2022-2023學(xué)年江蘇省南京市江寧區(qū)竹山中學(xué)八年級第一學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（每題2分，共16分）1．以下四家銀行的行標圖中，是軸對稱圖形的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．下列圖形中，點A與點B關(guān)于直線l對稱的是（）A． B． C． D．3．如圖，已知點B、E、C、F在同一直線上，且BE＝CF，∠ABC＝∠DEF，那么添加一個條件后．仍無法判定△ABC≌△DEF的是（）A．AC＝DF B．AB＝DE C．AC∥DF D．∠A＝∠D4．下列命題中，不正確的是（）A．關(guān)于直線對稱的兩個三角形一定全等 B．兩個圓形紙片隨意平放在水平桌面上構(gòu)成軸對稱圖形 C．若兩圖形關(guān)于直線對稱，則對稱軸是對應(yīng)點所連線的垂直平分線 D．等腰三角形一邊上的高，中線及這邊對角平分線重合5．在聯(lián)歡會上，有A、B、C三名選手站在一個三角形的三個頂點的位置上，他們在玩搶凳子游戲，要求在他們中間放一個木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當?shù)奈恢檬窃凇鰽BC的（）A．三邊中線的交點 B．三邊垂直平分線的交點 C．三條角平分線的交點 D．三邊上高的交點6．如圖，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M為BC的中點，EF＝5，BC＝8，則△EFM的周長是（）A．13 B．18 C．15 D．217．如圖所示，在長方形ABCD的對稱軸l上找點P，使得△PAB、△PBC均為等腰三角形，則滿足條件的點P的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．58．如圖，△ABC中，∠B＝∠C，∠EDF＝α，BD＝CF，BE＝CD，則下列結(jié)論正確的是（）A．2α+∠A＝180° B．2α+∠A＝90° C．α+∠A＝90° D．α+∠A＝180°二、填空題（每題2分，共20分）9．角是軸對稱圖形，是它的對稱軸．10．如圖，在Rt△ABC與Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，請你添加一個條件（不添加字母和輔助線），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的條件是，理由是（填簡稱）．11．已知等腰三角形的一個外角是70°，則它頂角的度數(shù)為．12．如圖為6個邊長相等的正方形的組合圖形，則∠1+∠2+∠3＝°．13．如圖，桌面上有M、N兩球，若要將M球射向桌面的任意一邊，使一次反彈后擊中N球，則4個點中，可以瞄準的是點．14．如圖，△ABC中，DE、FG分別是AB、AC的垂直平分線，BC＝4cm，∠BAC＝100°．則△ADF的周長是cm，∠DAF＝°．15．如圖，在△ABC中，AD為△ABC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F．若△ABC的面積是20cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，則DF＝cm．16．如圖，△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分線，垂足為D，交AC于E．若AB＝10cm，△ABC的周長為27cm，∠A＝40°，則∠CBE＝°，△BCE的周長為．17．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分線，過點B作BE⊥AD，交AD的延長線于點E．若AD＝3，則BE的長為．18．如圖，線段AB、BC的垂直平分線l1、l2相交于點O，若∠1＝41°，則∠AOC＝．三、解答題（共64分）19．已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D，AC平分∠BAD．求證：AB＝AD．20．已知：如圖，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求證：AD＝BC．21．如圖，在長度為1個單位長度的小正方形組成的正方形中，點A、B、C在小正方形的頂點（格點）上．（1）在圖中畫出與△ABC關(guān)于直線l成軸對稱的△A'B'C'；（2）在直線l上確定點P，使得點P到點A、C的距離和最小；（3）頂點在格點，與△ABC全等且僅有1條公共邊，這樣的三角形共能畫出個．22．已知：如圖公路AE、AF、BC兩兩相交．求作：加油站O，使得O到三條公路的距離相等．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）23．我們知道定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．思考：上述定理的逆命題成立嗎？若成立，請寫出其逆命題，并證明；若不成立，試說明理由．（1）逆命題是：；（2）已知：；求證：．證明：24．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高，求證：AD垂直平分EF．25．已知：如圖，AB＝AC，AD＝AE，BE與CD相交于點P．（1）求證：PC＝PB；（2）求證：∠CAP＝∠BAP；（3）利用（2）的結(jié)論，用直尺和圓規(guī)作∠MON的平分線．（不寫作法，保留作圖痕跡）26．小明在學(xué)習(xí)完“等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合”，繼續(xù)探索，他猜想“如果三角形的一條角平分線是這個角對邊上的中線，那么這個三角形是等腰三角形”并進行證明．已知：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，D為BC中點．求證：△ABC是等腰三角形．（用兩種不同的方法證明）方法一：方法二：27．在△ABC中，∠BAC＝90°，點D是BC上一點，將△ABD沿AD翻折后得到△AED，邊AE交射線BC于點F．（友情提醒：翻折前后的兩個三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．）（1）如圖①，當AE⊥BC時，求證：DE∥AC；（2）若∠C﹣∠B＝10°，∠BAD＝x°．①如圖②，當DE⊥BC時，求x的值；②是否存在這樣的x的值，使得△DEF中有兩個角相等．若存在，并求x的值；若不存在，請說明理由．

