(biāo)軸平行）的內(nèi)切橢圓（即矩形的四條邊與橢圓均有且僅有一個(gè)交點(diǎn)）和外接橢圓，則D.由外層橢圓的左頂點(diǎn)向內(nèi)層橢圓分別作兩條切線(xiàn)（與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)的直線(xiàn)叫橢圓的切線(xiàn)）與交于兩點(diǎn)，的右頂點(diǎn)為，若直線(xiàn)與的斜率之積為，則橢圓的離心率為.【答案】BCD【解析】【分析】由離心率相同及已知得到、，即可判斷A、B；由在橢圓上得到，進(jìn)而判斷C；根據(jù)對(duì)稱(chēng)性確定的坐標(biāo)，結(jié)合斜率兩點(diǎn)式得判斷D.【詳解】A：由且，則，即，故錯(cuò)誤；B：由，得，則，所以，故正確；C：滿(mǎn)足橢圓方程，又，則，所以，，故正確；D：由對(duì)稱(chēng)性知：、關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，，，，，，，則，，故正確.故選：BCD.15.（深圳市高級(jí)中學(xué)集團(tuán)期末試題）過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)P作曲線(xiàn)兩條互相垂直的切線(xiàn)，切點(diǎn)為P1、P2(P1、P2不重合），設(shè)直線(xiàn)分別與y軸交于點(diǎn)A，B，則下列結(jié)論正確的是（）A.P1、P2兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為定值B.直線(xiàn)P1P2的斜率為定值C.線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度為定值D.三角形ABP面積的取值范圍為(0，1]【答案】ABC【解析】【分析】A.由條件可知兩條直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，斜率之積為-1，討論的位置，即可判斷；B.由兩點(diǎn)的坐標(biāo)，表示直線(xiàn)的斜率，即可判斷；C.分別求切線(xiàn)方程，并表示點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求線(xiàn)段的長(zhǎng)度；D.根據(jù)切線(xiàn)方程，求交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)闉槎ㄖ?，即轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，不妨設(shè)點(diǎn)，的橫坐標(biāo)分別為，且，若時(shí)，直線(xiàn)，的斜率分別為，，此時(shí)，不合題意；若時(shí)，則直線(xiàn)，的斜率分別為，，此時(shí)，不合題意.所以或，則，，由題意可得，可得，若，則；若，則，不合題意，所以，選項(xiàng)A對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)B，易知點(diǎn)，，所以，直線(xiàn)的斜率為，選項(xiàng)B對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)C，直線(xiàn)的方程為，令可得，即點(diǎn)，直線(xiàn)的方程為，令可得，即點(diǎn)，所以，，選項(xiàng)C對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)D，聯(lián)立可得，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，所以，，選項(xiàng)D錯(cuò).故選：ABC.16.（惠州市高三期末試題）已知定圓A的半徑為1，圓心A到定直線(xiàn)l的距離為d，動(dòng)圓C與圓A和直線(xiàn)l都相切，圓心C的軌跡為如圖所示的兩條拋物線(xiàn)，記這兩拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的距離分別為，，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)動(dòng)圓C與圓A和直線(xiàn)l都相切，分圓C與圓A相外切和圓C與圓A相內(nèi)切，分別取到A的距離為d+1，d-1，且平行于l的直線(xiàn)，，利用拋物線(xiàn)的定義求解.【詳解】解：動(dòng)圓C與圓A和直線(xiàn)l都相切，當(dāng)圓C與圓A相外切時(shí)，取到A的距離為d+1，且平行于l的直線(xiàn)，則圓心C到A的距離等于圓心C到的距離，由拋物線(xiàn)的定義得：圓心C的軌跡是以A為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)；當(dāng)圓C與圓A相內(nèi)切時(shí)，取到A的距離為d-1，且平行于l的直線(xiàn)，則圓心C到A的距離等于圓心C到的距離，由拋物線(xiàn)定義得：圓心C的軌跡是以A為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)；所以，當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)不完整，所以，，，，故選：ABD17.（華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三期末試題）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)，點(diǎn)，直線(xiàn)：交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），則以下說(shuō)法正確的是（）A.B.存在實(shí)數(shù)，使得C.若，則D.若直線(xiàn)與的傾斜角互補(bǔ)，則【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，由焦半徑公式運(yùn)算可得；對(duì)于B，將拋物線(xiàn)方程與直線(xiàn)方程聯(lián)立，并由向量夾角計(jì)算可得；對(duì)于C，將選項(xiàng)B中聯(lián)立結(jié)果代入向量坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算可得；對(duì)于D，將選項(xiàng)B中聯(lián)立結(jié)果代入與斜率進(jìn)行計(jì)算可得.