有限元方法與應(yīng)用

接觸非線性張有為工程力學(xué)系接觸非線性要點(diǎn)接觸非線性概述接觸界面條件接觸問題的求解方案接觸問題的有限元方程有限元方程的求解方法1接觸非線性概述接觸非線性的來源：由隨時(shí)間發(fā)生變化的接觸狀態(tài)引起，主要包括接觸界面的區(qū)域大小和相互位置以及接觸狀態(tài)不僅事先未知，且都隨時(shí)間發(fā)生變化，需要在求解過程中確定接觸條件的非線性，包括①接觸物體不可相互侵入，②接觸力的法向分量只能是壓力，③切向接觸的摩擦條件，其主要特點(diǎn)是單邊性的不等式約束，具有強(qiáng)烈的非線性輪軌接觸汽車接觸碰撞1接觸非線性概述引例：

解：由纜繩變形很小，故預(yù)緊力可以假定不隨變形發(fā)生變化，則

2接觸界面條件2.1概況基本符號定義

接觸體目標(biāo)體2接觸界面條件接觸面法向接觸力瞬時(shí)速度

法向分量切向分量2接觸界面條件2.2法向接觸條件不可貫穿性法向接觸力為壓力

接觸面間運(yùn)動學(xué)方面的條件，即兩物體的位形在運(yùn)動過程中不允許相互貫穿(侵入或覆蓋)接觸面間動力學(xué)方面的條件，即在不考慮粘附等情況，法向接觸力只可能是壓力2接觸界面條件2.3切向接觸條件(1)無摩擦模型若兩個(gè)物體的接觸面是絕對光滑的，或者相互間的摩擦可以忽略，則采用無摩擦模型

兩個(gè)物體的接觸面的切向可以自由的相對滑動2接觸界面條件(2)Coulomb摩擦模型庫侖摩擦模型因其簡單和適用性而廣泛應(yīng)用于工程分析中，其認(rèn)為切向接觸力的數(shù)值不能超過它的極限值，即

摩擦系數(shù)

