第1頁/共1頁2021學年第一學期期末教學質(zhì)量監(jiān)測高一數(shù)學試題本試卷共22小題，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件，由交集的定義即可求解.【詳解】解：因為集合，，所以，即，故選：B.2.已知是第三象限角，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由是第三象限角可判斷，利用平方關(guān)系即可求解.【詳解】解：因為是第三象限角，且，所以，故選：A.3.已知指數(shù)函數(shù)的圖象過點，則（）A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)過點代入求出，計算對數(shù)值即可.【詳解】因為指數(shù)函數(shù)的圖象過點，所以，即，所以，故選：C4.已知，若，則（）A.或 B.3或5 C.或5 D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義，分與兩種情況討論即可求解.【詳解】解：由題意，當時，，解得或（舍去）；當，，解得（舍去）；綜上，.故選：D.5.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式，，即可得答案.【詳解】解：函數(shù)，由，，得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：A.6.已知函數(shù)的定義域為，命題為奇函數(shù)，命題，那么是的（）A.充分必要條件 B.既不充分也不必要條件 C.充分不必要條件 D.必要不充分條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)及命題充分必要性的概念直接判斷.【詳解】為奇函數(shù),則，但，無法得函數(shù)為奇函數(shù)，例如，滿足，但是為偶函數(shù)，所以是的充分不必要條件，故選：C.7.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：）與時間t（單位：h）間的關(guān)系為，其中，k是常數(shù)．已知當時，污染物含量降為過濾前的，那么（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意列出指數(shù)式方程，利用指數(shù)與對數(shù)運算公式求出的值.【詳解】由題意得：，即，兩邊取對數(shù)，，解得：.故選：C8.設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別求出選項的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可得選項.【詳解】由題意可得，對于A，是奇函數(shù)，故A正確；對于B，不是奇函數(shù)，故B不正確；對于C，，其定義域不關(guān)于原點對稱，所以不是奇函數(shù)，故C不正確；對于D，，其定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù)，故D不正確.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.以下滿足的集合A有（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】直接寫出符合題意要求的所有集合A，再去選項中選正確答案.【詳解】由題意可知，集合A包含集合，同時又是集合的真子集，則所有符合條件的集合A為,,.選項BD均不符合要求，排除.故選：AC10.下列命題正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)、特值法和基本不等式逐個選項進行判定即可.【詳解】對于A選項，當時，滿足，但是，故A不正確；對于B選項，根據(jù)不等式性質(zhì)可知準確，故B正確；對于C選項，當時，滿足，但是，故C不正確；對于D選項，因為，所以，，當且僅當，即時，等號成立，故D正確；故選：BD.11.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的函數(shù)有（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由函數(shù)奇偶性的定義及指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：對A：，定義域為R，因為，所以為偶函數(shù)，且時，，由冪函數(shù)性質(zhì)知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故選項A正確；對B：，定義域為R，因為，所以為奇函數(shù)，故選項B錯誤；對C：，定義域為R，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，且時，，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故選項C正確；對D：，定義域為R，因為，且，所以函數(shù)不具有奇偶性，故選項D錯誤.故選：AC.12.如圖，對于任意正數(shù)．記曲線與直線所圍成的曲邊梯形面積為，并約定和．已知，則以下命題正確的有（）A. B.C.對任意正數(shù)k和，有 D.對任意正數(shù)k和，有【答案】BCD【解析】【分析】A選項，根據(jù)題意，得到，再進行求解即可；同樣的方法使用與BCD選項.【詳解】，A選項錯誤；，，，B選項正確；對任意正數(shù)k和，，，故，C正確；對任意正數(shù)k和，有，D正確.故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數(shù)的定義域為__________．【答案】【解析】【分析】真數(shù)大于0求定義域.【詳解】由題意得：，解得：，所以定義域為.故答案為：14.已知，則___________．【答案】2【解析】【分析】將齊次式弦化切即可求解.【詳解】解：因為，所以，故答案為：2.15.