第四章本構(gòu)關(guān)系彈塑性理論

1第四章本構(gòu)關(guān)系廣義胡克定律彈性應(yīng)變函數(shù)屈服函數(shù)與壓力空間德魯克公設(shè)與伊留申公設(shè)常用的屈服條件增量理論全量理論塑性勢的概念第四章本構(gòu)關(guān)系

2廣義胡克定律第四章本構(gòu)關(guān)系材料力學(xué)課程中，已經(jīng)詳細(xì)討論了在單向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)材料處于線形彈性階段的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。當(dāng)應(yīng)力小于屈服應(yīng)力時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變之間有下列簡單的線性關(guān)系：其中E為彈性常數(shù)，這就是熟知的胡克定律。在三維應(yīng)力狀態(tài)下，描繪一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)需要9個(gè)應(yīng)力分量，與之相應(yīng)的應(yīng)變狀態(tài)也要用9個(gè)應(yīng)力分量來表示。在線彈性階段，應(yīng)力與應(yīng)變間仍有線性關(guān)系存在，但在一般情況下，任一應(yīng)變分量要受9個(gè)應(yīng)力分量制約。3第四章本構(gòu)關(guān)系由于應(yīng)力張量與應(yīng)變張量的對稱性9個(gè)應(yīng)力分量與9個(gè)應(yīng)變分量中獨(dú)立的分量均僅有6個(gè)。于是，對于均勻的理想彈性體上述關(guān)系式應(yīng)有如下彈性系數(shù)與坐標(biāo)無關(guān)。4第四章本構(gòu)關(guān)系如采用張量表示法(對稱張量)為彈性系數(shù)。應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系，成為廣義胡克定律或彈性本構(gòu)方程5第四章本構(gòu)關(guān)系彈性常數(shù)共有36個(gè)。這36個(gè)常數(shù)并不是獨(dú)立的，對于各向同性材料，獨(dú)立的彈性常數(shù)只有兩個(gè)。首先證明，在彈性狀態(tài)下主應(yīng)力方向與主應(yīng)變方向相重合。為此，令主應(yīng)變方向，則剪應(yīng)變分量應(yīng)等于零現(xiàn)在引進(jìn)坐標(biāo)系，原坐標(biāo)系繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)之后可與之重合新舊坐標(biāo)軸間的方向余弦如表2-1所示，則有對于各向同性材料，彈性常數(shù)應(yīng)與方向無關(guān)。6第四章本構(gòu)關(guān)系由應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換公式由此得出：對各向同性彈性體，如軸為主應(yīng)變方向，則同時(shí)必為主應(yīng)力方向。即應(yīng)變主軸與應(yīng)力主軸重合。下面證明：各向同性材料，獨(dú)立的彈性常數(shù)只有兩個(gè)7第四章本構(gòu)關(guān)系首先令坐標(biāo)軸與主應(yīng)力方向相一致。于是由式可得主應(yīng)力與主應(yīng)變之間有下列關(guān)系式：在各向同性介質(zhì)中，對的影響應(yīng)與對及對的影響相同，即應(yīng)有

和對的影響應(yīng)相同類似地有8第四章本構(gòu)關(guān)系對應(yīng)變主軸（用1，2，3表示）來說，彈性常數(shù)只有兩個(gè)a和b。常數(shù)稱為拉梅彈性常數(shù)。通過坐標(biāo)變換后，可得任意坐標(biāo)系內(nèi)的本構(gòu)關(guān)系為或縮寫為9第四章本構(gòu)關(guān)系有些工程材料具有明顯的非對稱彈性性質(zhì)。常見的雙向配筋不同的鋼筋混凝土構(gòu)件，木材等。這些材料的彈性性質(zhì)，往往可以認(rèn)為對于適當(dāng)選取的坐標(biāo)系中的平面為對稱。由于這三個(gè)平面為相互正交，故稱之為正交各向異性材料正交各向異性的彈性材料的本構(gòu)關(guān)系，可根據(jù)任一坐標(biāo)軸反轉(zhuǎn)時(shí)彈性常數(shù)保持不變的要求共9個(gè)彈性常數(shù)

