含參變量無窮積分的一致收斂性論文摘要：本文通過含參變量無窮積分與函數(shù)級數(shù)之間的關(guān)系，歸納總結(jié)了含參變量無窮積分的一致收斂性的判別法(柯西一致收斂準(zhǔn)則、魏爾斯特拉斯判別法、狄利克雷判別法等)及其性質(zhì).關(guān)鍵詞：含參變量無窮積分一致收斂判別法無窮積分ff(x)dx與級數(shù)黨u的斂散概念、斂散判別法及其性質(zhì)基本上是nanT平行的，不難想到，含參變量無窮積分ff(x,y)dx與函數(shù)級數(shù)芝u(x)之間亦應(yīng)nanT如此，為了討論函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)的分析性質(zhì)，我們在收斂區(qū)域I上提出了更高的要求，引進(jìn)了一致收斂的概念，同樣，在討論含參變量無窮積分所確定的函數(shù)的分析性質(zhì)時，一致收斂同樣也起著重要的作用.因此，含參變量無窮積分的一致收斂性是《數(shù)學(xué)分析》中非常重要的知識點，也是學(xué)生不容易掌握的難點，從而我試著類比、總結(jié)得出含參變量無窮積分的一致收斂性的判別法及其性質(zhì)，以便使學(xué)生對此有一個更為系統(tǒng)和深刻的了解.1.含參變量無窮積分一致收斂的判別法我們很自然的可以想到運用定義來證明.定義設(shè)vye區(qū)間I，無窮積分ff(x,y)dx收斂，若V8>0,處(通a用)>。/VA>A,有|ff(x,y)dx-ff(x,y)dx|=|jf(x,y)dxI<8，則稱無窮積分aaA

ffG,y)dx在區(qū)間I一至攵收斂.a用定義證明一致收斂的關(guān)鍵在于尋找只與￡有關(guān)的共同的％,方法常常是采取適當(dāng)放大的方法.例1[1]證明：無窮積分fye-xydx在區(qū)間[a,+8](a>0)—致收斂，而在0(0,+8)上非一致攵收斂.證明Vy日證明Vy日0,+8),jys-xydx令t=xyA-tdtAyTOC\o"1-5"\h\zln上ln—對Vs>0,解不等式e-Ay<8,有A>W，取A0=一豈，則VA>A0,有jye-xydx<s，因此，了ye-xydx在(0,+8)是收斂的，但不能斷定是一致收斂AA的，因為我們所找到的A0不僅跟8有關(guān)，而且與ye(0,+8)有關(guān).事實上，fye-xydx在ye(0,+8)是非一致收斂的，只需取e=_1,VA>0,2eA取A，=2A>A,y=—e2A(0,+Q，則jye-xy'dx=e-Ay'=e-1>8，但fye-xydx在A[a,+8)—致收斂(其中a>0)，由不等式：y>a，有e-Ay<e-Aa,解不等式e~Aa<8,Inln—有A>《’于是取A°=y,A>A0時’對一切yeW'有jye-xydx=Ae取A，=2A>A,y=—e2Ajye-xydx=Ae-Ay<e-Aa<8,所以，A此題中，我們還可以計算出fye-xydx在(0,+8)上的收斂值.事實上，對任意0ye(0*，都有jye-xydx=1-e-,，0所以，limjye-xydx=lim(1-e-y&)=1,&T+80即fye-Xydx在(0,+8)收斂于1.0定理1以(柯西一致收斂準(zhǔn)則)無窮積分ff(x,y)dx在區(qū)間I一致收斂a=*>0,3氣>0,"1>A0與氣>土小e1,有A2j/(x,y)dx<e.A1定理2b](魏爾斯特拉斯M判別法)若3B>0,Vx>B,VyeI，有/(x,y)<F(x,y),且無窮積分fFG,y認(rèn)收斂，則無窮積分+8/(x,y認(rèn)在區(qū)間I一致收斂.aa該定理是判別某些無窮積分一致收斂性的很簡便的判別法，但這種方法有一定的局限性：凡能用定理2判別無窮積分是一致收斂，此無窮積分必然是絕對收斂；如果無窮積分時候一致收斂，同時又是條件收斂，那么就不能用定理2來判別。