2022-2023學(xué)年安徽省阜陽(yáng)市高二上學(xué)期1月學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線在上的截距為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】求出直線AB的方程，解出直線在上的截距【詳解】過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線方程為即，故直線在上的截距為1，故選：A2．在等差數(shù)列中，若，，則（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式列方程組即可求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d,,解得：.故選：B3．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，則（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)，可解得答案.【詳解】，解得：p=2.故選：D4．已知，則（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】由題意可知，，利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算即可求出，代入數(shù)值即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以．故選：C．5．《萊因德紙草書》（RhindPapyrus）是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書中有一道這樣的題目：把100個(gè)面包分給5個(gè)人，使每人所得面包個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則最大一份與最小一份和為（

）A．30 B．35 C．40 D．60【答案】C【分析】設(shè)5人所得面包個(gè)數(shù)依次為，由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得．【詳解】設(shè)5人所得面包個(gè)數(shù)依次為，它們成等差數(shù)列，由題意，，故選：C．6．函數(shù)的增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，注意原函數(shù)的定義域.【詳解】由題意可知：函數(shù)的定義域?yàn)?，∵，令，則，解得或，且，∴函數(shù)的增區(qū)間是.故選：D.7．乒乓球(TableTennis)，被稱為中國(guó)的“國(guó)球”，是一種世界流行的球類體育比賽項(xiàng)目．假設(shè)一個(gè)質(zhì)量合格的乒乓球，從1m高的高度自由下落，每次下落后反彈的高度都是原來(lái)高度的．則至少經(jīng)過(guò)幾次著地后，它經(jīng)過(guò)的路程能超過(guò)500cm．（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】第一次著地后，小球每次著地經(jīng)過(guò)的路程成等比數(shù)列，求和得總路程，建立不等式，兩邊取對(duì)數(shù)得的范圍.【詳解】經(jīng)過(guò)次著地后，經(jīng)過(guò)的路程，.故選：C8．已知圓，點(diǎn)在圓C上，點(diǎn)A，直線AP與圓C的另一交點(diǎn)為Q，且Q為AP的中點(diǎn)，則直線AP的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)表示點(diǎn)的坐標(biāo)，分別將，代入到圓的方程，可以解出，坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)求斜率即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)?，均在圓上，所以代入得，解得或，即，或，，則直線AP的斜率或，故選：D二、多選題9．已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為．則下列結(jié)論正確的是（

）A．若數(shù)列是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列B．若數(shù)列是等比數(shù)列，則是等比數(shù)列C．若數(shù)列是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列D．若數(shù)列是等比數(shù)列，則是等比數(shù)列【答案】AC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義等差中項(xiàng)的性質(zhì)判斷AC，結(jié)合等比數(shù)列的定義舉例說(shuō)明判斷BD．【詳解】對(duì)于A，若數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則為常數(shù)，因此是等差數(shù)列，A正確；對(duì)于C，，，，顯然有，，…，，所以，即是等差數(shù)列，C正確；對(duì)于B，，則是等比數(shù)列，但，不是等比數(shù)列，B錯(cuò)誤，對(duì)于D，，當(dāng)，，，，則不是等比數(shù)列，D錯(cuò)誤．故選：AC．10．下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】對(duì)于A，取進(jìn)行驗(yàn)證；對(duì)于B，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可判斷；對(duì)于C，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可判斷；對(duì)于D，令，利用導(dǎo)數(shù)得在上單調(diào)遞增，又，從而得當(dāng)時(shí)，，即可判斷.【詳解】解：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則有令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以，即，所以，所以，故正確；對(duì)于C，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以，即，故正確；對(duì)于D，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，即，故錯(cuò)誤.故選：BC.11．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若首項(xiàng)，且滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．是等比數(shù)列 B．是等比數(shù)列C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義結(jié)合條件可判斷AC，根據(jù)數(shù)列的前3項(xiàng)可判斷B，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可判斷D.【詳解】因?yàn)?，且滿足，所以，，所以，又，所以是首項(xiàng)為6，公比為2的等比數(shù)列，故A正確；由，，可得，，所以，，所以不是等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；由，可得，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，故C正確；因?yàn)?，所以，故D正確.故選：ACD.12．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，是雙曲線第一象限上的一點(diǎn)（不包括軸上的點(diǎn)），且，的角平分線交x軸于點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的有（

