2019-2020學(xué)年山西省太原市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知點，，則直線的斜率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由斜率的定義求解即可【詳解】由斜率的定義得，故答案為：直線的斜率為故選：【點睛】本題考查直線的斜率的定義，屬于基礎(chǔ)題2．在空間直角坐標(biāo)系中，點與之間的距離為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】可結(jié)合兩點間距離公式求解【詳解】由兩點間距離公式得故選：B【點睛】本題考查空間中兩點間距離公式，屬于基礎(chǔ)題3．過點且垂直于直線的直線方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由兩直線垂直的位置關(guān)系和點斜式求解即可【詳解】由兩直線垂直斜率之積為-1可得直線斜率為，再由點斜式可得，化簡得故選：A【點睛】本題考查兩直線垂直的位置關(guān)系，由點斜式求直線解析式，屬于基礎(chǔ)題4．用一個平面去截如圖所示的圓柱體，則所得的截面不可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】對四個選項進行分析可初步判定，矩形，圓，橢圓很容易得出，只有三角形得不出，具體包括三種切割方式：橫切，豎切，斜切【詳解】當(dāng)截面與軸截面平行時，所截截面為矩形；當(dāng)截面與上下底面平行時，所截截面為圓；當(dāng)截面不經(jīng)過上下底面斜切時，截面為橢圓；當(dāng)截面經(jīng)過上下底面時（交線不是圓面的切線時），截面為上下兩條邊平行，中間兩條腰是曲線的圖形，故截面的形狀不可能是三角形故選：D【點睛】本題考查圓柱體截面形狀，多角度去分析是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題5．與圓關(guān)于原點對稱的圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】可先求圓心關(guān)于原點的對稱點，再由半徑相同寫出方程即可【詳解】圓的圓心為，圓心關(guān)于原點的對稱點為，故對稱的圓的方程為：故選：C【點睛】本題考查關(guān)于原點對稱的點的求法，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，屬于基礎(chǔ)題6．已知，是兩條不同直線，，是兩個不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】B【解析】由線面平行的性質(zhì)可判斷A錯；由平行的遞推性判斷B對；C項可能性很多，與不一定垂直；D項可能性很多，不一定【詳解】對A，線面平行只能推出線和過平面的交線平行，推不出和平面內(nèi)的某一條線平行，如圖：對B，根據(jù)平行的遞推性，可得正確，如圖：對C，可隨機舉一反例，如圖：直線與斜交；對D，直線有可能相交，如圖：故選：B【點睛】本題考查直線與平面的位置關(guān)系，結(jié)合實例和圖形較容易說明問題，屬于基礎(chǔ)題7．已知直線與直線平行，則它們之間的距離是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)兩直線一般式對應(yīng)系數(shù)關(guān)系求解即可【詳解】由題可知，應(yīng)滿足，則兩直線可化為，由平行直線間距離公式故選：C【點睛】本題考查兩平行直線間的距離求法，屬于基礎(chǔ)題8．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有鱉臑下廣三尺，無袤，上袤三尺，無廣，高四尺.問積幾何？”，鱉臑是一個四面體，每個面都是三角形，已知一個鱉臑的三視圖如圖粗線所示，其中小正方形網(wǎng)格的邊長為，則該鱉臑的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)三視圖畫出圖形，結(jié)合三棱錐體積公式求解即可【詳解】由三視圖，畫出圖形，如圖：則該鱉臑的體積為：故選：A【點睛】本題考查由三視圖求三棱錐的體積，屬于基礎(chǔ)題9．已知實數(shù)，滿足條件則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】可將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合約束條件畫出可行域，結(jié)合位置關(guān)系判斷即可【詳解】根據(jù)約束條件畫出可行域，目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為，要使取到最小值，則截距取到最大值，由圖可知，相交于右上方的點時，有最值，即點為，代入得故選：C【點睛】本題考查根據(jù)線性約束條件求最值，正確畫出圖形，學(xué)會轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題10．