對于這種情況，我介紹如下定理：定理3以若函數(shù)/(x,y)在區(qū)間D(a<xV+8,yeI),(a>0)連續(xù)，且F(x,y)=j/(t,y)dt在D有界，即3C>0,V(x,y)eD,a有|F(x,y)|=x/(t,y)dt<c，則當(dāng)人>0時，無窮積分?f(x,y)dx.x人aa在區(qū)間I一致收斂.例2證明：無窮積分fe-xy業(yè)dx在區(qū)間［0,+8)一致收斂。證明只需注意：令F(尤,y)=Xe一ysintdt,1V(x,y)eD(1<x<+8,0<y<+8)有|F(x,y)|V)y)e-y—0(y—+8)-1+y2類似于魏爾斯特拉斯M判別法有如下定理：定理4［打設(shè)fg(x,y)dx在區(qū)間I一致收斂，有存在L>0，使當(dāng)x>a與yeIa時，恒有If(X,y)<Lg(X,y)成立，且當(dāng)&>a時，對任意yeI,f(x,y)均關(guān)于x在偵&］上可積，則fg(x,y)dx關(guān)于時y在I一致收斂且絕對收斂.a例3設(shè)a>0,p>1,又存在L>0，使當(dāng)x>a,yeI時，恒有|f(x,y)<—xp成立，且當(dāng)&*時，對任意yeI,f(x,y)均關(guān)于x在偵&】上可積，試證ff(x,y)dxa在區(qū)間I上一致收斂且絕對收斂.證明只需注意此時J_!dx收斂即可.xpa關(guān)于含參量無窮積分一致收斂性與函數(shù)項級數(shù)一致收斂之間的聯(lián)系有下述定理：定理5田含參量無窮積分ff(x,yd在區(qū)間I上一致收斂的充要條件是：對a任一趨于+8的遞增數(shù)列'(其中A=c)，函數(shù)項級數(shù)￡A［1f(x,y)dx=￡u(y)n1nn=1an=1n在區(qū)間I上一致收斂.在知道無窮積分ff(x,yd關(guān)于y在區(qū)間I上的收斂值中(y)時，可應(yīng)用下述a定理：定理6[4]ff(x,yy)dx關(guān)于y在區(qū)間I上一致收斂于中(y)的充要條件是limSuplimSup&T+3ff(X,y)dxf(y)例4判斷f―y—dx關(guān)于y在［c,+8),(c>0)上和(0,+8)內(nèi)的一致收斂性.1+x2y20解顯然+fydx關(guān)于y在(0,+8)內(nèi)收斂于1.TOC\o"1-5"\h\z1+x2y220fyz兀.、limSup&T+3Jdx一一:y>limSup&T+31+x2y220兀I兀一limSup〈一-arctany&:y>c>一lim(一一arctancg)=0，而&T+8I2I&T+82fy，兀八limSup&T+3Jdx一一:limSup&T+31+x2y220|兀|兀兀一limSup^—-arctany^:y>0>一lim—=—…12I…22由定理6,得子ydx關(guān)于y在[0,+8)上一至攵收斂于1，在(0,+8)內(nèi)非一至攵收1+x2y220斂.定?7[4]ff(x,y)dx關(guān)于y在區(qū)間I上一至攵收斂于4(y)的充要條件是:對任a%f(x,y)dx-4(y)=0.n意I'limf=+8,"}:ygI(%f(x,y)dx-4(y)=0.n例5試證于ydx關(guān)于y在(0,+8)內(nèi)非一至攵收斂.(x+y)21證明顯然fydx關(guān)于y在(0,+8)內(nèi)收斂于工.(x+y)21+y1取f=n,y=n(n=L2，…'貝"limf=+8,yg(0,+8)(n=1,2,…)，但是nnnT+8nn