10第四章本構(gòu)關(guān)系11第四章本構(gòu)關(guān)系12第四章本構(gòu)關(guān)系分別為應(yīng)力偏量與與應(yīng)變偏量13第四章本構(gòu)關(guān)系在平面應(yīng)力的情況況下如用應(yīng)變分量表示示應(yīng)力分量14第四章本構(gòu)關(guān)系對于平面應(yīng)變問題題15第四章本構(gòu)關(guān)系物體的變形可分為為兩部分：一部分分是各向相等的正正應(yīng)力（靜水壓力力）引起的相對體體積變形；一部分分是應(yīng)力偏量作用用引起的物體幾何何形狀的變化。并并可認(rèn)為前一種變變形不包括物體形形狀的改變（即畸畸變），而后一種種變形則不包括體體積的變化，從而而可以將變形分解解為兩部分。這種種分解在塑性理論論中很有用處。e為變形前后單位體體積的相對體積變變化，或稱相對體體積變形。顯然對對于體積不可壓縮縮材料有16第四章本構(gòu)關(guān)系由廣義胡克定律有有當(dāng)其中K稱為彈性體積膨脹脹系數(shù)，稱為體積積模量17第四章本構(gòu)關(guān)系彈性應(yīng)變函數(shù)彈性體受外力作用用后，不可避免地地要參生變形，同同時(shí)外力的勢能也也要發(fā)生變化。當(dāng)當(dāng)外力緩慢地（不不致引起物體產(chǎn)生生加速運(yùn)動(dòng)）加到到物體上時(shí)，視作作靜力，便可忽略略而不計(jì)系統(tǒng)的動(dòng)動(dòng)能，同時(shí)也略去去其他能量（如熱熱能等）的消耗，，則外力勢能的變變化就全部轉(zhuǎn)化為為應(yīng)變能（一種勢勢能）儲(chǔ)存于物體體的內(nèi)部。外力在變形上所做做的總功為18第四章本構(gòu)關(guān)系總應(yīng)變能

所做的功，將全部轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的應(yīng)變能單位體積的應(yīng)變能能推廣到一般情況，，即物體的總應(yīng)變變能為其中簡寫為19第四章本構(gòu)關(guān)系在上式中引入廣義義胡克定律可得由上式看出，恒為正20第四章本構(gòu)關(guān)系由此可知下式成立立此處分別為用應(yīng)力分量及應(yīng)變分量表示的單位體積應(yīng)變能（應(yīng)變能密度），統(tǒng)稱為應(yīng)變能函數(shù)。對于理想彈性體，，則在每一確定的的應(yīng)變狀態(tài)下，都都具有確定的的應(yīng)應(yīng)變能。應(yīng)變能函函數(shù)是正定的勢函函數(shù)，所以彈性變變形能又叫彈性勢勢。物體的變形可以分分為兩部分，一部部分為體積的變化化，一部分為形狀狀的變化。因而應(yīng)應(yīng)變能也應(yīng)可以分分解為兩部分。容容易理解，引起體體積變化的各向同同性的平均正應(yīng)力力（稱為靜水應(yīng)力力）21第四章本構(gòu)關(guān)系也就是說下列應(yīng)力力狀態(tài)不引起微小小單元體的形狀改改變：因而，由于體積變變化所儲(chǔ)存在單位位體積內(nèi)的應(yīng)變能能（簡稱為體變能能）為與之相應(yīng)的平均正正應(yīng)變22第四章本構(gòu)關(guān)系引起形狀改變的應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)為應(yīng)力偏偏量如令由于形狀變化所儲(chǔ)存在單位體積內(nèi)的應(yīng)變能（簡稱為畸變能）為為簡便計(jì)算，我們給出用主應(yīng)力表示的表達(dá)式，即23第四章本構(gòu)關(guān)系從而總應(yīng)變能密度度為由上式看出，系統(tǒng)地總應(yīng)變能密度與坐標(biāo)的選擇無關(guān)，是一個(gè)不變量。24第四章本構(gòu)關(guān)系屈服函數(shù)與壓力空空間從材料的簡單拉伸（或壓縮）實(shí)驗(yàn)的應(yīng)力應(yīng)變曲線看到，當(dāng)應(yīng)力超過后，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不再服從胡克定律，即為簡單拉伸時(shí)的屈服應(yīng)力。在這種簡單應(yīng)力狀態(tài)下，屈服應(yīng)力可由簡單拉伸（壓縮）實(shí)驗(yàn)圖明顯看出。當(dāng)彈塑性分界不明明顯是，則可根據(jù)據(jù)某種規(guī)定來確定定屈服應(yīng)力，以供供工程設(shè)計(jì)使用。。對于復(fù)雜應(yīng)力狀狀態(tài)，確定材料的的屈服界限就不那那么簡單。25第四章本構(gòu)關(guān)系例如一個(gè)受內(nèi)壓、、拉力和扭矩作用用的薄管，管壁應(yīng)應(yīng)力可足夠精確地地認(rèn)為處于平面應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)，當(dāng)外力力改變時(shí)，內(nèi)力的的組合也要改變。。當(dāng)只有軸向拉力力和扭矩作用時(shí)，，應(yīng)力狀態(tài)為當(dāng)只有軸向力和內(nèi)內(nèi)壓力時(shí)，應(yīng)力狀狀態(tài)為26第四章本構(gòu)關(guān)系在某一定的內(nèi)力組組合下，可使得薄薄管內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)力力狀態(tài)進(jìn)入塑性狀狀態(tài)，于是就可得得到一種壓力狀態(tài)態(tài)下的屈服條件。。