8.4.2空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系學習目標1.了解空間兩直線間的位置關(guān)系.2.理解空間直線與平面的位置關(guān)系.3.掌握空間平面與平面的位置關(guān)系.知識點一空間兩直線的位置關(guān)系1.異面直線(1)定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線.(2)異面直線的畫法(襯托平面法)如圖①②③所示，為了表示異面直線不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面來襯托.(3)判斷兩直線為異面直線的方法①定義法；②兩直線既不平行也不相交.2.空間兩條直線的三種位置關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線：在同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點,平行直線：在同一平面內(nèi)，沒有公共點)),異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點))知識點二直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點有無數(shù)個公共點只有1個公共點沒有公共點符合表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示知識點三平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交公共點沒有公共點有無數(shù)個公共點(在一條直線上)符號表示α∥βα∩β＝l圖形表示思考平面平行有傳遞性嗎？答案有若α，β，γ為三個不重合的平面，且α∥β，β∥γ，則α∥γ.1.分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線.(×)2.兩條直線無公共點，則這兩條直線平行.(×)3.若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)，則l∥α.(×)4.若兩個平面都平行于同一條直線，則這兩個平面平行.(×)一、兩直線位置關(guān)系的判定例1如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，(1)直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是________；(2)直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是________；(3)直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是________；(4)直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是________.答案(1)平行(2)異面(3)相交(4)異面解析(1)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四邊形A1BCD1為平行四邊形，∴A1B∥D1C.(2)直線A1B與直線B1C不同在任何一個平面內(nèi).(3)直線D1D與直線D1C相交于點D1.(4)直線AB與直線B1C不同在任何一個平面內(nèi).反思感悟判斷空間兩條直線位置關(guān)系的決竅(1)建立空間觀念全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關(guān)系，特別關(guān)注異面直線.(2)重視長方體、正方體等常見幾何體模型的應用，會舉例說明兩條直線的位置關(guān)系.跟蹤訓練1若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是()A.平行 B.異面C.相交 D.平行、相交或異面答案D解析可借助長方體來判斷.如圖，在長方體ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直線為a，AB所在直線為b，已知a和b是異面直線，b和c是異面直線，則c可以是長方體ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或異面.二、直線與平面的位置關(guān)系例2(1)若直線上有一點在平面外，則下列結(jié)論正確的是()A.直線上所有的點都在平面外B.直線上有無數(shù)多個點都在平面外C.直線上有無數(shù)多個點都在平面內(nèi)D.直線上至少有一個點在平面內(nèi)(2)下列命題中正確的個數(shù)是()①如果a，b是兩條直線，a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何一個平面；②如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與平面α內(nèi)的任何一條直線平行；③如果直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α.A.0B.1C.2D.3答案(1)B(2)B解析(1)直線上有一點在平面外，則直線不在平面內(nèi)，故直線上有無數(shù)多個點在平面外.