一、集合與函數(shù)

1.(人教版第14頁B組第1題)

已知集合A={1,2},集合8滿足AU8={1,2},則集合8有個.

變式1：已知集合A={1,2},集合8滿足AU8=A,集合8與集合4之間滿足的關(guān)系是

解：BQA

變式2：已知集合A有〃個元素，則集合A的子集個數(shù)有個，真子集個數(shù)有一個

解：子集個數(shù)有2"個，真子集個數(shù)有2"-1個

變式3：滿足條件{1,2}UA={1,2,3)的所有集合A的個數(shù)是一個

解：3必須在集合A里面，A的個數(shù)相當于2元素集合的子集個數(shù)，所以有4個.

設(shè)計意圖：考察集合的運算與集合之間的關(guān)系

2.(人教版第14頁A組第10題)

已知集合A={xl34x<7},5={xl2<x<10},求CR(AU8),,?4)98,

AUS)

變式1：已知全集已=R，且4=3卜一1|>2},3=31/一6》+8<0},則(?！?4)08等于A.

[-1,4)B(2,3)C(2,3]D(-l,4)

解：答案為C,集合&={工11%一11>2}={犬11>3或％<-1},

所以A={xl-1Wx43}.集合5={xlx?-6x+8<0}={x12<x<4},

所以(C。A)「8為(2,3]

2

變式2：設(shè)集合A={x||x—2|W2,xe/?},B={y|y=-x,-l<x<2),則。式408)等于()

A.RB.{HXWR,X#O}C.{0}D.0

解：A=[0,4],B=[-4,0],所以CR(AnB)=GJO},故選B。

變式3.已知集合尸={苫€^^14%<10},集合。=卜€(wěn)/?1》2+工—6=0},則/>0。等于

(A){1,2,3}(B){2,3}(C){1,2}(D){2}

解：集合0=卜67?1/+》一6=0}={_3,2},所以答案為D.

設(shè)計意圖：結(jié)合不等式考察集合的運算

3.（北師大版第21頁B組第2題）已知集合4={1,3,-*},8={l,a+2},是否存在實數(shù)a,使得

BQA,若存在，求集合A和5,若不存在，請說明理由.

變式1：已知集合人={-1,3,2m-I},集合B={3,m2}.若BqA,則實數(shù).

解：由已知加？=2〃z-1n機2-2〃?+1=0=〃？=1

變式2：/1={XIX2+X-6=0),8={xlmx+l=O},且AljB=A，則m的取值范圍是

解：A=[xeRlx2+x—6=o}={—3,2},當8=①時，加=0,當加H0時，x=」，即--=2

()mm

或---=-3.所以機=--5■或機=一』，所以用€，0,一，,2|

m23[23]

變式3：設(shè)4=卜1/+以=0},8=卜|父+2(4+1?+/一1=0}且4口8=8,求實數(shù)a的值.

解：A={-4,0},AC\B=B,B^A,W3=①或B={-4}或8={0}或8={-4,0},

當3=①時，A=4(a+1)?-義/—1)<o=〃<—1,當8={-4}或8={0}時，A=O=>a=-l,

-4+0=-2(a+l)

8={0}符合題意,當6={-4,0}時,

-4x0=a2-l

所以a4-l或a=l

設(shè)計意圖：結(jié)合參數(shù)討論考察集合運算

4.(北師大版第38頁B組第1題)設(shè)函數(shù)/(x)=^3x—2,g(x)=-^J=,,求函數(shù)/(x)g(x)的

j2x-3

定義域.

3x2

變式1：函數(shù)/(x)=?=+lg(3x+l)的定義域是

Jl-X

A.(--,4-oo)B.(--,1)C.(---,一)D.(—00,--)

33333

解：由」'=>--<x<L故選B.

3x+1>03

變式2：設(shè)/'(x)=lg_|±^

則的定義域為

2—x

A(-4,0)U(0,4)B.(-4,-l)U(l,4)

C.(-2,-l)U(l,2)D.(-4,-2)U(2,4)

oi—2<一<2,

解選C.由六r>0得，/(x)的定義域為卜1一2<1<2｝。故,2，幡xe(T,-l)U(L4)。

-2<-<2.

