第3章靜電場分析

以矢量分析和亥姆霍茲定理為基礎(chǔ)，討論靜電場、恒定電場的特性和求解方法。

首先建立真空、電介質(zhì)和導(dǎo)電媒質(zhì)中電場的基本方程；引入電位函數(shù);導(dǎo)出電位滿足的泊松方程和拉普拉斯方程；確立電場的邊界條件。

最后討論電容的計算，電場能量的計算。3.1靜電場分析的基本變量3.2真空中靜電場的基本方程3.3電位函數(shù)3.4泊松方程拉普拉斯方程3.5點電荷的函數(shù)表示格林函數(shù)3.6格林定理泊松方程的積分公式3.7惟一性定理3.8電介質(zhì)的極化極化強度3.9介質(zhì)中的高斯定律邊界條件3.10恒定電場的基本方程邊界條件3.11導(dǎo)體系統(tǒng)的電容3.12電場能量靜電力3.1靜電場分析的基本變量

關(guān)系式稱為真空的電特性方程或本構(gòu)關(guān)系

靜電場的源變量是電荷

第2章中已由庫侖定律引入了電荷產(chǎn)生的電場強度

任意電荷分布產(chǎn)生的電場強度

定義任意電荷分布產(chǎn)生的電位移矢量

二、電場的旋度真空中電場的基本方程在點電荷的電場中，任取一條曲線，積分當積分路徑是閉合曲線，A、B

兩點重合，得斯托克斯定理當當

例3.2.1電荷按體密度分布于半徑為a

的球形區(qū)域內(nèi)，其中為常數(shù)。試計算球內(nèi)外的電通密度（電位移矢量）。（教材例3.2.1)解:電場具有球?qū)ΨQ性，于是于是直角坐標系3.3電位函數(shù)由

，稱為靜電場的標量位函數(shù)，又稱電位函數(shù)

由此可求得電位的微分在任意方向上的分量

空間A、B

兩點的電位差

若選取為電位參（即），則任意點的電位為

解：取如圖所示坐標系，場點的電位等于兩個點電荷電位的疊加而當因此由于得電偶極子的電位電偶極子的電場強度例3.3.1求電偶極子的電位(教材例3.3.1)。3.4泊松方程拉普拉斯方程由在直角坐標系中電位的泊松方程若空間電荷分布為零，則有電位滿足的拉普拉斯方程

例3.4.1

半徑為a的帶電導(dǎo)體球，其電位為U（無窮遠處電位為零），試計算球外空間的電位。解：

球外空間的電位滿足拉氏方程

電位滿足的邊界條件由題意可知電位及電場具有球?qū)ΨQ性在球坐標系下直接積分因此3.5點電荷的函數(shù)表示格林函數(shù)

為表示點電荷的體密度，引入函數(shù)

于是位于處的點電荷q的體密度為

單位點電荷產(chǎn)生的電位滿足的泊松方程

定義格林函數(shù)利用格林函數(shù)的性質(zhì)和格林第二恒等式可得到有界空間中的泊松方程的積分解以上公式說明，只要知道區(qū)域內(nèi)的電荷分布以及區(qū)域邊界面上的電位和電位梯度值，就可求出區(qū)域內(nèi)的電位分布。3.7惟一性定理

靜電場的邊值問題是在給定邊界條件下求泊松方程或拉普拉斯方程的解。

可以證明在每一類邊界條件下泊松方程或拉普拉斯方程的解都是惟一的。這就是邊值問題的惟一性定理

實際邊值問題的邊界條件分為三類第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件

惟一性定理的意義：是間接求解邊值問題的理論依據(jù)。3.8電介質(zhì)的極化極化強度

當電場中放入電介質(zhì)時，電介質(zhì)在電場的作用下發(fā)生極化現(xiàn)象，介質(zhì)中因極化出現(xiàn)許多電偶極矩，電偶極矩又要產(chǎn)生電場，疊加于原來電場之上，使電場發(fā)生變化。

極化強度：用p表示極化的程度，即式中：N為單位體積內(nèi)被極化的分子數(shù)

極化體電荷

由于電場的作用使電偶極子的定向排列，介質(zhì)內(nèi)部出現(xiàn)極化體電荷，介質(zhì)表面出現(xiàn)極化面電荷。

極化面電荷

（為介質(zhì)表面外法線方向的單位矢量）

小圓柱側(cè)面積，h為無窮小量，該面積趨于零一、電位移矢量D的邊界條件nh

將電場基本方程用于所作的圓柱形表面。

設(shè)兩種不同的電介質(zhì)，其分界面的法線方向為n，在分界面上作一小圓柱形表面，兩底面分別位于介質(zhì)兩側(cè)，底面積為，h為無窮小量。方程左邊電位移矢量D的邊界條件用矢量表示方程右邊為分界面上的自由電荷面密度二、電場強度E的邊界條件（其中為回路所圍面積的法線方向）

