nna指與數(shù)的算【習(xí)標(biāo)1.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)的概念，掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)解n方根n根式的概念及其性質(zhì)，能根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行相應(yīng)的根式計(jì)算；(2)能識(shí)到分?jǐn)?shù)指數(shù)是指數(shù)概念由整數(shù)向有理數(shù)的一次推廣，了解它是根式的一新的寫法，能正確進(jìn)行根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化；(3)利用有理指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)簡化根式運(yùn).2.掌握無理指數(shù)冪的概念，將指數(shù)的取值圍推廣到實(shí)數(shù)集；3.通過指數(shù)圍的擴(kuò)大，我們要能理解運(yùn)算的本質(zhì)，認(rèn)識(shí)到知識(shí)之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，認(rèn)識(shí)到符號(hào)化想的重要性，在抽象的符號(hào)或字母的運(yùn)算中提高運(yùn)算能力；4.通過對(duì)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的關(guān)系的認(rèn)識(shí)，能學(xué)會(huì)透過表面去認(rèn)清事物的本質(zhì)．【點(diǎn)理要一整指冪概及算質(zhì)．整指冪概a*aa

0

n個(gè)a1(an)a．運(yùn)法（1）mm

；（2）m

；（3）

aa

mn

m，

；（4）abmm

.要二根的念運(yùn)法．n次方的義若x=y(n∈N，n>1∈R)，則x稱y的n方根n為數(shù)時(shí)數(shù)y的次方根有一個(gè)數(shù)為

n

數(shù)y的次方根有一個(gè)負(fù)數(shù)為n

；零的奇次方根為零，記為n0n為數(shù)時(shí)y的次方根有兩個(gè)

沒有偶次方根偶次方根為零

.．兩等（1）當(dāng)n且n

*

時(shí)，

n

；(n為奇數(shù))（2）n|a(數(shù))可修編

-要詮：①要注意上述等式在形式上的聯(lián)系與區(qū)別；②計(jì)算根式的結(jié)果關(guān)鍵取決于根指數(shù)的取值其當(dāng)根指數(shù)取偶數(shù)時(shí)開方后的結(jié)果必為非負(fù)數(shù)先寫a的式，這樣能避免出現(xiàn)錯(cuò)誤．要三分指冪概和算則為避免討論，我們約定a>0，n，m1aan

N*，且為既約分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪可如下定義：na

mn

(

n

a)

m

n

a

ma

-

mn

1a

mn要四有數(shù)數(shù)的算．有數(shù)數(shù)的算質(zhì)，

(1)

a

a

a(2)(a)(3)()當(dāng)a>0為理數(shù)時(shí)a

是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，上述有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)仍適.要詮：(1)式問題常利用指數(shù)冪的意義與運(yùn)算性質(zhì)，將根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算；(2)根式運(yùn)算中乘與存要意兩者的順序何時(shí)可以交換、何時(shí)能換.如

(

；(3)指數(shù)不能隨便約.如

24

12

.2.指數(shù)的一運(yùn)步有括號(hào)先算括號(hào)里的括先指數(shù)運(yùn)算指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)數(shù)是負(fù)數(shù)先確定號(hào)，底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先要化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示便于用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)．在化簡運(yùn)算中，也要注意公式a－b＝（a－＋）＝±2＋b±）

＝a±3b＋3±，－＝a＋＋＋＝＋b－ab＋）運(yùn)用，能夠簡化運(yùn)【型題類一根例1.求下列各式的值：（1）

(5;(2)(;(3)4(a)

.可修編

32)+32)+-22)（a>b）【答案】；；；（a=b）

（【解析】熟練掌握基本根式的運(yùn)算，特別注意運(yùn)算結(jié)果的符.（1）

(

；（2）4

(10

；（3）

4

；（4）()

（a>b|（a=b）（）【總結(jié)升華方根應(yīng)注意的次方根有兩個(gè)的方根是不是

4

.（2）根式運(yùn)算中，經(jīng)常會(huì)遇到方與乘方兩種運(yùn)算并存的情況，應(yīng)注意兩者運(yùn)算順序是否可換，何時(shí)可換.舉反：【變式1】計(jì)算下列各式的值：（1）3(

