向量的定義和計(jì)算亓…一?..M.M一尸，.一設(shè)物體在常力F的作用下沿直線從點(diǎn)1移到點(diǎn)2，用'表示位移向量"1吃，力F在位移方向^上的分力大小為FC0S七力F所作的功為：w=F-r-cos0拋開(kāi)這一問(wèn)題的物理背景，我們可以給出一般地向量的數(shù)量積定義:—?設(shè)ab是兩向量，且它們之間的夾角為0，稱數(shù)量a-bcos0一拋開(kāi)這一問(wèn)題的物理背景，我們可以給出一般地向量的數(shù)量積定義:—?設(shè)ab是兩向量，且它們之間的夾角為0，稱數(shù)量a-bcos0一r為向量ab的數(shù)量積，并記作a-bcos0注明：記號(hào)a-b又可稱之為“a點(diǎn)乘.b”據(jù)此定義，上例所求的功w實(shí)際上是力F與位移r的數(shù)量積，即cos0r..一r.一prjb...是b在向量a方向上的投影，若用Prr來(lái)記這個(gè)投影，便有:a-b=a-prjb—r類似有:aa-b=b-prjra

b這表明：兩向量的數(shù)量積等于其中一向量的模與另一向量在該向量方向上的投影的乘積。這一事實(shí)的力學(xué)意義是十分鮮明的。2、數(shù)量積的性質(zhì)>>>。a-a-a2⑴、事實(shí)上，a與a的夾角°-0,故^*——————a-a—a-a-cos0-a-a—a2>(2)、設(shè)a，b為非零向量，若a-b=0，那么a與b垂直(記作a1b)；反>之，若a1b，那么a-b=0。、月a-b—0=|a|-b-coso-0(而|a|^0,b。0)=cosO-0(又0g[0,兀])=0=H=a1b2^^^^(3)、(交換律)a-b=b*a-b-a-b-cosO=b-a-cosO=b-a事實(shí)上，(4)、(分配律)&-(b+力=°-b+&-丁事實(shí)上，a-(b+c)-a-prj(b+c)-a>-(prjb+prjc)

aa>>a-prjb+a-prjc—a-b+a-Caa(5)、(數(shù)乘向量的結(jié)合律)2)-b=a-W)E-b)證明：設(shè)向量a與b之間的夾角為0，若*〉0，禎與a同方向，故禎與事實(shí)上，a-(b+c)-a-prj(b+c)-a>-(prjb+prjc)

aa-(入.a|)-b-cosO=■?(a-b-cosO)-(a-b)若X<0，Xa與a反方向，故'^與b的夾角仍為兀一O，于(Xa)-b—|Xa-b-cos(兀-O)-(Xa|)-b-(一cosO)

