PAGEPAGE10第一章 量子力學的誕生xxa設(shè)質(zhì)量為mV(x)0xa試用deBroglie的駐波條件，求粒子能量的可能取值。解：據(jù)駐波條件，有 an2

(n1,2,3,)2a/n 又據(jù)deBroglie關(guān)系 ph/ （2）而能量

Ep2/2m2/2m2 h2n22m4a2

22n22ma2

1,2,（3）設(shè)粒子限制在長、寬、高分別為abc的箱內(nèi)運動，試用量子化條件求粒子能量的可能取值。x,yz軸方向，把粒子沿x,yz軸三個方向的運動分開處理。利用量子化條件，對于x方向，有p dxnx x

h , x

1,2,3,即 p 2anx x

h （2a：一來一回為一個周期） p nh/2a,x x同理可得， p nh/2b, p nh/2c,y y z zn,n,nx y z

1,2,3,1 2

n

n2 n2粒子能量 E

(p2p2p2)

znnn

2m x y

2m a2 b

c2xyz

n,n,nx y

1,2,3,1設(shè)質(zhì)量為m的粒子在諧振子勢V(x)

2m2x2E的可能取值。提示：利用

pdx

n1,2,, p2m[E2m[EV(x)]xa （1）1其中a由下式?jīng)Q定：EV(x)

V(x)V(x)

2a2。 a 0 a x22E/m2E/m2

， （2）xa即為粒子運動的轉(zhuǎn)折點。有量子化條件pdx2a

2m(E12x2)dx22a

a2x2dx得a2 nh

2ma22n2n （3）

ma2nhm m代入2，解出E n, n1,2,3, （4）n積分公式：

a2u2du

a2arcsinucua2ua2u2I，求能量的可能取值。提示：利用20

pdnh, n1,2,, p

是平面轉(zhuǎn)子的角動量。轉(zhuǎn)子的能量Ep2/2I。解：平面轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)角（角位移）記為。它的角動量p I

（廣義動量，p是運動慣量。按量子化條件20

pdx2p

m1,2,3, pmh，因而平面轉(zhuǎn)子的能量

E p2m

/2Im22/2I，m1,2,3,第二章波函數(shù)與Schr?dinger方程設(shè)質(zhì)量為m的粒子在勢場V(r中運動。證明粒子的能量平均值為Ed3r，22m

（能量密度）w 2*

ts0s2m

t

t*（能流密度）（）粒子的能量平均值為（已歸一化） 2 E*2m2Vd3rTV （1） Vd3r（勢能平均值） （2）Td3r*

2 值)22m 22

2md3r*

*其中T 的第一項可化為面積分，而在無窮遠處歸一化的波函數(shù)必然為0 。因此T22m

d3* （3）結(jié)合式1）和3，可知能量密度

2*, （4）2m且能量平均值 Ed3r 。（b）由（4）式，得 . . .222m

*t

t

V . . . . .2

2m

2 s

t 2m2V2m2V* . . sE

*sEst

（ ：幾率密度）s （

不隨時間改變）w0所以 t s 。Schr?dinger方程

（1）i r,t r,tV r

rr,tt 2m 1 2V與V1

為實函數(shù)。證明粒子的幾率（粒子數(shù)）不守恒。內(nèi)的幾率隨時間的變化為d

d3rdt

2im

*S

dS

2d3r（）式）取復共軛，得 2 i * *V

* （2）t 2m 1 2*（1）-（2）,得 2 i ** 2it 2m 22 ** 2iV2m 2 ** 2（3）t 2im j2即 0 ，j2t 此即幾率不守恒的微分表達式。（b）式（3）對空間體積積分，得 2 d3rt

2im

*

d3r

d3rV 2 22im

*S

dS

d3rV* 2 上式右邊第一項代表單位時間內(nèi)粒子經(jīng)過表面進入體的幾（ jdS ）而第二項代表體積“產(chǎn)生”的幾率，這一項表征幾率（或粒子數(shù)）不守恒。 是Schr?dinger方程的兩個解，證明1 2dd3dt