參考答案一．選擇題（每題2分，共16分）1．以下四家銀行的行標圖中，是軸對稱圖形的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么稱這個圖形是軸對稱圖形直接回答即可．解：第一個、第三個和第四個是軸對稱圖形，只有第二個不是軸對稱圖形，故選：C．【點評】本題考查了軸對稱圖形的定義，牢記軸對稱圖形的定義是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題，比較簡單．2．下列圖形中，點A與點B關(guān)于直線l對稱的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分解答．解：點A與點B關(guān)于直線l對稱的是A選項圖形．故選：A．【點評】本題考查軸對稱的性質(zhì)，對應(yīng)點的連線與對稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分．3．如圖，已知點B、E、C、F在同一直線上，且BE＝CF，∠ABC＝∠DEF，那么添加一個條件后．仍無法判定△ABC≌△DEF的是（）A．AC＝DF B．AB＝DE C．AC∥DF D．∠A＝∠D【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法逐項判斷即可．解：∵BE＝CF，∴BE+EC＝EC+CF，即BC＝EF，且∠ABC＝∠DEF，∴當AC＝DF時，滿足SSA，無法判定△ABC≌△DEF，故A不能；當AB＝DE時，滿足SAS，可以判定△ABC≌△DEF，故B可以；當AC∥DF時，可得∠ACB＝∠F，滿足ASA，可以判定△ABC≌△DEF，故C可以；當∠A＝∠D時，滿足AAS，可以判定△ABC≌△DEF，故D可以；故選：A．【點評】本題主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．4．下列命題中，不正確的是（）A．關(guān)于直線對稱的兩個三角形一定全等 B．兩個圓形紙片隨意平放在水平桌面上構(gòu)成軸對稱圖形 C．若兩圖形關(guān)于直線對稱，則對稱軸是對應(yīng)點所連線的垂直平分線 D．等腰三角形一邊上的高，中線及這邊對角平分線重合【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案．解：A、關(guān)于直線對稱的兩個三角形一定全等，正確；B、兩個圓形紙片隨意平放在水平桌面上構(gòu)成軸對稱圖形，正確；C、若兩圖形關(guān)于直線對稱，則對稱軸是對應(yīng)點所連線的垂直平分線，正確；D、等腰三角形底邊上的高、中線及這邊所對角的角平分線重合，腰上的高、中線及這邊所對角的角平分線不重合，故本選項錯誤；故選：D．【點評】主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．5．在聯(lián)歡會上，有A、B、C三名選手站在一個三角形的三個頂點的位置上，他們在玩搶凳子游戲，要求在他們中間放一個木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當?shù)奈恢檬窃凇鰽BC的（）A．三邊中線的交點 B．三邊垂直平分線的交點 C．三條角平分線的交點 D．三邊上高的交點【分析】為使游戲公平，要使凳子到三個人的距離相等，于是利用線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等可知，要放在三邊中垂線的交點上．解：∵三角形的三條垂直平分線的交點到三角形三個頂點的距離相等，∴凳子應(yīng)放在△ABC的三條垂直平分線的交點最適當．故選：B．【點評】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用；利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實際問題是一種能力，要注意培養(yǎng)．想到要使凳子到三個人的距離相等是正確解答本題的關(guān)鍵．6．如圖，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M為BC的中點，EF＝5，BC＝8，則△EFM的周長是（）A．13 B．18 C．15 D．21【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得到MF＝ME＝BC，已知BC的長，則不難求得MF與ME的長，已知EF的長，則不難求出三角形的周長．解：∵在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M為BC的中點，BC＝8，∴MF＝ME＝BC＝4，∵EF＝5，∴△EFM的周長＝4+4+5＝13，故選：A．【點評】此題主要考查直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．7．如圖所示，在長方形ABCD的對稱軸l上找點P，使得△PAB、△PBC均為等腰三角形，則滿足條件的點P的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用分類討論的思想，此題共可找到5個符合條件的點：一是作AB或DC的垂直平分線交l于P；二是在長方形內(nèi)部在l上作點P，使PA＝AB，PD＝DC，同理，在l上作點P，使PC＝DC，AB＝PB；三是如圖，在長方形外l上作點P，使AB＝BP，DC＝PC，同理，在長方形外l上作點P，使AP＝AB，PD＝DC．解：如圖，作AB或DC的垂直平分線交l于P，如圖，在l上作點P，使PA＝AB，同理，在l上作點P，使PC＝DC，如圖，在長方形外l上作點P，使AB＝BP，同理，在長方形外l上作點P，使PD＝DC，綜上所述，符合條件的點P有5個．