【詳解】由已知，拋物線(xiàn)：，∴，，焦點(diǎn)，不妨設(shè)為，，設(shè)，到準(zhǔn)線(xiàn)的距離分別為，，對(duì)于A，∵由標(biāo)準(zhǔn)方程知，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開(kāi)口向右，，∴由拋物線(xiàn)的定義，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，消去，化簡(jiǎn)得（），則，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴不存在實(shí)數(shù)，使得，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，∵，∴，∴又∵由選項(xiàng)B判斷過(guò)程知，，∴解得，，或，，，∴若，則，選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，由題意，，，，，直線(xiàn)與的傾斜角互補(bǔ)時(shí)，斜率均存在，且，∴，代入，，化簡(jiǎn)得，由選項(xiàng)B的判斷知，，∴，∴，故選項(xiàng)D正確故選：ACD.18.（東莞市高三期末試題）已知直線(xiàn)l：與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，存在使得B.當(dāng)時(shí)，的最小值為C.當(dāng)時(shí)，存在使得D.當(dāng)時(shí)，的最小值為【答案】ABC【解析】【分析】聯(lián)立，消去并整理得，由，得，設(shè)、，得到和，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)過(guò)左焦點(diǎn)，求出，由以及，求出，可知A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，得到，利用換元法可求出取最小值，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，求出，可知C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，求出的最小值為，可知D不正確.【詳解】由得，所以，聯(lián)立，消去并整理得，，即，設(shè)、，則，，所以，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，此時(shí)，若，則由，得，所以，解得，，所以存在，使得，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，所以，令，則，則，因?yàn)?，所以?dāng)，即，時(shí)，取最小值，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)存在使得，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，所以，因?yàn)榍?，所以，所以，所以?dāng)時(shí)，取最小值，.故D不正確.故選：ABC填空題19.（廣東省五校期末試題）若拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與直線(xiàn)間的距離為3，則拋物線(xiàn)的方程為_(kāi)_____.【答案】或【解析】【分析】先求出拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，再根據(jù)距離列方程求解即可.【詳解】拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為，則，解得或，故拋物線(xiàn)的方程為或.故答案為：或.20.（深圳市羅湖區(qū)期末試題）已知的頂點(diǎn)，點(diǎn)，均在拋物線(xiàn)上.若，的中點(diǎn)也在上，的中點(diǎn)為，則______，的面積______.【答案】①.##②.##【解析】【分析】先利用點(diǎn)在曲線(xiàn)上構(gòu)造出一元二次方程，求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而求得的長(zhǎng)和的面積.【詳解】不妨設(shè)，，則的中點(diǎn)在上，所以，整理得，又的中點(diǎn)在上，所以，整理得，所以，是方程的兩根，則，所以，，則，的面積故答案為：；21.（深圳市高級(jí)中學(xué)集團(tuán)期末試題）已知點(diǎn)，點(diǎn)，R是圓上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】##【解析】【分析】設(shè)，表示出，后利用輔助角公式得答案.【詳解】因?yàn)镽是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則設(shè)，其中.則，得，其中滿(mǎn)足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：.22.（深圳市高級(jí)中學(xué)集團(tuán)期末試題）已知拋物線(xiàn)，，過(guò)點(diǎn)P作斜率為正的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)M，N，點(diǎn)M，N在y軸上的射影為，，若，則直線(xiàn)l的斜率為_(kāi)_________．【答案】##【解析】【分析】聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程得韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)兩角和的正切公式代入即可化簡(jiǎn)求解.【詳解】設(shè)，，且，，則，，設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立得，，則，，由，設(shè)，，則，，由，即，解得，（舍去），故斜率，故答案為：23.（汕頭市高三期末試題）已知長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，則以A、B為焦點(diǎn)，且過(guò)C、D的橢圓的離心率為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】利用橢圓定義及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，明確a與c，即可得到橢圓的離心率.【詳解】由題知，，解得，，由橢圓的定義知：，解得，所以橢圓的離心率．故答案為：．24.