X

的定義域為(-4,—1)U(1,4)

設(shè)計意圖：考察函數(shù)的定義域

5.(人教版第84頁B組第4題)

已知函數(shù)/。)=108〃。+1),g(x)=log"(l—x)(a〉0,且awl)

(1)求函數(shù)/(x)+g(x)定義域

(2)判斷函數(shù)/(x)+g(x)的奇偶性，并說明理由.

變式1：已知/(x)=a/+bx+3a+匕是偶函數(shù)，定義域為一1,2。］.則a=—,

b-____

解：函數(shù)是偶函數(shù)，所以定義域關(guān)于原點對稱.二a—l=-2ana=1,b=0

3-----

Jg-x2

變式2：函數(shù)y=一二一——的圖象關(guān)于()

lx+4l+lx-3l

A.x軸對稱B.>軸對稱C.原點對稱D.直線x—y=0對稱

Ja_r2Ja_r2

解：函數(shù)定義域為9—》220=>—3Wx<3,所以y--------=-------,所以函數(shù)為偶函數(shù),

4+x+3—x7

圖像關(guān)于y軸對稱.

變式3:若函數(shù)/(x)=log.Q++2/)是奇函數(shù),則〃=

解：由于/(x)=log,(c+Jx?+2Q2)是奇函數(shù),.?./(-%)+/(無)=0,

即log,,(x+y]x2+2a2)+log”(-x+y/x2+2a2)=0,

...log"2a0=>2a?=1na=±—，又a>(),a=

設(shè)計意圖：考察定義域與奇偶性

6.（人教版83頁B組第2題）

若1,“：<1（。>0,且。聲1）,求實數(shù)a的取值范圍.

1+。

變式1：若log2a-----<0,則。的取值范圍是

B.(L+8)

解：當2a>lna>，時，若log2〃^^<0,則0<<1=>0<a<1,，a<1

當l>2a>0n0<a<,時，若log,〃匕父<0,則〉1=>a>1,此時無解！

21+a1+a

所以選C

變式2：設(shè)0<a<l,函數(shù)/(x)=log〃(a2,—2a'—2),貝U使/(x)<0的x的取值范圍是

(A)(-oo,0)(B)(0,+oo)(C)(-oo,log￡,3)(D)(logu3,+oo)

解：要使/（x）<0，且0<。<1,所以42，一2優(yōu)一2>1n。2.，-2/—3>0=>

（優(yōu)-3）（優(yōu)+1）>0=優(yōu)>3,又0<a<l,...xvlogaB,故選C.

設(shè)計意圖:考察對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

7.人數(shù)A版126頁B組第1題）

經(jīng)濟學家在研究供求關(guān)系時，一般用縱軸表示產(chǎn)品價格（自變量），而用橫軸來表示產(chǎn)品數(shù)量（因變量）,

下列供求曲線，哪條表示廠商希望的供應曲線，哪條表示客戶希望的需求曲線？為什么？（圖略）

變式1:某地一年的氣溫Q（t）（單位：。C）與時間t（月份）之間的關(guān)系如圖（1）所示，已知該年的平

均氣溫為10℃,令G（t）表示時間段（0,t）的平均氣溫，G（t）與t之間的函數(shù)關(guān)系用下列圖象表示,

則正確的應該是（）

答案：A

變式2：為了穩(wěn)定市場，確保農(nóng)民增收，某農(nóng)產(chǎn)品的市場收購價格°與其前三個月的市場收購價格有關(guān)，

且使°與其前三個月的市場收購價格之差的平方和最小.若下表列出的是該產(chǎn)品前6個月的市場收購

價格：

月份1234567

價格（元/擔）687867717270

則7月份該產(chǎn)品的市場收購價格應為（）

A.69元B.70元C.71元D.72元答案：C

設(shè)計意圖：考察學生讀圖、讀表的能力

8.（人教版43頁B組第3題）

已知函數(shù)/（x）是偶函數(shù)，而且在（0,+o。）上是減函數(shù)，判斷/（x）在（-oo,0）上是增函數(shù)還是減函數(shù),

并證明你的判斷.

變式1:下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是

A.y=-x3,xeRB.y=sinx,xeR

C.y-x,xERD.y=(fx,xeR

解：B在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)但不是減函數(shù);C在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù);D在其定義域內(nèi)不

是奇函數(shù)，是減函數(shù);故選A.