*,t1 2r 2r

r,t 0。證：

1 2

V （1）1t 2m i 2

2 2

V（2）2t 2m * 2 取（1）之復共軛： i

1 2 2V*

（3）t m 1 （3）*（2）,得2 1 2 i

t 1

2m

2 1

*1 2對全空間積分：d

2 i

d3dt 1

r,t2

r,t

d3r2m

2 1

*1 22

d3r2m

2 1

*1

2

*1

1

22 d3r2m

2 1

*1 222m

2 1

*1

0）1 2d 即 d3dt 1

r,.t2

r,t

0。2.4）x,0/x,t。解： x,t

ipe0

p2x0t/p22mx,0，求x,t2。 2

cos2dsin2d 或 expi2d expi4。2 2

解：作Fourier變換：

x,0

peipxdp，p

1 22

eipxdx

1 (x)eipxdx 12222， t

1 peipxEt/dp22

（Ep22m）1ip21

tpx

2m

dp （指數(shù)配方）21

2

it

mx2 eimx

2t

p dp令2

2t mx22 p ，則

2m

t m t 2mt 1 2 2mtx,t

2eimx

2t

ei d 1 2

2mt

eimx22

ei/4m2texp mxm2texp mx i2t4t2

mt 。x,0，證明在足夠長時間后，mtt iexpimx2mxmt2t

t式中

21 2

ikxdx

的Fourier變換。提示：利用 lim ei/4eix2。 證：根據(jù)平面波的時間變化規(guī)律eikx， Ek22m，任意時刻的波函數(shù)為12 12

tk2 x,t

eikx

/2mdk21 2 2

t mx2 eimx

/2t

dkk

expi

km

（1）t當時間足夠長后（所謂t），上式被積函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)具有函數(shù)的性質(zhì)，取t

uk

mx， t

， （2）參照本題的解題提示，即得2 1 2

mxx,t

eimx

2t

eit

/4kk

tdk mei/4eimx2/2t

mx,

tmmx

t

（3）xt t

t

（4）物理意義：在足夠長時間后，各不同kxkmxt，即xktm，強度k2，因子mt描述整個波包的擴散，波包強度

21t。設(shè)整個波包中最強的動量成分為k，即kk時k2最大，由）t足夠大以后，0 0大值出現(xiàn)在mxtk處，即xktm處，這表明波包中心處波群的主要成分為k。0 0 0

2的最rSchr?dinger方程。r解：經(jīng)典能量方程 E

p2V2m

。 ppri dp所以在動量表象中，Schr?dinger為：p2 d

。2m

Vidp

p Ep 第三章一維定態(tài)問題3.1）設(shè)粒子處在二維無限深勢阱中，, V(x,y)0xa,0y, 求粒子的能量本征值和本征波函數(shù)。如ab ，能級的簡并度如何解：能量的本征值和本征函數(shù)為22Enxny 2mab 2ab

(n2xa2sinnx

n2)y)b2ysin y , n,

1,2,nxny a b x y若ab，則 E

22(n

n2)nxny 2ma2 x y 2

x ysin x sin ynxny a a a這時，若nx

n ny

n ，則能級一般是二度簡并的（ny

n 5yn'x

n'y

2）3.2）設(shè)粒子限制在矩形匣子中運動，即V(x,y,z)0xa,0yb,0zc,

其余區(qū)域求粒子的能量本征值和本征波函數(shù)。如abc解：能量本征值和本征波函數(shù)為22 n2

n2n2Enn

( x y z),x y z

2m a2 b2 c28abc 8abc

x x sin

ysinnz,nnnx y z

zn,n,nzx y

a b c1,2,3,abc時，

22Enn

(n22

n2

n2)x y z

ma2 x y z232

x

y ynnnx y z

a

x sin y sin za a an nx

n時，能級不簡并；zn,n,nx y

三者中有二者相等，而第三者不等時，能級一般為三重簡并的。n,n,nx y

三者皆不相等時，能級一般為6度簡并的。5262823242102如1021221626282202

(1,7,9)(1,3,11)(1,5,10)(3,6,9)3.3）設(shè)粒子處在一維無限深方勢阱中，x0,xV(x,y)x0,x證明處于定 (x)的粒子na a2 6x, (x-x)2 )2 12 n222a討論n證：設(shè)粒子處于第n2a(x)n

sin

nx.a2xax dx2axsin2xdx分部2

（1）0 n a0 a 2(xx)2

x2

x

ax20

2dxa2n 42ax211cos2nx)dxa2a0 2 a 4a2

(1

6 ) （2）12 n22在經(jīng)典情況下，在0,a區(qū)間粒子除與阱壁碰撞（設(shè)碰撞時間不計，且為彈性碰撞，即粒子碰撞后僅運動方向改變，但動能、速度不變）外，來回作勻速運動，因此粒子處于xxdx范圍的幾率為dxa，故xaxdxa