由此說明，較復(fù)雜雜應(yīng)力狀態(tài)下的屈屈服條件，一般地地說，要由實(shí)驗(yàn)確確定。但也可看出，各種種內(nèi)力組合情況下下的屈服條件如只只用實(shí)驗(yàn)來求，那那么實(shí)驗(yàn)的次數(shù)將將是非?？捎^的。。對于理論分析來說說，則要求給出屈屈服條件的解析式式。這就需要在實(shí)實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上建立屈屈服條件的理論。。在一般情況下，屈屈服條件與所考慮慮的應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)關(guān)，或者說，屈服服是該點(diǎn)6個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力分量量的函數(shù)，稱為屈屈服函數(shù)27第四章本構(gòu)關(guān)系屈服函數(shù)表示在一個(gè)六維應(yīng)力空間內(nèi)的超曲面。所謂六維應(yīng)力空間是以六個(gè)應(yīng)力矢量的全體所構(gòu)成的抽象空間因?yàn)橛闪鶄€(gè)應(yīng)力分分量組成，所以稱稱它為六維應(yīng)力空空間?？臻g內(nèi)的任任一點(diǎn)都代表一個(gè)個(gè)確定的應(yīng)力狀態(tài)態(tài)。

是這個(gè)空間內(nèi)的一個(gè)曲面。因?yàn)樗煌谄胀ǖ膸缀慰臻g內(nèi)的曲面，所以稱為超曲面例如，在簡單拉伸伸時(shí)，屈服應(yīng)力應(yīng)應(yīng)在屈服面上，如如用六維應(yīng)力空間間來描述，則該點(diǎn)點(diǎn)應(yīng)為超曲面上的的一個(gè)點(diǎn)，它的坐坐標(biāo)為28第四章本構(gòu)關(guān)系受扭薄管的純剪屈服應(yīng)力為，它在六維應(yīng)力空間的坐標(biāo)為，且為屈服面上的一個(gè)點(diǎn)。對于各向同性材料料來說，坐標(biāo)軸的的轉(zhuǎn)動(dòng)不應(yīng)當(dāng)影響響材料的屈服。因因而可以取三個(gè)應(yīng)應(yīng)力主軸為坐標(biāo)軸軸。此時(shí)，屈服函函數(shù)可改寫為前面曾經(jīng)談到，球球形應(yīng)力狀態(tài)只引引起彈性體積變化化，而不影響材料料的屈服。所以，，可以認(rèn)為屈服函函數(shù)中只包含應(yīng)力力偏量，即這樣一來，屈服函數(shù)化為應(yīng)力偏量的函數(shù)，而且可以在主應(yīng)力所構(gòu)成的空間，即主應(yīng)力空間內(nèi)來討論。主應(yīng)力空間是一個(gè)三維空間，在這一空間內(nèi)可以給出屈服函數(shù)的幾何圖形，而直觀的幾何圖形將有助于我們對屈服面的認(rèn)識。29第四章本構(gòu)關(guān)系現(xiàn)在考察屈服面在主應(yīng)力空間有什么特征。為此，考慮過坐標(biāo)原點(diǎn)O與三個(gè)坐標(biāo)軸成等傾斜的直線，其方向余弦都相等，且在此直線上任一點(diǎn)點(diǎn)所代表的應(yīng)力狀狀態(tài)為即上每一點(diǎn)都對應(yīng)于一個(gè)球形應(yīng)力狀態(tài)，或靜水壓力狀態(tài)，而應(yīng)力偏量的分量都等于零。30第四章本構(gòu)關(guān)系現(xiàn)在進(jìn)一步考慮任一個(gè)與正交的平面，則此平面的方程應(yīng)為其中為沿線方向由坐標(biāo)原點(diǎn)到該平面的距離當(dāng)時(shí)代表的面為過坐標(biāo)原點(diǎn)與坐標(biāo)面等傾斜的面，稱為平面。31第四章本構(gòu)關(guān)系考慮在過點(diǎn)P平行于On的線上任一點(diǎn)的應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)P1，則OP1在平面上上的投影必必OP與在該平面上的投投影相同，而靜水水壓力分量不同。。即過P點(diǎn)平行于On的線上所有點(diǎn)都有有相同的應(yīng)力偏量量分量。我們曾經(jīng)經(jīng)討論過，一點(diǎn)的的塑性屈服只取決決于應(yīng)力偏量狀態(tài)態(tài)，而與靜水應(yīng)力力無關(guān)。由此可知知，屈服函數(shù)必定定是平面上上的一條封封閉曲線，稱為屈屈服曲線。。對于整個(gè)應(yīng)力空間來說，這條取線并不隨著大小而變化。于是，在主應(yīng)力空間內(nèi)，屈服面是以O(shè)n為軸線，以平面上的屈服線為截面性狀的一個(gè)與坐標(biāo)軸成等傾斜的柱體的表面32第四章本構(gòu)關(guān)系屈服曲線在平面內(nèi)有下列重要性質(zhì)：1.