第三章函數(shù)極限一、填空題1．若，則_________2．_______________3．設(shè)，則____________4．已知，，________5．=_________________6．_____________7．8．9．=__________10．_________11．_________12．，則=_______13．___________二、選擇填空1．(

)A.0

B.1

C.

D.不存在2．函數(shù)，在點的任何鄰域內(nèi)都是(

)A.有界的

B.無界的

C.單增

D.單減3．已知，則必有(

)A.

B.

C.

D.4．設(shè)，則(

)A.

B.

C.

D.5．若，則必有(

)A.

B.

C.

D.6．，則(

)A.0

B.6

C.36

D.7．設(shè)對任意點有，且，則(

)A.存在且一定為0

B.存在且一定不為0C.一定不存在

D.不一定存在8．當時，變量是(

)A.無窮小

B.無窮大

C.有界，但不是無窮小

D.無界的，但不是無窮大9．(

)A.

B.

C.1

D.10.(

)A.0

B.1

C.

D.11.,則當時，是的(

)A.高階無窮小

B.低階無窮小

C.同階非等價無窮小

D.等價無窮小三、計算題1.求下列極限：(1)；

(2)；(3)；

(4)；(5)，(n，m為自然數(shù))；(6);(7)；(8)；

(9)；(10)2．設(shè)，m≤n，試求3．求下列極限(其中n為自然數(shù))：(1)；

(2)；(3)；(4);(5);

(6).4．求下列函數(shù)在處的左右極限或極限。(1)；(2)；(3)5．求下列極限：(1);

(2);(3)；

(4)；(5);(6);(7);

(8)；(9);

(10)6．求下列極限：(1);

(2)；(n為整數(shù))(3)；

(4)；(5);

(6)；(k、m為整數(shù))7．利用歸結(jié)原則計算下列極限：(1)；

(2)8．運用定理3.13求下列極限：(1)；

(2).9．試確定的值，使下列函數(shù)與，當時是同階無窮小量：(1)sin2x-2sinx；

(2)；(3)；(4).10．試確定的值，使下列函數(shù)與當時是同階無窮大量：(1)；

(2)；(3).11．試問：當時，下列等式哪些成立，哪些不成立？(1)；

(2)；(3)；

(4)；(5)；

(6)四、證明題1．證明：2．證明

的充分必要條件是3．證明：4．證明：對黎曼函數(shù)R()有(當).5．證明若極限與都存在，則，在時極限也存在，且(i)；(ii)；(iii)若，則在時極限存在，且有.6．設(shè)，證明：若，則7．證明：又問是否也有？8．敘述類型的函數(shù)極限的歸結(jié)原則，并用它證明(局部有界性定理)：若存在，則存在，使得在上有界9．設(shè)為定義在[a，∞)上的遞增函數(shù)，證明存在的充要條件是在[a，∞)上有上界。10．.(1)敘述存在的柯西準則；(2)正面陳述極限不存在的概念；并用它證明不存在。11．證明：若為周期函數(shù)且，則.12．設(shè)為狄利克雷函數(shù)，，證明：不存在。13．證明設(shè)函數(shù)在點的某個右領(lǐng)域有定義，則極限的充要條件是對任何以為極限且含于的遞減數(shù)列有14．證明：15．證明下列各題：(1)；(2)(3)；(4)，(，n為自然數(shù))(5)，(6),(7)，16．證明(i)若為時的無窮小量，且在內(nèi)不等于零，則為時的無窮大量。(ii)若為時的無窮大量，則是時的無窮小量。17．證明：若s為無上界數(shù)集，則存在一個遞增數(shù)列，使得.18．證明：若為時的無窮大量，而在上≥，則為時的無窮大量。五、考研復(fù)習(xí)題1.求下列極限：(1);

(2)；(3)，(n、m為自然數(shù))；(4)；(5)；

(6)；(7)；(8).2.分別求出滿足下述條件的常數(shù)與：(1);(2)(3)..3.試舉出符合下列條件的：(1)；

(2)不存在；(3).4.試舉一個函數(shù)，使恒成立，但在某一點處，這同極限的局部保號性有矛盾嗎？5．設(shè)，能否由此推出？6．設(shè)f（x）=xcosx，試作數(shù)列（1）；（2）；（3）7．證明：若數(shù)列滿足下列條件之一，則它是無窮大數(shù)列：（1）；（2）8．設(shè)，證明：（1）；（2）若，則9．求下列極限：（1）；

（2）；（3）