=(-X)?]a|-b-(一cos0)=X,(a|-b-cos0)=(a-b)^^^^^^^^^^、_0(0?a)?b=0?b=0?b?coso=0=0?(a?b)^若人一0綜合上述三點(diǎn)，有(S?b=X(a?b)成立。類似地可證明a?(柄)=X(a?b)。(6)、兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示形式>a={a,a,a},b={b,b,b}設(shè)XyzXyz，則有>a?b=ab+ab+abxxyyzz、a?b=(ai+aJ+ak)?(bi+bJ+bk)證明：xyzxyziJ■iiJ■iii■■=(ai+aj+ak)?(bi)+(ai+aj+ak)?(bj)+(ai+aj+ak)?(bk)xyzxxyzyxyzz=(ab)(i?i)+(ab)(J?J)+(ab)(k?J)+xxyxzx(ab)(J?J)+(ab)(J?J)+(ab)(k?J)+Xyyy乙y(ab)(J?k)+(ab)(J?k)+(ab)(k?k)xzyzzz=(ab)?1+(ab)?0+(ab)?0+xxyxzx(ab)?0+(ab)?1+(ab)?0+Xyyyzy(ab)?0+(ab)?0+(ab)?1xzyzzz=ab+ab+abxxyyzz注明:基本單位向量有i±J±k,且i?i=J?J=k?k=注明:基本單位向量有利用向量數(shù)量積的計(jì)算公式，很容易地得到了下列向量模計(jì)算公式=、,：a2+a2+a2(7)、兩向量間夾角余弦的坐標(biāo)表示式^^^^^^若a。0b。0由?cosoa-bab+ab+abCOS0=—二xx.y.yiia-b\a2+a2+a2-b2+b2+b2\xyz1xyz并且有>a±b=cos0=0=ab+ab+ab=0xxyy乙乙【例1】已知三點(diǎn)M1(1,1,1)M1M3之間的夾角0。解.MM2={2-1,2-1,1-1}={11,0}M1M3={2-1,1-1,2-1}={1,0,1}而M1M2-MM=1-1+1-0+0-1=1MMMM吃（2'2'D和M3（2』,2），求向量"1M2與13v12+12+02=12+02+12=2COS0=故1,0=；【例2】設(shè)液體流過(guò)平面"上面積為人的一個(gè)區(qū)域，液體在該區(qū)域上各點(diǎn)處的流速均為常向量v，設(shè)n為垂直于”的單位向量，計(jì)算單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)該區(qū)域流向n所指向一側(cè)的液體重量P（設(shè)液體的比重為"）。解：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流過(guò)區(qū)域的液體形成一個(gè)底面積為A，斜高為的斜柱體，且斜高與底面垂線的夾角即為向量V與^之間的夾角6。所以，該斜柱體的高為A-V斜柱體的體積為V-cos6vV，即v在n方向上的投影。-cos6=A-V-ncos6=A(v-n)從而，單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)區(qū)域流向所指一方的液體重量為P-r(A-v-n)很明顯，若V//n，即寧垂直于平面"時(shí)，這與我們直觀的理解是一致的。對(duì)于向量的數(shù)量積運(yùn)算，應(yīng)注意=1.消去律不成立p若辦且5^0,一般推不出2二［反例】廠.E=o=］?E,且￡6但42、向量的數(shù)量積不具有結(jié)合律一般情況下，(a?b)?V'a?(b?V)，因此，寫(xiě)法a-b-V是無(wú)意義的?！痉蠢萑—i，b=2i，(a-b)=2(i-1)=2,(a-b)-V=2j(b-V)=2(i-j)=0,a-(b-c)=0二兩向量的向量積1、由力矩問(wèn)題引入向量的向量積設(shè)0為一根杠桿的支點(diǎn)，有一個(gè)力F作用于這杠桿上的點(diǎn)P處，F(xiàn)與0P的夾角為6，由力學(xué)知識(shí)可知，力F對(duì)支點(diǎn)0的力矩是一個(gè)向量M，它

叫=|oQ?|F=op-F-sin9的模為而方向垂直于°P叫=|oQ?|F=op-F-sin9的模為的指向。這類物理問(wèn)題所反映出的數(shù)學(xué)運(yùn)算便是我們要定義的向量間的向量積。>【定義】設(shè)向量c由向量a與b依下列方式定出:>>其中9為向量a與b之間的夾角；亍的指向按右手規(guī)則從>其中9為向量a與b之間的夾角；亍的指向按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向(轉(zhuǎn)c的模為>c的方向垂直于a與b所決定的平面，角小于180°)b來(lái)決定。那么稱向量c為向量a與b的向量積，記作axb，即x=aXb。向量的向量積又常稱作向量的叉乘，axb也常念作“a叉乘xbJh.%因此，上面的力矩M等于op與力F的向量積，即M=opxF2、向量積的性質(zhì)/、axa=0⑴、(2)、對(duì)于非零向量a與ba與b平行(即a"b)的充要條件是ax(2)、對(duì)于非零向量a與baxbab在幾何上表示以與為邊的——(3)、設(shè)a，b為兩個(gè)非零向量，模平行四邊形的面積。

