丘成桐談幾何：從黎曼、愛(ài)因斯坦到弦論著名數(shù)學(xué)家丘成桐先生發(fā)表了題為“幾何：從黎曼、愛(ài)因斯坦到弦論”的演講，追溯了為廣義相對(duì)論發(fā)展奠定基礎(chǔ)的的黎曼幾何，回顧了影響廣義相對(duì)論發(fā)展的物理學(xué)突破，并談及量子力學(xué)和引力理論相結(jié)合、引力場(chǎng)量子化將成為這個(gè)世紀(jì)的重要問(wèn)題，而弦理論是一個(gè)相當(dāng)不錯(cuò)的起點(diǎn)。丘成桐教授從事廣義相對(duì)論研究已經(jīng)四十多年，參與了整個(gè)廣義相對(duì)論的發(fā)展。黎曼幾何：改變?nèi)祟惖臅r(shí)空觀

如果沒(méi)有黎曼幾何的發(fā)展，愛(ài)因斯坦將會(huì)需要更多的時(shí)間來(lái)創(chuàng)立偉大的廣義相對(duì)論。值得一提的是，他的博士論文全部是通過(guò)他自己想象寫出來(lái)的?，F(xiàn)代幾何學(xué)的發(fā)展推動(dòng)我們對(duì)于空間的認(rèn)識(shí)。黎曼（BernhardRiemann）和他的老師高斯（JohannCarlFriedrichGauss）毫無(wú)疑問(wèn)是現(xiàn)代幾何學(xué)的兩位奠基人。高斯是現(xiàn)代幾何學(xué)的先父，而真正的創(chuàng)始人可能是黎曼。黎曼的一生短暫，只在世40年，就英年早逝。他的學(xué)術(shù)生涯雖然只有短短16年，但是他發(fā)表的每一篇文章都開(kāi)創(chuàng)了整個(gè)幾何和數(shù)學(xué)不同方面的領(lǐng)域，尤其是現(xiàn)代幾何。1854年，黎曼在《論關(guān)于作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)》的講師資格論文中開(kāi)啟了現(xiàn)代幾何學(xué)的概念。黎曼幾何這一漂亮的理論變革了人們對(duì)古希臘幾何學(xué)家所引入的空間的認(rèn)識(shí)。可以說(shuō)如果沒(méi)有黎曼幾何的發(fā)展，愛(ài)因斯坦（AlbertEinstein）將會(huì)需要更多的時(shí)間來(lái)創(chuàng)立偉大的廣義相對(duì)論。值得一提的是，他的博士論文全部是通過(guò)他自己想象寫出來(lái)的，除了高斯的一些工作以及赫爾巴特（JohannFriedrichHerbart）的哲學(xué)作品，黎曼可以借鑒的文獻(xiàn)很少。黎曼開(kāi)創(chuàng)幾何最重要的目的是解釋物理現(xiàn)象，他認(rèn)為：幾何學(xué)定理無(wú)法從一般的量綱概念導(dǎo)出，而必須借助那些可以區(qū)分空間和其他實(shí)體的性質(zhì)。這些性質(zhì)只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)·····我們只能研究他們的可能性，判斷是否可以將其延拓到可觀察范圍之外，不可測(cè)量的巨大或微小······或者空間所依存的物理現(xiàn)實(shí)是一個(gè)離散的多樣體，或者它的度量關(guān)系的基礎(chǔ)需要追溯到它的元素的結(jié)合力的外部來(lái)源······我們現(xiàn)代的幾何學(xué)是包括了幾何、分析與數(shù)學(xué)物理的一門綜合的科學(xué)。這正是黎曼160年前研究幾何學(xué)時(shí)采用的觀點(diǎn)。與黎曼同時(shí)代的數(shù)學(xué)家中，最重要的一個(gè)人是柯西（Cauchy）。柯西和黎曼都是復(fù)分析的奠基人，但黎曼與柯西不同的是，他從幾何和微分方程的觀點(diǎn)來(lái)研究復(fù)分析，引進(jìn)了“黎曼面”的基本概念。這個(gè)概念是19世紀(jì)和20世紀(jì)最重要的概念之一，影響到高能物理的發(fā)展。黎曼還是第一位引入獨(dú)立于歐氏幾何的空間概念的學(xué)者。