可微性與偏導(dǎo)數(shù)第一頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日一、可微性與全微分

定義1

設(shè)函數(shù)內(nèi)有定

義.對(duì)于若

f

在的全增量

(1)其中A,B是僅與點(diǎn)有關(guān)的常數(shù),的高階無(wú)窮小量,則稱

f

在點(diǎn)可微.并稱

(1)式中關(guān)于第二頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日由(1),(2)可見(jiàn),當(dāng)充分小時(shí),全微分

這里(4)(2)為的全微分,記作可作為全增量的近似值,于是有近似公式:在使用上,有時(shí)也把(1)式寫成如下形式：(3)第三頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日例1考察解f

在點(diǎn)處的全增量為由于第四頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日二、偏導(dǎo)數(shù)由一元函數(shù)微分學(xué)知道:若則

現(xiàn)在來(lái)討論:當(dāng)二元函數(shù)在點(diǎn)可微

時(shí),(1)式中的常數(shù)A,B應(yīng)取怎樣的值？為此在

(4)

式中先令第五頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

(5)

容易看出,(5)式右邊的極限正是關(guān)于x的一元函數(shù)類似地,又可得到

(6)它是關(guān)于

y的一元函數(shù)二元函數(shù)當(dāng)固定其中一個(gè)自變量時(shí),它對(duì)另一個(gè)自第六頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日變量的導(dǎo)數(shù)稱為該函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),一般定義如下:則當(dāng)極限存在時(shí),稱此極限為關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù),

記作定義2(7)第七頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日類似地可定義關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù):記作注1第八頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日注2在上述定義中,存在對(duì)x(或y)顯然，在定義域的內(nèi)點(diǎn)處總能滿足這種要求，而在界點(diǎn)處則往往無(wú)法考慮偏導(dǎo)數(shù)．若函數(shù)在區(qū)域D上每一點(diǎn)都存在

對(duì)x

(

或?qū)

)

的偏導(dǎo)數(shù),則得到在D上

對(duì)x(或?qū))的偏導(dǎo)函數(shù)(也簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù)),記作第九頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:的幾何圖象通常是

三維空間中的曲面,設(shè)為此曲面上一

點(diǎn),其中曲面相交得一曲線：第十頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日如圖17-1所示，偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義為:在平面上,曲線C在點(diǎn)P0處的切線與x軸

正向所成傾角的正切，即圖17-1

第十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日可同樣討論偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義(請(qǐng)讀者自

行敘述)．由偏導(dǎo)數(shù)的定義還知道,多元函數(shù)f對(duì)某一個(gè)自變量求偏導(dǎo)數(shù),是先把別的自變量看作常數(shù),變成一元函數(shù)的求導(dǎo).因此第五章中有關(guān)求導(dǎo)數(shù)的一些基本法則,對(duì)多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)仍然適用.例2

于x和關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù).解先求f在點(diǎn)(1,3)處關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù).為此,令第十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日y

=

3,得到求它在x

=

1的導(dǎo)數(shù),則得再求f在(1,3)處關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù).為此令x=1,得求它在y=

3處的導(dǎo)數(shù),又得通常也可先分別求出關(guān)于x和y的偏導(dǎo)函數(shù):第十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日然后以(x,y)=(1,3)代入,也能得到同樣結(jié)果.例3求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).解把依次看成冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù),分別求得例4求三元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).解把y和z看作常數(shù),得到第十四頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日把z,x看作常數(shù),得到把x,y看作常數(shù),得到第十五頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日三、可微性條件由可微定義易知:若.這表明:

“連續(xù)是可微的一個(gè)必要條件．”此外,由(5),(6)兩式又可得到可微的另一必要條件:定理17.1若二元函數(shù)f在其定義域內(nèi)一點(diǎn)(x0,y0)處可微,則f在該點(diǎn)關(guān)于每個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)都存在．此時(shí),(1)式中的第十六頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日于是,函數(shù)的全微分

(2)

可惟一地表示為與一元函數(shù)一樣,若約定自變量的增量等于自變量的微分，即則全微分又可寫為第十七頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日若函數(shù)f在區(qū)域D的每一點(diǎn)(x,y)都可微,則稱函數(shù)f在區(qū)域D上可微，且f在D上的全微分為(8)定理17.1的應(yīng)用:對(duì)于函數(shù)由于它們分別在都不可導(dǎo)，即故第十八頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日再看一個(gè)例子:在原點(diǎn)的可微性．例5考察函數(shù)解按偏導(dǎo)數(shù)的定義先求出第十九頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日同理可得若f

在原點(diǎn)可微,則卻不存在(第十六章§2例3),故此

f(x,y)

在原點(diǎn)不可微.第二十頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日以前知道，一元函數(shù)可微與存在導(dǎo)數(shù)是等價(jià)的．而這個(gè)例子說(shuō)明:對(duì)于多元函數(shù),偏導(dǎo)數(shù)即使都存在,該函數(shù)也不一定可微．現(xiàn)在不禁要問(wèn):當(dāng)所有偏導(dǎo)數(shù)都存在時(shí),還需要添加哪些條件,才能保證函數(shù)可微呢?請(qǐng)看如下定理:定理17.2