變式2：函數(shù)y=/(x)是R匕的偶函數(shù)，且在(-oo,0]上是增函數(shù)，若/(。)</(2),則實數(shù)a的取值

范圍是()A.aW2B.a>-2C.-2<a<2D.a<-2^ia>2

解：當a>0時，?.?函數(shù)y=/(x)是R上的偶函數(shù)，且在(-oo,0]上是增函數(shù)，y=/(x)在(0,+oo)

上是減函數(shù)，所以若/(。)〈/(2),則。22,當。<0時，函數(shù)y=/(x)是R上的偶函數(shù)，且在(-oo,0]

上是增函數(shù)，且/(一2)=/(2),.??nW—2,故選D

設(shè)計意圖：考察函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系

9.(人教版第49頁B組第4題)

+4)x>0

已知函數(shù)/(x)=二’一八，求/⑴，/(-3),5+1)的值

x(x-4),x<0

exx<0.I

變式1：設(shè)g(x)={,"一八則g(g(7))=_________

Inx,x>0.2

I1

-

解：g(g(g))=g(ln；)=2=

2-

|(3a-l)x+4a,x<1

變式2：己知/(x)=4是(-8,+oo)上的減函數(shù)，那么。的取值范圍是

[logflx,x>l

A.(0,1)B.(0,1)C.[11)D.[1,1)

解：分段函數(shù)的單調(diào)性需分段處理.答案選C

變式3：設(shè)函數(shù)/（外=卜+^_

則使得/（X）的自變量X的取值范圍為

4-vx-1%>1

A.（-8,-2]U[0,10]B.（—8,-2]U[0,1]

C.（-8,-2]U[1,10]D.[-2,0]U[1,10]

解：當X<1時，/（X）》1=（X+1）OxW—2或x）0,；.xW—2或0Wx<1.

當x21時，/（x）21o4--yjx-1N1<=>Jx-1W3o1WxW10.

綜上，知xW-2或OWxWlO.答案：A

設(shè)計意圖：考察分段函數(shù)的概念和性質(zhì)

10.(北師大版54頁A組第5題)

對于下列函數(shù)，試求它們在指定區(qū)間上的最大值或最小值，井指出這時的x值

(2)y=-2x~-x+1,xG3,1］

變式1：函數(shù)y=/在［0,1］上的最大值與最小值的和為3,則a的值為()

A.―B.2C.4D.一

24

解：當。>1或0<。<1時，函數(shù)y="都是定義域上的單調(diào)函數(shù)，a°+"=3na=2,故選C.

變式2：若函數(shù)/。)=108〃》(0<。<1)在區(qū)間［。，2a］上的最大值是最小值的3倍，則a的值為()

V2八痣一1

A.B.---C.-D.一

4242

解：???()<a<1,.../(X)是定義域上的減函數(shù)，所以/(x)mx=log“a=l，/(x)mm=log“2a，???

1=31og?2a=a=(2a)3=>8a2=1=>a=^,故選A

設(shè)計意圖：考察函數(shù)的最值

11.(人教版65頁第8題)

已知下列等式，比較加，〃的大小(1)2'"<2"(2)0.2?<0.2"

變式1：設(shè)<(g)"<1,那么()

A.afl<a6<baB.a"<b"<a"C.ab<aa<b°D.aA<ba<aa

解：由<(g)"<lnl>6>a>0,在A和B中，y=a'(O<a<l)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減

的...廢>ah,所以結(jié)論不成立.在C>1',y=x"(">0)在(0,+00)內(nèi)是單調(diào)遞增的，又a<8n優(yōu)<匕",

所以答案為C.

變式2：已知log〕b<log〕a<log［c,則()

222

A.2"〉2">2CB.X>2b>2CB.2C>2b>2aD.2e>2a>2h

解：由已知因為y=2)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的，所以,〉2“〉2c答案為A.

