第第14講講分式方程

概述概述適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級(jí)初中二年級(jí)適用區(qū)域北師版區(qū)域課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）120知識(shí)點(diǎn)1.分式方程的概念及計(jì)算2.分式方程的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)1.理解分式方程的概念；2.掌握解分式方程的基本方法和步驟；3.通過(guò)日常生活中的情境創(chuàng)設(shè)，經(jīng)歷探索分式方程應(yīng)用的過(guò)程，會(huì)檢驗(yàn)根的合理性；教學(xué)重點(diǎn)解分式方程及應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)解分式方程及應(yīng)用【教學(xué)建議】本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是使學(xué)生能熟練掌握分式方程的計(jì)算以及分式方程的應(yīng)用。分式方程的計(jì)算重點(diǎn)在于分式化整式，分式方程有解無(wú)解的問題。教師在授課過(guò)程中注意學(xué)生對(duì)分式方程的驗(yàn)根。學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)時(shí)可能會(huì)在以下幾個(gè)方面感到困難：1.分式方程有解無(wú)解的判定。2.分式方程的應(yīng)用?！局R(shí)導(dǎo)圖】教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)入一、導(dǎo)入【教學(xué)建議】有關(guān)分式方程的問題，學(xué)生在計(jì)算和應(yīng)用上容易出錯(cuò)，教師在授課過(guò)程中注意計(jì)算步驟以及驗(yàn)根的過(guò)程，應(yīng)用上體現(xiàn)未知數(shù)做分母的思想。二、知識(shí)講解二、知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1分式方程的概念及計(jì)算1、定義：分式方程：分母中含有未知數(shù)得方程。分式方程重要特征：（1）含分母（2）分母中含未知數(shù)分式方程與整式方程的區(qū)別：分式方程中分母含有未知數(shù)，而整式方程中的分母不含有未知數(shù)。2、解分式方程分式方程：注意事項(xiàng)：學(xué)生在解方程過(guò)程中易犯的錯(cuò)誤：1、解方程時(shí)忘記檢驗(yàn)；2、去分母時(shí)忘記加括號(hào)；3、去分母時(shí)漏乘不含分母的項(xiàng).知識(shí)點(diǎn)2分式方程的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)2分式方程的應(yīng)用讓學(xué)生類比列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟總結(jié)出列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟.強(qiáng)調(diào)兩次驗(yàn)根的重要性.“審---設(shè)---列---解---驗(yàn)---答”的步驟解決問題.三、例題三、例題精析例題1例題1【題干】下面是分式方程的是（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】根據(jù)分式方程的定義解題例題2例題2【題干】小明乘出租車去體育場(chǎng)，有兩條路線可供選擇：路線一的全程是25千米，但交通比較擁堵，路線二的全程是30千米，平均車速比走路線一時(shí)的平均車速能提高80%，因此能比走路線一少用10分鐘到達(dá)．若設(shè)走路線一時(shí)的平均速度為x千米/小時(shí)，根據(jù)題意得：（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】若設(shè)走路線一時(shí)的平均速度為x千米/小時(shí)，根據(jù)路線一的全程是25千米，但交通比較擁堵，路線二的全程是30千米，平均車速比走路線一時(shí)的平均車速能提高80%，因此能比走路線一少用10分鐘到達(dá)可列出方程．．故選A．例題3例題3【題干】解分式方程時(shí)，去分母后變形正確的為（）A．2+（x+2）=3（x-1）B．2-x+2=3（x-1）C．2-（x+2）=3D．2-（x+2）=3（x-1）【答案】D【解析】根據(jù)分式方程的特點(diǎn)，原方程化為：，去分母時(shí)，兩邊同乘以x－1，得：．故選D例題4例題4【題干】已知關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是（）A.m＞2B.m≥2C.m≥2且m≠3D.m＞2且m≠3【答案】C.