已知正方體中，，分別為，的中點，則異面直線與所成角的大小為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意畫出圖形，可將異面直線轉(zhuǎn)化共面的相交直線，再進行求解【詳解】如圖：作的中點，連接，由題設(shè)可知，則異面直線與所成角為或其補角，設(shè)正方體的邊長為4，由幾何關(guān)系可得，，，，得，即故選：D【點睛】本題考查異面直線的求法，屬于基礎(chǔ)題11．已知，，點為圓上任意一點，則面積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】可根據(jù)題意畫出圖形，求三角形面積的最值可轉(zhuǎn)化為求圓上一點到直線距離的最大值，由點到直線距離公式即可求解【詳解】如圖所示：要求三角形面積的最大值，需先求圓上一點到直線距離的最大值，求圓心到直線距離，再加上半徑即可，圓可轉(zhuǎn)化為，圓心為，，則直線方程為，圓心到直線的距離，則，，則故選：C【點睛】本題考查點到直線距離公式，兩點間距離公式，數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題12．將邊長為2的正沿著高折起，使，若折起后四點都在球的表面上，則球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】通過底面三角形BCD求出底面圓的半徑DM，判斷球心到底面圓的距離OM，求出球O的半徑，即可求解球O的表面積．【詳解】△BCD中，BD=1，CD=1，∠BDC=120°，底面三角形的底面外接圓圓心為M，半徑為：r,由余弦定理得到BC=，再由正弦定理得到見圖示：AD是球的弦，DA=，將底面的圓心M平行于AD豎直向上提起，提起到AD的高度的一半，即為球心的位置O，∴OM=，在直角三角形OMD中，應(yīng)用勾股定理得到OD，OD即為球的半徑.∴球的半徑OD=．該球的表面積為：4π×OD2=7π；故選：B．【點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.二、填空題13．圓的半徑為______________.【答案】【解析】將一般式化為標(biāo)準(zhǔn)式即可求得【詳解】由，則半徑為故答案為：【點睛】本題考查圓的一般式和標(biāo)準(zhǔn)式的互化，熟練運用配方法是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題14．已知一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為，圓心角為的扇形，則此圓錐的體積為．【答案】【解析】試題分析：由，得，即，∴．【考點】圓錐的側(cè)面圖與體積．15．已知長為的線段的兩個端點和分別在軸和軸上滑動，則線段的中點的軌跡方程為____________.【答案】【解析】可采用數(shù)形結(jié)合思想進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可求得【詳解】如圖：不論直線怎么移動，線段的中點的始終為斜邊上的中線，即，即故答案為：【點睛】本題考查圓的軌跡方程的求法，數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題16．如圖，在棱長為的正方體中，點分別是棱的中點,是側(cè)面內(nèi)一點，若平行于平面,則線段長度的取值范圍是_________.【答案】【解析】【詳解】試題分析：如下圖所示，分別取棱的中點，連接，連接，因為為所在棱的中點，所以，所以，又平面平面，所以平面；因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又，所以平面，因為是側(cè)面內(nèi)一點，且平面，則必在線段上，在直角中，，同理，在直角中，求得，所以為等腰三角形，當(dāng)在中點時，，此時最短，位于處時最長，，，所以線段長度的取值范圍是.【考點】點、線、面的距離問題.【方法點晴】本題主要考查了點、線、面的距離問題，其中解答中涉及到直線與平面平行的判定與性質(zhì)，三角形的判定以及直角三角形的勾股定理等知識點的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力，同時考查了學(xué)生空間想象能力的訓(xùn)練，試題有一定的難度，屬于中檔試題.三、解答題17．已知的頂點，，是的中點.（1）求直線的方程；（2）求邊上的高所在直線的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先設(shè)，再結(jié)合中點坐標(biāo)公式求解即可；（2）所求直線與直線垂直，可算出斜率，又直線過點，利用點斜式即可求解；【詳解】（1）設(shè)，由題意得∴∴.∴直線的方程為；（2）∵，，∴，∴邊上的高所在直線的斜率，∴邊上的高所在直線方程為：，即.