湖南省株洲市槚山中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知是虛數(shù)單位，是純虛數(shù)，則實數(shù)等于（

）

A．—1

B．1

C．

D．—參考答案：A是純虛數(shù)，則故a＝－1．2.已知函數(shù)，若,則實數(shù)的取值范圍是

A.

B.C.

D.參考答案：A3.已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且滿足，則的值為A.

B.

C.

D.參考答案：C【考點】等比數(shù)列【試題解析】由題知：因為

4.已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，體積為，底面是邊長為的正三角形.若為底面的中心，則與平面所成角的大小為A．.

B．

C．

D．參考答案：B5.函數(shù)f（x）＝的零點個數(shù)是（

）

A.0B.1C.2D.3參考答案：D6.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的側(cè)面積為（）A．

B．10

C.

D．參考答案：A幾何體的高為2,底面為邊長為2,且一內(nèi)角為的菱形,因此側(cè)面積為,選A

7.某幾何體的三視圖如圖（單位：m），則該幾何體的體積是A．m3 B．m3 C．2m3 D．4m3 參考答案：A8.如圖1，點P在邊長為1的正方形上運動，設(shè)M是CD的中點，則當P沿A—B—C—M運動時，點P經(jīng)過的路程x與△APM的面積y之間的函數(shù)y=f(x)的圖象大致是圖2中的（

）

圖1

圖2參考答案：A略9.已知平面向量，則A. B.

3

C.

D.

5參考答案：A由題意知，，所以.故選A.10.函數(shù)，在上的最大值與最小值之和為a，則a等于A.4 B. C.2 D.參考答案：D函數(shù)在[2,3]上是單調(diào)函數(shù)，所以有：即故選D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，側(cè)棱底面，，為的中點，則四面體的體積為

.參考答案：略12.已知命題p：?x∈[1，2]，x2﹣a≥0；命題q：?x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若命題“p且q”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為

．參考答案：a≤﹣2或a=1考點：命題的真假判斷與應(yīng)用．專題：計算題．分析：根據(jù)命題“p且q”是真命題，得到兩個命題都是真命題，當兩個命題都是真命題時，第一個命題是一個恒成立問題，分離參數(shù)，根據(jù)x的范圍，做出a的范圍，第二個命題是一元二次方程有解問題，利用判別式得到結(jié)果．解答： 解：∵“p且q”是真命題，∴命題p、q均為真命題，由于?x∈[1，2]，x2﹣a≥0，∴a≤1；又因為?x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，∴△=4a2+4a﹣8≥0，即（a﹣1）（a+2）≥0，∴a≤﹣2或a≥1，綜上可知，a≤﹣2或a=1．故答案為：a≤﹣2或a=1點評：本題考查命題真假的判斷與應(yīng)用，是一個綜合題，這種題目一般是以解答題目出現(xiàn)，是一個不錯的題目，但解起來容易出錯．13.函數(shù)的定義域是

參考答案：14.方程：sinx+cosx=1在[0，π]上的解是

．參考答案：或0考點：三角方程．專題：三角函數(shù)的求值．分析：sinx+cosx=1，可得sin2x+cos2x+2sinxcosx=1，sinxcosx=0，可得sinx=0或cosx=0，利用x∈[0，π]，即可得出．解答： 解：∵sinx+cosx=1，∴sin2x+cos2x+2sinxcosx=1，∴sinxcosx=0，∴sinx=0或cosx=0，∵x∈[0，π]，∴或0．故答案為：或0．點評：本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系式、正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．15.設(shè)兩個向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和，其中λ，m，α為實數(shù)．若a＝2b，則的取值范圍是___________．參考答案：[－6,1]略16.已知，||＝2，||＝2，則||＝參考答案：17.計算___________（為虛數(shù)單位）．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.近年空氣質(zhì)量逐步惡化，霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多，大氣污染危害加重．大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾病．為了解某市心肺疾病是否與性別有關(guān)，在某醫(yī)院隨機對入院的