【解析】分式方程去分母得：m-3=x-1，解得：x=m-2，由方程的解為非負(fù)數(shù)，得到m-2≥0，且m-2≠1，解得：m≥2且m≠3．故選C.例題5例題5【題干】若分式方程有增根，則a的值是（）A．1B．0C．—1D．3【答案】D．【解析】去分母得：1+3x﹣6=a﹣x，由題意得：x﹣2=0，即x=2，代入整式方程得：1+6﹣6=a﹣2，解得：a=3．故選D．四、課堂運(yùn)用四、課堂運(yùn)用基礎(chǔ)基礎(chǔ)1.下列關(guān)于x的方程①，②，③1，④中，是分式方程的是（）（填序號(hào)）【答案】②【解析】根據(jù)分式方程的定義即可判斷.符合分式方程的定義的是②2.下面說(shuō)法中,正確的是（?）

A.分式方程一定有解B.分式方程就是含有分母的方程C.分式方程中，分母中一定含有未知數(shù)D.把分式方程化為整式方程，則這個(gè)整式方程的解就是這個(gè)分式方程的解【答案】C【解析】A.分式方程不一定有解，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.根據(jù)方程必須具備兩個(gè)條件：①含有未知數(shù)；②是等式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.分式方程中，分母中一定含有未知數(shù)，故本選項(xiàng)正確；D.把分式方程化為整式方程，這個(gè)整式方程的解不一定是這個(gè)分式方程的解，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選C.3.某電子元件廠準(zhǔn)備生產(chǎn)4600個(gè)電子元件，甲車間獨(dú)立生產(chǎn)一半后，由于要盡快投入市場(chǎng)，乙車間也加入了該電子元件的生產(chǎn)，若乙車間每天生產(chǎn)的電子元件個(gè)數(shù)是甲車間的1．3倍，結(jié)果用33天完成任務(wù)，問甲車間每天生產(chǎn)電子元件多少個(gè)？在這個(gè)問題中設(shè)甲車間每天生產(chǎn)電子元件x個(gè)，根據(jù)題意可得方程為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根據(jù)題意可知甲車間每天生產(chǎn)電子元件x個(gè)，則乙每天生產(chǎn)電子元件1．3x個(gè)，由此可知甲單獨(dú)生產(chǎn)的天數(shù)為天，甲乙兩車間合作生產(chǎn)的時(shí)間為天，根據(jù)一共用的得時(shí)間可列方程為+=33．故選B鞏固鞏固1.某園林隊(duì)計(jì)劃由6名工人對(duì)200平方米的區(qū)域進(jìn)行綠化，由于施工時(shí)增加了2名工人，結(jié)果比計(jì)劃提前3小時(shí)完成任務(wù)，若每人每小時(shí)綠化面積相同，求每人每小時(shí)的綠化面積．設(shè)每人每小時(shí)的綠化面積為x平方米，列出滿足題意的方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)每人每小時(shí)的綠化面積為x平方米，由題意得，．故選A．2.用換元法解分式方程時(shí)，如果設(shè)，將原方程化為關(guān)于的整式方程，那么這個(gè)整式方程是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】分式方程變形為，，如果設(shè)，將原方程化為關(guān)于的整式方程為3.已知關(guān)于x的分式方程的解是非正數(shù)，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≤﹣1B．a(chǎn)≤﹣1且a≠﹣2C．a(chǎn)≤1且a≠﹣2D．a(chǎn)≤1【答案】B【解析】分式方程去分母得：a+2=x+1，解得：x=a+1，∵分式方程的解為非正數(shù)，∴a+1≤0，解得：a≤﹣1。又當(dāng)x=﹣1時(shí)，分式方程無(wú)意義，∴把x=﹣1代入x=a+1得?！嘁狗质椒匠逃幸饬x，必須a≠﹣2。∴a的取值范圍是a≤﹣1且a≠﹣2。故選B。4.新定義[a，b]為一次函數(shù)（其中a≠0，且a，b為實(shí)數(shù)）的“關(guān)聯(lián)數(shù)”，若“關(guān)聯(lián)數(shù)”[3，m+2]所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)是正比例函數(shù)，則關(guān)于x的方程的解為．【答案】.【解析】根據(jù)“關(guān)聯(lián)數(shù)”[3，m+2]所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)是正比例函數(shù)，得到y(tǒng)=3x+m+2為正比例函數(shù)，即m+2=0，解得：m=-2，則分式方程為，去分母得：2-（x-1）=2（x-1），去括號(hào)得：2-x+1=2x-2，解得：x=，經(jīng)檢驗(yàn)x=是分式方程的解拔高拔高1.