故選：D．【點評】此題主要考查了等腰三角形判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，其關(guān)鍵是根據(jù)題意，結(jié)合圖形，需要利用分類討論的思想分析解答．8．如圖，△ABC中，∠B＝∠C，∠EDF＝α，BD＝CF，BE＝CD，則下列結(jié)論正確的是（）A．2α+∠A＝180° B．2α+∠A＝90° C．α+∠A＝90° D．α+∠A＝180°【分析】由△BDE≌△CFD，推出∠BED＝∠CDF，由∠EDC＝∠B+∠BED＝∠EDF+∠FDC，推出∠B＝∠EDF＝α即可解決問題．解：在△BDE和△CFD中，，∴△BDE≌△CFD（SAS），∴∠BED＝∠CDF，∵∠EDC＝∠B+∠BED＝∠EDF+∠FDC，∴∠B＝∠EDF＝α，∵∠B＝∠C＝α，∴2α+∠A＝180°．故選：A．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．二、填空題（每題2分，共20分）9．角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是它的對稱軸．【分析】根據(jù)角的對稱性解答．解：角的對稱軸是“角平分線所在的直線”．故答案為：角平分線所在的直線．【點評】本題考查了角的對稱軸，需要注意軸對稱圖形的對稱軸是直線，此題容易說成是“角平分線”而導(dǎo)致出錯．10．如圖，在Rt△ABC與Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，請你添加一個條件（不添加字母和輔助線），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的條件是AB＝DC或AC＝DB，理由是“HL”（填簡稱）．【分析】根據(jù)直角三角形全等的判定方法，即可解答．解：∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，∴再添加：AB＝DC，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，∴再添加：AC＝BD，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），故答案為：AB＝DC或AC＝BD，HL．【點評】本題考查了直角三角形全等的判定，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．11．已知等腰三角形的一個外角是70°，則它頂角的度數(shù)為110°．【分析】三角形內(nèi)角與相鄰的外角和為180°，三角形內(nèi)角和為180°，等腰三角形兩底角相等，110°只可能是頂角．解：等腰三角形一個外角為70°，那相鄰的內(nèi)角為110°，三角形內(nèi)角和為180°，如果這個內(nèi)角為底角，內(nèi)角和將超過180°，所以110°只可能是頂角．故答案為：110°．【點評】本題主要考查三角形外角性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；判斷出70°的外角只能是頂角的外角是正確解答本題的關(guān)鍵．12．如圖為6個邊長相等的正方形的組合圖形，則∠1+∠2+∠3＝135°．【分析】觀察圖形可知∠1與∠3互余，∠2是直角的一半，利用這些關(guān)系可解此題．解：觀察圖形可知：△ABC≌△BDE，∴∠1＝∠DBE，又∵∠DBE+∠3＝90°，∴∠1+∠3＝90°．∵∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝∠1+∠3+∠2＝90°+45°＝135°．故答案為：135．【點評】此題綜合考查角平分線，余角，要注意∠1與∠3互余，∠2是直角的一半，特別是觀察圖形的能力．13．如圖，桌面上有M、N兩球，若要將M球射向桌面的任意一邊，使一次反彈后擊中N球，則4個點中，可以瞄準的是D點．【分析】利用對稱的性質(zhì)得出M經(jīng)過的路徑，進而得出答案．解：如圖所示：要將M球射向桌面的任意一邊，使一次反彈后擊中N球，則4個點中，可以瞄準的是：D．故答案為：D．【點評】此題主要考查了生活中軸對稱現(xiàn)象，正確利用對稱的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．14．如圖，△ABC中，DE、FG分別是AB、AC的垂直平分線，BC＝4cm，∠BAC＝100°．則△ADF的周長是4cm，∠DAF＝20°．【分析】由在△ABC中，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AD＝BD，AF＝CF，繼而求得∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，又由∠BAC＝110°，即可求得∠B+∠C，則可得∠BAD+∠CAF的度數(shù)，繼而求得∠DAF；由AD＝BD，AF＝CF，即可得△ADF的周長＝BC．解：∵在△ABC中，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，∴AD＝BD，AF＝CF，∴∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，∵∠BAC＝100°，∴∠B+∠C＝80°，∴∠BAD+∠CAF＝80°，∴∠DAF＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAF）＝20°，∴△ADF的周長＝AD+DF+AF＝BD+DF+CF＝BC＝4cm，故答案為：4，20．【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．掌握線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解決問題的關(guān)鍵．15．如圖，在△ABC中，AD為△ABC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F．