因為回路是任意的，其所圍面的法向也是任意的，因而有電場強度E的邊界條件：或表示為

在分界面上作一小的矩形回路，其兩邊分居于分界面兩側(cè)，而高。將方程用于此回路介質(zhì)分界面兩側(cè)電場強度的切向分量連續(xù)對于電位由由

例3.9.1

半徑分別為a和b的同軸線，外加電壓U。圓柱電極間在圖示角部分填充介電常數(shù)為的介質(zhì)，其余部分為空氣，求內(nèi)外導(dǎo)體間的電場。（教材例3.9.2)

解：問題具有軸對稱性，選用柱坐標系，待求函數(shù)，在圓柱坐標系下于是電位滿足的拉普拉斯方程其通解為同理3.10恒定電場的基本方程邊界條件

恒定電流空間存在的電場，稱為恒定電場。

恒定電場中的二個基本變量為電流密度和電場強度。

描述恒定電場基本特性的第一個方程是電流連續(xù)性方程，即或

電流恒定時，電荷分布不隨時間變化，恒定電場同靜電場具有相同的性質(zhì)。因此描述恒定電場基本特性的第二個方程為或

實驗證明，導(dǎo)電媒質(zhì)中電流密度與電場強度成正比，即

稱為導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率。

要想在導(dǎo)電媒質(zhì)中維持恒定電流，必須依靠非靜電力將B極板的正電荷q抵抗電場力搬到A極板。這種提供非靜電力將其它形式的能量轉(zhuǎn)為電能裝置稱為電源。因此

Ee

是非保守場。

設(shè)局外場強為設(shè)局外場強為，則電源電動勢為電源電動勢與有無外電路無關(guān)，它是表示電源本身的特征量。則與靜電場的討論類似，由可引入恒定電場的電位函數(shù)一、恒定電場的電位由二、恒定電場的邊界條件若用電位表示

將恒定電場的基本方程、分別用于二種不同導(dǎo)電媒質(zhì)的分界面上，與推導(dǎo)靜電場邊界條件方法類似，可導(dǎo)出恒定電場的邊界條件。

例3.10.2

一個有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為和外加電壓U，介質(zhì)分界面上的自由電荷密度。(教材例3.10.2)

解：設(shè)電容器極板為理想導(dǎo)體，故極板是等位面，電流沿z方向。由邊界條件得相應(yīng)的電場外加電壓U等于得于是由邊界條件上極板的自由電荷面密度下極板的自由電荷面密度介質(zhì)分界面上的自由電荷3.11導(dǎo)體系統(tǒng)的電容

N個導(dǎo)體組成的導(dǎo)體系統(tǒng)，其中第i個導(dǎo)體的電位與自身的電荷和其他導(dǎo)體的電荷關(guān)系為

其中為常數(shù)，稱為電位系數(shù)，與系統(tǒng)中所有導(dǎo)體的形狀、位置及周圍介質(zhì)有關(guān)。（共有N個方程）

由以上N

個方程可解出（共有N

個方程）

當時稱為電容系數(shù)，時稱為感應(yīng)系數(shù)，且

引入，方程可寫為與導(dǎo)體i的電位成正比與導(dǎo)體i、j的電位差成正比其比值2、靜電力

已知帶電體的電荷分布，原則上，根據(jù)庫侖定律可以計算帶電體電荷之間的電場力。但對于電荷分布復(fù)雜的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫侖定律計算電場力往往是非常困難的，因此通常采用虛位移法來計算靜電力。虛位移法：假設(shè)第i個帶電導(dǎo)體在電場力Fi的作用下發(fā)生位移dgi，則電場力做功dA＝Fidgi，系統(tǒng)的靜電能量改變?yōu)閐We。根據(jù)能量守恒定律，該系統(tǒng)的功能關(guān)系為其中dWS是與各帶電體相連接的外電源所提供的能量。具體計算中，可假定各帶電導(dǎo)體的電位不變，或假定各帶電導(dǎo)體的電荷不變。1.）各帶電導(dǎo)體的電位不變此時，各帶電導(dǎo)體應(yīng)分別與外電壓源連接，外電壓源向系統(tǒng)提供的能量系統(tǒng)所改變的靜電能量即2）各帶電導(dǎo)體的電荷不變此時，所有帶電體都不和外電源相連接，則

dWS＝0，因此式中的“－”號表示電場力做功是靠減少系統(tǒng)的靜能量來實現(xiàn)的。例3.1.8

有一平行金屬板電容器，極板面積為l×b，板間距離為d，用一塊介質(zhì)片（寬度為b、厚度為d，介電常數(shù)為ε）部分填充在兩極板之間，如圖所示。設(shè)極板間外加電壓為U0，忽略邊緣效應(yīng)，求介質(zhì)片所受的靜電力。所以電容器內(nèi)的電場能量為