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數(shù)列收斂的必要條件數(shù)列收斂的充分條件——有界——單調(diào)有界若數(shù)列存在極限，則該數(shù)列一定有界，即存在正常數(shù)M，使得設(shè)數(shù)列單調(diào)增加且有上界，即且存在常數(shù)M

使得則數(shù)列存在極限.數(shù)列收斂的充分必要條件？——柯西收斂原理子數(shù)列的概念數(shù)列收斂的歸并性聚點原理柯西收斂原理原數(shù)列新數(shù)列定義1（子數(shù)列）從數(shù)列中選取無窮多項，并按原來的先后順序組成新的數(shù)列，稱新數(shù)列為原數(shù)列的子數(shù)列，記為其中下標(biāo)為正整數(shù)，且滿足定理1若數(shù)列收斂，則其任何子數(shù)列也收斂，且判斷數(shù)列發(fā)散的方法：數(shù)列存在一個發(fā)散的子數(shù)列，則該數(shù)列一定發(fā)散；數(shù)列存在極限不等的子數(shù)列，則該數(shù)列一定發(fā)散.例1證明數(shù)列不存在極限．定理2（拉鏈定理）數(shù)列收斂的充要條件是它的兩個子數(shù)列和收斂且極限相同．定理3（聚點原理）任何有界數(shù)列均存在收斂的子數(shù)列，即若數(shù)列滿足

（其中M>0為常數(shù)），則存在收斂的子數(shù)列.收斂子數(shù)列定理4（柯西收斂原理）數(shù)列收斂的充要條件是：

對于任意正數(shù)，存在正整數(shù)N，當(dāng)時恒有稱滿足上述條件的數(shù)列為柯西數(shù)列（基本數(shù)列）.nOan................................柯西收斂原理等價形式數(shù)列收斂的充要條件是：

對于任意正數(shù)，存在正整數(shù)N，當(dāng)時，

對一切成立.例2設(shè)

證明數(shù)列收斂.

例3設(shè)

證明數(shù)列發(fā)散.

如何快速計算n7.485475.187382.928979.78761

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