）A．G的軌跡是雙曲線的一部分 B．的最小值是1C．取值范圍是 D．【答案】ACD【分析】利用相關(guān)點(diǎn)法可明確G的軌跡，利用G的軌跡可知的長(zhǎng)度的范圍，利用內(nèi)角平分線定理與雙曲線定義可得取值范圍，利用內(nèi)角平分線定理與焦半徑公式可得.【詳解】設(shè)，又，，，即，又是雙曲線上一點(diǎn)，∴，即，故A正確；∵G的軌跡是雙曲線的一部分，實(shí)半軸長(zhǎng)為，∴，故B錯(cuò)誤；根據(jù)內(nèi)角平分線定理可知，，又，∴，故C正確；同樣利用內(nèi)角平分線定理與焦半徑公式，由可知，，∴，故D正確.故選：ACD.三、填空題13．設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則_____．【答案】3【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合條件即得.【詳解】由，可得，所以，由題意知，，所以.故答案為：3.14．雙曲線的離心率，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________.【答案】【分析】由已知可得，再由，解不等式可得k的取值范圍【詳解】雙曲線方程可變形為，則.又因?yàn)?，即，解?故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查由雙曲線的離心率的范圍求參數(shù)的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題15．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，若，則______．【答案】27【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，進(jìn)而，即得.【詳解】設(shè)的公比為，因?yàn)?，所以?故答案為：27.16．設(shè)曲線（），直線及（）圍成封閉圖形的面積為，則______．【答案】【分析】利用定積分可得，在對(duì)函數(shù)求導(dǎo)即可求解.【詳解】因?yàn)榍€（），直線及（）圍成封閉圖形的面積為為.所以.故答案為：.四、解答題17．已知橢圓的焦點(diǎn)為，，且該橢圓過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)橢圓上的點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用兩點(diǎn)間距離公式求得P到橢圓的左右焦點(diǎn)的距離，然后根據(jù)橢圓的定義得到a的值，結(jié)合c的值，利用a,b,c的平方關(guān)系求得的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）利用向量的數(shù)量積，求得點(diǎn)滿足的條件，再結(jié)合橢圓的方程，解得的值．【詳解】（1）設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b，半焦距為c，因?yàn)椋?，所以，即，又因?yàn)閏=2，所以，又因?yàn)闄E圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，所以該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，因?yàn)?，所以，即，又，所以，?所以18．已知函數(shù)，，且．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，利用可求出，進(jìn)而可求出，根據(jù)點(diǎn)斜式可得切線方程；（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得最大值.【詳解】（1）由得，，解得，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）由（1），令得或，令得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為19．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)當(dāng)，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，寫出其前n項(xiàng)和得到，然后根據(jù)等差數(shù)列的定義即得；（2）由，，求得，進(jìn)而得到，然后利用錯(cuò)位相減法即得.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，所以，則，所以，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列；（2）由，，得，解得，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，所以，，所以，，所以所以.20．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線C：()與直線：()相交于A，B兩點(diǎn)．(1)若以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，證明：；(2)若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，且拋物線C的焦點(diǎn)到直線的距離為，求的值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）設(shè)，直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去，由韋達(dá)定理得，代入可證得結(jié)論；（2）由得的一個(gè)方程，再由點(diǎn)到直線距離公式得的一個(gè)方程，聯(lián)立解之可得．【詳解】（1）設(shè)，由得，則，，以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，則，斜率顯然存在，因此，所以，即，所以，又，所以；（2）由（1），拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，因此，即，由，又，解得．21．如圖所示，一個(gè)倉(cāng)庫(kù)設(shè)計(jì)由上部屋頂和下部主體兩部分組成，屋頂?shù)男螤钍撬睦忮F，四邊形是正方形，點(diǎn)為正方形的中心，平面；下部的形狀是長(zhǎng)方體．已知上部屋頂造價(jià)與屋頂面積成正比，比例系數(shù)為，下部主體造價(jià)與高度成正比，比例系數(shù)為．現(xiàn)欲建造一個(gè)上、下總高度為12m，m的倉(cāng)庫(kù)．(1)①若屋頂?shù)母撸?qǐng)將總造價(jià)表示為x的函數(shù)；②若屋頂側(cè)面與底面所成二面角角為，請(qǐng)將總造價(jià)表示為的函數(shù)；(2)選擇（1）中的一個(gè)方案，求出總造價(jià)的最小值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）①求出得出上部屋頂造價(jià)，由得出下部主體造價(jià)，進(jìn)而得出總造價(jià)；②由二面角的定義結(jié)合直角三角形的邊角關(guān)系得出總造價(jià)；（2）選擇①：令，利用導(dǎo)數(shù)得出總造價(jià)的最小值；選擇②：令，由導(dǎo)數(shù)得出總造價(jià)的最小值.【詳解】（1）①由題意可知，，則.所以，故上部屋頂造價(jià)為.因?yàn)?，所以下部主體造價(jià)為.故總造價(jià)為.②如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則.由于平面，則有；在中，由二面角的定義可知?jiǎng)t，則有，，所以上部屋頂面積為，下部主體的高度為，所以倉(cāng)庫(kù)的總造價(jià)為.（2）選擇①：總造價(jià)為，令，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故總造價(jià)取最小值為.選擇②：設(shè)，所以.令，得，令，，則則當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；所以當(dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)總造價(jià)取最小值為22．已知函數(shù)（）．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，證明：．【答案】(1)見解析.(2)見解析.【分析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍，判斷的符號(hào)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.（2）根據(jù)不單調(diào)，令，令，，求出的