屈服曲線是一條封封閉曲線，而且坐坐標(biāo)原點(diǎn)被包圍在在內(nèi)。坐標(biāo)原點(diǎn)是一個(gè)無無應(yīng)力狀態(tài)，材料料不能在無應(yīng)力狀狀態(tài)下屈服，所以以屈服曲線必定不不過坐標(biāo)原點(diǎn)。同同時(shí)，初始屈服面面內(nèi)是彈性應(yīng)力狀狀態(tài)，所以屈服曲曲線必定是封閉的的，否則將出現(xiàn)在在某些應(yīng)力狀態(tài)下下材料不屈服的情情況，這是不可能能的。2.屈服曲線線與任一一從坐標(biāo)標(biāo)原點(diǎn)出出發(fā)的向向徑比相相交一次次，且僅僅有一次次。在只只討論初初始屈服服的條件件下，材材料既然然在一種種應(yīng)力狀狀態(tài)下達(dá)達(dá)到屈服服，就不不可能又又在與同同一應(yīng)力力狀態(tài)差差若干倍倍的另一一應(yīng)力狀狀態(tài)下再再達(dá)到屈屈服。初初始屈服服只有一一次。3.屈服曲線線對三個(gè)個(gè)坐標(biāo)軸軸的正負(fù)負(fù)方向均均為對稱稱。33第四章本本構(gòu)關(guān)系系3.屈服曲線線對三個(gè)個(gè)坐標(biāo)軸軸的正負(fù)負(fù)方向均均為對稱稱。由于應(yīng)力偏量對的對稱性和不計(jì)鮑辛格效應(yīng)，因而對軸的兩側(cè)及其正負(fù)方向均為對稱。鮑辛格（（J.Bauschinger）1843年生于德德國。實(shí)實(shí)驗(yàn)理學(xué)學(xué)家，曾曾任慕尼尼黑工程程學(xué)院的的理學(xué)教教授，他他建立了了德國第第一個(gè)材材料力學(xué)學(xué)實(shí)驗(yàn)室室，創(chuàng)建建了多種種實(shí)驗(yàn)設(shè)設(shè)備和儀儀器，并并首先發(fā)發(fā)現(xiàn)了許許多材料料具有受受拉和受受壓的屈屈服極限限不同的的特性（（稱為鮑鮑辛格效效應(yīng)）等等力學(xué)特特性。他他終身致致力于材材料力學(xué)學(xué)的研究究。與1893年逝世。。4.屈服曲線線對坐標(biāo)標(biāo)原點(diǎn)為為外凸曲曲線，屈屈服面外外凸曲面面。屈服服面的外外凸形屈屈服函數(shù)數(shù)的重要要特性，，以下將將證明屈屈服面的的外凸形形。34第四章本本構(gòu)關(guān)系系德魯克公公設(shè)與伊伊留申公公設(shè)材料穩(wěn)定定性假設(shè)設(shè)有這種特特性的材材料稱為為穩(wěn)定的的有這種特特性的材材料稱為為不穩(wěn)定定的35第四章本本構(gòu)關(guān)系系德魯克(D.Drucker)認(rèn)為對于于穩(wěn)定性性材料，，下列關(guān)關(guān)系式成成立：表示在加載過程中，應(yīng)力增量所做的功恒為正；為任一彈性力狀態(tài)在加載與與卸載的的整個(gè)循循環(huán)中，，應(yīng)力增增量所完完成的凈凈功恒為為非負(fù)這兩項(xiàng)關(guān)關(guān)于材料料特性的的論斷，，稱為穩(wěn)穩(wěn)定假說說，又稱稱為德魯魯克公設(shè)設(shè)。在這加載載與卸載載的循環(huán)環(huán)中，總總應(yīng)變增增量為彈性應(yīng)變變增量是是可恢復(fù)復(fù)的，塑塑性應(yīng)變變增量是是不可恢恢復(fù)的36第四章本本構(gòu)關(guān)系系穩(wěn)定性假假說的第第二條實(shí)實(shí)際上可可以寫為為上述德魯魯克公設(shè)設(shè)實(shí)在應(yīng)應(yīng)力空間間內(nèi)討論論的。同同類的問問題也可可以放在在應(yīng)變空空間中討討論。伊留申（（A.A.Il’’yushin）于1961年提出了了一個(gè)新新的假說說，稱為為伊留申申公設(shè)。?？杀硎鍪鰹椋簭棌椝苄圆牟牧系奈镂镔|(zhì)微元元體在應(yīng)應(yīng)變空間間的任一一應(yīng)變循循環(huán)中所所完成的的功非負(fù)負(fù)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)彈性循循環(huán)時(shí)上上式等號號成立。。伊留申申公設(shè)比比德魯克克公設(shè)有有更廣泛泛的應(yīng)用用。37第四章本本構(gòu)關(guān)系系以上兩種種公設(shè)給給出了兩兩個(gè)不等等式，即即德魯克克不等式式和伊留留申不等等式德魯克公公設(shè)是在在應(yīng)力空空間討論論問題，，而伊留留申公設(shè)設(shè)則是在在應(yīng)變空空間討論論問題。。根據(jù)德魯魯克公設(shè)設(shè)可以導(dǎo)導(dǎo)出應(yīng)變變空間的的屈服面面具有外外凸性；；同時(shí)根根據(jù)伊留留申公設(shè)設(shè)也可以以導(dǎo)出應(yīng)應(yīng)變空間間的屈服服面具有有外凸性性。