角的平分線的性質(zhì)谷寧陳(北京市朝陽區(qū)芳草地國際學(xué)校富力分校)指導(dǎo)思想與理論依據(jù)著名數(shù)學(xué)家波利亞曾說過：“學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑是由自己去發(fā)現(xiàn)，因?yàn)檫@種發(fā)現(xiàn)理解最深、也最容易掌握其中的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系”．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2022年版）中也指出：“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程．認(rèn)真聽講、積極思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等，都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式．學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程”．本課是一節(jié)圖形性質(zhì)的探究學(xué)習(xí)，知識(shí)的綜合性較強(qiáng)，思維含量較大，結(jié)合以上理念，教師發(fā)揮主導(dǎo)作用，設(shè)置一系列問題串，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，啟發(fā)學(xué)生的思維．維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)”理論指出：“教學(xué)必須考慮到兒童已達(dá)到的水平并走在兒童發(fā)展的前面”．教學(xué)可以說“創(chuàng)造”著學(xué)生的發(fā)展，決定著學(xué)生發(fā)展的水平、速度和內(nèi)容．在本節(jié)課的探究過程中，始終圍繞學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)置問題，以思考和相互交流的形式分析和解決問題，學(xué)生通過動(dòng)手操作、觀察、實(shí)驗(yàn)、探究，解決問題，從而完成對(duì)知識(shí)的自我建構(gòu)．教學(xué)背景分析教學(xué)內(nèi)容：本節(jié)課選自人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)“全等三角形”第3節(jié)的內(nèi)容，是全等三角形知識(shí)的運(yùn)用和延續(xù)．“角的平分線的性質(zhì)”是一節(jié)性質(zhì)探究課，是初中階段幾何學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，為以后研究圖形的性質(zhì)提供了重要的思路和方法，學(xué)生可以類比角的平分線的性質(zhì)的研究方法，探究線段的垂直平分線的性質(zhì)．學(xué)生能夠從本節(jié)課的探究過程中，逐步感受“一個(gè)圖形”與“所有滿足特點(diǎn)條件的點(diǎn)”之間的關(guān)系，從不同的角度認(rèn)識(shí)角平分線，體會(huì)其中的集合思想．學(xué)生初次探究這類問題，缺少認(rèn)知基礎(chǔ)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，教師通過創(chuàng)設(shè)實(shí)際情境，使學(xué)生逐步掌握探究方法，在探究的過程中逐步體會(huì)這種集合思想以及條件的充分性和必要性．命題證明是初中幾何的重要組成部分，是培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性的重要載體．文字語言、圖形語言、符號(hào)語言三種表述方式之間的轉(zhuǎn)化是命題證明過程中的重要環(huán)節(jié)，本節(jié)課，教師設(shè)計(jì)一系列學(xué)生活動(dòng)，幫助學(xué)生突破這一難點(diǎn)．學(xué)生情況為了因材施教和有的放矢，在課前進(jìn)行了學(xué)習(xí)情況調(diào)研．?dāng)?shù)據(jù)顯示，七、八年級(jí)學(xué)生欠缺探究一個(gè)圖形性質(zhì)的方法和經(jīng)驗(yàn)；九年級(jí)學(xué)生即使學(xué)習(xí)過這部分內(nèi)容，但對(duì)證明幾何命題的完整規(guī)范的表述仍有一定不足．教學(xué)方式：探究式教學(xué)教學(xué)目標(biāo)1．從“航線”的具體情境中，抽象出幾何模型，初步感悟“具有某條件的點(diǎn)的特征”．2．類比平行線，探索并證明角的平分線的性質(zhì)．3．在探索活動(dòng)中，體會(huì)合情推理的作用，理解模型思想、集合思想．4.通過對(duì)定理證明的一般步驟的梳理，體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，發(fā)展邏輯推理能力．