若關(guān)于x的分式方程有非負(fù)數(shù)解，則a的取值范圍是．【答案】且【解析】解方程得：有題意可得：，則且2.若關(guān)于x的方程=+1無(wú)解，則a的值為（）A．1B．2C．1或2D．0或2【答案】C【解析】根據(jù)分式方程無(wú)解的條件是：去分母后所得整式方程無(wú)解，或解這個(gè)整式方程得到的解使原方程的分母等于0．因此把方程去分母得：ax=4+x﹣2，解得（a﹣1）x=2，因此可以分情況知：當(dāng)a﹣1=0即a=1時(shí)，整式方程無(wú)解，分式方程無(wú)解；當(dāng)a≠1時(shí)，x=x=2時(shí)分母為0，方程無(wú)解，即=2，因此a=2時(shí)方程無(wú)解．故選C．3.某縣為了落實(shí)中央的“強(qiáng)基惠民工程”，計(jì)劃將某村的居民自來(lái)水管道進(jìn)行改造．該工程若由甲隊(duì)單獨(dú)施工恰好在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成；若乙隊(duì)單獨(dú)施工，則完成工程所需天數(shù)是規(guī)定天數(shù)的1.5倍．如果由甲、乙隊(duì)先合做15天，那么余下的工程由甲隊(duì)單獨(dú)完成還需5天．（1）這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間是多少天？（2）已知甲隊(duì)每天的施工費(fèi)用為6500元，乙隊(duì)每天的施工費(fèi)用為3500元．為了縮短工期以減少對(duì)居民用水的影響，工程指揮部最終決定該工程由甲、乙隊(duì)合做來(lái)完成．則該工程施工費(fèi)用是多少？【答案】（1）30天；（2）180000元【解析】解：（1）設(shè)這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間是x天，根據(jù)題意得：（+）×15+=1．解得：x=30．經(jīng)檢驗(yàn)x=30是原分式方程的解．答：這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間是30天．（2）該工程由甲、乙隊(duì)合做完成，所需時(shí)間為：1÷（+）=18（天），則該工程施工費(fèi)用是：18×（6500+3500）=180000（元）．答：該工程的費(fèi)用為180000元．課堂小結(jié)課堂小結(jié)解分式方程的步驟：1.去分母（找準(zhǔn)最簡(jiǎn)公分母），將分式方程化為整式方程；2.解整式方程；3.驗(yàn)根列分式方程解決實(shí)際問題：審---設(shè)---列---解---驗(yàn)---答強(qiáng)調(diào)未知數(shù)做分母的思想。擴(kuò)展延伸擴(kuò)展延伸基礎(chǔ)基礎(chǔ)1.下列方程中不是分式方程的是（）【答案】C【解析】根據(jù)分式方程的定義依次分析各項(xiàng)即可判斷。A、B、D是分式方程，C是整式方程，故選C.2.A．B兩地相距48千米，一艘輪船從A地順流航行至B地，又立即從B地逆流返回A地，共用去9小時(shí)，已知水流速度為4千米/時(shí)，若設(shè)該輪船在靜水中的速度為x千米/時(shí)，則可列方程（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】設(shè)該輪船在靜水中的速度為x千米/時(shí)，由題意得：，故選A．3.把分式方程=1化為一元一次方程________．【答案】【解析】方程兩邊乘以最簡(jiǎn)公分母，即可得到結(jié)果。方程兩邊乘以最簡(jiǎn)公分母，得鞏固鞏固1.某市為治理污水，需要鋪設(shè)一段全長(zhǎng)為300m的污水排放管道。鋪設(shè)120m后，為了盡量減少施工對(duì)城市交通所造成的影響，后來(lái)每天的工效比原計(jì)劃增加20%，結(jié)果共用30天完成這一任務(wù)、求原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道的長(zhǎng)度，如果設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)xm管道，那么根據(jù)題意，可得方程______.【答案】=30.或=30【解析】因?yàn)樵?jì)劃每天鋪設(shè)x(m)管道，所以后來(lái)的工作效率為(1+20%)x(m)，根據(jù)題意，得=30.或=30故答案為：=30.或=302.下面是解分式方程的過(guò)程，閱讀完后請(qǐng)?zhí)羁眨夥匠蹋海猓悍匠虄蛇叾汲艘?，?60-600=90，解這個(gè)方程，得．經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根．