limT^?dxlimT^?dx-七n—s(X+y)21+y1nn=limn—sy

n—1+yn=lim1=n—s由定理7,fydx關(guān)于y在(0,+s)內(nèi)非一致收斂.1\X+y)2與函數(shù)項級數(shù)相應(yīng)的判別法相仿，有a定理8(狄利克雷判別法)設(shè)(i)對一切實數(shù)N>0，含參變量無窮積分ff(X,y)dxc對參變量y在a,。］上一致攵有界，即存在正數(shù)M，對一切N>c及一切y6偵b］，都有NfG,y)dx<M；c(ii)對每一個ye￡b］,函數(shù)g(x,y)關(guān)于x是單調(diào)遞減且當(dāng)x—+s時，對參變量y,g(x,y)一致地收斂于0,則含參變量無窮積分ff(x,y)g(x,y)dxc在偵b］上一至攵收斂.定理9(阿貝爾判別法)設(shè)(i)ff(x,y^x在la,b］上一致收斂；c(ii)對每一個ye￡b］,函數(shù)g(x,y)為x的單調(diào)函數(shù)，且對參變量y,g(x,y)在a,b］上一致有界，則含參變量無窮積分ff（X,y）g（X,y）dxc在a,混上一至攵收斂.例6證明含參變量無窮積分+［e-xy業(yè)dx在kd］上一致收斂.X0證明由于無窮積分+fsinxdx收斂，（當(dāng)然，對于參變量y，它在kd］一致x0收斂），函數(shù)g（X,y）=e-xy對每一個xeb,d］單調(diào)，且對任何0<y<d,x>0,都有|g（x,y^=|e-xy<1,故由阿貝爾判別法即得含參變量無窮積分L-xy也dx在kd］上一致收斂.x0定理10［4］設(shè)對任意&>a,jf（x,）dx均關(guān)于y在c點左（或右）連續(xù)，a但于f（x,〉dx發(fā)散，則對任意門〉0,ff（x,y認(rèn)關(guān)于卜在^f,c（或（c,頃））yaa在（c-門,c）（或（c,c+門））內(nèi)非一致收斂.推論設(shè)存在門>0,使f（x,y）在Cx,y）:x>a,c-門<y<c（或c<y<c+氣）｝上連續(xù)，但ff（x,c）dx發(fā)散，則對任意門〉0,ff（x,y）dx關(guān)于ay在（c-門,c）（或（c,c+n））內(nèi)非一致收斂.證明對任意&>a,由已知及含參變量無窮積分的性質(zhì)，jf（x,y）dx都關(guān)a于y在（c-n0］（或［c,c+氣））上連續(xù)，當(dāng)然在點左（或右）連續(xù)，再由已知及定理10,對任意門〉0,+jf（x,y^dx關(guān)于y在（c-n,c）（或（c,c+n））內(nèi)非一致收斂.例7試證：對任意門>0,土竺京關(guān)于a在(1,1+門)內(nèi)非一致收斂.xa1證明由于*在｛G,疽:x>1,a>1｝上連續(xù)，但xa+^1^°^dx發(fā)散，由本推論，易得x1對任意門>0，jcosxdx關(guān)于a在(1,1+門)內(nèi)非一致攵收斂.xa1定理11［4］設(shè)ff(尤,y)dx關(guān)于j在C,d］上收斂于My),My)在C,d］上連a續(xù)，又fG,y)在b,y):x>a,c<y<d｝上連續(xù)，且恒有fG,y)>(或&成立，則+ff(x,y)dx關(guān)于y在區(qū)間C,d］上一致攵收斂于My).a例8試證fdx關(guān)于、在(1,+8)上一致收斂于工.xlnsxs-1e證明顯然』_^匚關(guān)于s在(1,+8)上收斂于上，上在(1,+8)內(nèi)連續(xù)，xlnsxs-1s-1e又1在b,y):x>e,s>1｝上連續(xù)且恒正，由定理11得xlnsx?d關(guān)于s在G,+8)上一致收斂于上.xlnsxs-1e定理12設(shè)當(dāng)x>a和yeI時，恒有f(x,y)<g(x,y)<h(x,y)成立，且ff(x,y)dx與fhG,y)dx均關(guān)于y在區(qū)間I上一致收斂于My)，則aafg(x,y認(rèn)關(guān)于y在區(qū)間I上一致收斂于My).aE明對任意&>a和yeI，都有jf(,y)dx<fg(x,y)dx<fh(x,y)dx.aaa因此，不難得出結(jié)論.