， （3）0 a 2x2ax

a2，0 a 3(xx)2

x2x （4）2 a2 a23 42 a2 a2n時，量子力學的結(jié)果與經(jīng)典力學結(jié)果一致。3.4）設(shè)粒子處在一維無限深方勢阱中，xa2V(x,y), xa2處于基態(tài)(n1)，求粒子的動量分布。解：基態(tài)波函數(shù)為 1ipx2ipx2aaa

cos2aa2ax

, （參P571）(p)

2e cos dx2a2 2a 1 a2aa2

eipx

1(eixa2a

eix

)dxa p p1 a p p1i() i()2 2ea e a 2 a2 1

pi

ipa

1 ip

ipaa ea2a

a2

a

ea 2

p

p 2i

2i a

1

cos

pa

paa p 2 p 2a a a 2 q322a2p2

cospa2

pa動量的幾率分布p)p)2

22a2p2

cos223.5）設(shè)粒子處于半壁高的勢場中,V(x)V0,

x00xa （1）xa解：分區(qū)域?qū)懗?"(x)k1 "(x)k2 2

(x)0xa(x)xa

（2）其中 k

2Ek22E

（3）2 0 2方程的解為

(x)Aeik'xBeik'x1

（4）(x)Cekx2

Dekx根據(jù)對波函數(shù)的有限性要求，當x時，2(x)有限，則C0當x0時(x)0，則AB01于是 1

(x)Fsink'x, 0xa

（5）(x)Dekx2

, xa在xa處，波函數(shù)及其一級導數(shù)連續(xù)，得Fsink'aDeka, k'Fcosk'akDeka （6）k上兩方程相比，得 tgk'a （7kkV0EE 2V0EE即 tga

V 2 0

）若令 k'a, ka 則由7）和，我們將得到兩個方程：ctg (9)2 2

2V 0a22

(10)

（10）r 2V 2a為半徑的圓。對于束縛態(tài)來說，V E0，0 0結(jié)合（38）式可知，和（1）式表達的圓與曲線ct在第一象限的交點可決定束縛態(tài)能級。當r 2，即

2V2

0a2，亦即a2228 0時，至少存在一個束縛態(tài)能級。這是對粒子質(zhì)量，位阱深度和寬度的一個限制。3—6）求不對稱勢阱中粒子的能量本征值。解：僅討論分立能級的情況，即0EV2dE dx2 當x時0，故有1Aekx 1

x

E 1

1 1 Asinkx,

0xa, k 2mE 2Aekx 22

ax, k2

2

Edlndxx0xa處的連續(xù)條件，得k1kctg, k2kctgka （1）2mV1由（1a）可得 sin 2mV1

（2）由于k,k,k皆為正值，故由1，知ka為二，四象限的角。1 22mV2因而 2mV2又由1，余切函數(shù)ctg的周期為，故由(2式，2mV1nsin1 2mV11

（3）(4)2mV2由(3)，得 kansin1 2mV2

(5)結(jié)合(4),(5)，得 ka

sin12

k k2mV22mV12mV22mV1 12mV1或 kansin1 2mV1

sin1 k

（6）2mV2n2mV2一般而言，給定一個n值，有一個解k ，相當于有一個能級：n2k2當V V2

時，僅當

E n 2ma 2a 2mV2

sin1V2VV2V1V2V1 V2V1

（7）才有束縛態(tài)，故V,V1 2

給定時，僅當a

sin2mV22 2mV22

（8）時才有束縛態(tài)（若V V1 2

V，則無論V和a的值如何，至少總有一個能級）當V,V1

a(7)式可求出n個能級（若有n個能級的話: A

ek

, x0 ,

E n 2mV n

1n 1n An

, 0xa,n n

A 1 n

n1

ek2n

xa,

xa , k2n

2mV E 22n22n2mV2n

21k1n

1k 2n3—7）設(shè)粒子（能量E0）從左入射，碰到下列勢阱（圖，求阱壁處的反射系數(shù)。V, x解：勢阱為 V(x) 0 x0.在區(qū)域Ⅰ上有入射波與反射波，在區(qū)域Ⅱ上僅有透射波。故1 AeikxBeikx, 1 1

0

ECeikx22

, k 2mE2由(0)(0)，得 ABC。1 2由'(0)'(0)，得 kBkC。1 2 1 2從上二式消去c, 得 kk。1 2 1 2B2

k21反射系數(shù) Rr1

A2k1

2k 22k,k1

代入運算，可得V2

V216E2, EVR

0 0 0EVEE0

4 14 EV, EV0 03—8）利用Hermite多項式的遞推關(guān)系（附錄A3。式諧振子波函數(shù)滿足下列關(guān)系x(x)