德魯克公公設(shè)只適適用于穩(wěn)穩(wěn)定性材材料（應(yīng)應(yīng)變強(qiáng)化化材料）），而伊伊留申公公設(shè)則適適用于應(yīng)應(yīng)變強(qiáng)化化和應(yīng)變變軟化等等特性的的材料。。伊留申公公設(shè)比德德魯克公公設(shè)較強(qiáng)強(qiáng)，即德德魯克公公設(shè)成立立的條件件下，伊伊留申公公設(shè)一定定成立。。反之不不然。38第四章本本構(gòu)關(guān)系系常用的屈屈服條件件對于屈服服條件的的研究已已有兩個(gè)個(gè)多世紀(jì)紀(jì)。經(jīng)過過許多的的實(shí)驗(yàn)檢檢驗(yàn)，證證明符合合工程材材料特性性，又便便于工程程應(yīng)用的的常用屈屈服條件件有以下下幾種：：最大剪力力條件特雷斯卡卡（H.Tresca）根據(jù)自自己的實(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)果果，認(rèn)為為最大剪剪應(yīng)力達(dá)達(dá)到某一一數(shù)值時(shí)時(shí)材料就就發(fā)生屈屈服。即即此處，為材料的剪切屈服應(yīng)力。對于不同的固體材料的值要由實(shí)驗(yàn)確定。39第四章本本構(gòu)關(guān)系系最大剪應(yīng)應(yīng)力條件件要求預(yù)預(yù)先知道道最大與與最小主主應(yīng)力。。假定在簡單拉拉伸的情情況下為簡單拉伸屈服應(yīng)力這就是說說，根據(jù)據(jù)最大剪剪應(yīng)力條條件，純純剪屈服服應(yīng)力是是簡單拉拉伸屈服服應(yīng)力之之半。40第四章本本構(gòu)關(guān)系系

在一般情況下，即不按大小次序排列，則下列表示最大剪應(yīng)力的6個(gè)條件中的任一成立時(shí)，材料就開始屈服最大剪應(yīng)應(yīng)力條件件或特雷雷斯卡條條件，它它表示主主應(yīng)力空空間內(nèi)與與坐標(biāo)軸軸城等傾傾斜的各各邊相等等的正六六角柱體體通常稱稱為特雷雷斯卡六六角柱體體。41第四章本本構(gòu)關(guān)系系對于二維應(yīng)力狀態(tài)則有若

在平面內(nèi)的圖形為一六邊形稱為屈服六邊形。42第四章本本構(gòu)關(guān)系系若

在討論屈服條件時(shí)，我們?nèi)匀徊捎脩?yīng)力空間的概念。在二維應(yīng)力狀態(tài)下，主應(yīng)力空間退化為一個(gè)平面，稱為主應(yīng)力平面。顯然，一定的壓力狀態(tài)，在主應(yīng)力平面內(nèi)是一個(gè)確定的點(diǎn)（應(yīng)力點(diǎn)），當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)在屈服六邊形內(nèi)部時(shí)，材料處于彈性狀態(tài)；當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)達(dá)到屈服六邊形上任一點(diǎn)時(shí)，材料便開始進(jìn)入塑性狀態(tài)。對于理想彈塑性材料，應(yīng)力點(diǎn)不可能跑出屈服六邊形之外。43第四章本本構(gòu)關(guān)系系畸變能條條件畸變能條條件認(rèn)為為，與物物體中任任一點(diǎn)的的應(yīng)力狀狀態(tài)對應(yīng)應(yīng)的畸變變能達(dá)到到某一數(shù)數(shù)值時(shí)，，該點(diǎn)便便屈服前面討論論過，總總應(yīng)變能能密度為為畸變能公公式故畸變能能條件可可寫為其中為表征材料屈服特征的參數(shù)，可由簡單拉伸實(shí)驗(yàn)確定44第四章本本構(gòu)關(guān)系系簡單拉伸伸實(shí)驗(yàn)以主應(yīng)力力表示為為為簡單拉伸屈服應(yīng)力45第四章本本構(gòu)關(guān)系系在純剪狀狀態(tài)恒等于純剪應(yīng)力狀態(tài)屈服時(shí)的最大剪應(yīng)力根據(jù)畸變能條件，純剪切屈服應(yīng)力是簡單拉伸屈服應(yīng)力的46第四章本本構(gòu)關(guān)系系對于一般二維應(yīng)力狀態(tài)，畸變能條件為為平面內(nèi)的一個(gè)橢圓當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)落在屈服橢圓以內(nèi)時(shí)，材料處于彈性狀態(tài)，當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)落到屈服曲線上時(shí)，材料進(jìn)入塑性狀態(tài)47第四章本本構(gòu)關(guān)系系畸變能條條件系米米澤斯R.vonMises所提出，，故稱為為米澤斯斯條件米澤斯條條件在主主應(yīng)力空空間是對對坐標(biāo)軸軸為等傾傾斜的圓圓柱體，，成為米米澤斯圓圓柱。