高考大題專題研究(四)立體幾何中的綜合問題

教材回扣?夯實“四基”

基礎(chǔ)知識

I.直線的方向向量與平面的法向量

(1)直線的方向向量：。是直線/上一點，在直線/上取非零向量a,則對于直線/上任意

一點P,由數(shù)乘向量的定義及向量共線的充要條件可知，存在實數(shù)2,使得而=%.把與向量

a平行的非零向量稱為直線/的方向向量.

(2)平面的法向量：直線/1a平面，取直線/的方向向量a,稱向量a為平面a的法向量.

(3)方向向量和法向量均不為零向量且不唯一.

2.空間位置關(guān)系的向量表示

位置關(guān)系向量表示

U\//4￡R,使得

直線/l，/2的方向向里分別為〃1，〃2

/山2_L〃2=〃l〃2=0

直線/的方向向量為U,平面a的法l//a（l（ta）〃J_〃=〃〃=0

向量為nl_La,u//n^>3AGR,使得”=力”

a//pn\//n2<=>34WR,使得〃i=i〃2

〃2分別是平面a，4的法向量

aLpJ_/l2Q〃l〃2=0

3.利用空間向量求角

(1)異面直線所成的角

兩條異面直線所成的角，可以轉(zhuǎn)化為兩條異面直線的方向向量的夾角來求得.也就是說，

若異面直線，2所成的角為仇其方向向量分別是“，V,貝！Jcos6=|cos〈”，。〉1=|mq=

|u?v|

(2)直線與平面所成的角

直線與平面所成的角，可以轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角.如圖，直線

A8與平面a相交于點B,設(shè)直線AB與平面a所成的角為仇直線A8的方向向量為〃，平面

a的法向量為小則sinQIcos5,“〉|=|品=需.

(3)平面與平面的夾角

平面a與平面夕相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90。的二面角稱

為平面a與平面夕的夾角.

若平面a,尸的法向量分別是和"2,則平面a與平面尸的夾角即為向量和"2的夾

角或其補角.設(shè)平面a與平面￡的夾角為仇則cos8=|cos〈"|,"2〉|=|簸

4.利用空間向量求距離

(1)兩點間的距離

設(shè)P|(X|,y"Z|),P2(X2,”，Z2)是空間中任意兩點，則麗=碣-短=(X2—XI，以一

V，Z2-Z1).所以P|「2=|瓦耳|=J(X2—XJ2+@2-yJ2+(Z2—zJ2.

(2)點到平面的距離

己知平面a的法向量為n,A是平面a內(nèi)的定點，P是平面a外一點.過點P作平面?

的垂線/,交平面a于點Q,則”是直線/的方向向量，且點尸到平面a的距離就是前到直

線/上的投影向量笳的長度.因此PQ=|養(yǎng)=|需卜鬻.

第1課時利用空間向量證明平行、垂直與利用空間向量求

距離

題型突破?提高“四能”

題型一利用空間向量證明平行、垂直

［例1］如圖，在四棱錐P-48CD中，PC_L平面ABC。，PC=2,在四邊形ABC。中，

ZABC^ZBCD=90°,AB=4,C￡)=1,點M在PB上，PB=4PM,P8與平面ABC。所成

的角為30。.

求證：

⑴CM〃平面PAD-.

(2)平面以8_L平面PAD.

［聽課記錄］

類題通法

利用空間向量證明空間垂直、平行的一般步驟

建系一建系時要盡可能地利用條件中的垂直關(guān)系

~T~

表示卜用空間向量表示出問題中所涉及的點、

直線、平面的要索

通過空間向量的運算求出直線的方向向量

運算~

或平面的法向量

將空間向量運算的結(jié)果轉(zhuǎn)化為空間圖形中

結(jié)論一

待證的結(jié)論

［鞏固訓(xùn)練1］如圖所示，在直三棱柱ABC-4SG中，側(cè)面AACC和側(cè)面都

是正方形且互相垂直，M為Mi的中點，N為BG的中點.求證：

(1)MN〃平面48C1；

(2)平面平面BB\C\C.