3

；（2）

(

2

；）

4)

6

；）

(a2)

.【答案】）-2；）3；）

；（4）

(a

.例2.計(jì)算）

56732

；11（2）.22【答案】

2;22

．【解析】對(duì)（）把各項(xiàng)被開方數(shù)變?yōu)橥耆椒叫问?，然后再利用根式運(yùn)算性質(zhì)求.對(duì)于（則應(yīng)分子、分母同乘以分母的有理化因（1）

53=(

222=(2)

2(22)2=|

3

|+|

23

|-|

2

|可修編

333+23-（22）==211（2）2222=(2(1)(222=22=【總結(jié)升華】對(duì)于多重根式的化簡，一般是設(shè)法將被開方數(shù)化成完全

-次方，再解答，或者用整體思想來解題化分母含有根式的式子時(shí)分母同乘以分母的有理化因式即可本，

12的分子、分母中同乘以舉反：

(

.【變式1】化簡：（1）322)

(1

；（2）

x

x

x9(|x3)【答案】）

2

）

類二指運(yùn)、簡求例3.用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式表示下列各式（式中

a>0

（1）a

）

a

）

a

）

yx

x3y

yx

．11【答案】a；a3；4；y【解析】先將根式寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再利用冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡即可．（1）

a

2;2（2）a3

23

113

；1（3）)

1)2

；（4）解法一：從里向外化為分指數(shù)冪yx

x3y

y=x3

x361(3y3

=

yx

3y2y可修編

xy3-xy3=

(x

2

12=

yx

=

54解法二：從外向里化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪．yx

x3y

yy=(x3

3

63

)

12=[(y

3

63

)

12

]

1x3y2={[()]}x=

11

112=

54【總結(jié)升華】此問題應(yīng)熟練用n

nN

*

且n

．當(dāng)所求根式含有多重根號(hào)時(shí)，要搞清被開方數(shù)，由里向外或由外向里，用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪寫出，然后再用性質(zhì)進(jìn)行化簡．舉反：■高清課程：指數(shù)與指數(shù)運(yùn)算例1【變式1】把下列根式用指數(shù)形表示出來，并化簡（1）5

a

；

6xx

x1【答案）10

310

）

x

．【變式2】把下列根式化成分?jǐn)?shù)數(shù)冪：（1）6

）

a(

）

b

b

）

1

．3

x(

5

x

2

)

2【答案】

712

；a4；3；

x

【析6

=

2

；（2）

a

1)

；2（3）33

11

；可修編

3431-3431（4）

1

=

1

13

x(5x)

x

)

x

=

3

x

95

9()3

3x

x

35

．例4.計(jì)算：(1)

14

73)081(3)8

13

12

；(2)73

(3)3

(

26(3

．【答案】3；0；2【解析】(1)式=

11()2；3(2)原式733(3)原式)=2；

；注）運(yùn)算順序能應(yīng)用公式)）數(shù)為負(fù)化正根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪舉反：【變式1】計(jì)算下列各式：1(1)()8

13

7)6

0

2

3

2

6

；(2)

23

413a3b233

3)

.【答案】112；a．【解析】(1)式=

1()3

(2

3

14

14

1(2

162)6

3144

2

3

；(2)式

(a

a(ab)b)2b

)

a

a

11a3()(a))3b

a.【變式2】計(jì)算下列各式：■高清課程：指數(shù)與指數(shù)運(yùn)算例332())33215【答案】21+4

0

)

3【解析】原=

+5+2

+

6=21+4

．例5.化簡下列各式可修編

111xyxy3621257111yy362())1125111xyxy3621257111yy362())112521y(1)；(2)

m1m

；(3)

23

13

2.【答案】24

；

1m2

1

；0.09【解析】(1)即合并同類項(xiàng)的想法，常數(shù)與常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，一字母的化為該字母的指數(shù)運(yùn)算；(2)字母運(yùn)算的理解要求較高，即能夠認(rèn)出分?jǐn)?shù)指數(shù)的完全平方關(guān)系(3)具體數(shù)字的運(yùn)算，學(xué)會(huì)何簡化運(yùn).(1)

21321222624xy

16

24y

16(2)

12

1m22

2(3)

23

277

0.