變式3：已知函數(shù)y=/(x)的圖象與函數(shù)y=a*(。＞()且)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，記

g(x)=/(x)"(x)+2/(2)—l].若y=g(x)在區(qū)間[g,2]上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.[2,+oo)B.(0,1)U(1,2)C.[1,1)D.(0,i]

分析：本題根據(jù)反函數(shù)的定義求出/(x)的解析式，再用換元法判斷g(x)的單調(diào)性，結(jié)合條件y=g(x)在

區(qū)間七,2]上是增函數(shù)，求出實數(shù)。的取值范圍是，答案為D

2

設(shè)計意圖：考察指、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

12.(人教版48頁A組第8題)

設(shè)二?，求證：(I)/(-X)=/(%)(2)/(-)=-/(%)

1-xX

變式1：函數(shù)“X)對于任意實數(shù)x滿足條件/(x+2)=★J,若/⑴=一5,則/(/⑸)

解：/(3)=/(1+2)=2=—!，/(5)=/(3+2)=4=—5,又

/(x+2)=>/(x)=——，

“X)/(x+2)

f(—5)=---------=—--=f(-1)=----=—

/(-5+2)/(-3)/(I)5

變式2：若奇函數(shù)/(x)(xeR)滿足八2)=l"(x+2)=/(x)+/(2),則/(5)=—

解：由已知/(5)=/(3)+/(2)=/(3)+1=/(1)+/(2)+1=/(1)+2,令x=_1,則/(1)=/(—1)+1,

又是奇函數(shù)，所以/(一1)=一/⑴，

/⑴=_/⑴+1=>/⑴=；,.?.”5)=2；

變式3：函數(shù)/*)是一個偶函數(shù)，g(x)是一個奇函數(shù)，且/(x)+g(x)=—匚，則/(x)等于

X-1

“1c2/2r2x

A.-----B.-----C.-----D.-----

x2-lx2-\x2-\x2-\

解析：由題知/(x)+g(x)=」一①

x-1

以一X代X,①式得/(-x)+g(—x)=--—，即/(x)-g(x)=---②

-x-1-x-l

①+②得/(x)=F—答案：A

X-1

設(shè)計意圖：考察函數(shù)的抽象運算與綜合性質(zhì)

13.(人教版第49頁B組第5題)

證明：(1)若f(x)=ax+。，則

(2)若g(x)=x2+ax+b,則8巴馬火⑷了“)

變式1：如圖所示，<")(，=1,2,3,4)是定義在［0,1］上的四個函數(shù)，其中滿足性質(zhì)：”對■［0,1］中任

意的士和4，任意Xe[0,1],/[2x,+(1-A)X2]W4/(網(wǎng))+(1-4)/(馬)恒成立”的只有

()

/,(%)力(x)力。)AU)

A.f(x)和力(x)B.f2(x)c.qco和。(X)D.q(x)

解：當;l=；時，符合條件的函數(shù)是凹函數(shù)，從圖像可看出有力(x)和力(x),選擇A.

變式2：.設(shè)函數(shù)/(x)=

A.a>b>c

hn

解析：/(0)=t=0,/.Z?=0/(l)=1,:.——=1.

c1+c

nva

，a=c+l.由圖象看出x>0時，/(x)>0,即x>0時，有r——>0,.">0.又/(x)

x+cc

X4-

X

當x>0時，要使f(x)在x=l時取最大值1,需x+￡22正,

X

當且僅當X=O=1時....c=l,此時應有/(x)=]=1.."=2.答案：B

變式3：如圖所示，單位圓中弧48的長為x,/(x)表示弧四與弦48

答案：(D)

設(shè)計意圖：考察圖象與式子運算的能力

14：(北師大版136頁B組第1題)

判斷下列方程在(0,10)內(nèi)是否存在實數(shù)解，并說明理由.

1,

(1)—x+lnx=0(2)%,■-1gx=0

2

變式1：設(shè)二次函數(shù)/(x)=ax2+bx+c(a>0),第f{x}-x=0的兩個根馬,々滿足。<x1</-?

a

當X￡(0,尤J時，證明

分析：在已知方程/(X)-x=0兩根的情況下，根據(jù)函數(shù)與方程根的關(guān)系，可以寫出函數(shù)的

表達式，從而得到函數(shù)/(X)的表達式.

證明：由題意可知/(x)-x=a(x-%,)(x-x2).v0<x<x]<x2<—,

-a

a(x-x1)(x-x2)>0,/.當時，f(x)>x.

又/(x)-X]=a(x-Xj)(x-x2)+x-Xj=(x-Xj)(ax-ax2+1),

X-Xi<0,且。人一”2+1>1一。x2>°，，/(x)<X],綜上可知，所給問題獲證.