題型二與平行、垂直有關(guān)的存在性問題

［例2］如圖，四棱錐S-ABCC的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的近倍,

P為側(cè)棱SQ上的點.

(1)求證：ACA.SD-,

(2)若SQ，平面MC,側(cè)棱SC上是否存在一點E,使得BE〃平面B4C.若存在，求SE:EC

的值；若不存在，試說明理由.

［聽課記錄］

類題通法

存在問題的兩種探索方式

舍式?根據(jù)條件作出判斷，在進一步論證I

利用空間求出該找到

向量，先假點坐標(biāo)“存在點”

設(shè)存在的

不能求

點的坐標(biāo)plr判定

出或有

“不存在”

矛盾

［鞏固訓(xùn)練2J［2022.北京海淀模擬］如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面P8C_L平面

A3CD4P8C是等腰三角形，且尸8=PC=3.在梯形A8C。中，AB//DC,ADLDC,AB=5,

AD=4,DC=3.

(1)求證：A8〃平面ADC；

(2)在線段AP上是否存在點”，使得平面A3P?請說明理由.

題型三利用空間向量求空間距離

［例3］［2022?天津南開區(qū)模擬］如圖，直二面角。-AB-E中，四邊形A8CO是邊長為2

的正方形，AE=EB,尸為CE上的點，且BF_L平面ACE.

(1)求證：AE_L平面BCE；

(2)求點D到平面ACE的距離.

［聽課記錄］

類題通法

利用向量法求點到平面的距離的步驟

「鞏固訓(xùn)練3］已知邊長為4的正三角形ABC,E,F分別為BC和AC的中點.出=2,

且以，平面4BC,設(shè)。是CE的中點.

(1)求證：AE〃平面PF。；

(2)求AE與平面尸尸。間的距離.

第2課時利用空間向量求空間角

題型突破?提高“四能”

題型一異面直線所成的角

［例1］如圖，在四棱錐S-ABC。中，底面A88是矩形，SA_L平面ABC。，AD=SA

=2,AB=1,點E是棱S。的中點.

(1)證明：SC±A￡；

(2)求異面直線CE與BS所成角的余弦值.

［聽課記錄］

類題通法

用向量法求異面直線所成角的步驟

|建系卜|選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系|

I

找方向U確定異面直線上兩個點的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示兩

向量異面宜線的方向向盤

|計浦：H利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值|

|兩異面直線所成角的范圍是（0,受］即兩異面

I結(jié)論卜直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值

的絕對值

［鞏固訓(xùn)練1］在直三棱柱ABC-AIBIG中，底面△ABC是直角三角形，AC=BC=AA}

=2,。為側(cè)棱的中點.

求異面直線。G，SC所成角的余弦值.

題型二直線與平面所成的角

［例2］［2022-湖北漢陽一中模擬］在四棱錐P-ABCD中，A8〃CD,AO=2,NDAB=6Q°,

△APB為等腰直角三角形，PA=PB=2y/2,過C。的平面分別交線段玄，PB于M,N,E在

線段OP上.(M,N,E不同于端點)

(1)求證：CZ)〃平面MNE；

(2)若E為。P的中點，且平面APB,求直線PA與平面MNE所成角的正弦值.

［聽課記錄］

類題通法

求直線與平面所成角的兩種方法

線

面

角

r鞏固訓(xùn)練2］［2022?湖南師大附中模擬］如圖，長方體43。-4山|。。中，底面ABCQ

是正方形，AA\=2AB=2,E是上的一點且￡>E=/

(1)求證：平面A由Q_L平面4EC；

(2)求直線4。與平面AEC所成角的正弦值.

題型三二面角

［例3］［2021?新高考H卷］在四棱錐Q-4BC。中，底面ABCZ)是正方形，若AQ=2,QD

=QA=瓜QC=3.

(1)證明：平面QAOJ_平面ABC。；

(2)求二面角B-QD-A的余弦值.