第一步計(jì)算中的是：；這個(gè)步驟用到的依據(jù)是；解方式方程與解一元一次方程之間的聯(lián)系是：．【答案】是分母x和2x的最簡(jiǎn)公分母；等式的基本性質(zhì)；解分式方程就是利用等式的基本性質(zhì)把分式方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解．【解析】解：第一步計(jì)算中的是：分母x和2x的最簡(jiǎn)公分母；這個(gè)步驟用到的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)；解方式方程與解一元一次方程之間的聯(lián)系是：解分式方程就是利用等式的基本性質(zhì)把分式方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解．3.分式方程有增根，則增根可能是（）．A．0B．2C．0或2D．1【答案】C【解析】方程兩邊通乘以x（x-2）得x=2（x-2）+m，解得x=4-m，由于有增根，所以4-m=0或4-m=2．故選C拔高拔高1.若關(guān)于的分式方程無(wú)解，則．【答案】1或-2【解析】解：方程兩邊都乘x（x-1）得，x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），整理得，（a+2）x=3，當(dāng)整式方程無(wú)解時(shí)，a+2=0即a=-2，當(dāng)分式方程無(wú)解時(shí)：①x=0時(shí)，a無(wú)解，②x=1時(shí)，a=1，所以a=1或-2時(shí)，原方程無(wú)解．2.某家電銷售商城電冰箱的銷售價(jià)為每臺(tái)2100元，空調(diào)的銷售價(jià)為每臺(tái)1750元，每臺(tái)電冰箱的進(jìn)價(jià)比每臺(tái)空調(diào)的進(jìn)價(jià)多400元，商城用80000元購(gòu)進(jìn)電冰箱的數(shù)量與用64000元購(gòu)進(jìn)空調(diào)的數(shù)量相等。(1)求每臺(tái)電冰箱與空調(diào)的進(jìn)價(jià)分別是多少?(2)現(xiàn)在商城準(zhǔn)備一次購(gòu)進(jìn)這兩種家電共100臺(tái)，設(shè)購(gòu)進(jìn)電冰箱x臺(tái)，這100臺(tái)家電的銷售總利潤(rùn)為y元，要求購(gòu)進(jìn)空調(diào)數(shù)量不超過(guò)電冰箱數(shù)量的2倍，總利潤(rùn)不低于13000元，請(qǐng)分析合理的方案共有多少種?并確定獲利最大的方案以及最大利潤(rùn)；(3)實(shí)際進(jìn)貨時(shí),廠家對(duì)電冰箱出廠價(jià)下調(diào)k(0<k<100)元,若商店保持這兩種家電的售價(jià)不變,請(qǐng)你根據(jù)以上信息及(2)問中條件，設(shè)計(jì)出使這100臺(tái)家電銷售總利潤(rùn)最大的進(jìn)貨方案。【答案】見解析【解析】解：（1）設(shè)每臺(tái)空調(diào)的進(jìn)價(jià)為x元，則每臺(tái)電冰箱的進(jìn)價(jià)為（x+400）元，根據(jù)題意得：，解得：x=1600，經(jīng)檢驗(yàn)，x=1600是原方程的解，x+400=1600+400=2000，答：每臺(tái)空調(diào)的進(jìn)價(jià)為1600元，則每臺(tái)電冰箱的進(jìn)價(jià)為2000元．（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)電冰箱x臺(tái)，這100臺(tái)家電的銷售總利潤(rùn)為y元，則y=（2100-2000）x+（1750-1600）（100-x）=-50x+15000，根據(jù)題意得：，解得：，∵x為正整數(shù)，∴x=34，35，36，37，38，39，40，∴合理的方案共有7種，即①電冰箱34臺(tái)，空調(diào)66臺(tái)；②電冰箱35臺(tái)，空調(diào)65臺(tái)；③電冰箱36臺(tái)，空調(diào)64臺(tái)；④電冰箱37臺(tái)，空調(diào)63臺(tái)；⑤電冰箱38臺(tái)，空調(diào)62臺(tái)；⑥電冰箱39臺(tái)，空調(diào)61臺(tái)；⑦電冰箱40臺(tái)，空調(diào)60臺(tái)；∵y=-50x+15000，k=-50＜0，∴y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x=34時(shí)，y有最大值，最大值為：-50×34+15000=13300（元），答：當(dāng)購(gòu)進(jìn)電冰箱34臺(tái)，空調(diào)66臺(tái)獲利最大，最大利潤(rùn)為13300元．（3）當(dāng)廠家對(duì)電冰箱出廠價(jià)下調(diào)k（