進(jìn)進(jìn)一步分分析可以以證明，，米澤斯斯圓柱外外接于特特雷斯卡卡六角柱柱體48第四章本本構(gòu)關(guān)系系以上兩種種屈服條條件各有有優(yōu)缺點(diǎn)點(diǎn)。最大剪應(yīng)應(yīng)力條件件是主應(yīng)力力分量的的線性函函數(shù)，因因而對于于已知主主應(yīng)力方方向及主主應(yīng)力間間相對值值的一類類問題，，是比較較簡單的的，而畸變能條件則顯得復(fù)雜的的多。但從理理論上講，最最大剪應(yīng)力條條件忽略了中中間主應(yīng)力對對屈服的影響響，似嫌不佳佳，而畸變能能條件則克服服了這一步足足。實(shí)驗(yàn)證明明；畸變能條條件比最大剪剪應(yīng)力條件更更接近于實(shí)驗(yàn)驗(yàn)結(jié)果。下圖圖給出了薄管管實(shí)驗(yàn)與拉扭扭實(shí)驗(yàn)的結(jié)果果。拉扭實(shí)驗(yàn)薄管實(shí)驗(yàn)49第四章本構(gòu)關(guān)關(guān)系拉扭實(shí)驗(yàn)薄管實(shí)驗(yàn)最大剪應(yīng)力條條件偏保守，，偏安全屈服點(diǎn)不應(yīng)該該出現(xiàn)在曲線線內(nèi)部，只能能出現(xiàn)在邊界界上，試驗(yàn)中中出現(xiàn)在邊界界外也可以。。一般要考慮安安全系數(shù)50第四章本構(gòu)關(guān)關(guān)系混凝土材料的的屈服條件混凝土、巖石石一類工程材材料受壓強(qiáng)度度較之受拉來來說要高得多多。這種材料料在通常條件件下為脆性材材料。它們的的屈服特征往往往不像金屬屬材料那樣有有明顯的屈服服極限，其簡簡單拉伸時(shí)的的應(yīng)力應(yīng)變曲曲線，往往沒沒有明顯的直直線段因而，屈服極極限就要有個(gè)個(gè)規(guī)定。對于于混凝土材料料，通常認(rèn)為為：以與應(yīng)力力應(yīng)變曲線的的初始切線相相平行的直線線截割應(yīng)變軸軸為0.002的點(diǎn)，該直線線與應(yīng)力應(yīng)變變曲線的交點(diǎn)點(diǎn)所對應(yīng)的應(yīng)應(yīng)力，做為屈屈服極限并認(rèn)為應(yīng)力達(dá)到時(shí)，混凝土開始出現(xiàn)裂縫，即屈服。在一般應(yīng)力狀狀態(tài)下的屈服服條件，應(yīng)在在總結(jié)大量實(shí)實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上上來確定。目目前對平面應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)的混混凝土材料的的屈服條件的的研究取得了了一些結(jié)果。。51第四章本構(gòu)關(guān)關(guān)系實(shí)驗(yàn)表明，在在平面應(yīng)力狀狀態(tài)下，混凝凝土材料的屈屈服曲線如圖圖中的實(shí)線所所示，圖中黑黑點(diǎn)為實(shí)驗(yàn)結(jié)結(jié)果，虛線為為線性化近似似屈服條件。。顯然，這一一近似屈服條條件的圖形與與最大剪應(yīng)力力條件相似，，而兩者主要要差別是受壓壓于受拉屈服服應(yīng)力值不同同。52第四章本構(gòu)關(guān)關(guān)系如令分分別為為材料簡單拉拉伸與壓縮的的屈服應(yīng)力，，則屈服條件件為53第四章本構(gòu)關(guān)關(guān)系巖土屈服條件件德魯克和普拉拉格提出了一一種適應(yīng)于巖巖土材料的屈屈服條件。這這一條件實(shí)際際上是對米澤澤斯條件的一一種改進(jìn)和發(fā)發(fā)展。該條件件中增加了第第一應(yīng)力不變變量，即

為材料的粘性系數(shù)為土力學(xué)定義的材料內(nèi)摩擦角德魯克-普拉格條件為為在主應(yīng)力空空間的一個(gè)圓圓錐體54第四章本構(gòu)關(guān)關(guān)系德魯克-普拉格條件為為在主應(yīng)力空空間的一個(gè)圓圓錐體顯然，當(dāng)，該屈服條件退化為米澤斯條件當(dāng)時(shí)，原方程化為二維應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的屈服條件55第四章本構(gòu)關(guān)關(guān)系根據(jù)材料特征征的不同，屈屈服條件各有有不同，例如如，巖石、陶陶瓷及有各種種不同內(nèi)部結(jié)結(jié)構(gòu)的合成材材料，它們的的屈服條件應(yīng)應(yīng)作專門的研研究。米澤斯屈服條條件是一種用用途較廣的條條件米澤斯條件也也可以理解為為八面體剪應(yīng)應(yīng)力達(dá)一定數(shù)數(shù)值時(shí)材料才才屈服的條件件。實(shí)際上有有故此米澤斯條條件又稱為最最大八面體剪剪應(yīng)力屈服條條件。56第四章本構(gòu)關(guān)關(guān)系此外，施密特特(SchmidtR,1932)曾提出了最大大偏量屈服條條件我國學(xué)者俞茂茂宏對此類屈屈服條件進(jìn)行行了研究，并并賦以雙剪應(yīng)應(yīng)力概念，成成為雙剪應(yīng)力力屈服條件。。