變式2：已知二次函數(shù)/(x)=ax2+bx+c.

(1)若a>b>c,且/(I)=0,證明/(x)的圖象與x軸有2個交點；

(2)在(1)的條件下，是否存在m￡R,使得/(加)=一〃成立時，/(〃?+3)為正數(shù)，若存在，證明

你的結(jié)論，若不存在，說明理由；

⑶諭x1,x2GR,1.x,<x2,/(x,)/(x2),/a)=g"區(qū))+/區(qū))]有2個不等實根，

證明必有一個根屬于(X[,X,)

解：(1),：f(y)-a+h-\-c-OHa>b>c,：.a>OJzLc<0,:.-b2-4ac>0,.'./(x)

的圖象與x軸有兩個交點.

(2)⑴=0,...1是/(x)=0的?個根，由韋達定理知另一-根為上，

a

c

:.〃>0且數(shù)0,?,,一<0<1,a>b>cb=-a-c,

a9

則〃(/72--)(ZT?-1)=—Q<0「?一<加<1.,.6+3>—F3>—2+3=1

aaa

???/(x)在(1,+8)單調(diào)遞增，.\/(m+3)>/(l)=0,即存在這樣的加使/(加+3)>0

⑶令g(X)=/(X)-g"(Xj+/(X2)]，則g(X)是二次函數(shù).

,'/、rr/、/(X|)+/(X2)irr/'/(^i)+/(^2),、,,,12.n

?g(X|)?g(X2)=[/(x1)--------------\lf(x2)--------------=--[/U|)-/U2)]40

又/(X2),g(Xi>g(X2)<0，，g(X)=0有兩個不等實根，且方程g(x)=o的根必有一個屬

于(七,乙).設(shè)計意圖：考察函數(shù)的零點

15.(北師大版第66頁B組第3題)

求二次函數(shù)/(》)=/一2(24-13+5/—4a+2在區(qū)間【0,1】上的最小值g(a)的表達式.

變式1：設(shè)。為實數(shù)，記函數(shù)f(x)=a“-X，+Jl+x+Jl-x的最大值為g(a).

(I)設(shè)+二，求f的取值范圍，并把式x)表示為f的函數(shù)機⑺

(II)求g(a)(IH)試求滿足g(a)=g(3的所有實數(shù)。

a

解：(I)=+...要使f有意義，必須1+xNO且1—xNO,即一IWXWI

'：t2=2+2^1-X2e[2,4]<且……①f的取值范圍是[痣,2]。

由①得：J1-=I"2-1，6f(—z2—1)+，=—cit~+，一〃，tG［V2,2Jo

(ID由題意知g⑷即為函數(shù)①⑺=；/+”〃，［五,2］的最大值，

???直線，二一1■是拋物線機⑺=!辦2+一。的對稱軸，，可分以下幾種情況進行討論:

a2

(1)當。〉0時，函數(shù)y=〃z?),2］的圖象是開口向上的拋物線的一段，

由t=--<0知6Q)在fG［后,2］上單調(diào)遞增，故g(a)=m(2)=。+2；

a

(2)當。=0時，m(t)=t,te［V2,2］,有g(shù)(q)=2；

(3)當。<0時，，函數(shù)y=mQ),2］的圖象是開口向下的拋物線的一段，

1桓

若，=——￡(0,V2］即aW----時，g(a)-m(V2)=V2,

a2

若/=一--G(V2,2J即aG］時，g(a)=m(—■-)=-a———

a22a2a

若/=--G(2,+oo)即aG(一1,0)時，g(a)-m(2)=a+2。

a2

,1、

a+2(。>-2)

綜上所述，有g(shù)(a)=<-a-1-

2a

V2

I3

(III)當——時，g(a)=6/+2>—>V2；

22

J51lV2.1,收”.1

當-----<a<——時，-aer

22222a22a

g(a)=—ci---->2J(—a)?(---)=V2,故當a>-----時，g(a)>V2；

2aV2a2

當。>0時，—>0,由g(a)=g(L)知：a+2=—4-2,故。=1；

aaa

當a<0時，a--=l,故aW—l或工4一1,從而有g(shù)(a)=&或g(4)=J5,

aaa

要使g(a)=g(L),必須有變，即一行〈一I,

a2a22

此時，g(a)=后=g(')。

a

綜上所述，滿足g(a)=g(')的所有實數(shù)a為：—4a4—X2或a=1。

a2

設(shè)計意圖：考察二次函數(shù)的最值與分類討論的思想

16.(人教版84頁B組第5題)

試著舉幾個滿足“對定義域內(nèi)任意實數(shù)a,h,都有/(?+/?)=/(?)/(b)”的函數(shù)例子.