且表明切向相對滑動速度與摩擦力的方向相反3接觸問題的求解方案3.1接觸問題求解的一般過程試探－校核迭代求解方法：根據(jù)前一步結(jié)果和本步給定的載荷條件，通過接觸條件的檢查和搜尋，假設(shè)此步第1次迭代求解時(shí)的接觸面的區(qū)域和狀態(tài)根據(jù)上述關(guān)于接觸面區(qū)域和狀態(tài)所作的假設(shè)，對于接觸面上的每一點(diǎn)，將運(yùn)動學(xué)或動力學(xué)上的不等式約束改為等式約束作為定解條件引入方程并進(jìn)行求解利用接觸面上和上述等式約束所對應(yīng)的動力學(xué)或運(yùn)動學(xué)的不等式約束條件作為校核條件對解的結(jié)果進(jìn)行檢查若不違反接觸條件，則完成本步求解并轉(zhuǎn)入下一增量步否則轉(zhuǎn)入1再次進(jìn)行搜尋和迭代求解，直到每一點(diǎn)的解都滿足校核條件3接觸問題的求解解方案3.2接觸面的定解條條件和校核條件件接觸狀態(tài)定解條件校核條件接觸粘結(jié)滑動分離3接觸問題的求解解方案3.3接觸問題的虛位位移原理其中接觸力虛功，具具體形式待定(拉格朗日乘子法法和罰函數(shù)法中中不同)慣性力虛功外力虛功內(nèi)力虛功3接觸問題的求解解方案3.4拉格朗日乘子法法拉格朗日乘子原問題等式約束簡單求解方法拉格朗日乘子法3接觸問題的求解解方案原問題題中不不包含含接觸觸約束束條件件的總總位能能拉格朗朗日乘乘子法法引入入約束束條件件的附附加泛泛函3接觸問問題的的求解解方案案(1)粘結(jié)接接觸狀狀態(tài)拉格朗朗日乘乘子拉格朗朗日乘乘子的的意義義拉格朗朗日乘乘子與與接觸觸力相相對應(yīng)應(yīng)粘結(jié)狀狀態(tài)時(shí)時(shí)的接接觸力力虛功功3接觸問問題的的求解解方案案接觸力力虛功功(2)無摩擦擦狀態(tài)態(tài)拉格朗朗日乘乘子的的關(guān)系系接觸力力虛功功(3)滑動摩摩擦狀狀態(tài)3接觸問問題的的求解解方案案拉格朗朗日乘乘子法法的優(yōu)優(yōu)缺點(diǎn)點(diǎn)：可使得得約束束條件件得到到精確確滿足足增加了了方程程的自自由度度數(shù)求解方方程的的系數(shù)數(shù)矩陣陣中包包含零零對角角元素素3接觸問問題的的求解解方案案懲罰因因子原問題題等式約束罰函數(shù)法3.5罰函數(shù)數(shù)法3接觸問問題的的求解解方案案原問題題中不不包含含接觸觸約束束條件件的總總位能能罰函數(shù)數(shù)法引引入約約束條條件的的附加加泛函函3接觸問問題的的求解解方案案(1)粘結(jié)接接觸狀狀態(tài)懲罰因因子接觸力力與懲懲罰因因子的的關(guān)系系粘結(jié)狀狀態(tài)時(shí)時(shí)的接接觸力力虛功功3接觸問問題的的求解解方案案(2)無摩擦擦狀態(tài)態(tài)時(shí)的的接觸觸力及及接觸觸力虛虛功(3)滑動摩摩擦狀狀態(tài)時(shí)時(shí)的接接觸力力及接接觸力力虛功功3接觸問問題的的求解解方案案罰函數(shù)數(shù)法的的優(yōu)缺缺點(diǎn)：：不增加加方程程的自自由度度數(shù)求解方方程的的系數(shù)數(shù)矩陣陣保持持正定定只能使使得約約束條條件得得到近近似滿滿足罰函數(shù)數(shù)太大大將導(dǎo)導(dǎo)致顯顯式解解法的的時(shí)間間步長長臨界界值降降低罰函數(shù)數(shù)太大大可能能導(dǎo)致致兩個(gè)個(gè)接觸觸體的的相對對運(yùn)動動發(fā)生生虛假假反向向，使使得解解的過過程不不穩(wěn)定定4接觸問問題的的有限限元方方程4.1接觸界界面的的離散散處理理接觸塊塊接觸點(diǎn)點(diǎn)對接觸塊塊(或線)：單元上上處于于接觸觸面上上的面面(或邊)二維問問題的的主被被動接接觸線線一被動動接觸觸塊與與多個(gè)個(gè)主動動接觸觸塊相相接觸觸4接觸問問題的的有限限元方方程例：二維維四節(jié)節(jié)點(diǎn)等等參單單元接接觸點(diǎn)點(diǎn)對相相對位位移等參插插值：：坐標(biāo)更更新：：相對位位移：：(全局坐坐標(biāo)系系)相對位位移：：(局部坐坐標(biāo)系系)4接觸問問題的的有限限元方方程等效節(jié)節(jié)點(diǎn)接接觸力力接觸力力虛功功：每一接接觸對對上等等效接接觸力力的虛虛功接觸點(diǎn)點(diǎn)對數(shù)數(shù)4接觸問問題的的有限限元方方程4.2拉格朗朗日乘乘子法法求解解T.L.格式有有限元元方程程U.L.格式有有限元元方程程等效節(jié)節(jié)點(diǎn)接接觸力力向量量等效節(jié)節(jié)點(diǎn)接接觸力力向量量4接觸問問題的的有限限元方方程分離形形式T.L.格式有有限元元方程程U.L.格式有有限元元方程程4接觸問問題的的有限限元方方程4.3罰函數(shù)數(shù)法求求解T.L.格式有有限元元方程程U.L.格式有有限元元方程程