(2)如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在過BB′的平面ABB′A′內(nèi)，故命題①不正確；AA′∥平面BCC′B′，BC?平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命題②不正確；假設(shè)b與α相交，因為a∥b，所以a與α相交，這與a∥α矛盾，故b∥α，即命題③正確.故選B.反思感悟在判斷直線與平面的位置關(guān)系時，三種情形都要考慮到，避免疏忽或遺漏，另外，我們可以借助空間幾何圖形，把要判斷關(guān)系的直線、平面放在某些具體的空間圖形中，便于作出正確判斷，避免憑空臆斷.跟蹤訓練2下列說法：①若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則l∥α；②若直線a在平面α外，則a∥α；③若直線a∥b，b?α，那么直線a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線.其中正確的個數(shù)為()A.0B.1C.2D.3答案B解析對于①，∵直線l雖與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，但l有可能在平面α內(nèi)，∴l(xiāng)不一定平行于α，①錯誤；對于②，∵直線a在平面α外包括兩種情況：a∥α和a與α相交，∴a和α不一定平行，②錯誤；對于③，∵a∥b，b?α，那么a?α或a∥α，a與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線平行，③正確.三、平面與平面的位置關(guān)系例3在以下三個命題中，正確的命題是()①平面α內(nèi)有兩條直線和平面β平行，那么這兩個平面平行；②平面α內(nèi)有無數(shù)條直線和平面β平行，則α與β平行；③在平面α，β內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么這兩個平面平行或相交.A.①②B.②③C.③D.①③答案C解析如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，對于①，平面AA1D1D中，AD∥平面A1B1C1D1，分別取AA1，DD1的中點E，F(xiàn)，連接EF，則EF∥平面A1B1C1D1，但平面AA1D1D與平面A1B1C1D1是相交的，交線為A1D1，故命題①錯；對于②，平面AA1D1D中，與平面A1B1C1D1平行的直線有無數(shù)條，但平面AA1D1D與平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直線A1D1，故命題②錯.命題③是正確的.反思感悟利用正方體(或長方體)這個“百寶箱”能有效地判斷與兩個平面的位置關(guān)系有關(guān)命題的真假，另外先假設(shè)所給定的結(jié)論成立，看是否能推出矛盾，也是一種判斷兩平面位置關(guān)系的有效方法.跟蹤訓練3已知兩平面α，β平行，且a?α，下列四個命題：①a與β內(nèi)的所有直線平行；②a與β內(nèi)無數(shù)條直線平行；③直線a與β內(nèi)任何一條直線都不垂直；④a與β無公共點.其中正確命題的個數(shù)是()A.1B.2C.3D.4答案B解析①中a不能與β內(nèi)的所有直線平行而是與無數(shù)條直線平行，有一些是異面，故①錯誤；②正確；③中直線a與β內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，故③錯誤；④根據(jù)定義a與β無公共點，故④正確.1.如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內(nèi)的(請選擇最貼切的)()A.一條直線不相交 B.兩條直線不相交C.無數(shù)條直線不相交 D.任意一條直線不相交答案D解析直線a∥平面α，則a與α無公共點，a與α內(nèi)的直線均不相交.2.與兩個相交平面的交線平行的直線和這兩個平面的位置關(guān)系是()A.都平行B.都相交C.在兩個平面內(nèi)D.至少與其中一個平面平行答案D解析這條直線與兩個平面的交線平行，有兩種情形，其一是分別與這兩個平面平行，其二是在一個平面內(nèi)且平行于另一個平面，符合至少與一個平面平行.3.下列命題中，正確的有()①平行于同一直線的兩條直線平行；②平行于同一條直線的兩個平面平行；③平行于同一個平面的兩個平面平行.A.0個 B.1個C.2個 D.3個答案C4.過平面外兩點作該平面的平行平面，可以作()A.0個 B.1個C.0個或1個 D.1個或2個答案C解析平面外兩點的連線與已知平面的位置關(guān)系有兩種情況：①直線與平面相交，可以作0個平行平面；②直線與平面平行，可以作1個平行平面.5.下列命題：①兩個平面有無數(shù)個公共點，則這兩個平面重合；②若l，m是異面直線，l∥α，m∥β，則α∥β.其中錯誤命題的序號為________.答案①②解析對于①，兩個平面相交，則有一條交線，也有無數(shù)多個公共點，故①錯誤；對于②，借助于正方體ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB與B1C1異面，而平面DCC1D1與平面AA1D1D相交，故②錯誤.1.知識清單：(1)兩直線的位置關(guān)系.(2)直線與平面的位置關(guān)系.(3)平面與平面的位置關(guān)系.2.