本文格式為Word版，下載可任意編輯——構(gòu)造新函數(shù)解不等式不等式構(gòu)造函數(shù)

利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來解不等式或證明不等式，是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合題的一個難點，也是近幾年高考的熱點。解題關(guān)鍵點是構(gòu)造輔佐函數(shù)，把不等式問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或最值，從而解決不等式問題。

一、構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)解不等式

例1：已知函數(shù)f（x）=x2-mx（m∈R），g（x）=lnx若對任意有意義的x，不等式f（x）＞g（x）恒成立，求m的取值范圍。

解：不等式f（x）＞g（x）等價于x2-mx＞lnx∵x＞0∴不等式

在（0，+∞）上恒成立。令，

令h（x）=2x2+lnx-1，那么，∵當(dāng)x＞0時，h"（x）＞0∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增。又∵h(yuǎn)（1）=0∴h（x）＞0的解為x＞1，∴t"（x）＞0的解為x＞1，∴t（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴t（x）min=t（1）=1∴m＜1。

點評：此題的難點是解t"（x）＞0，在構(gòu)造了可導(dǎo)函數(shù)h（x）后通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x）的性質(zhì)，問題那么可以迎忍而解了。

二、構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)證明不等式

例2：已知函數(shù)證明：在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)的圖象下方。

證明：設(shè)f（x）=g（x）-f（x），即那么

，當(dāng)x>1時

從而f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，∴F（x）＞F（1）=＞0，∴當(dāng)x＞1時，g（x）-f（x）＞0，即f（x）＜g（x），故在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）的圖象下方。

點評：此題通過作差構(gòu)造一個函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式。

例3：已知函數(shù)證明：若a＜5，那么在任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有證明：設(shè)那么，∵當(dāng)a＞1，x＞0時，∵1＜a＜5∴g"（x）≥1-（√a-1-1）2＞0，∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x1＞x2時，g（x1）＞g（x2）即f（x1）+x1＞f（x2）+x2，∴f（x1）-f（x2）＞-（x1-x2），。

當(dāng)x1＜x2時同樣可以得到。

點評：此題從結(jié)論特征入手構(gòu)造函數(shù)證明不等式。由結(jié)論變形得到。

當(dāng)x1＞x2時，即證f（x1）+x1＞f（x2）+x2；當(dāng)x1＜x2時，即證f（x1）+x1＜f（x2）+x2，輕易想到研究函數(shù)f（x）+x的單調(diào)性。因此構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)g（x）=f（x）+x即可。

例4：設(shè)0≤x≤1，p＞1，求證：21-p≤xp+（1-x）p≤1

證明：構(gòu)造函數(shù)f（x）=xp+（1+x）p，x∈[0，1]，那么f"（x）=pxp-1-p（1-x）p-1，令f"（x）=0得唯一駐點x=0.5，又f（0）=f（1）=1，f（0.5）=21-p＜1?！鄁（x）max=1，f（x）min=21-p，故原不等式成立。

點評：當(dāng)不等式中變量