為邊的I技右手規(guī)則從力轉(zhuǎn)向己所決定的方向恰好與從m轉(zhuǎn)向B所決定的方向相反,這表明，向量積運(yùn)算不滿足交換律，^^^^、分配律(a+b)xc=axc+bxc^^^^cx(a+b)=cxa+cxb、設(shè)人"為實(shí)數(shù)，則時(shí))xb=ax兩)=Eb)(入a)x(四b)=(M)(axb)(7)、向量積的坐標(biāo)表示式a=ai+aj+akb=bi+bj+bk設(shè)Xyz,Xyz，則有axb=(aa+aa+ak)x(bT+ba+bk)xyzXyz=(ab)(TxT)+(ab)(Txj)+(ab)(Txk)XXXyXz+(ab)(TxT)+(ab)(jxj)+(ab)(jxk)yXyyyzTTTTTT+(ab)(kxi)+(ab)(kxj)+(ab)(kxk)于是，有zXzyzz

axb=[(ab)k-(ab)J]+[-(ab)k+(ab)f]+[(ab)j-(ab)T]xy》zyxyzz》zy于是，有=(ab-ab)J+(ab-ab)J+(ab-ab)kyzzyzxxzxyyx為了便于記憶，我們引入形式化的三階行列式的記法?！?J——k—aa—aa—aa—axb=aaa=,yz,i—xz-j+xy?kxyzbbbbbbbbbyzxzxyxyz=(ab-ab)J-(ab-ab)J+(ab-ab)kyzzyxzzxxyyx由向量的向量積坐標(biāo)表示式，可給出兩向量平行的充要條件的又一形式:ab-ab=0yzzy、—e十、r—aaaa//boaxb=0o<ab-ab=0(1)為了便于記憶=_l==(2)zxxbbbab-ab=0?與成工整形式xyzxyyx這一向量平行的對(duì)稱式條件，當(dāng)分母有為零的元素時(shí)，應(yīng)依如下規(guī)則來(lái)理解它的意義：b,b，b、一…工b=0(1)、當(dāng)xyz中僅有一個(gè)為零時(shí)，如z(則(1)式成為'a=0azabIx=0a=二byzab-abco〈=0aaaxb二工=b—z因此，此時(shí)(2)式xy的意義應(yīng)理解為(2)、當(dāng)bx，七b；中僅有二個(gè)為零時(shí)，如by=bz=0則(1)式成為尸0,。廣0aaa=—=_^因此，此時(shí)(2)式bx0(2)、當(dāng)bx，七ba=0,a=0()當(dāng)^=b=b=0時(shí)則⑴式對(duì)于任意實(shí)數(shù)氣，Oy'az均成立aaa=_^=_^因此，此時(shí)(2)式000的意義為氣，“yY可取任意實(shí)數(shù)?！纠?】已知三角形山8。的頂點(diǎn)是A(1,2,3)，8(3,4,5)和。(2,4,7)，求此三角形的面積SA。11S—礦A^\-AC|.八，\ABxAC\解：％=2II-sin/A2||而AB=(3-1,4-2,5-3}=(2,2,2}AC=(2-1,4-2,7-3}=(1,2,4}丁r廠222222rr-1—r?J+-k241412IJkABxAC=222124=(2-4-2-2)i-(2-4-2-1)J+(2-2-2-1)k=4iT一6J一2k一1————_sa=：42+(—6)2+(-2)2=J4三向量的混合積1、平行六面體的體積如圖所示，以0A=a，OB=b和OC=r為棱的平行六面體的體積v，應(yīng)為其底面積OADB乘以高CE。

底面積為,由于高CE垂直于底面°ADB,它可以看作向量c在垂直一rf=axbh=prjc于底面的向量f上的投影f，體積值y為>>—*axbV=axb-h=axb-prj——底面積為—*axb——設(shè)有三個(gè)向量a，b與c，^*^*先作aXb，將向量axb與己作數(shù)量積b，c的混合積—[a,b,c]并記作(axb)?c，這樣得到的數(shù)量稱作三向量a,b，c的混合積—[a,b,c]并記作a={a設(shè),a,aj——b，={bx,b,b}，c={c,c,c｝