I聽課記錄］

類題通法

利用空間向量求二面角的兩種常用方法

[鞏固訓(xùn)練3][2022?安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬]如圖所示的兒何體是由等高的半個圓

柱和;個圓柱拼接而成，點G為弧CD的中點，且C,E,D,G四點共面.

4

(1)證明：平面BFD_L平面BCG；

(2)若AO=AF=2,求平面BCF與平面A3G所成銳二面角的余弦值.

第3課時翻折、探究與最值(范圍)問題

題型突破?提高“四能”

題型一翻折問題

［例1］己知正三角形ABC的邊長為6,點E,。分別是邊AB,AC上的點，且滿足詈=

EB

需，如圖1),將ADE沿DE折起到AQE的位置(如圖2),且使A\E與底面BCDE成60。角，

連接48,A\C.

(1)求證：平面平面BCDE；

(2)求二面角Ay-CD-E的余弦值.

［聽課記錄］

類題通法

翻折問題的兩個解題策略

一般地，位于“折痕”同側(cè)的點、

線、面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不

變，而位于“折痕”兩側(cè)的點、

線、面之間的位置關(guān)系會發(fā)生變

化；對于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖

形中處理，對于變化的關(guān)系則要

在立體圖形中解決

所謂的關(guān)鍵，是指翻折過程中運

動變化的點，只有分析清楚關(guān)鍵

點的準(zhǔn)確位置，才能以此為參照

點，確定其他點、線、面的位置，

進而進行有關(guān)的證明與計算

[鞏固訓(xùn)練1][2022?安徽合肥模擬]在直角梯形ABC。中，/ABC=90。，BC//AD,AD

=4,AB=BC=2,M為線段AD中點.將△ABC沿AC折起，使平面平面ACD,得

到幾何體B-ACD

(1)求證：AB_L平面8C￡>；

(2)求直線BQ與平面BCM所成角的正弦值.

題型二與空間角有關(guān)的探究性問題

[例2][2022?湖南長郡中學(xué)模擬]如圖1,在等邊△A8C中，點。，E分別為邊A8,AC

上的動點且滿足￡>E〃BC,記整=2.將△ADE沿QE翻折到△MQE的位置并使得平面MDE1.

BC

平面OEC8,連接MB,MC得到圖2,點N為MC的中點.

(1)當(dāng)EN〃平面M8O時，求2的值；

⑵試探究：隨著2值的變化，二面角B-MD-E的大小是否改變？如果是，請說明理由;

如果不是，請求出二面角8-MO-E的正弦值大小.

［聽課記錄］

類題通法

與空間角有關(guān)的存在性問題的解題流程

把何

幾

建

立

對上

象根據(jù)題

空

間

點

動

態(tài)設(shè)要求,

角

宜

標(biāo)

的

坐建立相

標(biāo)

坐

數(shù)

參

用應(yīng)的方

系

示

表程（組）

［鞏固訓(xùn)練2］［2022河北石家莊模擬］如圖，四棱錐P-ABCZ）中，底面ABCD為正方形,

△%B為等邊三角形,平面以8_1_底面ABC。，E為AO的中點.

（1）求證：CEA.PD；

⑵在線段即不包括端點）上是否存在點F,使直線AP與平面PEF所成角的正弦值為日,

若存在，確定點F的位置：若不存在，請說明理由.

題型三最值、范圍問題

［例3］已知直三棱柱ABC-AIBIC中，側(cè)面A4B由為正方形，AB=BC=2,E,F分

別為AC和CG的中點，。為棱AB上的點，BFLAiBt.