（第一個(gè)提出非歐幾何的是羅巴切夫斯基，即羅氏幾何）他用坐標(biāo)來(lái)測(cè)量長(zhǎng)度，面積和曲率等幾何量。他希望這些值與坐標(biāo)的選取無(wú)關(guān)，這叫做等效原理，是愛(ài)因斯坦后來(lái)用作推導(dǎo)他的場(chǎng)方程的一個(gè)基本假設(shè)。愛(ài)因斯坦受到黎曼工作的深刻影響。黎曼還引入了黎曼曲面的抽象概念。他設(shè)想所有自然存在的光滑二維曲面都可以描述為黎曼曲面。這個(gè)發(fā)現(xiàn)很重要，黎曼面被應(yīng)用到不同的物理范疇中。在過(guò)去30年中，物理學(xué)家對(duì)一種稱為超弦的理論極度著迷，根據(jù)這一理論，粒子是時(shí)空中振動(dòng)的微小的弦。振動(dòng)中的弦掃出一張二維曲面。黎曼觀察到二維曲面存在一種全純函數(shù)賦予的結(jié)構(gòu)，也即共形幾何。這啟發(fā)了共形場(chǎng)論的誕生?，F(xiàn)代粒子物理學(xué)家的工作依賴于對(duì)這些共形結(jié)構(gòu)的深刻理解。黎曼面在日常生活中也有應(yīng)用，比如計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和地圖繪制。共形映射黎曼以后，龐加萊（JulesHenriPoincaré）推進(jìn)了幾何發(fā)展。龐加萊在19世紀(jì)后期證明推廣了黎曼的單值化定理。這是一個(gè)很重要的定理，影響到今天多維空間的發(fā)展。黎曼幾何的主要奠基人是三位意大利學(xué)者：列維·齊維塔（Levi-Civita,）、克里斯托費(fèi)爾（ElwinBrunoChristoffel）和路易吉·比安基（LuigiBianchi）。由于身體不佳，黎曼臨終前幾年都在意大利過(guò)冬療養(yǎng)，他在意大利的四年影響了一批學(xué)者。其中前述三位學(xué)者成功發(fā)展了黎曼流形的微積分。數(shù)學(xué)的美與愛(ài)因斯坦方程

當(dāng)愛(ài)因斯坦最后成功解釋天體現(xiàn)象的時(shí)候，有人問(wèn)愛(ài)因斯坦，假如你觀測(cè)到的天象和你的理論有不同的時(shí)候，你會(huì)怎么講？愛(ài)因斯坦講，“我會(huì)替造物者惋惜，居然不懂得用到這樣漂亮的理論。”1905年當(dāng)愛(ài)因斯坦在洛倫茲和龐加萊的幫助下發(fā)現(xiàn)狹義相對(duì)論時(shí)，人們認(rèn)識(shí)到三維空間與時(shí)間是不可分割的。時(shí)空的數(shù)學(xué)定義由愛(ài)因斯坦的老師閔可夫斯基（HermannMinkowski）給出。他引入一個(gè)與黎曼度量類似的新度量，找到一個(gè)以羅倫茲群為等距變換群的黎曼空間，用來(lái)描述狹義相對(duì)論的幾何基礎(chǔ)。閔可夫斯基的發(fā)現(xiàn)對(duì)于希望統(tǒng)一狹義相對(duì)論和牛頓力學(xué)的愛(ài)因斯坦來(lái)說(shuō)是一個(gè)很大的啟發(fā)。當(dāng)時(shí)這兩個(gè)理論是不兼容的。所有的信息不能超光速傳遞，這是狹義相對(duì)論的要求?？墒桥ｎD力學(xué)是要求超距作用的，太陽(yáng)重力場(chǎng)影響地球的轉(zhuǎn)動(dòng)，是同一個(gè)時(shí)間，根本不用光速，它就傳達(dá)到地球來(lái)了。前者要求信息低于光速傳播，而后者要求超距作用。愛(ài)因斯坦對(duì)這兩個(gè)理論矛盾的研究引入了等效原理，提出運(yùn)動(dòng)方程由等效原理決定：引力定律不受觀測(cè)方式或坐標(biāo)選擇的影響。通過(guò)思想實(shí)驗(yàn)他意識(shí)到，描述重力的位勢(shì)依賴于方向。