若△ABC的面積是20cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，則DF＝4cm．【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE＝DF，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．解：在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF，∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AB?DE+AC?DF，∵△ABC面積是20cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，∴×6DE+×4DF＝3DE+2DF＝5DE＝20，解得DE＝4cm．故答案為：4．【點評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，熟知角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．16．如圖，△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分線，垂足為D，交AC于E．若AB＝10cm，△ABC的周長為27cm，∠A＝40°，則∠CBE＝30°，△BCE的周長為17cm．【分析】已知AB＝AC，要求∠EBC就先求出∠ABE的度數(shù)，利用線段垂直平分線的性質(zhì)易求解；已知AB＝10cm，求△BCE周長只需證明BE+CE＝AC即可．解：∵AB＝AC，DE是AB的垂直平分線，∴∠ABE＝∠A＝40°．又因為∠A＝40°∴∠ABC＝∠ACB＝70°．∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝30°；∵AB＝10cm，△ABC的周長為27cm，∴BC＝7cm．∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝BE，∴BE+CE＝AE+EC＝AC，∴△BCE周長＝BE+CE+BC＝AC+BC＝17cm．故答案為：30；17cm．【點評】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)；進行線段以及角的有效轉(zhuǎn)移是正確解答本題的關(guān)鍵．17．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分線，過點B作BE⊥AD，交AD的延長線于點E．若AD＝3，則BE的長為1.5．【分析】延長BE、AC交于F點，首先利用三角形內(nèi)角和計算出∠F＝∠ABF，進而得到AF＝AB，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BE＝BF，然后證明△ADC≌△BFC，可得BF＝AD，進而得到BE＝AD．解：延長BE、AC交于F點，如圖，∵BE⊥EA，∴∠AEF＝∠AEB＝90°．∵AD平分∠BAC，∴∠FAE＝∠BAE，∴∠F＝∠ABE，∴AF＝AB，∵BE⊥EA，∴BE＝EF＝BF，∵△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∴∠AFE＝（180﹣45）°÷2＝67.5°，∠FAE＝22.5°，∴∠CDA＝67.5°，在△ADC和△BFC中，，∴△ADC≌△BFC（AAS），∴BF＝AD，∴BE＝AD＝1.5，故答案為：1.5．【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，關(guān)鍵是證得△ADC≌△BFC．18．如圖，線段AB、BC的垂直平分線l1、l2相交于點O，若∠1＝41°，則∠AOC＝82°．【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)得到OA＝OB，OB＝OC，∠OMB＝∠ONB＝90°，則∠OBA＝∠A，∠OBC＝∠C，利用等角的補角相等得到∠ABC＝∠1＝41°，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)可計算出∠AOC的度數(shù)．解：如圖，∵線段AB、BC的垂直平分線l1、l2相交于點O，∴OA＝OB，OB＝OC，∠OMB＝∠ONB＝90°，∴∠OBA＝∠A，∠OBC＝∠C，∵∠1+∠MON＝180°，∠ABC+∠MON＝180°，∴∠ABC＝∠1＝41°，∵∠AOP＝2∠OBA，∠COP＝2∠OBC，∴∠AOC＝2（∠OBA+∠OBC）＝2∠ABC＝2×41°＝82°．故答案為82°．【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線垂直且平分其所在線段；垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．三、解答題（共64分）19．已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D，AC平分∠BAD．求證：AB＝AD．【分析】欲證明AB＝AD，只要證明△ABC≌△ADC即可．【解答】證明：AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC，∴AB＝AD．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形全等的條件，屬于中考?？碱}型．20．已知：如圖，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求證：AD＝BC．【分析】連接CD，利用HL定理得出Rt△ADC≌Rt△BCD進而得出答案．【解答】證明：連接DC，∵AD⊥AC，BC⊥BD，∴∠A＝∠B＝90°，在Rt△ADC和Rt△BCD中，∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL），∴AD＝BC．