1 (x) n(x) n

n1

2 n1 1 xn

(x) 22

n1

n2

(x)

2n1n

(x)

n

n2

n2

(x)并由此證明， 態(tài)下， xVE 2n n證：諧振子波函數(shù) n

(x)Amm

e2x22Hn

x) （1）22nn!n

,

（2）H(x)的遞推關(guān)系為Hn

n1

(x)2xHn

(x)2nH

n1

x)0. （3） xn

(x)An

e2x2

2xHn

x) 12

Ae2x2n

2xHn

(x) 12nn!

Ae2x2n

2

n1

x)

n1

(x)2nn!1

e2x2

2nH

n1

x) n22n2

e2x2

2H

n1

(x)

2n2n12n1

e2x22

Hn1nn12

e2x22

Hn1

(x)1 (x) n(x) n21n2

n1

2 n1 nn12 x

(x)

x (x) x (x)n

n1 n1 1 n n

(x)

n (x)

n1 n(x)

n (x) 2 2

n2

2 n

2 2

2 n2

122

n2

(x)n

(x)

n2

(x) 1

n1 x*n

dx*(x)n n

nn2

(x) 2

n1

(x)dx0 V*(x)12x2n 2

(x)dx*(x)1m2 1

(x)dxn 2 2 n1 m2 1

1n1

E 22 2 2 2 n3—9）利用Hermite多項式的求導公式。證明（參A3.式（12）n2d(x)n2dx n

2n12d2dx2

(x)2nnn 2

n2

n

n2A3式1：H')2nH

(),

dH(x)n

2nH

(x)n

dx n1d dx

(x)An

2x2e2x22Hn

x)e2x2

2

n1

(x)2xn

(x)

n1

(x)

n1

(x)

n2

n1

(x)

n1

(x)

n1

(x)

n2

n1

d2(x)

n

n

n

n12 n12dx2 n

2 2

n2

n

2 n

2 n222

nn2

n

n2p*

d

dx*

dx0n dx np2 2 d2

n 2 n1

n1T * dx2m n 2mdx2 n2 2 *2m n 2

nn1

n2

2n1 n

n

n2

dxn222

2 m 1 1 E 2n14m n

dx 2n4m

n n2 2 23—10）諧振子處 態(tài)下，計算n

12

?22x x x ，p 22

p ，x pn

1解：由題6，x, x2

2m2

m

m 1由題7，p, p22TmEn

n

m22

1 1212xxx2 x2x2 2n 121212 12

2m 12 12

1 ppp2

p2p

2n m xpn1 2

2 對于基態(tài)，n0, xp2，剛好是測不準關(guān)系所規(guī)定的下限。荷電q的諧振子，受到外電場的作用，1V(x)求能量本征值和本征函數(shù)。p2 1

m2x2qx （1）2解：H

m2x2qxH2m 2

qx （2）H的本征函數(shù)為 0

Ae2x22Hn

(x)，本征值

En

n

122HEn

，本癥函數(shù)記為

(x)。n 式（）的勢能項可以寫成 V(x)12xx2 0其中 x qm20

x20

（3）如作坐標平移，令 x

xx （4）0由于 p

diddx dx'

p' （5）H可表成 H

m2x2p'2 p'2 1 m21x,22m22

（6）（6）式中的H與（2）式中的H 相比較，易見H和H 的差別在于變量由x換成x'，并添加了常數(shù)項0 0 1 m2x2，由此可知 2 0E E01m2x2 （7）n n 2 0(x)(x')(xx) （8）n n n 0即 1

q 2E n m2 n 2 2

m2

（9）n

1

q2

, n 22

2m2q22 q (x)An n

x m2

H xmnm

m

(10)2nn!n

,

(11)3—12）設(shè)粒子在下列勢阱中運動，, x,() 1V x m x, x() 12 2 2求粒子能級。解：既然粒子不能穿入x0的區(qū)域，則對應的S.eqx0處為零。另一方面，在x0的區(qū)域，這些本征函數(shù)和諧振子的本征函數(shù)相同（因在這個區(qū)域，粒子的HH和諧振子的波函數(shù)滿足同樣的S.en2k1的奇宇稱波函數(shù)在x0這一問題的解（n2k(0)0）所以E 3, kk3—13）設(shè)粒子在下列勢阱中運動，V(x)