（清遠(yuǎn)市高三期末試題）已知P為雙曲線(xiàn)C：上異于頂點(diǎn)，的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)，的斜率分別為，，寫(xiě)出滿(mǎn)足C的焦距小于8且的C的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程：_________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】首先設(shè)點(diǎn)，，，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式組，再寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】設(shè)，，，，所以，取，則，，所以滿(mǎn)足條件的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故答案為：（答案不唯一）25.（惠州市高三期末試題）已知分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)C上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若，則雙曲線(xiàn)C的離心率的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】在中，由正弦定理可得，再結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義和“三角形的兩邊之和大于第三邊”，即可得解.【詳解】在中，，由正弦定理得，，又點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)C上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，所以，所以，在中，由，得，即，所以，又，所以，故答案為：26.（華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三期末試題）已知圓，若過(guò)定點(diǎn)有且僅有一條直線(xiàn)被圓截得弦長(zhǎng)為2，則可以是__________.（只需要寫(xiě)出其中一個(gè)值，若寫(xiě)出多個(gè)答案，則按第一個(gè)答案計(jì)分.）【答案】1##【解析】【分析】依題意，該直線(xiàn)過(guò)圓心或垂直于【詳解】依題意，該直線(xiàn)過(guò)圓心或垂直于，圓心到直線(xiàn)距離為或，，所以或.故答案為：1或27.（東莞市高三期末試題）已知點(diǎn)P為直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A、B，且，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為_(kāi)___________．【答案】【解析】【分析】由圓切線(xiàn)的性質(zhì)，將轉(zhuǎn)化為,由此求得點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍,進(jìn)而得動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度.【詳解】因?yàn)?所以,所以，解得,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,解得,所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.故答案為：.28．（梅州市大埔縣高三期末試題）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)閤2+y2≤1，若將軍從點(diǎn)A(2，0)處出發(fā)，河岸線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為x【解析】設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)x+y=3AA'的中點(diǎn)為，，故，解得，要使從點(diǎn)A到軍營(yíng)總路程最短，即為點(diǎn)A'“將軍飲馬”的最短總路程為329．（佛山市高三期末試題）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在拋物線(xiàn)C上，若點(diǎn)A到x軸的距離是，則_______．30．（佛山市高三期末試題）寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿(mǎn)足下列條件①②的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程：_______．①焦點(diǎn)在x軸上；②離心率為2．四、簡(jiǎn)答題31.（廣東省五校期末試題）已知平面內(nèi)兩點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足．（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)l交動(dòng)點(diǎn)P的軌跡于不同的兩點(diǎn)M，N（M在N的上方），點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，求證直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）（2）直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).【解析】【分析】（1）直接由斜率關(guān)系計(jì)算得到；（2）設(shè)出直線(xiàn)，聯(lián)立橢圓方程，韋達(dá)定理求出，再結(jié)合三點(diǎn)共線(xiàn)，求出參數(shù)，得到過(guò)定點(diǎn).【小問(wèn)1詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由已知有，整理得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為；【小問(wèn)2詳解】由已知條件可知直線(xiàn)和直線(xiàn)斜率一定存在，設(shè)直線(xiàn)方程為，，，則，由，可得，則，即為，，，因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線(xiàn)，即，即，即，即，即得，整理，得，滿(mǎn)足，則直線(xiàn)方程為，恒過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】橢圓對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，橢圓的一條弦與此對(duì)稱(chēng)軸交與，夾在之間的橢圓的頂點(diǎn)為，則被對(duì)稱(chēng)軸平分成等比數(shù)列.32.（深圳市南山區(qū)期末試題）已知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，分別作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足依次為，，動(dòng)點(diǎn)在上.