等比數(shù)列（1）題型一：等比數(shù)列的判定【例題1】已知是項數(shù)相同的等比數(shù)列，求證是等比數(shù)列?！窘馕觥孔C明：設數(shù)列的首項是，公比為q1;的首項為b1，公比為q2，那么數(shù)列的第n項與第n+1項分別為：（與n無關的常數(shù)）所以是一個以q1q2為公比的等比數(shù)列【訓練1】數(shù)列的前項和為，且。（1）求，；（2）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求?！窘馕觥浚?）由得，解得，又，即，解得。（2）證明：當時，，則，∴是首項為，公比為的等比數(shù)列，故?！居柧?】已知關于x的一元二次方程x2-x+1=0的兩根是α,β且6α-2αβ+6β=3.(1)用表示;(2)求證:數(shù)列是等比數(shù)列.【解析】（1）；(2)∵；∴－＝－∴－＝（－），∴（－）∶（－）＝∴成公比為的等比數(shù)列；(3)【訓練3】已知ａ,ｂ,ｃ,d成等比數(shù)列，a+b，b+c，c+d均不為零；求證：a+b，b+c，c+d成等比數(shù)列．【解析】證明：由已知ａ,ｂ,ｃ,d成等比數(shù)列，得＝ac，＝bd，＝，即bc=ad．＝＋＋２bc＝ac+bd＋２bc＝（a+b）（c+d）且a+b，b+c，c+d均不為零；a+b，b+c，c+d成等比數(shù)列?！居柧?】已知a,b,c,d,e均為正數(shù),其中a,b,c成等比數(shù)列,且a=b+c,b=c+d,c=d+e,求證：a,b,c,d,e成等比數(shù)列.【解析】∵a,b,c成等比數(shù)列,∴可設==q,則b=aq,c=bq=aq2.由a=b+c,得a=aq+aq2,即1-q=q2.由b=c+d,得d=b-c=aq-aq2=aq(1-q)=aq3.由c=d+e,得e=c-d=aq2-aq3=aq2(1-q)=aq4.綜上所述,有====q.∴a,b,c,d,e成等比數(shù)列.【訓練5】設數(shù)列的前項和為，已知（Ⅰ）證明：當時，是等比數(shù)列；（Ⅱ）求的通項公式【解析】由題意知，且，兩式相減得，即①（Ⅰ）當時，由①知于是又，所以是首項為1，公比為2的等比數(shù)列。（Ⅱ）當時，由（Ⅰ）知，即當時，由①得因此得.【訓練6】設數(shù)列的前項和為，（Ⅰ）求（Ⅱ）證明：是等比數(shù)列；（Ⅲ）求的通項公式【解析】（Ⅰ）因為，所以由知得①所以（Ⅱ）由題設和①式知所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列。（Ⅲ）.題型二：等比數(shù)列通項公式的應用【例題2】已知等差數(shù)列的前4項和為10，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式?！窘馕觥吭O數(shù)列的首項為，公差為，則，則，由于成等比數(shù)列，所以，化簡得所以解得或所以數(shù)列的通項公式為或?！居柧?】等比數(shù)列中，已知（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若分別為等差數(shù)列的第3項和第5項，試求數(shù)列的通項公式及前項和?！窘馕觥浚↖）設的公比為,由已知得，解得.（Ⅱ）由（I）得，，則，設的公差為，則有解得從而，所以數(shù)列的前項和【訓練2】設是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，求?！窘馕觥吭O數(shù)列的首項為，公比為，，，。，即即，解得當時，，所以。當時，，，所以【訓練3】已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且·=2，=1，則=（）A.B.C.【答案】B；【解析】選B.設公比為,由已知得,即,因為等比數(shù)列的公比為正數(shù)，所以,故.【訓練4】已知是等比數(shù)列，，則=()（A）（B）（C）（D）【答案】C；【解析】選C.由，解得數(shù)列仍是等比數(shù)列:其首項是公比為所以,，選C.【訓練5】已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，，求公比及。【解析】a=a1，a=a10=a1+9d，a=a46=a1+45d由{abn}為等比數(shù)例，得（a1+9d）2=a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=4