, x

r,a0rx0.是否存在束縛定態(tài)？求存在束縛定態(tài)的條件。

(1)解：S.eq: 2 d22mdx2

rxaE

(2)對于束縛態(tài)（E0，令 2mE

(3)d2則dx

2mr02

(4)積分aa

dx0,躍變的條件2mr'(a)'(a)2mr2

(a)

(5)在xa處，方程(4)化為d2dx2

20

(6)邊條件為 (0)()束縛態(tài)(x)shx, 0xa,因此 Aex, x再根據(jù)xa點(x)連續(xù)條件及'(x)躍變條件(5)，分別得shaAea(a)Aeacha2mr(a)2由（8（）可得（以a(a)乘以9）式，利用8）式）

(7)(8)(9)aacotha2mra (10)2此即確定能級的公式。下列分析至少存在一條束縛態(tài)能級的條件。當勢阱出現(xiàn)第一條能級時，E0，所以a0,利用 limacotha

a 1,（10）式化為

a02mra2

a0thaaacotha10 ,因此至少存在一條束縛態(tài)能級的條件為

2mra2

1 純勢阱中存在唯一的束縛能級當一側(cè)存在無限高勢壘時由于排斥作（表現(xiàn)(x)0對x0。束縛態(tài)存在與否是要受到影響的。純勢阱的特征長度L2mr 。條件可改寫為 a2 （12）即要求無限高勢壘離開勢阱較遠（a2。才能保證勢阱中的束縛態(tài)能存在下去。顯然，a（即aL2，a時，左側(cè)無限高勢壘的影響可以完全忽略，此時cotha1，式10）給出mr22即 E22mr2

（13）2m 22與勢阱V(x)r(x令a，則式（10）化為coth

2mra（14）2由于coth1，所以只當

2mra2

1時，式（10）（14）才有解。解出根之后，利用aa 2mE，即可求出能級E

22ma2

（15）第四章力學量用算符表達與表象變換4.1）設(shè)AB為厄米算符，則11BAF均可分2 FF

iF

FF

均為厄米算符，且F 1F F1F 2 11A AB1AB1BA證：?。? 2 2 2 1BA21ⅱ）

1

BA

AB

1BAAB1ABBA 1BA也為厄米算符。2iⅲ）FABF

BA

BA，且定義

F 1F F1F

（1） 2 由ⅰ，ⅱ）得F

F, F

FF

F皆為厄米算符。則由（1）式，不難解得 FF

iF4.2）F(x,px,p的整函數(shù)，證明FiF, FiFx pF(x,pF(x,p)

Cmn

xmpn。m,n0 （1）pxm

mixm1, x,pn nipn1。p,xm

xm1

p,xm1x xpxm2xxpxm2x

x ixm1xm

p,x

x2p,xm3x33ixm1

p,x

x3m1

p,xmm1

xm1m1ixm1mixm1同理，x,pn

pn1

x,pn1

p ipn1n

x,x,pn2p22ipn1x,pn2nipn1

p2現(xiàn)在，

p,Fp,

C xmpnmn

Cmn

p,xmpn m,n0 m,n

C mixm1pnmn m,n 而 iFx

C mixm1pn。mnm,n0 FiF F

x,

C xmpn

C xmx,pnmn又

m,n0Cmn

xmnipn1

m,n0m,n0而 iFp

C xmnipn1 m,n0 FiFp4.3）定義反對易式A,B

ABBA，證明CCCBCCA,BCA,BBA,CC 證：AB,CAB,CA,CBABCACBACBCABABCCBACCABAB,CA,CB A,BCA,BCBA,CABCBACBACBCABACCABCC 4.4）ABCB的標積和矢積定義為ABAB

, AB

AB ,,,y,z為Levi-civita符號，試驗證ABCABC

ABC

（1）

ABC A

CABC （2）

AB

ABCA BC

（3） 證： （1）式左端ABCAx

BC BCy z y z

ACy z

BCx

Az

BC BCx y y x

ABC 式右端也可以化成 ABC

ABC

。（1）式得證。

式左端

ABC A

BC A

BC

（1,2,3）A BC

BC

A

BC BC

ABC

ABC B

AB

（2）式右 端AB

CABCAB

AB

AB

AB

AB

ABC

ABC

ABC

AB AB C 故（2）式成立。式驗證可仿式。4.5）設(shè)A與B為矢量算符，F(xiàn)為標量算符，證明 F,AB

F,

BA

F,B

（1）F,AB

F,

BA

F,B

（2） （）式右端FAFBAFBF FABAFBAFBABF FABAFAB（1）式左端 （2）式右端FABAFB FABAFBAFBABF FABAFAB（2）式左端4.6）F是由rp構(gòu)成的標量算符，證明 F FL,F