本定理與數(shù)列收斂的判別法中兩邊夾定理如出一轍，故我將其稱之為兩邊夾定理.2.含參變量無窮積分一致收斂的性質(zhì)和函數(shù)項級數(shù)類似的，含參變量無窮積分也具有如下三條性質(zhì)定理，故證明過程從略.定理13(連續(xù)性)若函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D(a<x<+8,h<y<P)連續(xù)，且無窮積分甲(y)=ff(x,y)dx在區(qū)間h,p］一致收斂，則函數(shù)中(y)在區(qū)間h,p］連續(xù)，a且limffQy)dx=flimfQy)dx-~y0aa~y0定理14(可微性)若函數(shù)f(x,y)與f(x,y)在區(qū)域D(a<x<+8,h<y<P)連續(xù)，且無窮積分甲(y)=Jf(x,y)dx在區(qū)間h,P］收斂且無窮積分ap(y)=ff(x,y認(rèn)在區(qū)間h,p］一致收斂，則函數(shù)My)在區(qū)間h,p］可導(dǎo)，且a中，(y)=ff(x,y)dx，即ya—+ff(x,y)dx=fgf(x,y)dxdydyaa簡稱積分號下可微分.定理15(可積性)若函數(shù)f(x,y)與在區(qū)域D(a<x<+8,以<y<P)連續(xù)，且無窮積分甲(y)=ff(x,yM在區(qū)間h,⑶一致收斂，則函數(shù)My)在區(qū)間h,p］可積，且fp(y^dy=fdxff(X,y)dy，即aaa"Tdxffdyff(x,y)dx=aaaa定理13、14分別表明：在一致收斂的條件下，極限運算、求導(dǎo)運算和積分運算可以交換；定理15表明在一致收斂的條件下，積分順序可以交換。這三個定理在計算含參變量無窮積分上有極其廣泛的應(yīng)用."Tdxf例9計算I。)=fe-x2-e-a2dx(a>0)x0，fG,a)=xe-ax2，解法一⑸設(shè)f(x,a)="-2一f2因為Va>0，有e-x2—e-ax2TOC\o"1-5"\h\zlim=0,xT0+x所以，函數(shù)f(x,a)=e-x2-在(x,0)可連續(xù)開拓。使f(x,a)與f,G,a)在區(qū)域D(0<x<+8,0<a<+8)連續(xù)，Va>0,3e>0(￡<1)與5>1，使aeJ,s]，無窮積分+88e-x2—e-ax2+8()dx=xe-ax2dx8，fG,a)=xe-ax2，事實上，Vae",5]，有xe-ax2<xe-&2,已知+8xe-wdx收斂，則+8xe-ax2dx在",5]一致收斂.00根據(jù)定理14，Vae",5],有If(a)=fg(g-X2-g-aX2)dx=+fxe-ax2dx=-—e-adax2a00從而I(a)=f四=1lna+C.令a=1,已知IG)=0，有2a2lG)=1ln1+C=0，因此，C=0,2于是，Va>0,有I(a)=1lna2.解法二[6]由于exeax=jxe-tx2dt/所以x1I(a)=+[dxjxe-tx2dt.01記f(x,t)=xe-tx2，貝U102a+3f(x,t)在h+Qx1,a](或h+Qxla,1])上連續(xù)，且fxe-tx2dx對一切te1，a】(或0tea,1］)上一致收斂，所以由定理15,得I(a)=j