（1）當(dāng)，且為線(xiàn)段的中點(diǎn)時(shí)，證明：；（2）記直線(xiàn)，，的斜率分別為，，，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn),連接.利用幾何法，分別證明出,為的角平分線(xiàn)，即可證明；（2）利用“設(shè)而不求法”分別表示出，解方程求出.【小問(wèn)1詳解】如圖示：當(dāng)時(shí)，恰為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).由拋物線(xiàn)的定義可得：.取的中點(diǎn),連接,則為梯形的中位線(xiàn)，所以.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以,所以.在中，由可得：.因?yàn)闉樘菪蔚闹形痪€(xiàn)，所以，所以，所以.同理可證：.在梯形中，,所以，所以，所以,即.【小問(wèn)2詳解】假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得.由直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，可設(shè).設(shè),則，消去可得：，所以，.則.而.所以，解得：.33.（深圳市羅湖區(qū)期末試題）點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系上一動(dòng)點(diǎn)，兩直線(xiàn)，，已知于點(diǎn)，位于第一象限；于點(diǎn)，位于第四象限.若四邊形的面積為2.（1）若動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，求的方程.（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)分別作直線(xiàn)，交于點(diǎn)，.若與的傾斜角互補(bǔ)，證明直線(xiàn)的斜率為一定值，并求出這個(gè)定值.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析，定值為.【解析】【分析】（1）設(shè)，然后求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后算出、，然后由四邊形的面積為2可得答案；（2）設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立直線(xiàn)與的方程消元，然后求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后可算出直線(xiàn)的斜率.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，依題意得且，即且，設(shè)，則，因?yàn)橹本€(xiàn)的方向向量為，所以，，即，所以，所以四邊形的面積為，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線(xiàn)（或），則，聯(lián)立得，整理得，所以，即，所以，同理得，，所以直線(xiàn)的斜率，得證.34.（深圳市高級(jí)中學(xué)集團(tuán)期末試題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，分別為等軸雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)A為雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，且，直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于B點(diǎn)，點(diǎn)D為線(xiàn)段的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD，BD，分別與雙曲線(xiàn)交于P，Q兩點(diǎn)．（1）若，求證：；（2）若直線(xiàn)AB，PQ的斜率都存在，且依次設(shè)為，試判斷是否為定值，如果是，請(qǐng)求出的值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理出．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）定值，7.【解析】【分析】（1）分兩種情況討論，斜率不存在時(shí)，直接驗(yàn)證，斜率存在時(shí)，運(yùn)用斜率公式可證明；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，與雙曲線(xiàn)聯(lián)立得，同理得，由斜率公式及（1）中的結(jié)論可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由等軸雙曲線(xiàn)知離心率，，及，可得，所以雙曲線(xiàn)方程為，.當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，，，直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，，，整理得，綜上所述，成立；【小問(wèn)2詳解】依題意可知直線(xiàn)的斜率存在且不為0，設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入雙曲線(xiàn)并化簡(jiǎn)得：，①由于，則代入①并化簡(jiǎn)得：，設(shè)，則，解得，代入，得，即，同理可得，所以，所以是定值.35.（汕頭市高三期末試題）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，上、下頂點(diǎn)分別為、，記四邊形的內(nèi)切圓為，過(guò)橢圓上一點(diǎn)T引圓的兩條切線(xiàn)（切線(xiàn)斜率存在且不為0），分別交橢圓于點(diǎn)P、Q．（1）試探究直線(xiàn)TP與TQ斜率之積是否為定值，并說(shuō)明理由；（2）記點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：P、O、Q三點(diǎn)共線(xiàn)．【答案】（1）直線(xiàn)TP與TQ斜率之積為定值，理由見(jiàn)解析（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）先求出：，不妨取，則，利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離等于半徑，得到，得到，將代入可得直線(xiàn)TP與TQ斜率之積為；（2）設(shè)直線(xiàn)，得到，直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理得到，同理設(shè)出直線(xiàn)，聯(lián)立后得到，從而，同理可得，證明出P、O、Q三點(diǎn)共線(xiàn)．