ip

pirr

（1）

證：L,F

L,x

iLy

,Fj

L,z

k Fzpy,Fz

,FFz

y

,FFy(.2yz

iy

p izz

iFpp yzF F F Fi p piy z p y

p yz

yF

Fi p ir

（3）p

r x

x LF

i

p ir

（4）y p

ry yy F FL,Fi p ir

（5）z p

rz zz將式34（）代入式2，于是1）式得證。4.7）證明 pLLppipLLp

p 。

證：pLLp pLpLx y z z

Lp Lp p,Ly z z y y z

L,pz利用基本對易式 L,p

p,L

p 即得 pLLpx

。x因此 pLLppxpL對易，所以x x L2,px

y2,p

L2,pZ

L,py

LyL

L,py

,pL,px z z z xipzLyLyzpyLzLzpyipyLzpzL

Lp Lpz z yipLLp

pLLp

x ,p4.8）證明

r2p2rpirp （1） Lp2pL2LppLL2p2

（2） pL

Lp

L2p2

42p2

（3）Lp

Lp

iLp2

（4）證:（1）A

BC

A

C，有

2prrp

rrp

prrprrp pr2Ppr

rp其中 pr2r2pir2prrpir

r2p2irrp3i因此L2r2p2

r

2irp（2）利用公式，

Lp

pL

pp0

（Δ）

LppLLppL

LppLppLLp20LL2p2

L,P2 0 ① Lp2

Lp

L

L

pLp

Lp2LpLpp2

L,P2 0 ② pL2pLpL pLpLLp2p

Lp

Lp2 ③由①②，則）得。 （3）

pL

Lp4.7)(1)

pL

pL2ippL

2

Lp 4.7)(1)L2p22i2ipLpp()L2p242p2（4）量加以4.2，ABC ABCABC Lp

Lp x

Lp

Lpx

Lp

Lp ，xLx

ppLx

pe pezy y（即L,px

ipy

jpz

0ipz

jipk）y

Lp

Lp x

p

L

i

Lp

pzez

pye

Lp

LpzLppx

iLp

pL

ppxiLp

iLp2x xyz分量的公式，故題得證。p 11rppr14.9）定義徑向動量算符 rp

2r r

i

1證明： ，r r

r r r，pr

i，2 22

1 d p 2 2 r2 ，r 2 r

r2p21r2

p2r

CBA，11 1

1 1

1 p rppr p r r p r 2r r 21pr11rpp

r r 2 r r r即p為厄米算符。r 11 1 1r

r

rb p rppr p pi rr r 2r r 2rr

r i r r i1 1 p i rr rr 2 r

r 2r r i3 r i3 1i

rr2r2

ir3

2r ri1r

,

1

,

ir

rr i

r r

i

r

r r ir r

1

i (b)

12

2 1 1 1d pr

2 2 r r r2

rr

r22 1 1 1 1

2

22 2 r2 rr rr r2 r2 r2 r2

1 r2r2r r e據(jù)4.81，2

r2p

rp

irp。其中 rpirirr， 因而

r2p

2rrrr2rr 2 r2p

2r

r2

rr2左乘上式各項，即得1 2 24.9)d 1p2 2 p2r2 r2 r

r2 r利用測不準關(guān)系估算諧振子的基態(tài)能量。p2 1解：一維諧振子能量 Ex

x m2x2。2m 2x

xe2x2dx0奇，

，p 0，mm（由(3.8)、(3.9)題可知x0,px

0） xxxx，x

p px

p，xx 由測不準關(guān)系，xp 2,得p 2x。x 12 1 E m2x2x 2m2x 2dE 2 2 x m2x0x2dx 8m x3 2m22m 22m 1 m2 1 22m20x同理有E0y

1，E2 0

1。2諧振子（三維）基態(tài)能量E0

E E E0x 0y 0

3。2利用測不準關(guān)系估算類氫原子中電子的基態(tài)能量。解：類氫原子中有關(guān)電子的討論與氫原子的討論十分相似，只是把氫原子中有關(guān)公式中的核電荷數(shù)e換成ze（z為氫原子系數(shù)）而u理解為相應的約化質(zhì)量。故玻爾軌跡半徑a 2 ，在類氫原子中變?yōu)閍a0 。0 ue2 z1類氫原子基態(tài)波函數(shù)