本書只限于討討論材料的初初始屈服，即即以上給出的的屈服條件均均為初始屈服服條件（initialcondition）。而材料的的強(qiáng)化（或弱弱化）條件，，即繼生屈服服面的研究可可參考有關(guān)文文獻(xiàn)57第四章本構(gòu)關(guān)關(guān)系例題有意圓形截面面的均勻直桿桿，處于彎扭扭復(fù)合應(yīng)力狀狀態(tài)，其簡單單拉伸時(shí)的屈屈服應(yīng)力為300MPa。設(shè)彎矩為M=10KN·m,扭矩M1=30KN·m,要求安全系數(shù)數(shù)為1.2，則直徑d為多少才不致致屈服？解彎曲正應(yīng)力扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力彎扭共同作用用下，桿內(nèi)主主應(yīng)力為58第四章本構(gòu)關(guān)關(guān)系按照二維狀態(tài)態(tài)的最大剪力條件件代入并考慮安安全系數(shù)后得得則直徑d至少為10.9cm才不致屈服59第四章本構(gòu)關(guān)關(guān)系最大畸變能條條件給出考慮安全系數(shù)數(shù)后得代入運(yùn)算后可可得d至少要10.4cm60第四章本構(gòu)關(guān)關(guān)系增量理論當(dāng)受力物體中中的一點(diǎn)的應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)滿足足屈服條件而而進(jìn)入塑性階階段之后，彈彈性本構(gòu)關(guān)系系（即廣義胡胡克定律）對對該點(diǎn)就不適適用。因而，，需要建立塑塑性階段的本本構(gòu)方程來描描繪塑性應(yīng)力力和應(yīng)變之間間或應(yīng)力增量量和應(yīng)變增量量之間的關(guān)系系。在第一章曾經(jīng)經(jīng)講到，塑性性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)關(guān)系的重要特特點(diǎn)是它的非非線性和不惟惟一性。所謂謂非線性是指指應(yīng)力應(yīng)變關(guān)關(guān)系不是線性性關(guān)系；所謂謂不惟一性是是指應(yīng)變不能能由應(yīng)力惟一一確定。我們知道，當(dāng)當(dāng)外載荷變化化時(shí)，應(yīng)力也也要變化。在在應(yīng)力空間代代表一點(diǎn)應(yīng)力力狀態(tài)的應(yīng)力力點(diǎn)就要移動(dòng)動(dòng)，應(yīng)力點(diǎn)移移動(dòng)的軌跡稱稱為應(yīng)力路徑，這一過程稱稱為應(yīng)力歷史。對應(yīng)于外載荷荷還有所謂加載路徑和加加載歷史。61第四章本構(gòu)關(guān)關(guān)系在彈性階段，，應(yīng)變可由應(yīng)應(yīng)力直接用胡胡克定律求出出，而不需了了解這一應(yīng)力力狀態(tài)是怎樣樣達(dá)到的，即即不必了解其其應(yīng)力歷史。。在塑性階段應(yīng)應(yīng)變形狀不但但與應(yīng)力狀態(tài)態(tài)有關(guān)，而且且依賴于整個(gè)個(gè)的應(yīng)力歷史史，或者說，，應(yīng)變是應(yīng)力力和應(yīng)力歷史史的函數(shù)。彈性應(yīng)變卸載加載再加載殘余應(yīng)變這一點(diǎn)可用一一個(gè)簡單的例例子來說明。。從簡單拉伸伸曲線來看就就知道，零應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)可對對應(yīng)于經(jīng)過各各種加載歷史史而最終卸載載而殘留的應(yīng)應(yīng)變狀態(tài)。62第四章本構(gòu)關(guān)關(guān)系一點(diǎn)處應(yīng)力狀狀態(tài)進(jìn)入塑性性狀態(tài)之后，，相應(yīng)的總應(yīng)應(yīng)變可以分為為兩部分其中彈性部分分服從胡克定定律，塑性部部分為總應(yīng)變變與彈性應(yīng)變變之差。容易易理解，塑性性部分是卸載載后不能消失失的殘留應(yīng)變變，當(dāng)卸載發(fā)發(fā)生時(shí)，保持持不變，而僅僅在繼續(xù)加載載時(shí)才發(fā)生變變化。有時(shí)為了方便，的初始假定為零，之后的應(yīng)變值便是與零應(yīng)變相比較的相對值。以上說明，塑塑性應(yīng)變與加加載路徑有關(guān)關(guān)，所以，我我們必須討論論應(yīng)力的變化化特征和應(yīng)變變的變化特征征，并且進(jìn)一步限定從從考慮其無窮窮小的變化，，計(jì)算其全部部加載歷史過過程的增量，，之后用積分分或求和的辦辦法求出總應(yīng)應(yīng)變。這就是為什么么塑性理論具具有增量特征征的原因。63第四章本構(gòu)關(guān)關(guān)系應(yīng)當(dāng)指出，工工程上常有一一種重要的加加載路徑，叫叫做比例加載。