A,^----------------------------

tl/

llX

(1)證明：BF±DE；

(2)當(dāng)SO為何值時，面BSGC與面OFE所成的二面角的正弦值最??？

［聽課記錄］

類題通法

求最值、范圍問題的常用思路

11^81在變化過程中判斷點、線、面在何

報路一位置時，所求的玷有相應(yīng)最大、最

小值，即可求解

通過建系或引入變量，把這類動態(tài)

問題轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)，從而利用代

數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最值或范圍

［鞏固訓(xùn)練3］［2022?湖北武漢月考］已知RtZVIBC中，ZB=pAB=4,BC=\,E,F

為AB,AC上的動點，且EF〃BC,將三角形AEF沿EF折起至如圖所示，使平面ABC,平

面BCFE.

(1)證明：平面A8C_L平面ABE；

(2)求平面AFC和平面ABE所成的銳二面角的余弦值的取值范圍.

高考大題專題研究(四)立體幾何中的綜合問題

第1課時利用空間向量證明平行、垂直與利用空間向量求距離

題型突破提高“四能”

例1證明：

以點C為坐標(biāo)原點，分別以CB,CD,CP所在的直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系C-xyz.

?；PCJ?平面A8CD,為PB與平面ABC。所成的角.：.ZPBC=30°.'：PC=2,

:.BC=2?PB=4,

?,.D(0,1,0),BQ?0,0),A(2A/3,4,0),P(0,0,2),喈，0,|),

/.DP=(0,-1,2),DA=(2V3,3,0),CM=(y,0,|).

⑴設(shè)〃=(x,y,z)為平面力。的一個法向量，由但,n=0,即「丫22=0,

(DA-n=0,l2V3x+3y=0.

令y=2,得“=(一百，2,1).

VnCM=-V3X曰+2X0+1x|=0,

nlCM.XCM。平面PAD,：.CM//平面PAD.

證明：(2)如圖，取AP的中點E,連接8E,

則E(V3,2,1),BE=(-V3,2,1).

,:PB=AB,：.BELPA.

又就靠=(一百，2,1)-(2V3,3,0)=0,

ABEIDA,即BEYDA.

又以CDA=H,平面以D

又BEu平面以8,...平面孫8_L平面出。.

鞏固訓(xùn)練1證明：由題意知44,AB,AC兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系.

不妨設(shè)正方形A4CC的邊長為2,則4(0,0,0),4(2,0,0),8(0,2,0),囪(2,2,

0),C(0,0,2),G(2,0,2),M(l,0,0),N(l,1,1).

(1)因為幾何體是直三棱柱，所以側(cè)棱A4J_底面

因為就=(2,0,0),MN=(0,1,1),所以麗?麗'=0,即而_L麗

又MW平面4BiCi,故MN〃平面48iCi.

證明：(2)設(shè)平面MBCi與平面8B1GC的法向量分別為m=(xi,yi,zi),n2=(x2,yz,Z2).

因為血=(-1,2,0),麗=(1,0,2),

所以卜畫=0,即『x1+2y1=0,

(叫?MCi=0,(Xi+2zi=0,

令M=2,則平面M8G的一個法向量為“I=(2,1,-1).同理可得平面BBiCC的一個

法向量為“2=(0,1,1).因為〃r"2=2X0+lXl+(—1)X1=O,所以小_1_”2,所以平面MBCil

平面BBCC.

例2證明：(1)連接BD,設(shè)AC交3。于點O,則ACVBD.

由題意知SO_L平面ABCD.

以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB,OC,OS所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系.

設(shè)底面邊長為a,則高50=孚°,所以S(0,0,半a),O(—孝a,0,0),8俘a,0,0),

C(0,ya,0),所以氏=(o,ya,0),SD=(-ya,0,-ya),則無.元=0.

故OCLSD所以ACJ_SD

證明：(2)棱SC上存在一點E使得BE〃平面力C,此時SE：EC=2：1.理由如下：

由已知條件知麗是平面B4C的一個法向量，且麗=(?a,0,ya),CS=(O,-ya,

ya),BC=(-ya,ya,0).設(shè)通=屈(0<々1),則配=前+盤=前+通=(—孝a,

ya(l-t),當(dāng)at),XBE-DS=0,所以爭X(—乎a)+爭iX等=0,所以r=|.即當(dāng)SE：EC

=2：1時，BE1DS.FUBEC平面PAC,故BE〃平面PAC.

鞏固訓(xùn)練2解析：(1)證明：因為AB〃OC,ABC平面POC,QCu平面POC,所以48〃

平面PDC.

證明：(2)取8c中點尸，連接AF,PF,在△P8C中，因為尸8=PC,所以尸F(xiàn)_L8C,又

易知AC=4B=5,所以又因為平面P8C_L平面ABC。，平面PBCA平面A8C￡>=

BC,所以PF,平面48CZ),所以以下為原點，F(xiàn)A,FB,FP為x,y,z軸建立空間

直角坐標(biāo)系F-xyz,如圖，

在梯形ABCD中，因為A8〃DC,AD1DC,A￡>=4,DC=3,AB=5,所以BC=2A/5,

AF=2?又因為PB=3,所以PF=2,于是尸(0,0,2),A(2代，0,0),B(0,V5,0),

C(0,-V5,0),所以第=(一26，V5,0),AP=(-2V5,0,2).

因為AB=5,DC=3,所以E=一|屈，所以前=麗+配+而=|通+近=|(一2后，

V5,0)+(0,-2V5,0)=(-竽，一第，0),

設(shè)平面AOP的一個法向量是〃=(xi,yj,zi),

X5=----=0

n_---X1--yi-，取xi=2,得"=(2,-1,2V5),假設(shè)線段AP上存

{n-AP=-2j5xi+2zi—0

在點H,使得84J_平面4￡>P,且設(shè)由=%而(0W4Wl),所以崩=2弄=(一2點，0,2A),

所以聞=故+崩=(2遙，-V5,0)+(—2付，0,2z)=(2V5(l-2),一遍，2/1),因為B”_L

平面ADP,所以所1〃"，所以察3=二§=是，顯然/不存在，假設(shè)不成立，故線段AP

2-12V5

上不存在點“，使得平面AOP.

例3解析：⑴證明：因為斯，平面ACE,所以BFVAE.

因為二面角D-AB-E為直二面角，且CBLAB,

所以C8_L平面ABE所以CB1AE.

又BCCBF=B,BC,8尸u平面BCE.

所以AE_L平面BCE.

(2)以線段AB的中點為原點。，OE所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，過。點平行

于A。的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xzy,如圖.

因為AE_L平面BCE,BEu平面BCE,所以AEJ_8E,在Rt^AEB中，AB=2,O為AB

的中點，所以O(shè)E=1,所以A(0,-1,0),E(l,0,0),C(0,1,2),AE=(1,1,0),AC-

即(x+y=。，

CO,2,2).設(shè)平面AEC的一個法向量為"=(x,y,z).化

<：：：^(2y+2z=0,

簡得V=—x'令x=l,得〃=(1,—1,1)是平面AEC的一個法向量.

ly=-z,

因為AQ〃z軸，A￡>=2,所以前=(0,0,2),

所以點力到平面ACE的距離4=呻=冬=乎.

|n|V33

鞏固訓(xùn)練3解析：

(1)證明：如圖所示，以A為坐標(biāo)原點，平面A8C內(nèi)垂直于AC邊的直線為x軸，AC所

在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

"：AP=2,AB=BC=AC=4,

又E,尸分別是8C,AC的中點，

，A(0,0,0),BQ瓜2,0),C(0,4,0),F(0,2,0),E(V3,3,0),Q(1,0),

P(0,0,2).AFQ=(y,I，0),AE=(V3,3,0),

/.AE=2FQ.

與尸。無交點，

〃尸Q.又F-Qu平面PFQ,AEC平面PFQ,

；.AE〃平面PFQ.

證明：(2)由⑴知,AE〃平面PF。，

二點A到平面PFQ的距離就是AE與平面PFQ間的距離.

設(shè)平面尸F(xiàn)。的法向量為"=(x,y,z),而=(0,2,—2),同=俘，？，0),則?“一’

v227In1FQ,

n-PF=0,.2y-2z=0,

即0|V3.3

—x+-y=n0,

n-FQ=0.22J

令y=l,則》=一次，z=l,

.?.平面尸尸。的一個法向量為〃=(一百，1,1).

又M=(-?,0),...所求距離"=需=誓.

第2課時利用空間向量求空間角

題型突破提高“四能”

例1解析：(1)證明：如圖，構(gòu)建以A為原點，AB,AD,屈為x,y,z軸正方向的空間

直角坐標(biāo)系，則40,0,0),8(1,0,0),0(0,2,0),5(0,0,2),C(l,2,0),E(0,1,

1)

(1)SC=(1,2,-2),AE=(0,1,1),

ASC?AE=lX0+2Xl+(-2)Xl=0,即無_L廉，：.SC±AE.

證明：(2)CE=(-1,-1,1),BS=(-1,0,2),

ACE-BS=(-1)X(-1)+0+1X2=3,

又|日|=J(-1)2+(-1)2+12=百,|BS|=V(-l)2+02+22=V5,

Acos<CE,BS>=黑篇=">。，故異面直線CE與8s所成角的余弦值為孚.

|CE||BS|55

鞏固訓(xùn)練1解析：如圖所示，以C為原點，分別以CA,CB,CC1所在的直線為X,M

Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),G(0,0,2),B,(0,2,2),0(2,0,1),

所以際=(-2,0,1),瓦下=(0,-2,-2),

所以cos〈位，質(zhì)〉一叵.

11

|DC1||%C|A/5XA/810

所以異面直線OG與BC所成角的余弦值為唱.

例2解析：（1）證明：,：AB//CD,A8u平面A8P,CW平面ABP,

...C￡>〃平面ABP,

又?.,COu平面CDMN,平面CDMNn平面ABP=MN,

J.CD//MN,

又；MNu平面MNE,CDQ平面MNE,

...CZ）〃平面MNE.

解析：（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，連接。及

則P(0,0,0),40，2V2,0),8(2&0,0).

因為A8=4,AD=2,ZDAB=60°,

由余弦定理可得。8=2百.

設(shè)點。的坐標(biāo)為(0,y,z)(y,z>0).

(DB2=8+y2+z2=12Jy=&

(AD2=(2V2—y)2+z2=4(z=A/2

所以點。的坐標(biāo)為(0,V2,V2),

點、M(0,V2,0),點0,0),點E(0,4,y).

NM=(-V2,V2,0),ME=(0,-y,y).

(n-NM=-V2a+V2b=0

設(shè)平面MNE的法向量〃=3，b,c),則［一＞V2,V2，

n-ME=---bH—c=0

22

取a=b=c=l,則1,1).PA=(O,2V2,0),

設(shè)直線PA與平面MNE折成角為3.

$血=孫〈"，床)尸崎=冬

故直線以與平面MNE所成角的正弦值為

鞏固訓(xùn)練2解析:(1)證明：在長方體ABC。-481Goi中,有43,平面A4QQ,

又因為4Eu平面AAQi。，所以AUAE.

在△AOE與△4A。中，NAOE=/A|A￡),又黑=喘=2,

所以△AOEs/iAiAD

所以Nft4E=/A4。，所以NOAE+/Aft4i=/MD+/AZ)4=5所以AE_LAiD

又因為AOnAiBi=4,所以AEJ_平面48Q,因為AEu平面4EC,

所以平面AiBiO_L平面AEC.

⑵在長方體ABCD-4BiCQi中，DA,DC,兩兩垂直，

故以。為原點，DA,DC,。。所在直線分別為x,)\z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

依題意，有41,0,0),C(0,1,0),￡(0,0,1),41(1,0,2),

所以拓=(1,0,2),AC=(-1,1,0),AE=(-1,0,0,

設(shè)平面AEC的法向量為"=(x,y,z),

n-AC-0,-x+y=0,

則所以取〃=(1,1,2).

—x+-z=0,

n-AE=0,2

設(shè)直線4。與平面AEC所成角為仇

|n-Dx7|5_V30

貝！|sin(?=|cos(n,DA1〉|==

|n||D47|>/306

所以直線ArD與平面AEC所成角的正弦值為等.

6

例3解析:

Q

(1)證明：取AO的中點為O,連接Q。，CO.

因為QA=QO,OA=OD,則QO_LA￡),

而AO=2,QA=V5,故QO=V^I=2.

在正方形A8CD中，因為AZ)=2,故DO=1,故CO=V5,

因為QC=3,故QG=QO2+OG,故△QOC為直角三角形且QOJ_OC,

因為OCnAD=O,故QO_L平面A8CD,

因為QOu平面QAD,故平面QAOJ_平面ABCD.

證明：(2)在平面ABCD內(nèi)，過。作OT/ICD,交BC于T,則O兀LAQ,結(jié)合(1)中的

QOJ?平面ABC。，故可建如圖所示的空間坐標(biāo)系.

則。(0,1,0),2(0,0,2),8(2,-1,0),故前=(-2,1,2),BD=(-2,2,0).

設(shè)平面QB/)的法向量”=(x,y,z),

n-BQ=Op-jf-Zx+y+2z=0取x=l,則y=l,z=}

n-BD=0"t-2x+2y=?！?/p>

故”=(1,1,》

而平面QA￡)的法向量為m=(l,0,0),故cos(m,n)=用=|，

二面角B-QO-A為銳角，故其余弦值為條

鞏固訓(xùn)練3解析：

(1)證明：如圖，連接CE,

因為幾何體是由等高的半個圓柱和;個圓柱拼接而成,

4

所以NECD=NOCG=45°,Z￡CG=90°,CE1CG,

因為8C〃EF,BC=EF,所以四邊形BCEF為平行四邊形，BF//EC,BFVCG,

因為8CJL平面ABF,B尸u平面AB凡所以8C_LBF,

因為8CCCG=C,所以8口L平面BCG,

因為BF'u平面BED,所以平面BFDJ_平面BCG.

解析：（2）如圖，以A為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(0,0,0),8(0,2,0),F(2,0,0),。(0,0,2),G(-l,1,2),AB-(0,2,0),

AG=(-1,1,2),FB=(-2,2,0),FD=(-2,0,2),

設(shè)平面BDF的一個法向量為"=(x,y,z),

則卜?西=°,整理得｛―對"g,令z=l,則鼠=(1,1,1),

tn-FD=0l-2x+2z=0

設(shè)平面A8G的一個法向量為m=/,zf),

則，m屈=。，整理得［2y'U

tm-AG=0(-xz+yz+2zf=0

令z'=l,則m=(2,0,1),cos(m,n)=7^^7=孚?

所以平面BO尸與平面48G所成銳二面角的余弦值為華.

第3課時翻折、探究與最值（范圍）問題

題型突破提高“四能”

例1解析：（1）證明：折疊前，在圖1中，AE^AB=2,A￡?=|4C=4,ND4E=60。,

由余弦定理可得。/D4ER2,

所以，AEr+D^AD2,則。E_LA8,

折疊后，在圖2中，對應(yīng)地有。ELAiE,DEYBE,

VA|EnBE=E,...OE，平面

,.?QEu平面8CQE,因此，平面A山瓦L平面BCQE；

（2）過點Ai在平面AtBE內(nèi)作AiMA.BE,垂足為點M,

?.?平面平面8CDE,平面48EC平面8COE=8E,4Mu平面48E,

，AiM_L平面BCDE,：.A\E與平面BCDE所成的角為N4EM=60。，

因為。平面48E,以點E為坐標(biāo)原點，EB,所在的直線分別為x,y軸建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz,

則4(1,0,V3),￡(0,0,0),D(0,2V3,0),C(l,373,0),

設(shè)平面AC。的法向量為m=(x,y,z),DC=(1,V3,0),為=(1,一2次，V3),

,fm-DC=x+J3y=0宜l⑴l

由—,=「，Mx=V3,則機=(遍，-1,-3),

(m?D&=x-4-V3z=0

易知平面CQE的一個法向量為〃=(0,0,1),

mn_-3_-3V13

〈加，n)

|m||n|V1313

由圖可知，二面角Ai-CQ-E為銳角，它的余弦值為警.

鞏固訓(xùn)練1解析：(1)證明：由題設(shè)可知AC=2或，CD=2V2,49=4,

J.AD^CD^AC2,C.CDLAC.

又?..平面ABC_L平面4C￡),平面4BCA平面ACD=4C,

平面ABC,：.CDVAB.

又AB1BC且BCnCD=C,

，AB_L平面BCD.

(2)取AC的中點。連接OB,由題設(shè)可知△ABC為等腰直角三角形，

所以O(shè)B_L平面ACM,連接OM,

因為M,。分別為4。和4c的中點，所以。M〃C￡>,

由(1)可知OA/_LAC,

故以O(shè)M,OC,08所在直線分別為x軸，>軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

則￡>(2或，V2,0),8(0,0,V2),C(0,伉0),欣企，0,0),

.*.CB=(0,-V2,V2),CM=(V2,-V2,0),BD=(2V2,V2,一夜)，

fCB-n=—,/2y+V2z=0

設(shè)平面BCM的一個法向量為"=(x,y,z),.*.]__,.—,

(,CM-n=V2x-V2y=0

即｛；=y，令X=1得”=(1,1,1),

二平面BCM的一個法向量為H=(1,1,1),

設(shè)直線80與平面BCM所成的角為仇

.'.sin^=|cos(BD,加|=售：|=立.

...直線8。與平面BCM所成角的正弦值為日.

例2解析：⑴取MB的中點為P,連接。P,PN,

因為MN=CN,MP=BP,所以NP〃BC,XDE//BC,

所以NP〃￡>E,即N,E,D,P四點共面，又EN〃平面BMD,ENu平面NEDP,

平面NEDPCl平面MBD=DP,所以EN〃PD,即NEDP為平行四邊形，

所以NP〃DE,且NP=DE,SRDE=^BC,即2=/

(2)取OE的中點O,由平面M￡>E_L平面DECB,且MOLDE,所以MO_L平面DECB,

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)BC=2,則M(0,0,每)，。(2,0,0),8(1,73(1-2),0),

所以麗=a，0,-V3A),DB=(l-2,V3(l-A),0).

-V、J_人n“,、(MD-m=Ax—A/3AZ=0

設(shè)平回的法向量為,"=(x,y,z),則1/、、r————人

(7D7Bs?m=(1-入)x+J3(l-入)y=0

x-73z

即一二，令》=百，即,〃=(遮，-1,1),又平面的法向量"=(0,1,0),

X=-四

所以cos<m,加=早=裝=—坐，即隨著2值的變化，二面角8-MO-E的大小不

|m||n|V55

變.且sin(m,n)—Jl-cos2〈m,n〉=等,

所以二面角8-MD-E的正弦值為學(xué).

鞏固訓(xùn)練2解析：(1)證明：取AB的中點。連接PO,DO,

,：PA=PB,：.POLAB,

又平面以B_L平面ABC。，平面辦BC平面ABCD=4B,POu平面B4B,

...「0_1_平面488,

方法一ECu平面ABCQ,則PO_LEC,

在正方形A8CD內(nèi)，。，E分別為AB,AO的中點，

△ZM。且△(?￡>￡,則有ZODE=ZECD,

又NECD+NDEC=90。,ZDEC+ZODE=90°,

：.ECLOD,ODOP0=0,

，CEJ_平面POD,

又PDu平面POD,；.CE±PD.

方法二取8的中點G,連OG,則OB,OP,OG兩兩垂直，

...分別以O(shè)B,OG,OP所在的直線為x軸，y軸，z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)A8=2,則C(l,2,0),尸(0,0