已知命題：，都有是真命題，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】由于，都有，所以，從而可求出實數(shù)的取值范圍【詳解】解：因為命題：，都有是真命題，所以，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為，故答案為：16.已知函數(shù)有兩個零點分別為a，b，則取值范圍是_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)零點可轉(zhuǎn)化為有2個不等的根，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，由均值不等式求解即可.【詳解】不妨設(shè)，因為函數(shù)有兩個零點分別為a，b，所以，所以，即，且，，當且僅當，即時等號成立，此時不滿足題意，，即，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)（，且）．（1）若函數(shù)的圖象過點，求b的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值比最小值大，求a的值．【答案】（1）1（2）或【解析】【分析】（1）將點坐標代入求出b的值；（2）分與兩種情況，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性表達出最大值和最小值，列出方程，求解a的值.【小問1詳解】，解得.【小問2詳解】當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時，，所以，解得：或0（舍去）；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時，，所以，解得：或0（舍去）.綜上：或18.在①兩個相鄰對稱中心的距離為，②兩條相鄰對稱軸的距離為，③兩個相鄰最高點的距離為，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并對其求解．問題：函數(shù)的圖象過點，且滿足__________．當時，，求的值．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】選①②③，答案相同，均為【解析】【分析】選①②可以得到最小正周期，從而得到，結(jié)合圖象過的點，可求出，從而得到，進而得到，接下來用湊角法求出的值；選③，可以直接得到最小正周期，接下來過程與選①②相同.【詳解】選①②：由題意得：的最小正周期，則，結(jié)合，解得：，因為圖象過點，所以，因為，所以，所以，因為，所以，因為，所以，所以，；選③：由題意得：的最小正周期，則，結(jié)合，解得：，因為圖象過點，所以，因為，所以，所以，因為，所以，因為，所以，所以，；19.已知函數(shù)．（1）證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）已知，試比較三個數(shù)a，b，c的大小，并說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明；（2）先比較三個數(shù)的大小，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可比較a，b，c的大小.【小問1詳解】證明：函數(shù)，任取，且，則，因為，且，所以，，所以，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；【小問2詳解】解：由（1）可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，因為，，，所以，所以，即.20.已知函數(shù)的最小值為0．（1）求a的值：（2）若在區(qū)間上的最大值為4，求m的最小值．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)輔助角公式化簡，由正弦型函數(shù)的最值求解即可；（2）由所給自變量的范圍及函數(shù)由最大值4，確定即可求解.【小問1詳解】，，解得.【小問2詳解】由（1）知，當時，，，，解得，.21.筒車是我國古代發(fā)明一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用，現(xiàn)有一個筒車按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動．每分鐘轉(zhuǎn)動5圈，如圖，將該筒車抽象為圓O，筒車上的盛水桶抽象為圓O上的點P，已知圓O的半徑為，圓心O距離水面，且當圓O上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計算時間．（1）根據(jù)如圖所示直角坐標系，將點P到水面的距離h（單位：m，在水面下，h為負數(shù)）表示為時間t（單位：s）的函數(shù)，并求時，點P到水面的距離；（2）在點P從開始轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，點P到水面的距離不低于的時間有多長？【答案】（1），m（2）4s【解析】【分析】（1）根據(jù)題意先求出筒車轉(zhuǎn)動的角速度，從而求出h關(guān)于時間t的函數(shù)，和時的函數(shù)值；（2）先確定定義域，再求解不等式，得到，從而求出答案.【小問1詳解】筒車按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動．每分鐘轉(zhuǎn)動5圈，故筒車每秒轉(zhuǎn)動的角速度為，故，當時，，故點P到水面的距離為m【小問2詳解】點P從開始轉(zhuǎn)動的一圈，所用時間，令，其中，解得：，則，故點P到水面的距離不低于的時間為4s.22.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有1個零點，求a的取值范圍：（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，求a的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合函數(shù)圖象，分四種情況