教學(xué)重點(diǎn)：理解角的平分線的性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)并證明角的平分線的性質(zhì)教學(xué)流程示意(可選項(xiàng))借助情境，發(fā)現(xiàn)問題借助情境，發(fā)現(xiàn)問題問題變式，類比探究證明猜想，歸納小結(jié)拓展探究，提高能力課后反思，提升認(rèn)識(shí)＼教學(xué)過程(文字描述)一．借助情境，發(fā)現(xiàn)問題情境1：端午節(jié)是我們國家的傳統(tǒng)節(jié)日，人們吃粽子，劃龍舟來慶祝．在龍舟比賽中，為了明確船航行的方向，通常在河面上放置一些浮標(biāo)．若河的兩岸互相平行，最中間一排浮標(biāo)的位置是如何確定的？師生活動(dòng)：學(xué)生觀看視頻后，從實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，畫出圖形，并確定浮標(biāo)的位置．教師適當(dāng)追問，引導(dǎo)學(xué)生分析“中間的線”“到兩平行線距離相等的點(diǎn)”之間的關(guān)系，明確應(yīng)從兩個(gè)角度去探究問題．問題1：最中間的直線滿足什么條件？問題2：到兩平行線的距離相等的點(diǎn)有什么規(guī)律？問題3：你能提出關(guān)于兩平行線間的“中間的線”的哪些猜想？猜想1：兩平行線間“中間的線”上的點(diǎn)到兩平行線的距離相等．猜想2：到兩平行線距離相等的點(diǎn)在兩平行線間“中間的線”上．【活動(dòng)1】畫出兩平行線間的“中間的線”并簡要記錄畫圖步驟．設(shè)計(jì)意圖：通過中國傳統(tǒng)文化賽龍舟，設(shè)計(jì)浮標(biāo)這一實(shí)際情境引入，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；借助情境，學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的過程，從更易于理解的平行線間“中間的線”開始探究起，逐步分析出兩個(gè)猜想，既要研究直線上所有的點(diǎn)都滿足一定條件，還要研究滿足特定條件的所有的點(diǎn)都在直線上，既為下一個(gè)環(huán)節(jié)探究角的平分線的性質(zhì)做了鋪墊，又讓學(xué)生獲得一定的研究經(jīng)驗(yàn)．二．問題變式，類比探究情境2：如果河的兩岸不平行，則抽象成一個(gè)角，這時(shí)你還能找到中間的線么？問題1：當(dāng)兩直線不平行時(shí)，“中間的線”還存在嗎？它有名字嗎？問題2：角的平分線有與“中間的線”相類似的性質(zhì)嗎？【活動(dòng)2】提出關(guān)于角的平分線的猜想．類比兩平行線間“中間的線”的猜想，提出角的平分線的兩條猜想：猜想1——角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；猜想2——角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等點(diǎn)在角的平分線上．設(shè)計(jì)意圖：情境由兩條平行的直線變?yōu)橐粋€(gè)角，學(xué)生能夠在這種特殊到一般的變化中，主動(dòng)的運(yùn)用類比的方法，較為順利地提出對(duì)角的平分線的性質(zhì)的兩條猜想．三．證明猜想，歸納小結(jié)【活動(dòng)】將命題1改寫成符號(hào)語言．分析命題1的條件和結(jié)論，明確命題1的研究對(duì)象是線上的點(diǎn)；借助量角器，畫出角的平分線，再將命題的條件、結(jié)論分別用符號(hào)語言表述出來．教師展示學(xué)生的作圖，并請(qǐng)一名學(xué)生簡要描述自己的作圖步驟，師生共同辨析得出大家都認(rèn)可的一種恰當(dāng)?shù)谋硎觯O(shè)計(jì)意圖：學(xué)生經(jīng)歷猜想—畫圖—改寫—證明這一系列探究的過程，初步獲得研究幾何問題的方法和步驟．在將命題的文字表述轉(zhuǎn)化成符號(hào)語言的過程中，學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)不同的理解．預(yù)設(shè)1：已知，如圖，∠AOC=∠BOC，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E．求證：PD=PE．預(yù)設(shè)2：已知，如圖，∠AOC=∠BOC，點(diǎn)P在OC上．求證：PD=PE．預(yù)設(shè)3：已知，如圖，射線OC平分角∠AOB，點(diǎn)P在射線OC上．求證：點(diǎn)P到OA、OB的距離相等．學(xué)生在將文字改寫成符號(hào)語言時(shí)，對(duì)于如何描述距離出現(xiàn)不同的理解，教師引導(dǎo)學(xué)生分析幾名同學(xué)的改寫，確定預(yù)設(shè)1中的書寫是最為恰當(dāng)?shù)谋硎觯净顒?dòng)】完成命題1的證明過程．學(xué)生獨(dú)立完成命題1證明過程，在黑板上板演證明的完整過程．【活動(dòng)】師生共同歸納證明一個(gè)幾何命題的一般步驟：閱讀命題—分析條件和結(jié)論—畫出圖形—寫成符號(hào)語言—完成證明．設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過辨析命題的條件和結(jié)論，先獨(dú)立完成命題的改寫，再與老師共同辨析，得到最為恰當(dāng)?shù)谋硎觯谶@一過程中，一方面增強(qiáng)對(duì)角的平分線的性質(zhì)命題條件、結(jié)論的理解，同時(shí)歸納證明一個(gè)幾何命題的一般步驟，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性．【活動(dòng)】獨(dú)立完成命題2的證明．在完成命題1的證明過程的基礎(chǔ)上，學(xué)生獨(dú)立改寫命題2的已知部分，但在求證的表述上存在不同的想法．預(yù)設(shè)1：已知，如圖，點(diǎn)P在射線OC上，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E，PD=PE．求證：∠AOC=∠BOC．預(yù)設(shè)2：已知，如圖，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E，PD=PE．求證：點(diǎn)P在∠AOB在的平分線上．師生互動(dòng)：師生共同分析，辨析命題的條件和結(jié)論，不斷調(diào)整自己已知、求證的書寫．設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在不斷地調(diào)整已知、求證的書寫的過程中，提升對(duì)命題的理解，強(qiáng)化幾何命題證明的一般步驟，體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，突破本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)．四．拓展探究，提高能力【活動(dòng)】探究角平分線的畫法．預(yù)設(shè)1：依據(jù)角的平分線的定義，利用量角器進(jìn)行度量，畫出角平分線．預(yù)設(shè)2：如圖，第一步：在射線OB上任取一點(diǎn)M，過點(diǎn)M作射線OB的垂線，這條垂線上且在角的內(nèi)部任取一點(diǎn)H，過點(diǎn)H作射線OB的平行線l1；第二步：在射線OA上任取一點(diǎn)N，過點(diǎn)N作射線OA的垂線，在這條垂線上截取NG=HM且點(diǎn)G在角的內(nèi)部，過點(diǎn)G作射線OA的平行線l2，交直線l1于點(diǎn)P．第三步：點(diǎn)P即為所求．預(yù)設(shè)3：如圖，第一步：以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交射線OA、OB于點(diǎn)M、N；第二步：分別過點(diǎn)M和N，作射線OA、OB的垂線，兩垂線交于點(diǎn)P．第三步：點(diǎn)P即為所求．【活動(dòng)】拓展作業(yè)能否用尺規(guī)作一個(gè)角的平分線？設(shè)計(jì)意圖：多種畫圖方法，體現(xiàn)了學(xué)生思維的多樣性和靈活性，發(fā)展了學(xué)生解決問題的能力，也進(jìn)一步加深了對(duì)角平分線性質(zhì)的理解．在此基礎(chǔ)上，將“能否用尺規(guī)作一個(gè)角的平分線”布置為課后探究作業(yè)，學(xué)生的思維層層深入，學(xué)習(xí)的過程形成體系．五．課后反思，提升認(rèn)識(shí)通過對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲和體會(huì)？設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)環(huán)節(jié)，使學(xué)生不僅更能夠在知識(shí)上有所收獲，更重要的，是從探究過程和思想方法的角度來提升對(duì)本節(jié)課的認(rèn)識(shí)．本教學(xué)設(shè)計(jì)與以往或其他教學(xué)設(shè)計(jì)相比的特點(diǎn)(300-500字?jǐn)?shù))本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是角的平分線的兩條性質(zhì)定理的探究及證明，角的平分線是到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的集合，為了讓學(xué)生能夠?qū)堑钠椒志€有更加深刻和完整的理解，教師設(shè)計(jì)了充分的活動(dòng)．首先在情境引入環(huán)節(jié)，教師沒有直接引入角和角的平分線，而是先由一個(gè)實(shí)際情境引出了學(xué)生更易理解的兩平行線和兩平行線間的“中間的線”，引導(dǎo)學(xué)生提出“中間的線”的兩條猜想，再畫圖說明；再將平行線變?yōu)橄嘟痪€，通過類比“中間的線”的研究思路，再來探究角的平分線