(

可微的充分條件

)

若函數(shù)在

點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在偏導(dǎo)數(shù)

且它

們?cè)邳c(diǎn)連續(xù),則可微.第二十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日在第一個(gè)方括號(hào)里的是函數(shù)關(guān)于x

的增量;在第二個(gè)括號(hào)里的是函數(shù)關(guān)于y

的增量.第二步對(duì)它們分別應(yīng)用一元函數(shù)的拉格朗日中值定理,則使得證第一步把全增量

寫作第二十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日(9)第三步由于因此有第四步將(10),(11)代入(9)式,得到由可微定義的等價(jià)式

(4),便知

(11)(10)第二十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日定理17.２的應(yīng)用容易驗(yàn)證例2中的函數(shù)滿足定理17.2的條件,故在點(diǎn)(1,3)可微(且在上處處可微);

上滿足定理17.2的條件,亦在其定義域上可微；例4中的函數(shù)注意偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)并不是可微的必要條件，例如第二十四頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日它在原點(diǎn)

(0,0)

處可微,但卻在該點(diǎn)不連續(xù)

(見(jiàn)本節(jié)習(xí)題7，請(qǐng)自行驗(yàn)證).所以定理17.2是可微的充分性定理．若的偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù),則

連續(xù)可微．

在定理17.2證明過(guò)程中出現(xiàn)的(9)式,實(shí)際上是二第二十五頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日元函數(shù)的一個(gè)中值公式,將它重新寫成定理如下:

(12)的某鄰域內(nèi)存在偏定理17.3設(shè)函數(shù)和第二十六頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日四、可微性的幾何意義及應(yīng)用

一元函數(shù)可微，在幾何上反映為曲線存在

不平行于y軸的切線.對(duì)于二元函數(shù)而言,可微性

則反映為曲面與其切平面之間的類似關(guān)系.為此需要先給出切平面的定義,這可以從切線定義中獲得啟發(fā).在第五章§1中,我們?cè)哑矫媲€S在其上某一的切線PT定義為過(guò)點(diǎn)P的割線PQ當(dāng)Q沿S趨近P時(shí)的極限位置(如果存在的話).這時(shí),第二十七頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日PQ與PT的夾角也將隨Q

→P而趨于零

(參見(jiàn)圖17-2).用h和d分別表示點(diǎn)Q到直線PT的距離和點(diǎn)Q到點(diǎn)P的距離,由于圖17-2

第二十八頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日定義3

設(shè)曲面S上一一個(gè)平面,S上的動(dòng)點(diǎn)仿照這個(gè)想法,我們引進(jìn)曲面S在點(diǎn)P的切平面的定義(參見(jiàn)圖17-3).圖17-3

點(diǎn)P,Π為通過(guò)點(diǎn)P的Q到定點(diǎn)P和到平面Π的距離分別記為d和h.若當(dāng)Q在S上以任意方式趨近于P時(shí),恒有第二十九頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

則稱Π

為曲面S在點(diǎn)P的切平面,稱P為切點(diǎn).

定理17.4

曲面存在不平行于

z軸的切平面的充要條件是:函數(shù)在點(diǎn)可微.

證

(充分性)若函數(shù)在P0可微,由定義知道第三十頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日討論過(guò)點(diǎn)的平面Π:

其中X,Y,Z是平面上點(diǎn)的流動(dòng)坐標(biāo).下面證明它就

是曲面的切平面.由于S上動(dòng)點(diǎn)到的距離為現(xiàn)在第三十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日P到Q的距離為第三十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日根據(jù)定義3便知平面即為曲面P的切平面．(必要性)

若曲面存在不平行于z軸的切平面第一步

設(shè)Q(x,y,z)是曲面上任意一點(diǎn),由Q到這

個(gè)平面的距離為

第三十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日由切平面的定義知道,當(dāng)時(shí),有因此對(duì)于充分接近的P與Q,有由此則得令第三十四頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日第二步分析:要證明在點(diǎn)可微,事實(shí)上就是需證第三十五頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日因此,若能證得當(dāng)則有第三步先證可推得故有第三十六頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日第四步

由上式進(jìn)一步可得

根據(jù)第二步的分析，這就證得在點(diǎn)可微.

第三十七頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日定理

17.4說(shuō)明:函數(shù)在點(diǎn)可微,則曲面

處的切平面方程為

(13)過(guò)切點(diǎn)P與切平面垂直的直線稱為曲面在點(diǎn)P的法線.由切平面方程知道，法向量為于是過(guò)切點(diǎn)P的法線方程為

(14)第三十八頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日二元函數(shù)全微分的幾何意義:如圖17–4所示,當(dāng)自的全微分而在點(diǎn)變?yōu)闀r(shí),函變量由是z軸方向上的一段NQ;的增量

數(shù)則是切平面上相應(yīng)的那一段增量NM.于而趨于零,而且是較高階的無(wú)窮小量.是,與dz之差是MQ那一段，它的長(zhǎng)度將隨著第三十九頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D17–4

第四十頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日例6