第1頁/共20頁普高聯(lián)考2022—2023學年高三測評（二）理科數(shù)學一、選擇題1.設全集，，，則（）A. B. C. D.答案：A解析：【分析】由集合的運算計算即可.【詳解】，，，故選：A.2.若，則（）A. B. C. D.答案：B解析：【分析】利用誘導公式得到，再利用二倍角公式計算得到答案.【詳解】，故，.故選：B.3.設向量，均為單位向量，則“”是“”（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件答案：B解析：【分析】由數(shù)量積的運算性質與充分條件與必要條件的定義求解即可【詳解】向量，均為單位向量，由化簡可得，所以，所以，即.向量，均為單位向量，當時，則，，，所以，所以“”是“”的充要條件，故選：B.4.已知實數(shù)滿足，在下列各式有意義的前提下，一定成立的是（）A. B. C. D.答案：D解析：【分析】對于ABC，舉例判斷，對于D，利用基本不等式判斷.【詳解】對于A，若，則滿足，而，所以A錯誤，對于B，若，則滿足，而，所以B錯誤，對于C，若，則滿足，而，所以C錯誤，對于D，因為，所以，當且僅當，即時取等號，所以一定成立，所以D正確，故選：D.5.設函數(shù)，命題“，”是假命題，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.答案：C解析：【分析】由命題“”是假命題可得其否定為真命題，結合不等式恒成立問題的解決方法可求的取值范圍.【詳解】因為命題“”是假命題，所以是真命題，又可化為，即，當時，，所以在上恒成立，所以其中,，當時有最小值為，此時有最大值為，所以，故實數(shù)的取值范圍是故選：C.6.已知數(shù)列滿足，，其中是等差數(shù)列，且，則（）A. B. C. D.答案：B解析：【分析】根據(jù)條件，可以推出.然后，根據(jù)等差數(shù)列的性質，可得結果；也可以直接根據(jù)前項和公式求和.【詳解】解法1：由已知，得，則，根據(jù)等差數(shù)列的性質有，所以，有解法2：由已知，得，則，根據(jù)等差數(shù)列的性質有，所以，.故選：B.7.函數(shù)的大致圖像為（）A. B.C. D.答案：A解析：【分析】由奇偶性判斷BD，由判斷AC.【詳解】，，即函數(shù)在上單調遞增，且，即函數(shù)的定義域為，定義域關于原點對稱.，即函數(shù)是奇函數(shù)，圖像關于原點對稱，故BD錯誤；因為，所以C錯誤.故選：A.8.已知的內角所對的邊分別為，若，則（）A. B. C. D.答案：C解析：【分析】利用正弦定理將原式邊化角，再根據(jù)和角公式和輔助角公式化簡即可.【詳解】或（舍）故選：C.9.意大利畫家達·芬奇提出：固定項鏈兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”，其中雙曲余弦函數(shù)就是一種特殊的懸鏈線函數(shù)，其函數(shù)表達式為，相應的雙曲正弦函數(shù)的表達式為．設函數(shù)，若實數(shù)滿足不等式，則的取值范圍為（）A. B.C. D.答案：D解析：【分析】根據(jù)題意，寫出函數(shù)的解析式，由函數(shù)的奇偶性和單調性列出不等式，解之即可.【詳解】由題意可知：的定義域為，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又因為，且在上為減函數(shù)，由復合函數(shù)的單調性可知：在上為增函數(shù)，因為，所以，所以，解得：或，所以實數(shù)的取值范圍為，故選：D.10.已知函數(shù)的最小正周期為，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，再將圖象上的所有點的縱坐標縮短為原來的，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.答案：D解析：【分析】先由恒等變化化簡，再結合的最小正周期可得，進而由圖象變換得到，即可得到，結合二次函數(shù)的性質即可求解【詳解】因為的最小正周期為，，所以，所以，所以，又將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，再將圖象上的所有點的縱坐標縮短為原來的，得到函數(shù)的圖象，所以，所以，當時，有最小值，且為，故選：D.11.已知，，，則大小關系為（）A. B.C. D.答案：C解析：【分析】構造，，求導，結合函數(shù)單調性分析，即可判斷.【詳解】令，則，令，有，令，有，故函數(shù)在單調遞增，在單調遞減，故，即，即，令，則，令，有，令，有，故函數(shù)在單調遞增，在單調遞減，故，即，即，綜上：.故選：C.二、多選題12.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項積為，若，公比，則下列命題錯誤的是（）A.若，則必有 B.若，則必有是中最大的項C.若，則必有 D.若，則必有答案：A、D解析：【分析】由等比數(shù)列的性質可判斷AB，由等比數(shù)列的單調性可判斷CD.【詳解】對于A，若，則，即有，根據(jù)等比數(shù)列的性質，則，即有，A正確；對于B，若，則等比數(shù)列單調遞減，因為，所以，則是中最大的項；若，則等比數(shù)列單調遞增，因為，所以，則是中最小的項，B錯誤；對于C，若，則，而，所以數(shù)列單調遞減，若，則，所以；若，則，所以，C錯誤；對于D，，而，所以數(shù)列單調遞減，所以，所以，即，D正確.