愛(ài)因斯坦在思索這應(yīng)該是何種類型的量時(shí)，他的數(shù)學(xué)家朋友馬塞爾·格羅斯曼（MarcelGrossman）告訴他，他所需要的數(shù)學(xué)概念應(yīng)該是黎曼幾何中的某個(gè)張量，類似于牛頓力學(xué)，重力場(chǎng)運(yùn)動(dòng)方程包含位勢(shì)的二階導(dǎo)數(shù)，這個(gè)量也應(yīng)該與坐標(biāo)選擇無(wú)關(guān)。張量的概念產(chǎn)生于19世紀(jì)末，由克里斯托費(fèi)爾(ChristoffelElwinBruno）提出。隨后，愛(ài)因斯坦邀請(qǐng)數(shù)學(xué)家格羅斯曼幫忙。格羅斯曼在全世界最好的圖書(shū)館——哥廷根圖書(shū)館，發(fā)現(xiàn)由19世紀(jì)的意大利幾何學(xué)家里奇（Ricci）引入的里奇張量恰好符合這些特性。里奇張量是黎曼曲率張量的二次縮并得出來(lái)的張量。這個(gè)發(fā)現(xiàn)發(fā)表在愛(ài)因斯坦和格羅斯曼于1912年和1913年合寫的兩篇論文中。他們用里奇張量定義空間中物質(zhì)分布的物質(zhì)張量。不過(guò)，因?yàn)槲镔|(zhì)張量滿足守恒律，而里奇張量本身并不滿足守恒律，所以這個(gè)方程組不兼容。同時(shí)，他們寫下的方程組在解釋物理現(xiàn)象時(shí)，并不成功。雖然方程很漂亮，也滿足了很多事情，可是愛(ài)因斯坦仍然無(wú)法解釋水星近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)和牛頓方程預(yù)言的偏差問(wèn)題，所以他知道這個(gè)方程還是沒(méi)有成功。有一到兩年的時(shí)間，愛(ài)因斯坦幾乎想放棄等效原理這樣基本的看法，企圖采取特殊的坐標(biāo)來(lái)解決和觀察不和諧的問(wèn)題。作為一代大師的數(shù)學(xué)家希爾伯特卻不愿意這樣做。因?yàn)閺臄?shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)講，不能找特殊的坐標(biāo)系統(tǒng)來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。希爾伯特答應(yīng)他，用數(shù)學(xué)的美來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。當(dāng)廣義相論論最后成功解釋天體現(xiàn)象的時(shí)候，有人問(wèn)愛(ài)因斯坦，假如你觀測(cè)到的現(xiàn)象和你的理論有不同的時(shí)候，你會(huì)怎么想？愛(ài)因斯坦說(shuō)，“我會(huì)替造物者惋惜，居然不懂得用到這樣漂亮的理論。”為什么漂亮呢？因?yàn)橛昧说刃г恚瑫r(shí)能夠解釋天體的問(wèn)題。愛(ài)因斯坦后來(lái)多次講到，數(shù)學(xué)的美是很重要的，甚至比實(shí)踐還要重要。愛(ài)因斯坦方程的成功，起源于對(duì)稱應(yīng)用在物理學(xué)上的巨大威力。等效原理可以說(shuō)是用對(duì)稱學(xué)來(lái)找到物理方程的重要的方法。推導(dǎo)愛(ài)因斯坦的場(chǎng)方程的時(shí)候，最重要的就是等效原理，等效原理其實(shí)就是對(duì)稱群的利用。對(duì)稱群的應(yīng)用起源于十九世紀(jì)數(shù)學(xué)家伽羅華（évaristeGalois）和索菲斯·李（MariusSophusLie），以及二十世紀(jì)的女?dāng)?shù)學(xué)家埃米·諾特（EmmyNoether）。艾米·諾特是有史以來(lái)最偉大的女?dāng)?shù)學(xué)家。1915年，諾特正在哥廷根，和希爾伯特是同事。她有沒(méi)有直接影響愛(ài)因斯坦的想法不得而知，但是諾特用對(duì)稱群來(lái)研究物理方程的理論影響至今。艾米·諾特可以說(shuō)是有史以來(lái)最偉大的女?dāng)?shù)學(xué)家。所以我們知道，愛(ài)因斯坦完成廣義相對(duì)論的時(shí)候，主要想法是對(duì)時(shí)空有一個(gè)哲學(xué)的思想，就是盡量滿足等效原理，同時(shí)要跟牛頓力學(xué)是能夠推導(dǎo)，能夠平行的。