方法歸納：舉反例、特例.3.常見誤區(qū)：異面直線的判斷.1.若空間兩條直線a和b沒有公共點，則a與b的位置關(guān)系是()A.共面 B.平行C.異面 D.平行或異面答案D解析若直線a和b共面，則由題意可知a∥b；若a和b不共面，則由題意可知a與b是異面直線.2.與同一平面平行的兩條直線()A.平行 B.相交C.異面 D.平行、相交或異面答案D解析與同一平面平行的兩條直線的位置關(guān)系有三種情況：平行、相交或異面.3.棱柱的一條側(cè)棱所在的直線與不含這條側(cè)棱的側(cè)面所在平面的位置關(guān)系是()A.平行 B.相交C.平行或相交 D.無法確定答案A4.長方體的一條體對角線與長方體的棱所組成的異面直線有()A.2對B.3對C.6對D.12對答案C解析如圖所示，在長方體中沒有與體對角線平行的棱，要求與長方體體對角線AC1異面的棱所在的直線，只要去掉與AC1相交的六條棱，其余的都與體對角線異面，∴與AC1異面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴長方體的一條體對角線與長方體的棱所組成的異面直線有6對，故選C.5.(多選)以下四個命題中正確的有()A.三個平面最多可以把空間分成八部分B.若直線a?平面α，直線b?平面β，則“a與b相交”與“α與β相交”等價C.若α∩β＝l，直線a?平面α，直線b?平面β，且a∩b＝P，則P∈lD.若n條直線中任意兩條共面，則它們共面答案AC解析對于A，正確；對于B，逆推“α與β相交”推不出“a與b相交”，也可能a∥b，故B錯誤；對于C，正確；對于D，反例：正方體的側(cè)棱任意兩條都共面，但這4條側(cè)棱卻不共面，故D錯誤.所以正確的是AC.6.若點A∈α，B?α，C?α，則平面ABC與平面α的位置關(guān)系是________.答案相交解析∵點A∈α，B?α，C?α，∴平面ABC與平面α有公共點，且不重合，∴平面ABC與平面α的位置關(guān)系是相交.7.如果空間的三個平面兩兩相交，則下列判斷正確的是________(填序號).①不可能只有兩條交線；②必相交于一點；③必相交于一條直線；④必相交于三條平行線.答案①解析空間的三個平面兩兩相交，可能只有一條交線，也可能有三條交線，這三條交線可能交于一點.8.在下列圖中，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________.(填上所有正確答案的序號)答案②④解析題圖①中，GH∥MN；題圖②中，G，H，N三點共面，但M?平面GHN，所以GH與MN異面；題圖③中，連接GM，則GM∥HN，所以GH與MN共面；題圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，所以GH與MN異面.9.如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，直線B1D1與長方體的六個面之間的位置關(guān)系如何？解B1D1在平面A1C1內(nèi)，B1D1與平面BC1，平面AB1，平面AD1，平面CD1都相交，B1D1與平面AC平行.10.如圖，平面α，β，γ滿足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判斷a與b，a與β的位置關(guān)系并證明你的結(jié)論.解a∥b，a∥β.證明如下：由α∩γ＝a知a?α且a?γ，由β∩γ＝b知b?β且b?γ，∵α∥β，a?α，b?β，∴a，b無公共點.又∵a?γ且b?γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α與β無公共點.又a?α，∴a與β無公共點，∴a∥β.11.三棱臺的一條側(cè)棱所在直線與其對面所在的平面之間的關(guān)系是()A.相交 B.平行C.直線在平面內(nèi) D.平行或直線在平面內(nèi)答案A解析延長各側(cè)棱可恢復成棱錐的形狀，所以三棱臺的一條側(cè)棱所在直線與其對面所在的平面相交.12.若平面α與β的公共點多于兩個，則()A.α，β可能只有三個公共點B.α，β可能有無數(shù)個公共點，但這無數(shù)個公共點不在一條直線上C.α，β一定有無數(shù)個公共點D.以上均不正確答案C解析若平面α與β的公共點多于兩個，則平面α與β相交或重合，故C項正確.13.在四棱錐P－ABCD中，各棱所在的直線互相異面的有________對.答案8解析以底邊所在直線為準進行考察，因為四邊形ABCD是平面圖形，4條邊在同一平面內(nèi)，不可能組成異面直線，而每一邊所在直線能與2條側(cè)棱所在直線組成2對異面直線，所以共有4×2＝8(對)異面直線.14.已知下列說法：①若兩個平面α∥β，a?α，b?β，則a∥b；②若兩個平面α∥β，a?α，b?β，則a與b是異面直線；③若兩個平面α∥β，a?α，b?β，則a與b平行或異面；④若兩個平面α∩β＝b，a?α，則a與β一定相交.其中正確的序號是____________.答案③解析①錯，a與b也可能異面；②錯，a與b也可能平行；③正確，∵α∥β，∴α與β無公共點，又∵a?α，b?β，∴a與b無公共點，那么a∥b或a與b異面；④錯，a與β也可能平行.

15.如圖是一個正方體的展開圖，則在原正方體中()A.AB∥CD B.AD∥EFC.CD∥GH D.AB∥GH答案C解析把正方體的展開圖還原成正方體，得到如圖所示的正方體，由正方體性質(zhì)得，AB與CD相交，AD與EF異面，CD與GH平行，AB與GH異面.16.如圖，已知平面