變式1：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是N*,且/(x+y)=/(x)+/(y)+xy,/⑴=1,則f(25)=

解析：由/(x+y)=/(x)+/(y)+砂=/(2)=/(I)+/⑴+1=3/./(2)-/(1)=2

同理，f(3)-f(2)=3.……

f(25)~f(24)=25.，/(25)=1+2+3+…+25=325.答案：325

變式2：設(shè)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=l對稱，對任意須,4€[0，；1，都有

/(x1+x2)=/(x1)/(x2)

(1)設(shè)/(1)=2,求(2)證明/(x)是周期函數(shù).

24

(1)解：由/(占+々)=/(…)/(々)知/⑴二/9/《力/中對，xW[O,

I1111

因為/(I)=/-(-)?/<-)="(5”2,及/(I)=2,所以7?(萬)=22.

11111111

因為/(上)于(上)?/(士)=U(上)]2,及/(上)=22,所以/(上)=24.

244424

(2)證明：依題設(shè)y=/(x)關(guān)于直線x=l對稱，故/(x)=f(1+1—%)of(x)=f(2—x),x￡R.

又由/(x)是偶函數(shù)知/(—x)=f(x),所以/(—x)=f(2—x),x￡R.將上式中一x以x代換，

得/(x)=f(x+2),

這表明/(x)是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個周期.

變式3：設(shè)函數(shù)y=/(幻定義在R匕對任意實數(shù)次、〃,恒有/(〃2+〃)=/(〃?)/(〃)且當x>0,0<f(x)<1

(1)求證：f(0)=1,且當xVO時，fCx)>1；(2)求證：/(x)在R上遞減；

(3)設(shè)集合A={(x,y)\f(x*I2)?f(y2)>/(1)},B={(x,y)\fCax—y+2)=1,

〃￡R},若AG8=0,求Q的取值范圍.

(1)證明：在/(m+〃)=f(m)f(n)中，令m=l,n=0,得f(1)=/(1)f(0).

V0</(1)<1,：.f(0)=1.

設(shè)X〈0,則一X>0.令〃2=X,〃=—JG代入條件式有/(O)n*(x)?/(一/),而f(0)=1,

(2)證明：設(shè)X]V/2，則孫―即>0，Cx2-X\)<1.

令機=Xi，m+n=X2f貝1|〃=應—U，代入條件式，得/(孫)-f),/(應一/1)，

即0<"”2)5)</(X1).：.f(x)在R上單調(diào)遞減.

〃匹)

⑶解：由/(/)/。2)>/⑴=/(一+/〉川)

又由(2)知f(x)為R上的減函數(shù)，x2+y2<ln點集A表示圓龍2+示<1的內(nèi)部.由/(ax—y+2)

=1得ax—y+2=0=>點集B表示直線ax~y+2=0.

?rAC8=0,.?.直線ax—y+2=0與圓￡+y?=1相離或相切。于是一21=>。<6

J/+]

設(shè)計意圖：考察抽象函數(shù)的性質(zhì)及抽象運算的能力和數(shù)形結(jié)合的思想。

二、二次函數(shù)

1.(人教A版第27頁A組第6題)解析式、待定系數(shù)法

^f(x)=x2+bx+c,且/(1)=0,"3)=0,求/(—1)的值.

變式1:若二次函數(shù)〃耳=辦2+法+c的圖像的頂點坐標為(2,-1),與y軸的交點坐標為(0,11),

則A.a=l,b=-4,c=-UB.a=3,b=12,c=11

C.a=3,b=—6,c=11D.a=3,/?=—12,c=11

變式2：若/(x)=—x2+(b+2)x+3,xeg,c]的圖像x=l對稱，則c=.