在這種加載載條件下，塑塑性應(yīng)變僅與與最終應(yīng)力狀狀態(tài)有關(guān)。在在比例加載的的條件下，外外載荷與應(yīng)力力均按同一比比例增長，問問題的分析由由此得到簡化化。這種情況況，以后要進(jìn)進(jìn)一步討論。。以上討論說明明，塑性本構(gòu)構(gòu)關(guān)系本質(zhì)上上是增量關(guān)系系。因而，在在一般情況下下，難以一概概像胡克定律律那樣建立全全量的塑性應(yīng)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系系。以下討論論增量理論（又稱流動(dòng)理論）。彈塑性體內(nèi)的的任一點(diǎn)的總總應(yīng)變已知為為當(dāng)外載荷有微小增量時(shí)，總應(yīng)變也要有微小增量。而應(yīng)為彈性應(yīng)變增量和塑性應(yīng)變增量之和，從而有64第四章本構(gòu)關(guān)關(guān)系上式展開為對材料而言，，即使在高壓壓情況下，由由于平均正應(yīng)應(yīng)力的作用物物體所產(chǎn)生的的變形只可能能是彈性體體體積改變，而而不會(huì)產(chǎn)生塑塑性體積的改改變。而在應(yīng)應(yīng)力偏量作用用下，物體則則產(chǎn)生畸變，，不發(fā)生體積積改變。物體體的畸變又包包括兩部分，，即彈性變形形和塑性變形形。這就是說說，塑性變形形僅由應(yīng)力偏偏量所引起。。且認(rèn)為在塑塑性狀態(tài)，材材料不可壓縮縮，即體積變變形等于零。。65第四章本構(gòu)關(guān)系系于是，應(yīng)變偏量量增量的分量為為：或即在彈性階段，根根據(jù)廣義胡克定定律，有應(yīng)力偏量的增量量為66第四章本構(gòu)關(guān)系系于是在彈性階段，應(yīng)力偏量與應(yīng)變偏量增量成比例，比例常數(shù)為67第四章本構(gòu)關(guān)系系注意到（教材4-12）考慮到，平均正正應(yīng)力增量和平平均正應(yīng)變增量量之間的關(guān)系，，相應(yīng)的增量量形式的廣義胡胡克定律為由此塑性應(yīng)變增增量由式即有下標(biāo)符號記為68第四章本構(gòu)關(guān)系系以下討論塑性應(yīng)應(yīng)變增量的表達(dá)達(dá)式，即增量理理論的本構(gòu)方程程。增量理論基于以以下假定：在塑性變形過程程中的任一微小小時(shí)間增量內(nèi)，，塑性應(yīng)變增量量與瞬時(shí)應(yīng)力偏偏量成比例，即或者其中為非負(fù)的標(biāo)量比例系數(shù)，且可根據(jù)加載歷史的不同而變化。由于體積變化是是彈性的，即平平均正應(yīng)變的塑塑性分量等于零零。塑性應(yīng)變增增量也就是塑性性應(yīng)變偏量增加加。由于總應(yīng)變變可視為彈性應(yīng)應(yīng)變分量與塑性性應(yīng)變分量之和和69第四章本構(gòu)關(guān)系系得總應(yīng)變增量與與應(yīng)力偏量之間間的下列關(guān)系式式：稱為普朗特特-雷斯方程。方程表示，塑性應(yīng)變增量依依賴于該瞬時(shí)的的應(yīng)力偏量，而而不是達(dá)到該狀狀態(tài)所需的應(yīng)力力增量。70第四章本構(gòu)關(guān)系系以上引進(jìn)了一個(gè)參數(shù)，不過也增加了一個(gè)屈服條件，在應(yīng)力滿足屈服條件時(shí)才不等于零，因此可以通過屈服條件來求。為此，在上式中，將第一式減第二式得兩邊平方后，得得類似地，求出71第四章本構(gòu)關(guān)系系于是得其中為八面體剪應(yīng)變的塑性部分。72第四章本構(gòu)關(guān)系系如定義有效應(yīng)力力（或稱應(yīng)力強(qiáng)強(qiáng)度）和有效塑塑性應(yīng)變增量（（或稱塑性應(yīng)變變強(qiáng)度增量）分分別為73第四章本構(gòu)關(guān)系系于是本構(gòu)方程化化為或者如在上式中將塑塑性應(yīng)變增量換換成總應(yīng)變增量量，亦即忽略彈彈性應(yīng)變部分，，則得到萊維-米澤斯方程由方程看出，流動(dòng)理論的本構(gòu)方程與廣義胡克定律在形式上相似，除含有應(yīng)變增量外，所不同的是系數(shù)部分。如將胡克定律中的泊松比用1/2代替，用來代替，便得流動(dòng)理論的本構(gòu)方程。74第四章本構(gòu)關(guān)系系于是本構(gòu)方程化化為由方程看出，流動(dòng)理論的本構(gòu)方程與廣義胡克定律在形式上相似，除含有應(yīng)變增量外，所不同的是系數(shù)部分。如將胡克定律中的泊松比用1/2代替，用來代替，便得流動(dòng)理論的本構(gòu)方程。這反映了塑性變變形過程的不可可壓縮性和塑性性變形的非線性性，及其對加載載路徑的依賴性性等。在此方程程中，如應(yīng)變增增量為已知，則則可惟一地求出