50人進行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表：

患心肺疾病不患心肺疾病合計男

5

女10

合計

50已知在調(diào)查的50人中隨機抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率為．（Ⅰ）請將上面的列聯(lián)表補充完整；（Ⅱ）是否有的把握認為患心肺疾病與性別有關(guān)？說明你的理由；（Ⅲ）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃?。F(xiàn)在從患心肺疾病的10位女性中，抽取3名進行其他方面的排查，記抽取患胃病的女性人數(shù)為，求的分布列，數(shù)學(xué)期望以及方差；大氣污染會引起各種疾病，試淺談日常生活中如何減少大氣污染．下面的臨界值表供參考：50.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式其中）

參考答案：（Ⅰ）解：列聯(lián)表補充如下

………2分

患心肺疾病不患心肺疾病合計男20525女101525合計302050（Ⅱ）解：因為，所以又．那么，我們有的把握認為是否患心肺疾病是與性別有關(guān)系的．

……4分（Ⅲ）解：的所有可能取值：0，1，2，3

；；；；

……7分分布列如下：

………8分0123則的數(shù)學(xué)期望及方差分別為，

………10分低碳生活，節(jié)能減排，控制污染源，控制排放．

…12分

略19.（本題滿分14分）已知函數(shù)．（Ⅰ）若是上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）證明：當a≥1時，證明不等式≤x+1對x∈R恒成立；（Ⅲ）對于在(0，1)中的任一個常數(shù)a，試探究是否存在x0>0，使得>x0+1成立？如果存在，請求出符合條件的一個x0；如果不存在，請說明理由．參考答案：（I）∵時，，∴．由題意，≥0在上恒成立，

當a=0時，>0恒成立，即滿足條件．當a≠0時，要使≥0，而ex>0恒成立，故只需≥0在上恒成立，即解得a<0．綜上，a的取值范圍為a≤0．………………4分（Ⅱ）由題知f(x)≤x+1即為-≤x+1．①在x≥0時，要證明-≤x+1成立，只需證≤，即證1≤，

①令，得，整理得，∵x≥0時，≤1，結(jié)合a≥1，得≥0，∴為在上是增函數(shù)，故g(x)≥g(0)=1，從而①式得證．②在x≤0時，要使-≤x+1成立，只需證≤，即證1≤，

②令，得，而在x≤0時為增函數(shù)，故≤≤0，從而≤0，∴m(x)在x≤0時為減函數(shù)，則m(x)≥m(0)=1，從而②式得證．綜上所述，原不等式-≤x+1即f(x)≤x+1在a≥1時恒成立．…10分（Ⅲ）要使f(x0)>x0+1成立，即，變形為，

③要找一個x0>0使③式成立，只需找到函數(shù)的最小值，滿足即可．∵，令得，則x=-lna，取x0=-lna，在0<x<-lna時，，在x>-lna時，，即t(x)在(0，-lna)上是減函數(shù)，在(-lna，+∞)上是增函數(shù)，∴當x=-lna時，取得最小值下面只需證明：在時成立即可．又令，則≥0，從而在(0，1)上是增函數(shù)，則，從而，得證．于是的最小值，因此可找到一個常數(shù)，使得③式成立．………………14分20.（本小題滿分14分）設(shè)，集合，，.（1）求集合（用區(qū)間表示）（2）求函數(shù)在內(nèi)的極值點.參考答案：（1）令，。①當時，，方程的兩個根分別為，，所以的解集為。因為，所以。②當時，，則恒成立，所以，綜上所述，當時，；當時，。（2），

令，得或。①當時，由（1）知，因為，，所以，所以隨的變化情況如下表：0↗極大值↘↗所以的極大值點為，沒有極小值點。②當時，由（1）知，所以隨的變化情況如下表：00↗極大值↘極小值↗所以的極大值點為，極小值點為。綜上所述，當時，有一個極大值點，沒有極小值點；當時，有一個極大值點，一個極小值點。21.（本小題滿分12分）為了降低能源損耗，某體育館的外墻需要建造隔熱層．體育館要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C萬元與隔熱層厚度cm滿足關(guān)系：(，為常數(shù))，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設(shè)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．（I）求的值及的表達式；（II）隔熱層修建多厚時，總費用達到最?。坎⑶笞钚≈担畢⒖即鸢福海á瘢┊敃r，，，

………