變式3：若二次函數(shù)〃x)=ax2+bx+c的圖像與x軸有兩個不同的交點A(x”O(jiān))、8(々,0)，且

=^，試問該二次函數(shù)的圖像由/(x)=-3(x—l)2的圖像向上平移兒個單位得到？

2.(北師大版第52頁例2)圖像特征

將函數(shù)/(3)=-3--6》+1配方，確定其對稱軸，頂點坐標，求出它的單調(diào)區(qū)間及最大值或最小值，

并畫出它的圖像.

變式1：已知二次函數(shù)〃x)=ax2+bx+c,如果〃玉)=〃％2)(其中玉W々)，則/文上

2aa4a

變式2：函數(shù)/(x)=x2+px+q對任意的x均有〃l+x)=〃l一x),那么〃0)、/(-I),/(1)

的大小關(guān)系是

A./(1)</(-1)</(0)B./(0)</(-1)</(1)

C./(1)</(0)</(-1)D./(-1)</(0)</(1)

變式3：已知函數(shù)/")=以2+云+，的圖像如右圖所示，

請至少寫出三個與系數(shù)〃、從C有關(guān)的正確命題_________.

3.(人教A版第43頁B組第1題)單調(diào)性

已知函數(shù)f(x)=x2-2x,g(x)=x1-2x(xe[2,4]).

⑴求/(x),g(x)的單調(diào)區(qū)間;⑵求/(x),g(x)的最小值.

變式1：已知函數(shù)/(司=/+4公+2在區(qū)間(-8,6)內(nèi)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是

A.a>3B.a<3C.a<-3D.a<-3

變式2：已知函數(shù)〃x)=f—(a—l)x+5在區(qū)間(；，1)上.為增函數(shù)，那么"2)的取值范圍是

變式3：已知函數(shù)/(》)=-/+屐在[2,4]上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)攵的取值范圍.

4.(人教A版第43頁B組第1題)最值

已知函數(shù)f(x)=x2~2x,g(x)=x2-2x(jce[2,4]).

⑴求/(x),g(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求/(x),g(x)的最小值.

變式1：已知函數(shù)〃x)=f—2x+3在區(qū)間|0,詞上有最大值3,最小值2,則機的取值范圍是

A.[l,+oo)B.[0,2]C.[1,2]D.(-oo,2)

變式2：若函數(shù)y=3j—f+4的最大值為M,最小值為機，則M+m的值等于.

變式3：已知函數(shù)/(x)=-4ax+/-2a+2在區(qū)間[0,2]上的最小值為3,求。的值.

5.(人教A版第43頁A組第6題)奇偶性

已知函數(shù)“X)是定義在R上的奇函數(shù)，當x?0時，/(x)=x(l+x).畫出函數(shù)〃x)的圖像，并

求出函數(shù)的解析式.

變式1：若函數(shù)〃X)=(加一1)一+(m2一］卜+1是偶函數(shù)，則在區(qū)間(—8,0］上“X)是

A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.常數(shù)D.可能是增函數(shù)，也可能是常數(shù)

變式2：若函數(shù)/(x)=nx2+6x+3a+8(a-lWxW2a)是偶函數(shù)，則點(a,。)的坐標是.

變式3：設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)/。)=/+|》一。|+1,xeR.

(I)討論/(x)的奇偶性；(II)求了(X)的最小值.

6.(北師大版第64頁A組第9題)圖像變換

x~+4x+3,—34x<0

已知/(x)=<-3x+3,0<x<1.

-x2+6x-5,l<x<6

(1)畫出函數(shù)的圖象；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)求函數(shù)的最大值和最小值.

變式1：指出函數(shù)y=——+2k|+3的單調(diào)區(qū)間.

變式2：已知函數(shù)/(x)=lx2—2ax+6(xeR).

給下列命題：①/(x)必是偶函數(shù)；

②當/(0)=/(2)時，/(x)的圖像必關(guān)于直線x=l對稱；

③若。2一。40,則/(x)在區(qū)間口，+8)上是增函數(shù)；

④/(x)有最大值I/—bl.其中正確的序號是.③

變式3：設(shè)函數(shù)/(x)=x\x\+bx+c,給出下列4個命題：

①當c=0時，y=/(x)是奇函數(shù)：②當b=0,c>0時，方程/(x)=0只有一個實根;

③y=/(x)的圖象關(guān)于點(0,c)對稱；④方程/(x)=0至多有兩個實根.

上述命題中正確的序號為.