【小問(wèn)1詳解】由題意得：，直線(xiàn)方程為，即，原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，故內(nèi)切圓的半徑為，由對(duì)稱(chēng)性可知圓心為，所以：，不妨取，則，此時(shí)切線(xiàn)方程為，則，整理得：，設(shè)過(guò)點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)斜率分別為，則，由得：，將其代入上式中，，故直線(xiàn)TP與TQ斜率之積為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線(xiàn)，則，解得：，與橢圓聯(lián)立得：，設(shè)，則，將代入，可得：，設(shè)直線(xiàn)，則，整理得：，與橢圓聯(lián)立得：，設(shè)，則，將代入可得：，顯然，設(shè)直線(xiàn)，則，解得：，與橢圓聯(lián)立得：，設(shè)，則，將代入得：，設(shè)直線(xiàn)，則，解得：，與橢圓聯(lián)立得：，設(shè)，則，將代入得：，故，所以P、O、Q三點(diǎn)共線(xiàn).36.（清遠(yuǎn)市高三期末試題）已知拋物線(xiàn)：，F(xiàn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，且直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn).（1）若直線(xiàn)的方程為，求的面積；（2）設(shè)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為T(mén)，已知點(diǎn)P是不同于A，B的一點(diǎn)，若，，且M，N均在拋物線(xiàn)上，證明：直線(xiàn)PT垂直于y軸.【答案】（1）（2）證明詳見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）結(jié)合弦長(zhǎng)公式以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求得的面積；（2）通過(guò)求的縱坐標(biāo)來(lái)求進(jìn)行證明.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，由消去并化簡(jiǎn)得，，所以，到直線(xiàn)的距離，所以三角形的面積為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，由于，所以，解得，同理可得，由于均在拋物線(xiàn)上，所以，可得是方程的兩個(gè)不同實(shí)根，即是方程的兩個(gè)不同實(shí)根，所以，則線(xiàn)段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，又因?yàn)辄c(diǎn)的縱坐標(biāo)也是，所以直線(xiàn)垂直于軸.37.（惠州市高三期末試題）已知橢圓，過(guò)點(diǎn)．（1）求C的方程；（2）若不過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與C交于M，N兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，試探究：l是否過(guò)定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)【解析】【分析】（1）將代入橢圓方程求；（2）由可得，設(shè)直線(xiàn)l方程為，將韋達(dá)定理代入求得，從而知l恒過(guò)定點(diǎn).【小問(wèn)1詳解】由題意，，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，兩邊平方，化?jiǎn)整理得，易知直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)其方程為，其中．由，得，，設(shè)，則，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，得，解得，滿(mǎn)足，所以直線(xiàn)l的方程為：，即直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)38.（華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三期末試題）已知橢圓，斜率為的直線(xiàn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上，且軸，求直線(xiàn)在軸上的截距.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)在橢圓上可得，又因?yàn)橹本€(xiàn)與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，可得判別式等于零得到方程即可求解；(2)設(shè)出直線(xiàn)的方程，利用韋達(dá)定理，再表示出在軸上的截距關(guān)于坐標(biāo)的等量關(guān)系，即可求解.【小問(wèn)1詳解】依題意，直線(xiàn)的方程為，即，由，消去得.由于直線(xiàn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，故，即，因?yàn)樵跈E圓上，所以，即，整理得，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：.【小問(wèn)2詳解】方法一：依題意直線(xiàn)斜率不為0，可設(shè)直線(xiàn)為，則，聯(lián)立橢圓方程，可得，由韋達(dá)定理得，進(jìn)而，有由直線(xiàn)的方程為，得直線(xiàn)AC在軸上的截距為故直線(xiàn)在軸的上截距為.方法二：設(shè)，則，則直線(xiàn)的方程為，則直線(xiàn)在軸的截距為，若垂直于軸，則，所以直線(xiàn)與軸交點(diǎn)為，截距為.若不垂直于軸，設(shè)直線(xiàn)的方程為.與橢圓方程聯(lián)立，得，由韋達(dá)定理有.直線(xiàn)在軸的截距為又因?yàn)樗运裕运怨手本€(xiàn)在軸上的截距為.方法三：右焦點(diǎn)為，直線(xiàn)與軸相交于點(diǎn)為的中點(diǎn)為若垂直于軸，則，所以直線(xiàn)與軸交點(diǎn)為，截距為.若不垂直于軸，設(shè)直線(xiàn)的方程為與橢圓方程聯(lián)立，得，由韋達(dá)定理有又，得，故直線(xiàn)的斜率分別為所以.因?yàn)樗?，即，故三點(diǎn)共線(xiàn)