100

era，僅是r的函數(shù)。而而e de1d1drdrrdersind，故只考慮徑向測不準關(guān)系pr~，r類氫原子徑向能量為：Ep22urze2r。H

p2

ze2

，如果只考慮基態(tài)，它可寫為rp2 ze2 d 1H r ，p i 2u r r dr rpr共軛，于是pr

r~，r~r，p2pE r

ze2~ 2 ze2

（1）r

2mr2 r求極值 0

2

ze2r mr3 r0z0z由此得r2 mze2得

a（a0

a：類氫原子中的電子基態(tài)“軌跡”半徑。代入（1）式，基態(tài)能量，E~mz2e4 22ze22a1r1r運算中做了一些不嚴格的代換，如 1r1r

，作為估算是允許的。證明在分立的能量本征態(tài)下動量平均值為0。證：設(shè)定態(tài)波函數(shù)的空間部分為 ，則有H E為求p的平均值，我們注意到坐標算符xi

H的對易關(guān)系：x,i

Hx,ij

pp j j

Vx

ip u。ix,pi j

iij

，由此p i

pip

uiui

,Hiuxi iuxi

HHxiEExi

0這里用到了H的厄米性。

C可以表示為兩個厄米算符A和B的對易子Ci,BA 或B的本征態(tài)中，C的平均值必為0。4.13）證明在的本征態(tài)下，L L 0。x y（LLy z

LLz

iLx

，求平均。）證：設(shè) 是

的本征態(tài)，本征值為Lz

,Ly L,Lz

LLLL

LLz yLL

iL，xiL，y L 1 LLLL x i y z z y 1i

LL

LLy 1mi

mLy

0y同理有：Ly

0。設(shè)粒子處于Y

,狀態(tài)下，求

2和L 2lm x y解：記本征態(tài)Y 為lm，滿足本征方程lm2lmll2lm，Lz利用基本對易式 LLiL，

lmmlm，lmLz

lm，可得算符關(guān)系iLx

iLLx

LLy

LLz

L Lx

LLz

LLLz y xL LLy x z

iLy

LLLz y

iLy

LLLx

LLLy x將上式在態(tài)下求平均因Lz作用于lm或lm后均變成本征值使得后兩項對平均值的貢獻互相抵消，因此 Lx

2 L2y2 2

2 2 又 L L x y2 2

LLz1Lz

ll1

m22 L L x y 2

l

m22上題已證L L x y

0。 2

2 2 2 1 Lx 22

L Lxx1 xx

L Lxxxx

L x 2

l

m22同理 Ly

ll2

m22。設(shè)體系處 CY

CY

狀態(tài)（

2C

21，求111 2 20 1 2Lz

的可能測值及平均值;的可能測值及相應的幾率；Lx

的可能測值及相應的幾率。解： L2Y11

22Y11

，L2Y20

62Y ；20LYz11

Y11

，LYz

0Y 。20Lz

的可能測值為，0，相應的幾率為C1

2，C2

2Lz

C 2。1的可能測值為2262C1

2C 2。2（c）若C，C不為0，則L（及L ）的可能測值為：2，，0，，。1 2 x y0 1 0 2L2x

在l1

L2,Lz

對角化的表象中的矩陣是 1 0 10 1 0 0 1 0a a1 2求本征矢并令1，則 1 0 1bb，20 1 0c c 得，b 2a，ac 2b，b 2c。0,1。a 1 1 ?。┤?，得b0,

ca，本征矢為0，歸一化后可得本征矢為2a2

0。1 a 1 1 ⅱ）取1，得b 2a 2c，本征矢為 2a，歸一化后可得本征矢為2 2。 a 1 1 1 ⅲ）取1，得b 2a 2c，歸一化后可得本征矢為2 2。 1 121 11222CY C022