【點睛】本題考查中點坐標(biāo)公式，直線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題18．如圖，在正方體中，，分別是，的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）要證直線平面，可在平面中找一條線與平行，連接，先證明是平行四邊形，再根據(jù)線面平行的判定定理即可求證；（2）結(jié)合線面垂直的判定定理，證明直線平面的兩條交線即可；【詳解】（1）連接，∵是正方體，，，∵，分別是，的中點，∴，.∴是平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面；（2）由（1）得，∵是正方體.∴平面，∴，∴，∵是正方體，∴是正方體，∴，∴，∵平面，平面，，∴平面.【點睛】本題考查線面平行，線面垂直的證明，屬于基礎(chǔ)題19．已知圓與圓.（1）若圓與圓外切，求實數(shù)的值；（2）在（1）的條件下，若直線與圓的相交弦長為，求實數(shù)的值.【答案】（1）5；（2）或.【解析】（1）先將圓化成標(biāo)準(zhǔn)式，利用兩圓相切的性質(zhì)，得圓心距等于半徑之和，即，即可求解；（2）結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，圓的半徑，弦心距，半弦長構(gòu)成直角三角形，可將弦長問題轉(zhuǎn)化成圓心到直線距離問題，可進一步求解【詳解】（1）∵，∴，，∵，∴，∴，，∵圓與圓外切，∴，∴，∴；（2）由（1）得，圓的方程為，，，由題意可得圓心到直線的距離，∴或.【點睛】本題考查兩圓相切的幾何性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題20．如圖，在四棱錐中，，,,,是正三角形.（1）求證：；（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，可利用已知條件，先證直線平面，又平面，即可得證；（2）作點的中點，連接，，由面面垂直的和判定定理可得與平面所成角為，通過計算即可求得【詳解】（1）證明：∵是正三角形，，∴，，∴，∴，∵，平面，∴；（2）設(shè)點是的中點，連接，，∵是正三角形，∴，，由（1）得平面，∴平面平面，∴平面，∴與平面所成角為，∵，∴,∴.【點睛】本題考查線線垂直的證明，求線面角的夾角的正弦值，屬于中檔題21．如圖，在四棱錐中，，，,，是正三角形.（1）求證：；（2）求二面角的大小.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）通過線面垂直來證線線垂直，先證平面，再說明平面，即可得證；（2）設(shè)點是的中點，連接，，通過幾何關(guān)系可得是二面角的平面角，再計算即可【詳解】（1）證明：∵是正三角形，，∴，，∴，∴，∵，平面，∴；（2）設(shè)點是的中點，連接，，∵是正三角形，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，，∴是正方形，∴，∴平面，∴，∴是二面角的平面角，由（1）得平面，∴，∴，∴，∴.【點睛】本題考查線面平行的證明，二面角大小的求法，屬于中檔題22．已知圓，點是直線上的動點，過點作圓的切線，，切點分別為，.（1）當(dāng)時，求點的坐標(biāo)；（2）當(dāng)取最大值時，求的外接圓方程.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）由題知，可設(shè)，切線長，半徑，圓心與點的長度組成直角三角形，故有，結(jié)合兩點間距離公式和直線方程，可求得點的坐標(biāo)；（2）當(dāng)圓心到直線距離最短時，可確定點位置，此時圓心位置為點與點的中點坐標(biāo)，半徑為，結(jié)合垂直關(guān)系和直線方程可求點，進而求得的外接圓方程【詳解】（1）設(shè)，∵，∴，，∵，∴，∴解得或∴或；（2）由題意可知當(dāng)時，取最大值，設(shè)此時，由得∴，的外接圓圓心為，半徑，∴的外接圓方程為.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，兩點間距離公式的應(yīng)用，圓的幾何性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，圖形與方程的轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題23．已知圓，點是直線上的動點，過點作圓的切線，，切點分別為，.（1）當(dāng)時，求點的坐標(biāo)；（2）設(shè)的外接圓為圓，當(dāng)點在直線上運動時，圓是否過定點（異于原點）？若過定點，求出該定點的坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.【答案】（1）或；（2）是過定點，.【解析】（1）由題知