故選：AD.三、填空題13.若各項均不為零的數(shù)列滿足，，且，則_________．答案：解析：【分析】由，可知為等差數(shù)列，從而可以求出的通項公式，進而可求出的值．【詳解】由，得，∴為等差數(shù)列．又，，所以，∴，∴．∴．故答案為：．14.已知向量，，若，則實數(shù)__________．答案：解析：【分析】先求得的坐標，再根據(jù)求解.【詳解】因為向量，，所以，因為，所以，解得，故答案為：.15.設函數(shù)，若函數(shù)的圖象關于點對稱，且在區(qū)間上的最大值為，則實數(shù)的值為__________．答案：解析：【分析】由題意可得，，求出，然后由，得，再結合函數(shù)的最大值為，可得，從而可求得結果.【詳解】因為函數(shù)的圖象關于點對稱，所以，，所以，得，因為，所以，所以，由，得，因為區(qū)間上的最大值為，所以的最大值為，所以，得，故答案為：.16.若關于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__________．答案：解析：【分析】不等式轉化為，構造函數(shù)，判斷函數(shù)單調遞增得到，轉化為，構造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調區(qū)間計算最大值即得到答案.【詳解】，即，設，恒成立，故單調遞增.原不等式轉化為，即，即，設，，當時，，函數(shù)單調遞增；當時，，函數(shù)單調遞減；故，故.故答案為：.四、解答題17.已知正項數(shù)列的前項和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．答案：見解析解析：【分析】（1）根據(jù)，作差得到，即可得到是以為首項，為公差的等差數(shù)列，從而求出其通項公式；（2）由（1）可得，利用裂項相消法計算可得.【詳解】（1）因為，即①，當時，解得或（舍去），當時②，①②時，即，即，即，因為，所以，即，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）可得，所以.18.已知函數(shù)．（1）求的最小值，并寫出此時的取值集合；（2）若，求的單調遞減區(qū)間．答案：見解析解析：【分析】（1）利用二倍角和輔助角公式化簡函數(shù)得，再利用再由余弦函數(shù)的最值求解即可；（2）由，求出，再結合對取值即可求解【詳解】（1）當，即時，取得最小值，且，所以，此時的取值集合為；（2）由，得，所以，所以的單調遞減區(qū)間為，又因為，所以的單調遞減區(qū)間為和19.設函數(shù)．（1）若曲線在處的切線與直線平行，求實數(shù)的值；（2）討論的單調性并判斷有無極值，若有極值，求出的極值．答案：見解析解析：【分析】（1）求導得，根據(jù)條件可得，列出方程即可求得的值.（2）由（1）可得，通過對的大小討論即可得到其單調區(qū)間即極值.【詳解】（1）因為

且曲線在處的切線與直線平行，所以，即故（2）由（1）知

當時，，所以函數(shù)在上單調遞增；當時，令，解得或不妨令（是與中較小的一個，是較大的一個）列表如下:當時，即，取，其單調區(qū)間如表格所示，極大值為，極小值為.當時，即，取，其單調區(qū)間如表格所示，極小值為，極大值為.20.已知的內角的對邊分別為，，且．（1）求角的大??；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．答案：見解析解析：【分析】（1）由正弦定理和輔助角公式可化簡原式為，結合求解即可；（2）由三角形的面積公式結合正弦定理得：，因為為銳角三角形，求出角的范圍，即可求出的值域，即可求出面積的取值范圍.【詳解】（1）由以及，可得，即，即，即，即，由于，故，又，故，故或，解得或（舍去），故.（2）由正弦定理得，即，．所以的面積，．因為為銳角三角形，所以，所以，所以，故面積的取值范圍是．21.在邊長為的等邊中，為邊上一點，且．（1）若為內一點（不包含邊界），且，求的取值范圍；（2）若上一點滿足，過作直線分別交于兩點，設，，的面積為，四邊形的面積為，且，求實數(shù)的最大值．答案：見解析解析：【分析】(1)取的中點，則，所以，根據(jù)，可以得到，進而求出結果；(2)根據(jù)得到，利用題干已知條件進行轉化，再利用三點共線可以得出，然后將比值化為一個二次函數(shù)求最值問題即可求解.【詳解】（1）取的中點，所以，因為為的中點，所以，所以，又因為，所以，故，故的取值范圍.（2）因為，所以，因為，，，所以，也即，因為點三點共線，所以①因為，所以，所以，又因為，所以，所以②，由①得：，將其代入②式可得：，所以當時，取最大值.22.已知函數(shù)，函數(shù)的最大值為．（1）求實數(shù)的值；（2）設，若函數(shù)有個零點，求實數(shù)的取值范圍．答案：見解析解析：【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的性質，結合函數(shù)的最大值進行求解即可；（2）根據(jù)導數(shù)的性質，結合函數(shù)零點的定義分類討論進行求解即可.【詳解】（1）由，當時，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以當時，函數(shù)有最大值，即，滿足；當時，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以當時，函數(shù)有最小值，無最大值，不符合題意，綜上所述：；（2），，若