通過(guò)思想的實(shí)驗(yàn)，也通過(guò)數(shù)學(xué)的思維，他能夠得出這樣的結(jié)論。所以他堅(jiān)持物理最基礎(chǔ)的部分必須要通過(guò)這個(gè)過(guò)程：要有思想實(shí)驗(yàn)般的思考，同時(shí)要有哲學(xué)的思想，還有數(shù)學(xué)的思維。廣義相對(duì)論的這個(gè)方程，通過(guò)一百年的觀察，基本上都是正確的。愛(ài)因斯坦跟希爾伯特互相競(jìng)爭(zhēng)，也互相幫忙。1915年，二人相遇。他們之間的討論激發(fā)了兩人的靈感并促成了廣義相對(duì)論中愛(ài)因斯坦運(yùn)動(dòng)方程的誕生（希爾伯特發(fā)現(xiàn)了希爾伯特作用量，可以用來(lái)簡(jiǎn)潔地推導(dǎo)愛(ài)因斯坦方程，而愛(ài)因斯坦直接創(chuàng)建了這個(gè)方程）。數(shù)學(xué)家希爾伯特甚至比愛(ài)因斯坦更早地推導(dǎo)出了這個(gè)方程。愛(ài)因斯坦發(fā)覺(jué)他的方程可以用來(lái)解釋時(shí)空和物質(zhì)的分布是互相影響的，不像牛頓力學(xué)里面認(rèn)為的時(shí)空是固定的，時(shí)間和空間是沒(méi)有關(guān)系的。他發(fā)覺(jué)時(shí)空不停在改變。發(fā)現(xiàn)這些方程可以用來(lái)解釋光線偏折。在此過(guò)程中，愛(ài)因斯坦做出了一個(gè)基礎(chǔ)性的概念突破：不僅僅物質(zhì)的存在產(chǎn)生重力從而彎曲時(shí)空纖維，而且重力直接來(lái)源于時(shí)空的曲率。過(guò)了不到兩年，天文觀察證實(shí)了這個(gè)發(fā)現(xiàn)。1918年愛(ài)因斯坦因此一舉成名。這是一個(gè)劃時(shí)代的觀念上的大突破。愛(ài)因斯坦方程有很多不同的解，因?yàn)閻?ài)因斯坦在構(gòu)造這個(gè)方程的時(shí)候，他找到了方程，可是并沒(méi)有限定這個(gè)解的唯一性。這個(gè)解有它的邊界條件，有它的初始條件，這兩個(gè)條件愛(ài)因斯坦都沒(méi)有解決。不但不曉得，直到現(xiàn)在過(guò)了一百年以后，我們對(duì)這個(gè)問(wèn)題還是在辯論。愛(ài)因斯坦在1915年發(fā)現(xiàn)這個(gè)方程，不到一年，當(dāng)時(shí)正研究球形對(duì)稱星系如何影響重力的史瓦西（KarlSchwarzschild）發(fā)現(xiàn)愛(ài)因斯坦方程的一組解，這個(gè)解是球?qū)ΨQ的（史瓦西解可以應(yīng)用于單一球狀行星的天文研究）。史瓦西解讓愛(ài)因斯坦得以計(jì)算并觀察很多引力場(chǎng)的重力是怎么樣的。通過(guò)這個(gè)解，我們可以模擬太陽(yáng)系：行星的質(zhì)量遠(yuǎn)輕于太陽(yáng)，它們?cè)谑吠呶鲙缀卫锟梢员豢闯墒茄刂鴾y(cè)地線移動(dòng)的微粒。測(cè)地線可以通過(guò)計(jì)算得到，它們不必是閉合的圓周。例如水星的運(yùn)行軌道已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)是一個(gè)具有微小偏差的圓形軌跡，每世紀(jì)進(jìn)動(dòng)43秒。同時(shí)，史瓦西解還有助于推算光線彎曲度。正如愛(ài)因斯坦所預(yù)測(cè)的，太陽(yáng)產(chǎn)生的重力會(huì)改變時(shí)空的幾何。因此，從行星射向地球的光線在經(jīng)過(guò)太陽(yáng)附近時(shí)會(huì)產(chǎn)生彎曲。通過(guò)計(jì)算史瓦西幾何中的零測(cè)地線，可以推算光線的彎曲度。計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的吻合令人滿意。