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．21．如圖，在長度為1個單位長度的小正方形組成的正方形中，點A、B、C在小正方形的頂點（格點）上．（1）在圖中畫出與△ABC關(guān)于直線l成軸對稱的△A'B'C'；（2）在直線l上確定點P，使得點P到點A、C的距離和最?。唬?）頂點在格點，與△ABC全等且僅有1條公共邊，這樣的三角形共能畫出4個．【分析】（1）利用軸對稱變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點A′，B′，C′即可；（2）連接AC′交直線l于點P，連接CP，點P即為所求；（3）根據(jù)要求畫出三角形即可，圖中虛線即為所求．解：（1）如圖，△A'B'C'即為所求；（2）如圖，點P即為所求；（3）頂點在格點，與△ABC全等且僅有1條公共邊，這樣的三角形共能畫出4個．如圖虛線所示故答案為：4．【點評】本題考查作圖﹣軸對稱變換，全等三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．22．已知：如圖公路AE、AF、BC兩兩相交．求作：加油站O，使得O到三條公路的距離相等．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）【分析】作出△ABC的內(nèi)角平分線的交點，外角平分線的交點即可．解：如圖，點O1，O2，O3，O4即為所求．【點評】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．23．我們知道定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．思考：上述定理的逆命題成立嗎？若成立，請寫出其逆命題，并證明；若不成立，試說明理由．（1）逆命題是：如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形；（2）已知：如圖，在△ABC中，D是AB中點，CD＝AB；求證：∠ACB＝90°．證明：【分析】（1）把命題“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的條件和結(jié)論交換，即可解答；（2）根據(jù)命題的條件和結(jié)論寫出已知，求證，然后利用等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理進行計算即可解答．解：（1）逆命題是：如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形；故答案為：如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形；（2）已知：如圖，在△ABC中，CD是AB邊的中線，且CD＝AB，求證：∠ACB＝90°，證明：∵CD是AB邊的中線，∴BD＝AD＝AB，∵CD＝AB，∴BD＝AD＝CD，∴∠DCB＝∠B，∠DCA＝∠A，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠A+∠B+∠DCB+∠DCA＝180°，∴2（∠DCB+∠DCA）＝180°，∴∠DCB+∠DCA＝90°，∴∠ACB＝90°，故答案為：如圖，在△ABC中，CD是AB邊的中線，且CD＝AB；∠ACB＝90°．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高，求證：AD垂直平分EF．【分析】根據(jù)三角形的角平分線的性質(zhì)定理和垂直平分線的性質(zhì)定理解答．【解答】證明：設(shè)AD、EF的交點為K，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE＝AF．∵AD是△ABC的角平分線∴AD是線段EF的垂直平分線．【點評】找到Rt△AED和Rt△ADF，通過兩個三角形全等，找到各量之間的關(guān)系，即可證明．25．已知：如圖，AB＝AC，AD＝AE，BE與CD相交于點P．（1）求證：PC＝PB；（2）求證：∠CAP＝∠BAP；（3）利用（2）的結(jié)論，用直尺和圓規(guī)作∠MON的平分線．（不寫作法，保留作圖痕跡）【分析】（1）首先證明△AEB≌△ADC可得∠C＝∠B，再證明△CEP≌△BDP可得PC＝PB；（2）直接證明△CAP≌△BAP可得∠CAP＝∠BAP；（3）根據(jù)此題的條件可得畫法．【解答】（1）證明：在△ADC和△AEB中，，∴△AEB≌△ADC（SAS），∴∠C＝∠B，∵AB＝AC，AD＝AE，∴AC﹣AE＝AB﹣AD，∴EC＝DB，在△EPC和△DPB中，，∴△CEP≌△BDP（AAS），∴PC＝PB；（2）證明：在△ACP和△ABP中，，∴△CAP≌△BAP（SAS），∴∠CAP＝∠BAP；（3）解：在∠MON的兩邊上分別截取OC＝OB，OE＝OD，再連接CD，BE，兩線交于點P，再畫射線OP即可．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及角平分線的作法，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定定理：SAS、SSS、ASA、AAS、HL．26．小明在學(xué)習(xí)完“等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合”，繼續(xù)探索，他猜想“如果三角形的一條角平分線是這個角對邊上的中線，那么這個三角形是等腰三角形”并進行證明．已知：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，D為BC中點．求證：△ABC是等腰三角形．（用兩種不同的方法證明）方法一：方法二：【分析】方法一：過點D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；方法二：延長AD，使DE＝AD，連接BE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠C