精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講學(xué)員編號(hào) 級(jí)：高 課時(shí)數(shù)學(xué)員 輔導(dǎo)科目：數(shù) 學(xué)科教師授授課日期及教學(xué)內(nèi)一、平面的基本性知識(shí)梳1、平面的基本性質(zhì)：三大公理及公理三的三個(gè)推公理1：一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。這是判斷直線在平面公理2：如果兩個(gè)平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，它們有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，而且這無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)都在同一條直線上。這是2：33和三個(gè)推論典例講1.（20151616）平面的距離相等且不為零，則平面的位置關(guān)系為 (A)平 (B)相 (C)平行或重 (D)平行或相【答案】例2.（2014年閔行二模文理15）下列命題中，的是 過平面外一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線與平面若直線l垂直平面內(nèi)的兩條相交直線，則直線l必垂直平面例3.設(shè)a，b為兩條直線，，為兩個(gè)平面，下列四個(gè)命題中，正 題是（a，b與a∥b，aba∥b，則ab，a【答案】若平面的距離相等，則若直線a、b、c滿足ab、ac則bc其中正確命題的個(gè)數(shù) A．0 B．1 C．2 D．3【答案】例5.（2014年徐匯松江金山二模文16理15）已知直線l平面，直線m平面，給出下列命題, ①//l ②l//③l//m ④lm// B. C. D.【答案】二、空間直線與直線的位置關(guān)知識(shí)梳1、空間直線與直線的位置關(guān)系及計(jì)算：共面（平行與相交）直線、異面直（1）（1）

2（1）公理（2）（3）（4）（1）（2）2、空間直線與平面的位置關(guān)系及計(jì)算：包含、平行、相交（垂直與斜交（1）3、空間平面與平面位置關(guān)系：平行與垂直、二兩個(gè)平面平行的判定和性質(zhì)（1）判定：一個(gè)如果平面內(nèi)有兩條相交直線和另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行（1）（2）典例講例1.a,ba，那么b不平行平面a,ba平面，那么b不垂直于平面；④兩異面直線在同一平面內(nèi)的射影不可能是兩條平行直線。其中正 題 【答案】P2.20151111）PAABCACABAPBCCBA30DEBCAP的中點(diǎn).ACDEE大小 【答案】

2（ 7 7C3.（20151010）P-ABCDE是PC的中點(diǎn)，那么異面直線BE與PA所成的角的余弦值等 3【答案】例4.在三棱錐P—ABC中，所有棱長均相等，若M為 AB的中點(diǎn)，則PA與CM所成角的余弦值為 A．2C．6

B．4D． 3MA【答案】11【答案】 4AC圖 1ACB900,1

2ACBC1A1BAC余弦值 666例7（2015黃浦一模理15文15）給定空間中的直線l及平面，條件“直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直”是“直線l與平面α垂直”的( D．非充分非必要條【答案】例8.（2015普陀二模理15文15）a、b、c表示直線，表示平面，下列命題正確的是 A．若a//b,a//，則b/ B．若ab,b，則aC．若ac,bc，則a/ D．若a,b，則a/【答案】3例9.（2015普陀一模理6文6）如圖，正三棱柱的底面邊長為2，體積 3 1【答案】2410243

，則側(cè)棱和底面所成角的大小 4三、二面角及空間距離計(jì)知識(shí)梳1、二面角（1）平面角的三要素：①頂點(diǎn)在棱上；②角的兩邊分別在兩個(gè)半平面內(nèi)；③角的兩邊與棱都垂直， （3）]（4）射 S射＝S原cos，其中為平面角的大小。對(duì)于一類沒有給出棱的二面角，應(yīng)先延伸兩個(gè)半平面，使相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法（尤其可考慮面積射影法2、空間距離的求法（特別強(qiáng)調(diào)：立體幾何中有關(guān)角和距離的計(jì)算，要遵循“一作，二證，三計(jì)算”的原則典例講 4 A例2．如圖，二面角α－l－β的大小是60°，線段AB?α，B∈l，AB與l所成的角為30°，則AB與平面β所成的角的 3343、ABC的邊長為

2ADBC邊上的高，將ABDAD折起，使之與ACD120的二面角，這時(shí)A點(diǎn)到BC的距離 【答案】2例4、點(diǎn)P是120°的二面角α-l-β內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)P到α、β的距離分別是3、4，則P到l的距離 【答案235、ABCDA1B1C1D1ABAD4cmAA12cmA1AB1【答案23

的距離等 例6、在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中點(diǎn)，則A1到平面MBD的距離 6【答案 66

B 切值為，2 那么點(diǎn)M到平面EFGH的距離 2221、空間幾何體的截面問

四、其他問題綜1P1ABCDA1B1C1D1BD1BD1P面BB1D1D的直線與正方體表面交于M,N，BPx,MNy，則函數(shù)yf(x)的解析式 2

x,x0,2 3【答案】y 3662 2

x,x

,3 2.ABCDA1B1C1D1的棱長為1E，F(xiàn)AA1，CC1的中點(diǎn),MBB1上的動(dòng)點(diǎn),E，MFDD1N,BMx,EMFNS,yS2,則y關(guān)于x的函數(shù)yf(x)的解析式為 （A）f(x)2x22x3，x[0,23

x[0 121（B）f(x) x x , 2x23 x （C）f(x)

[0 2(x1)2

,x( , （D）f(x)2x22x3，x[0,2【答案】2、直觀圖的畫法（斜二側(cè)畫則：（1）使xoy1350xoy所確定的平面表示水平平面（2）已知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中保持長度和平行性不變，平行于y軸的線段1、用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形為如下圖的一個(gè)正方形，則原來圖形的形狀是（【答案】3、空間幾何體分類及表面積與體積、展開圖化曲為直、體積的割補(bǔ)、等體積法求距離、祖暅原理多面體（1）…（2頂點(diǎn)至截面距離與棱錐高的平方比，截得小棱錐的體積與原來棱錐的體積比等于頂點(diǎn)至截面距離與棱錐高的立方比。旋轉(zhuǎn)體圓柱、圓錐的定義及性質(zhì)（如圖軸直線A'圓圓圓圓Scl2r 1clr 例1..如圖1所示的正方體的棱長為1,沿對(duì)角面(圖中陰影部分)將其分割成兩塊,重新拼接成如圖2所示的 242DFM例2.（2015虹口一模理13文13）右圖是正四面體的平面展開圖，M、N、GDFM為DE、BE、FE的中點(diǎn)，則在這個(gè)正四面體中，MN與CG所成角的大小 【答案】 3 例3.圖甲是一個(gè)正三棱柱形的容器,高為2a,內(nèi)裝水若干.現(xiàn)將容器放倒,把一個(gè)側(cè)面作為底面,如圖乙所示,這時(shí)水面 【答案】4.SABC中，E、F、G、HSA、AC、BC、SBEFGHS分成兩部分的體積之比 【答案】115.多面體上,位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相鄰的頂點(diǎn).如圖,Aα內(nèi),α的同側(cè),Aα1,24.P是正方體的其余四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè),Pα的距離可能是以上結(jié)論正確的 【答案】6.（201419（12分）21626已知三棱柱ABCA1B1C12A1ABCO為底面△ABC的 【答案】(1)AOBCDADBC邊上的中線．點(diǎn)O是正ABC的中心，且A1O平面ABC，∴BC

AD

CC1BC

AABC AD

3,AO2AD23,AO

AA2AO226

AO22

42ABC

1

ABC22

2A1 例7.如右圖所示，已知0為矩形ABCD的邊CD上一點(diǎn) CD體積為

OA為母線的圓錐體積為，4則以O(shè)B為母線的圓錐體積 18hcmrcm2圈，并使鐵絲兩40cm，則圓柱側(cè)面積的最大值為cm【答案】9.（2015閘北二模理1414（本題滿12分，第（1）小題5分，第（2）小題分AB是圓柱體OO1BC過底面圓的圓心OD是圓O上BCAB5BC5CD3．ACABDABCDAB旋轉(zhuǎn)一周，求ACD的三邊在旋轉(zhuǎn)過程中所圍成的（1）

………………5 710（2014ABC中，ACB900，ABC300BC

ACAB分別相切于點(diǎn)CMBCNABCBC旋轉(zhuǎn)BC3解（1）連接OM，則OMAB，設(shè)OMr，則OB r33 在BMO中，sinABC3 所以S4r24 （6分,3,3

1，所以r ，---（4分3 3

，AC （8分V

1

（12圓 例11.如圖所示，一種醫(yī)用輸液瓶可以視為兩個(gè)圓柱的組合體.開始輸液時(shí)，滴管3r3

毫米,滴管內(nèi)液體忽略不計(jì)如果瓶內(nèi)的藥液恰好156h（單位：厘米x0h13.hx的函數(shù).（注:1cm31000mm3【解（1）設(shè)每分鐘滴下k（kN*）滴 則瓶內(nèi)液體的體積

2

223156 3k滴球狀液體的體積

k41040kmm3k 5 所以156k156，解得k75，故每分鐘應(yīng)滴下75滴 6（2）由（1）知，每分鐘滴下cm3藥 7

21當(dāng)4h13x4213hh13

，此時(shí)0x144………10當(dāng)1h4時(shí)x429224h，即h40x，此時(shí)144x156………134h(x)

x,0x144x,144x4

14 【答案】

13.如圖，在底面半徑和為1AB、CD是底面圓O的兩條互相垂直的直徑，E是母線PB的中點(diǎn)。已知過CD與E的平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點(diǎn)的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)P的距離為（）(A) 2【答案】

2

414B、C是定點(diǎn)，且均不在平面上,A在平面上,且sinABC1A的軌跡為（2圓或橢圓（B）拋物線或雙曲 【答案】15.（20151818）在四棱錐VABCDB1D1分別為側(cè)棱VB，VD面體AB1CD1的體積與四棱錐VABCD的體積之比為 1:【答案】

1:

1:

1:例16.（2015奉賢二模理18）如圖，取一個(gè)底面半徑和高都為R的圓柱，從圓柱中挖去一個(gè)以圓柱的上底面為底R(shí)的半球放在同一水平面上．用一平行于平面的平面去截這兩個(gè)幾何體，截面分別為圓面和圓環(huán)面（圖中陰影部分S圓S圓環(huán)，那么（A．S圓＞S圓 B．S圓＜S圓 C．S圓=S圓 【答案】17x22yx22yx2x2y 12旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為Vx2y24，x2y1)212x2(y1)21的點(diǎn)組成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積

2x 2為

，試寫出V1與

的一個(gè)關(guān)系

V1=1例18（2013 高考理科13)在xOy平面上將兩個(gè)半圓弧(x1)2y21(x1)和(x3)2y21(x3)、兩條直線y1和y1圍成的封閉圖形記為D，如圖中陰影部分．記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為1(0y)(|y|1作方體，得出的體積值 22

84、球：表面積與體積、大圓小圓、緯度經(jīng)度、球面距離、球的內(nèi)接幾何體問R2dR2dPP點(diǎn)的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù)AB兩點(diǎn)的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過這兩點(diǎn)的經(jīng)線與地軸所確定的二個(gè)半平面的二面角的度數(shù)，AB點(diǎn)的經(jīng)度.O的NSO0°NAS0°P120°40°P⌒NPSBPO1NASA，那么則應(yīng)有：∠AO1P=120°(二面角的平面角)，∠POB=40°（面角。 cm．33

完全浸沒于水中且無水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，則R 323（20141111）A位于北緯45東經(jīng)30B于北緯45東經(jīng)120，設(shè)地球半徑為R，則A,B兩地之間的球面距離 【答案 3圓BC的中點(diǎn)，O為球心，則直線AP與OB所成角的大小 P65313點(diǎn)的小圓的周長為46的半徑 3【答案】36ABC2的球面上，球心OABC的距離為1，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，過D作球O的截面，則截面面積的最小 47A、B、C、D是半徑為1ABAC0DABCACAD0ADAB0S1、S2、S3ABCDABCABDS1【答案】

的最大值 128（20152121）如圖，在兩塊鋼板上打孔，用釘帽呈半球形、釘身為圓柱形的鉚釘（1）穿2.（單位：mm）.（加工中不計(jì)損失）.2若每塊鋼板的厚度為12mm，求釘身的長度（結(jié)果精確到 圖【答案】解：設(shè)釘身的高為h，釘身的底面半徑為r，釘帽的底面半徑為R，由題意可知：……1分圓柱的高h(yuǎn)2R38……2分 圓柱的側(cè)面積S12rh760……3分

14R2R21083……52S

r2

10024

00……8

R33

……91設(shè)釘身長度為l，則V3rl100l……1012由于VVV,所以2400

100l，……12 解得l70mm……13 答：釘身的表面積為1843mm2，釘身的長度約為70mm五、理科拓展：空間坐標(biāo)系與空間向知識(shí)梳直線的方向平面的法向量：空間平面的法向量的求解方法在給定的空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)平面nxy,1[或nx,1zn1yz]，在平面內(nèi)任找兩a,b.nna0nb0x,y的方程組，解此方程組即可得到n.空間的角的①若異面直線l1l2的方向向量為u1u2

l1與l2所成的角為，則coscosu1u2②已知直線l的方向向量為v，平面的法向量ul與平面的夾角為，則sincosuv③已知二面角l的兩個(gè)面的法向量分別為vu，則uv空間的距離的向PAu若平面的一個(gè)法向量為u，P是平面外一點(diǎn)，A是P到平面dPAu例1．如圖，在斜三棱柱 【答案】20（ABCDA1B1C1D1ADAA11AB2EAB（1）D1EA1D

1（2）AE等于何值時(shí)，二面角D1ECD的大小為4 1Ax（1）

O B1

…D1ED

……D1EA1D（2）方法一：設(shè)nuvwD1CE由nDE

uyv

u(2，所以w

因?yàn)槎娼荄1ECD的大小為，所以 | u2v2 (2y)2 y[02]y2

3AE2

3DECD 20（在如圖所示的幾何體中，四邊形CDPQ為矩形，四邊形ABCD為直角梯形 且BADADC

，平面CDPQ平面ABCD，ABAD1CD1，PD 222C若M為PA的中點(diǎn)，求證：AC//平面DMQ CDPADPBC所成的銳二面角的大小【答案】解（1）如圖，設(shè)CP與M的交點(diǎn)為N，連接MN 易知點(diǎn)N是CP的中點(diǎn)，又M為PA的中點(diǎn)，故AC//MN．…4分于是，由MN平面DMQ，得AC//平面DMQ． 6分（2）DDA、DB、DCxyz建立空間直角坐標(biāo)系，則D(000)A(100)B(1,10)C(020)P(00,2n1(0,10PADn2(x,yzPBC則

BCxy

z 2

，令y1，得n2(1,1,2) 10

PC2y

2z PADPBC所成的銳二面角為，則cos

1212n1故平面PAD與平面12n1319（ABCDA1B1C1D1ABBC2AA13A1C1B三點(diǎn)的平面截去長方體的一個(gè)角后，得到如下所示的幾何體ABCDA1C1D1.DA1BC1d可得點(diǎn)D(000)B(220)D1(003A1(20,3、C1(02,3

BO1BO1|BO1||A1D1

112222BOAD所成的角為arccos11 1 (2)nxyzABDnBA1

z2 n|nn|n6

2x3z可得y3,即平面BA1C1的一個(gè)法向量是n(3,3,2)．∴d z5.（2015普陀二模理20）(本題滿分14分)本題2個(gè)小題1小題滿62小題8分 求直線BE與平面ABB1A1所成的角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示；1C1E在棱C1D1FB1F//A1BE若存在，指明點(diǎn)F的位置；若不存在，說明理由 DB（1） B 則B(a,0,0),E(0,a,)，于是BE(a,a, 3 4BEABB1A1所成的較為，則sin

2 5BEADBEADBE3a2所以arcsin2，故直線BE與平面ABBA所成的角的大小為arcsin2 6 1 （2）假設(shè)在棱C1D1F,B1F平面A1BE,F(xaa（其中0xa 8根據(jù)（1）BE

a,a,)

9axaz設(shè)n(x,y,z)平面ABE的一個(gè)法向量，則 ，即

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