7.(北師大版第54頁A組第6題)值域

求二次函數(shù)/(X)=-2彳2+6x在下列定義域上的值域：

(1)定義域為卜62|04》43｝；(2)定義域為［—2,1］.

變式1：函數(shù)/(x)=—2/+6x(—2<x<2)的值域是

A.—20,竽］B.(-20,4)C.^-20,.|D.卜20,()

變式2：函數(shù)y=cos2r+sinx的值域是.

變式3：已知二次函數(shù)+(a、b為常數(shù)，且〃W0),滿足條件/(I+x)=/(1—%),且

方程f(x)=x有等根.

(1)求f(x)的解析式；

⑵是否存在實數(shù)加、〃(加〈幾)，使f(x)的定義域和值域分別為［m,n］和［3m,3〃］,如果

存在，求出加、及的值，如果不存在，說明理由.

8.(北師大版第54頁B組第5題)恒成立問題

當心瓦c具有什么關(guān)系時，二次函數(shù)/(x)=a/+法+0的函數(shù)值恒大于零？恒小于零？

變式1：已知函數(shù)/㈤=lg("2+2x+1).

⑴若函數(shù)/(x)的定義域為R,求實數(shù)a的取值范圍；

(II)若函數(shù)/(%)的值域為R,求實數(shù)a的取值范圍.

變式2：已知函數(shù)/(1)=/+辦+3-a,若xc［-2,2卜寸，有/(x)22恒成立，求。的取值范圍.

變式3：若/3)=/+法+(?,不論°為何實數(shù)，恒有/(sina)20,f(2+cos>3)^0.

(I)求證：b+c=—1；(II)求證：c23；

(III)若函數(shù)/(sina)的最大值為8,求Ac的值.

9.(北師大版第54頁B組第1題)根與系數(shù)關(guān)系

右圖是二次函數(shù)/(工)=狽2+以+0的圖像，它與r軸交于點(40)和(％,0)，試確定〃也c以及

XxX2,玉+工2的符號?y

X

變式1：二次函數(shù)y=ax~+。與一次函數(shù)y=ax+b(a>b)

在同個直角坐標系的圖像為

2

變式2：直線y=mx-3與拋物線G：丁=—+5mx-4加，C2:y=x+(2m-l)x+/%之一3,

2

C3:y=x+3mx-2m-3中至少有一條相交，則m的取值范圍是.

變式3：對于函數(shù)/(%),若存在XoeR,使/a())=x()成立，則稱xo為/(x)的不動點.如果函數(shù)/(%)=

ax2+bx+1(tz>0)有兩個相異的不動點為、尤2.

⑴若Xi<1<%2>且/W的圖象關(guān)于直線x=m對稱，求證機>：；

(H)若lx,1<2且1勺一》21=2,求b的取值范圍.

10.(北師大版第52頁例3)應用

綠緣商店每月按出廠價每瓶3元購進一種飲料.根據(jù)以前的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，若零售價定為每瓶4元，每月

可銷售400瓶；若每瓶售價每降低0.05元，則可多銷售40瓶.在每月的進貨量當月銷售完的前提卜，請

你給該商店設(shè)計個方安：銷售價應定為多少元和從工廠購進多少瓶時，才可獲得最大的利潤？

變式1：在拋物線/(%)=-爐+儀與x軸所圍成圖形的內(nèi)接

矩形(一邊在無軸上)中(如圖)，求周長最長的內(nèi)接矩形兩邊之比，其

中a是正實數(shù).

變式2：某民營企業(yè)生產(chǎn)4,8兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預

測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖-：8產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖

二(注：利潤和投資單位：萬元)

(1)分別將A、8兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)

(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入A,B

品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使

企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少元(精確

到1萬元)?

變式3：設(shè)。為實數(shù)，記函數(shù)f(x)=a/1-X。+Jl+x+Jl-x的最大值為g(a).

(I)求g(a)；(II)試求滿足g(a)=g(3的所有實數(shù)公

a

二次函數(shù)答案

1.(人教A版第27頁A組第6題)解析式、待定系數(shù)法

b石

——=2

2aa=3

4cic-b

變式1:解：由題意可知解得b--12,故選D

4a

c=ll

c=11

b+20+c

變式2：解：由題意可知^—=1,解得6=0,；.二上=1,解得c=2.

22

變式3：解：由題意可設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為"