0 C0

0C 0 C在111

態(tài)下，L取x

的振幅為1

1

，L取x

的幾率為1

；L取x0 1 12421C0 01 2C C2421的振幅為 1 124 24

12，相應的幾率為1 ；L

1 C0 01 2C

C C 22取 的振幅為 2x 1 1

1 ，相應的幾率為1 ?？値茁蕿?。212Lx

在l2的空間，L2,Lz

對角化表象中的矩陣利用 jmxjmjx

jm 112j12jmjm

jm 22jx

211，2jx

20

，20j32x32

21

，2j32x32

22 1。0 1

0 0 0 1

0 0a

a032 0321 0 0 0 1 0

0 0

b b32323232032L 0 0

3232

0cc ，本征方程x

320 0 3 0 1 0 32

3 0 1d d 2

2 00 001 00 001

0 1 0e ebaa 3cb，3dc，3cedd。2 2

1 0 3 0 0300

c，d0，e

3 3c本征矢為

2CY

C1態(tài)下測得L 02 2 8 3

2

2 x0 0 01 01 1 的振幅為C2

0 1 0 0

838

00322C320 20

C24。幾率為2 ；241 1 1 11 ⅱ）1，ba，c0，db，de，本征矢為 0。在 21

Y2

態(tài)下，測得Lx

的振幅為1 11 C0 1 0 000，幾率為0 2 211 1

111 ⅲ）1，ba，c0，db，ed，本征矢為 0， 211 1

Y2

態(tài)下，測得Lx

幾率為0。12 2c 1 ⅳ）22a，c 6a，d2e2a，e

a，本征矢為646

6211

Y2

Lx

212 261 368的振幅為C82

0 1 0 0 64 21 1

C。幾率為C 2；42 24

121 ⅴ）2，b2a，c 6a，d2a，ea，本征矢為 6，在 421 1

Y2

Lx

2的838幾率為

C 228 88 8 4

2C 2。2 2在 CY CY

（和L ）的可能值及幾率分別為：11138238

2 201414

x y1214140 121414

23C2 C22 1

C2 C21 2

C2 C 21 8 24.16）設(shè)屬于能級E有三個簡并態(tài) ， 和 ，彼此線形獨立，但不正交，試利用它們構(gòu)成一組彼此正交歸1 2 3一的波函數(shù)。解：1

a 1

11

1'2

1

，1

1',2 2

'，'3

1 3

， 2 3 2 3

1',3 3

'。,1

,是歸一化的。3,1 2

1',2 2

1

1

,1

0，,1 3

1',3 3

1

1

,1

2

,1

0，,2 3

1',3 3

2

1

,2

2

,2

0。它們是正交歸一的，但仍然是簡并的（可驗證：它們?nèi)詫谕荒芗墶?.17）設(shè)有矩陣A,B,C,S等，證明det

AB

det

S1

detA，TrAB

，

S1

TrA，

ABC

BCA

CAB，detAA相應的行列式得值，TrAA的對角元素之和。（）由定義detAPii1 n

a

a2i2

a ，nin1ii1n

1 當ii 是1n的偶置換

1n

Pi i 1 當i i 是

n的奇置換1 n 0 1 n 其他情形detA

ij1 n 1 n ii

a ，j2i2 jnin1 n其中jj1

是的任意一個置換。detCdetABiC C

ii

1n

1 na b

2i2b

nina b1i1in

n

1

2j2

j2i2

nj jin nna a a ib b j1jn

njn

1i1in

n

j2i2

jninPj

a a

i

Pjj

b b j1jn

1 n 12j2 njn

1 n 1 n j2i2 jnindetAdetB detS1AS detS1detAdetSdetS1detSdet detS1SdetAdetATrABa bik ki

baki

TrBAik ik

TrS1AS TrS1

1

TrASS1 TrATrABCab cij jk ki

bjk

caki

TrBCAcabki ij jk

TrCABijk ijk ijk第五章力學量隨時間的變化與對稱性5.1）A不顯含tH為本體系的Hamilton量，證明2

d2dt2

AA,H,H證.A不顯含tdA

1H令HC

dt id2A則

1dC

1H

1C,H,dt2

idt i 2

d2dt2

AA,H,HdA5.2）A不顯含tdt證：束縛定態(tài)為:：

r,t

reiEt。n n 在束縛定態(tài)

r,

H

r,

i

r,

E

r,t。nn nn

n nHn

r,

it

reiEnt

En n

r,t。dA

,dA

d

,

,

,Adt

n dt n

dt n

n n n n n dA1H

,

,A1H dt i

n n i nA

1H

1

,

1

,AHt i i n

n i n n1H1i i

,n

1i

A,HH,A0。5.3）D

a

表示沿x方向平移距離a算符.證明下列形式波函數(shù)（Bloch波函數(shù)）x x xxeikxkkakxDxa的本征態(tài)，相應的本征值為eikaDxxaeikxaaeikaeikxkxeikax,證畢。5.4）設(shè)m表示Lz

的本征態(tài)（本征值為，證明z eikLeikLmz L沿空間,LL Lnn