這是這一重力的新理論開(kāi)創(chuàng)初期所取得的重要成就之一。史瓦西解在今天依然重要，我們做全球定位GPS的時(shí)候，仍然要用到這個(gè)解。因?yàn)榈厍蚴且粋€(gè)重力場(chǎng)，我們的光線受到這個(gè)重力場(chǎng)的影響，假如不用這個(gè)解的話，算出來(lái)的結(jié)果不對(duì)。史瓦西解讓我們知道光線通過(guò)太陽(yáng)的引力場(chǎng)時(shí)會(huì)有偏差，這是很重要的成就。廣義相對(duì)論受到黎曼幾何發(fā)展的重要影響，反過(guò)來(lái)講，愛(ài)因斯坦所取得的巨大成功深刻影響了黎曼幾何的發(fā)展。在廣義相對(duì)論提出之后，幾何學(xué)家認(rèn)識(shí)到了愛(ài)因斯坦度量的美——特別是那些滿足真空愛(ài)因斯坦方程的度量。（三）廣義相對(duì)論反哺數(shù)學(xué)：規(guī)范場(chǎng)理論與卡魯扎的創(chuàng)意

卡魯扎發(fā)現(xiàn)，在四維空間里有效的理論，在拿走這些圓之后，通常是重力四維空間中的愛(ài)因斯坦方程的非真空解。這些圓創(chuàng)造了一種物質(zhì)，即電磁場(chǎng)。這絕對(duì)是一項(xiàng)驚人發(fā)現(xiàn)。為了進(jìn)一步說(shuō)明，我們應(yīng)該指出，在愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)理論之后，很多作者試圖去理解如何將麥克斯韋的電磁理論與愛(ài)因斯坦的重力理論統(tǒng)一起來(lái)。這項(xiàng)研究導(dǎo)致了幾何學(xué)與物理學(xué)的一些重要發(fā)展。由于麥克斯韋電磁學(xué)方程和重力場(chǎng)方程表面上看來(lái)并不接近，所以想要將它們統(tǒng)一起來(lái)，就要融合對(duì)于這兩個(gè)偉大的理論勢(shì)必產(chǎn)生的種種不同的建議，其中一個(gè)最重要的建議來(lái)自赫曼·外爾（HermannWeyl）。外爾受到列維·齊維塔（(Levi-Civita）和嘉當(dāng)（JosephCartan）的影響，成功地將麥克斯韋的電磁理論建立在規(guī)范場(chǎng)論基礎(chǔ)上。最初，外爾所用的不保持長(zhǎng)度的規(guī)范群受到愛(ài)因斯坦的否定。在他提出基本構(gòu)想的十年后，受到量子力學(xué)中相位理論的影響，外爾構(gòu)建完成了阿貝爾規(guī)范場(chǎng)理論。這在數(shù)學(xué)和物理中是一項(xiàng)根本性突破。在數(shù)學(xué)里，我們將規(guī)范場(chǎng)論稱為幾何學(xué)中的聯(lián)絡(luò)理論，它給出了向量沿著空間中封閉環(huán)路移動(dòng)的規(guī)則，這些向量可以通過(guò)很廣泛的方式來(lái)定義。規(guī)范場(chǎng)的理論在數(shù)學(xué)上其實(shí)是相當(dāng)普遍的理論，可是應(yīng)用到物理上以后，它變成重要的理論。因?yàn)樵跀?shù)學(xué)上，從嘉當(dāng)、霍普夫、惠特尼，他們就推廣了規(guī)范場(chǎng)的理論，他們提出了所謂的“向量叢”的觀念，他們認(rèn)為基本上，我們給空間中的每一點(diǎn)都賦予一個(gè)線性空間。這個(gè)附上的空間可以任意扭曲，正是這些扭曲給物理和幾何注入了新的觀點(diǎn)。向量叢被應(yīng)用于粒子物理學(xué)的量子化，其結(jié)果就是楊—米爾斯理論。在這個(gè)理論中楊振寧和米爾斯將外爾的理論一般化到更加廣泛的叢（從交換的規(guī)范群到非交換的規(guī)范群），到了以后，整個(gè)規(guī)范場(chǎng)理論是影響到整個(gè)高能物理的重要的結(jié)果?，F(xiàn)在，我們知道楊-米爾斯理論決定了自然界中所有基本力的相互作用。有意思的是，這個(gè)理論影響到了數(shù)學(xué)本身的發(fā)展，有助于理解四維流形幾何拓?fù)涞幕窘Y(jié)構(gòu)，其中就包括宇宙的幾何形態(tài)。西蒙·唐納森（SimonDonaldson）在這方面做了開(kāi)創(chuàng)性的工作，但四維空間的幾何構(gòu)造還遠(yuǎn)未被滲透。廣義相對(duì)論除了影響赫曼·外爾的規(guī)范場(chǎng)的理論以外，還產(chǎn)生了第二個(gè)很重要的理論。當(dāng)時(shí)愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論是四維空間，愛(ài)因斯坦其實(shí)很想從四維時(shí)空里面推導(dǎo)到電磁場(chǎng)，但是不知道如何做。1921年，德國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家卡魯扎（Kaluza）提出了將愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論推廣到五維時(shí)空的大膽設(shè)想。他提出，通過(guò)在四維空間的每個(gè)點(diǎn)附上一個(gè)圓，將愛(ài)因斯坦的工作平行推廣到五維時(shí)空。他根據(jù)愛(ài)因斯坦的理論來(lái)研究相應(yīng)的五維真空?？斣l(fā)現(xiàn)，在四維空間里有效的理論，在拿走這些圓之后，通常是重力四維空間中的愛(ài)因斯坦方程的非真空解。這些圓創(chuàng)造了一種物質(zhì)，即電磁場(chǎng)。這絕對(duì)是一項(xiàng)驚人發(fā)現(xiàn)?？巳R因隨后將這項(xiàng)理論向物理方向進(jìn)行了更深的發(fā)展。愛(ài)因斯坦也很欣賞這個(gè)理論。但不久之后，人們發(fā)現(xiàn)使用這項(xiàng)理論會(huì)創(chuàng)造出一種自然界尚未被觀察到的超重的標(biāo)量粒子。隨后這項(xiàng)理論就被物理學(xué)摒棄了。盡管如此，在四維的愛(ài)因斯坦時(shí)空中添加維度的想法很有創(chuàng)意。通過(guò)這種方法，當(dāng)時(shí)空是簡(jiǎn)單乘積，洛倫茲對(duì)稱的愛(ài)因斯坦度量可以約化為額外空間的愛(ài)因斯坦度量。雖然放棄了這個(gè)理論，但是這個(gè)理論很漂亮，所以有很多不停的改進(jìn)。在四維空間添加維度的想法，一直以來(lái)都在發(fā)展，這個(gè)理論以后發(fā)展成現(xiàn)在弦論里的四維空間。（四）卡拉比－丘流形的誕生

有了超對(duì)稱的這個(gè)觀念以后，我看卡拉比先生的問(wèn)題，和愛(ài)因斯坦的方程就容易得多了。最后我完成了卡拉比猜想，這個(gè)過(guò)程很不容易，因?yàn)槲倚枰⒁徽桌碚摶A(chǔ)。我記得當(dāng)我還是研究生時(shí)，愛(ài)因斯坦用時(shí)空幾何來(lái)替代重力的創(chuàng)見(jiàn)很令我著迷：在赤道上兩地，兩人同時(shí)朝北移動(dòng)，本以為是平行移動(dòng)的兩人，卻發(fā)現(xiàn)快到北極時(shí)，竟然越來(lái)越靠近對(duì)方，就像兩人之間有吸引力。這種吸引力的作用實(shí)際上來(lái)自于地球的正曲率。反之，若空間曲率為負(fù)，例如雙曲空間，兩人將漸行漸遠(yuǎn)，感受到排斥力。我對(duì)于尋找空間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)作用下真空愛(ài)因斯坦方程的解很感興趣。如愛(ài)因斯坦所說(shuō)，這樣的空間存在，并且拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)本身能夠產(chǎn)生重力。由于重力是由時(shí)空的完全曲率張量來(lái)表示，我們希望找到這樣一個(gè)具有非平凡曲率的真空。物質(zhì)可以僅用時(shí)空的部分曲率，即里奇曲率張量來(lái)描述。里奇張量在愛(ài)因斯坦方程里被用來(lái)描述物質(zhì)的分布。如果里奇張量為零，那這個(gè)時(shí)空就不存在物質(zhì)。所以我非常想要找到這樣一個(gè)里奇曲率為零同時(shí)又具有非平凡曲率的時(shí)空。找到這樣一個(gè)例子是我讀研究生時(shí)給自己定下的目標(biāo)。直到有一天，我在圖書(shū)館看書(shū)時(shí)發(fā)現(xiàn)一篇意大利幾何學(xué)家歐亨尼奧·卡拉比（EugenioCalabi）的論文，發(fā)現(xiàn)在我想到這個(gè)問(wèn)題的二十年前，卡拉比就已經(jīng)在思考完全不同條件下的類似問(wèn)題了?？ɡ鹊撵`感并不是來(lái)自廣義相對(duì)論。他所感興趣的問(wèn)題是復(fù)數(shù)域的幾何。我很興奮，因?yàn)槲矣X(jué)得卡拉比這個(gè)問(wèn)題會(huì)幫助我解決剛才廣義相對(duì)論的問(wèn)題，找到那個(gè)沒(méi)有物質(zhì)的真空。黎曼球面的高維推廣、龐加萊度量在高維流形的推廣滿足愛(ài)因斯坦方程。同時(shí)，它也表現(xiàn)出某種內(nèi)在的對(duì)稱，我們現(xiàn)在稱之為超對(duì)稱。這是一個(gè)很奇妙的對(duì)稱，到現(xiàn)在實(shí)驗(yàn)室還沒(méi)有找到，可是超對(duì)稱在這四十年來(lái)對(duì)物理理論有很重要的影響，很多重要的理論都是通過(guò)超對(duì)稱來(lái)了解的。令我驚訝的是，卡拉比的觀點(diǎn)給了一種簡(jiǎn)單的將完整而復(fù)雜的愛(ài)因斯坦方程約化為復(fù)流形上更簡(jiǎn)潔的數(shù)量方程的方法。這出個(gè)方程是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的非線性方程，我們稱之為蒙日—安培方程（Monge-Ampereequation）?？ɡ炔聹y(cè)這個(gè)方程總是可解。在相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間里，沒(méi)有人知道該怎樣處理這類非線性方程，無(wú)論是在一般空間還是彎曲空間中。連一個(gè)例子都沒(méi)有被發(fā)現(xiàn)。因此大部分人不相信卡拉比猜想是正確的，包括當(dāng)時(shí)所有的年輕幾何學(xué)家，也包括我。有了超對(duì)稱的這個(gè)觀念以后，我看卡拉比先生的問(wèn)題，和愛(ài)因斯坦的方程就容易得多了。最后我完成了卡拉比猜想，這個(gè)過(guò)程很不容易，因?yàn)槲倚枰⒁徽桌碚摶A(chǔ)。這一學(xué)科最終被稱為幾何分析，很多朋友都參與了這一學(xué)科的開(kāi)創(chuàng)。他們是理查德·舍恩（RichardSchoen）、鄭紹遠(yuǎn)、利昂·西蒙（LeonSimon）、凱倫·烏倫貝克（KarenUhlenbeck）、理查德·漢密爾頓（RichardHamilton），以及之后的克里夫·陶布斯（CliffordHTaubes）和西蒙·唐納森。他們都是一流的學(xué)者，還兼研究其他重要的學(xué)科。幾何分析學(xué)科的建立是過(guò)去四十年來(lái)幾何學(xué)中非常重要的發(fā)展，我有幸親身參與了很多發(fā)展。盡管如此，在1984年之前，我?guī)缀醪恢肋@些發(fā)展能和物理的弦論聯(lián)系起來(lái)。由于舍恩和我在廣義相對(duì)論上的研究進(jìn)展，我和物理學(xué)家有了相當(dāng)多的交流。1982年，當(dāng)時(shí)我在普林斯頓高等研究院任教時(shí)，加里·霍洛維茨（GaryHorowitz）成為了我的博士后。我的學(xué)生都對(duì)我的解有興趣，但是與之后認(rèn)識(shí)的安迪·斯特羅明格（AndyStrominger）和愛(ài)德華·威滕（EdwardWitten）一起討論數(shù)學(xué)和物理的聯(lián)系時(shí)，我會(huì)向他們提到我應(yīng)用卡拉比猜想構(gòu)造愛(ài)因斯坦度量，他們似乎沒(méi)有對(duì)此表現(xiàn)出什么興趣。1984年的一天，我去圣地亞哥與太太團(tuán)聚。正在欣賞美麗的海景時(shí)，我接到了安迪·斯特羅明格和加里·霍洛維茨的電話。他們很興奮地告訴我，一個(gè)被稱為弦論的關(guān)于量子引力的新理論被發(fā)現(xiàn)了。在這個(gè)理論里，粒子表示為時(shí)空中微小的振動(dòng)的弦。為了使這一理論與量子力學(xué)相容，這個(gè)理論要求時(shí)空是十維的。他們提議建立一個(gè)十維時(shí)空模型——將四維時(shí)空乘上一個(gè)微小的六維空間。這個(gè)六維空間非常微小，以至于肉眼無(wú)法觀測(cè)，而這個(gè)十維空間在普通人看來(lái)就呈現(xiàn)為四維時(shí)空。這個(gè)六維空間需要滿足愛(ài)因斯坦方程，同時(shí)他們希望這個(gè)時(shí)空具有對(duì)稱性，從而使得量子場(chǎng)論更完美。額外的超對(duì)稱伴隨著一類卡拉比和我研究過(guò)的六維流形，而我已經(jīng)證明了它的存在。我的朋友急切地想要知道這樣的流形是否存在，至少在數(shù)學(xué)上是否正確。當(dāng)我告訴他們這樣的流形確實(shí)存在而且很多時(shí)，他們著實(shí)地感到興奮。之后，坎德拉（Candelas），霍洛維茨，斯特羅明格和威滕等四位作者寫了一篇革命性的論文。他們將弦論中的六維空間稱為卡拉比—丘（Calabi—Yau）流形。這些空間成為過(guò)去的三十年中數(shù)學(xué)和物理研究中非常熱門的主題。數(shù)學(xué)為物理提供了一個(gè)非常重要的平臺(tái)，同時(shí)物理的直覺(jué)靈感推動(dòng)數(shù)學(xué)前進(jìn)。弦論還遠(yuǎn)未被證明是正確的還是錯(cuò)誤的。另一方面，由弦論所激發(fā)的數(shù)學(xué)卻是正確和漂亮的。一些非常重要的數(shù)學(xué)公開(kāi)問(wèn)題就是由于弦論所激發(fā)的靈感得以解決。它們可以建立在嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論上。由此，數(shù)學(xué)為驗(yàn)證由弦論所激發(fā)出的構(gòu)想是否正確——或至少是否自洽，提供了一種方式。不容置疑的是那些結(jié)果在數(shù)學(xué)上都是正確的。雖然這很振奮人心，但還仍然沒(méi)有能夠證明弦論是統(tǒng)一自然的理論。二十世紀(jì)物理學(xué)的兩大支柱毫無(wú)疑問(wèn)是量子力學(xué)和廣義相對(duì)論。廣義相對(duì)論比量子力學(xué)的基礎(chǔ)來(lái)的扎實(shí)，比量子力學(xué)重要，但在應(yīng)用上不如量子力學(xué)，主要的原因我想是因?yàn)閺V義相對(duì)論里面的方程是非線性方程，解這個(gè)方程比較困難。量子力學(xué)進(jìn)展神速，在短時(shí)間內(nèi)，就在實(shí)驗(yàn)室里驗(yàn)證出各種重要的現(xiàn)象，對(duì)于粒子物理、化學(xué)、通信技術(shù)，乃至現(xiàn)代工業(yè)的一切進(jìn)展都有奠基性的貢獻(xiàn)。這里有幾個(gè)原因，它有不斷的實(shí)驗(yàn)的支持，從實(shí)驗(yàn)室觀察到新的現(xiàn)象，不但可以驗(yàn)證和修訂現(xiàn)存的理論，還可以引導(dǎo)物理學(xué)家提出新的學(xué)說(shuō)。在觀察現(xiàn)象時(shí)，它所需要的數(shù)學(xué)比較簡(jiǎn)單，它的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是線性分析，而這些基礎(chǔ)很多已經(jīng)由希爾伯特提出的無(wú)限維空間的譜分析提供。至于進(jìn)一步的規(guī)范場(chǎng)理論由外爾提出時(shí)還是比