0.027)

12525-=0.09273舉反：【變式1】化簡：3

xy2(xy)

3

.5【答案】6

76【解析】原=[xy

2

1x23]3xy

2

3)y

.注：n為數(shù)時(shí)，n

n

0)(0)

.【變式2】化簡

x

y

x

y

x

23

y

23

x

23

y

23【答案】

3

xyxy【解析】應(yīng)注意到x

23

與

之間的關(guān)系，對(duì)分子使用乘法公式進(jìn)行因式分解，可修編

33232-33232原式

(x

)

y

)

(x

)

y

)

2x3)

2

2233

2

2x

2

22x3

23)

2

])

23

3

.【總結(jié)升華】根式的化簡結(jié)果應(yīng)寫為最簡根被方數(shù)的指數(shù)與根指數(shù)互質(zhì)被開方數(shù)分母為1，且不含非正整數(shù)指數(shù)冪；(3)被方數(shù)的每個(gè)因數(shù)的指數(shù)小于根指【變式3】化簡下列式子：(1)

3

(2)

42

(3)x

x

3x

3x23【答案】

26

；4

182

；

2x(x【解析】(1)式

2(33)2

2(32(32(2

3)2(33)

6

2(2)(

2)4

24

4

4

2)

2184226∴由平方根的定義得：26

18

2(3)

3

3

3x

2

3

(x

x

2

2x

1(x1(xx2x3x.■高清課程：指數(shù)與指數(shù)運(yùn)算例41例6．已知

12

，求

的值．1【答案】3【解析】從知條件中解出

的值，然后代入求值，這種方法是不可取的，而應(yīng)設(shè)法從整體尋求結(jié)果與條件

12

12

的聯(lián)系，進(jìn)而整體代入求值．

12

12

，

，x

2

，x

2

45可修編

123663a-123663a

(x=

47

)=

3145【總結(jié)升華】對(duì)于“條件求值”問題一定要弄清已知與未知的聯(lián)系，然后采用“整體代換”或化簡后代換”方法求值．本題的關(guān)鍵是先求x

32

32

及x的，然后整體代入．舉反：【變式1】求值：(1)知

12

12

，求

2

的值；(2)知a>0，b>0且a=b，b=9a，求a的.【答案】23；43【解析】熟練掌握冪的運(yùn)算是關(guān)鍵問.(1)x

12

12

，兩邊同時(shí)平方得x+2+x=25，整理得：x+x，則有

2

；(2)a>0，b>0，又a=b，∴(ab∴aa4.

1b

(a

1b

b

ab

a(9)

19鞏練一選題1.若

13

，則

1xx

等于（）A.

x1x

C.(1x)

D.非以上答案2.若

3

)

3，b

，則

a

（）A.1B.5C.-1D.

2

3.計(jì)算4

2

3

的結(jié)果是（）A.32B.16C.64D.1281114.化簡果是（）1A.32B.32

11

D.

12

1325.

44

等于（）A.16B.8C.D.a2可修編

10-106.若

a

，且a

b

2

，則

ab

的值等于（）A.

B.

C.

D.2二填題7.計(jì)算

=.8.化簡

b

=.9.(

1

)

23

=.310.若ab,2

化簡4

2

2

)

=.三解題11.計(jì)算：（1）

23

1

12

；（2）

14

30.0270.00164

.12.計(jì)算下列各式：（1）

13

(

3

43

0.75

1；（2）

a

a12

12

aa1a

1212

12

?？尚蘧?/p>

12-1213.計(jì)：

23

1

13

213鞏練一選題111.化簡

1

14

12

，結(jié)果是（）1A.B.

11

D.

2.計(jì)4

的結(jié)果是（）A.32B.16C.64D.1283.若

a

，且a

b

2

，則

a

b

的值等于（）A.

B.

C.

D.24.下列各式中錯(cuò)誤的是（）A.

5

15aB.

112C.y323

(x0)D.

11231