情形一：積分區(qū)域D關(guān)于坐標(biāo)軸對稱定理4設(shè)二元函數(shù)f(x,y)在平面區(qū)域D連續(xù)，且D關(guān)于x軸對稱，則1)當(dāng)f(x,-y)=-f(x,y)(即f(x,y)是關(guān)于y的奇函數(shù))時，有D2)當(dāng)f(x,-y)=f(x,y)(即f(x,y)是關(guān)于y的偶函數(shù))時，有JJf(x,y)dxdy=2JJf(x,y)dxdyD1其中D是由x軸分割D所得到的一半?yún)^(qū)域。1D解：如圖所示，積分區(qū)域D關(guān)于x軸對稱，且例5計算I=JJ(xy+y3)dxdy，其中D為由y2=2x與D解：如圖所示，積分區(qū)域D關(guān)于x軸對稱，且f(x,-y)=-(xy+y3)=-f(x,y)即f(x,y)是關(guān)于y的奇函數(shù)，由定理1有D類似地，有JJf(xy+y3)dxdy=0D類似地，有定理5設(shè)二元函數(shù)f(x,y)在平面區(qū)域D連續(xù)，且D關(guān)于y軸對稱，則JJDf(x,y)dxdy=2JJf(xJJDf(x,y)dxdy=2JJf(x,y)dxdy,當(dāng)f(-x<d20,當(dāng)f(—x,y)=f(x,y).y)=f(x,y).其中D是由y軸分割D所得到的一半?yún)^(qū)域。2解例6計算I=JJ 2x yd其沖yDDy=2x+2;y=-及什 2所圍。如圖所示，D關(guān)于y軸對稱，為由并且f(-x,y)=x2y=f(x,y)，即被積分函數(shù)是關(guān)于x軸的偶函數(shù)，由對稱性定理結(jié)論有：I=ffx2ydxdy=2ffx2ydxdy=2f1dxf" 2x2ydxdy=—15D1且D關(guān)于x軸和y軸都對稱，則定理6設(shè)二元函數(shù)f(x且D關(guān)于x軸和y軸都對稱，則1)當(dāng)f(—x,y)=—f(x,y)或f(x,—y)=fff(x,y)dxdy=02)當(dāng)f(—x,y)=f(x,—y)=f(x,y)時,有fff(x,y)dxdy=4fff(x,y)dxdyD1其中D為由x軸和y軸分割D所的到的1/4區(qū)域。19例7 計算二重積分I=ff(x+y)dxdy，其中D:解：如圖所示，D9例7 計算二重積分I=ff(x+y)dxdy，其中D:解：如圖所示，D關(guān)于X軸和y軸均對稱，且被積分函數(shù)關(guān)于X和y是偶函數(shù)，即有f(x,—y)=f(—x,y)=f(x,y)，由定理2,得|+|yI)dxdy=4ff(|x|+|yI)dxdyD1象限部分，由對稱性知,<1+xyffxdy=ffD1D1D14ff(|x|+|yI)dxdy=44ff(|x|+|yI)dxdy=4ff(|x|+|xI)dxdy8ff|xdxdD1D1D1DD1情形二、 積分區(qū)域D關(guān)于原點對稱定理7設(shè)平面區(qū)域D=D+D，且D,D關(guān)于原點對稱，則當(dāng)D上連續(xù)函數(shù)滿足12121)f(—x,—y)=f(x,y)時，有fff(x,y)dxdy=2fff(x,y)dxdy2)f(-x,—y)=—f(x,y)時，有fff(x,y)dxdy=0.例8計算二重積分ff(x3+y3)dxdy,D為

y=x3與y=x所圍區(qū)域.解:如圖所示，區(qū)域D關(guān)于原點對稱，對于被積函數(shù)f(x,y)=x3+y3，有f(-x,-y)=(-x戶+(-y)3=-(x3+y3)=-f(x,y)，有定理7,得JJ(x3+y3)dxdy=0.情形三、 積分區(qū)域D關(guān)于直線y=+x對稱定理8設(shè)二元函數(shù)f定理8設(shè)二元函數(shù)f(x,y)在平面區(qū)域D連續(xù)，且D=D+D,DD關(guān)于直線y121,稱，則JJfJJf(x,y)dxdy=JJf(x,y)dxdy.D1D2D1D22)當(dāng)f(y,x)=-f(x,y)時,有JJf(x,y)dxdy=0.3)當(dāng)f(y,x)=f(x,y)時，有JJf3)當(dāng)f(y,x)=f(x,y)時，有JJf(x,y)dxdy2JJf(x,)dxdy.D1例9求I=JJ(竺R2所圍.a2b2解:積分區(qū)域D關(guān)于直線y=x對稱，由定理8,得x2(+a2y2)dxdy=JJb2x2(+a2y2)dxdy=JJb2y2x2( + )dxdy,zx2 y2、…( + )dxdya2 b2a2)dxdyb2+JJ(蘭a2x2 )dxdy]b21-(2—+丄)JJ(x2a2b2y2)dxdy=11(+2a2—)J?"d9JRr2rdr兀 11R4( + ).4 a2b2類似地，可得：類似地，可得：x對稱，定理9設(shè)二元函數(shù)f(x,y)在平面區(qū)域D連續(xù)，且D=D+D,DD關(guān)于直線yx對稱，121,2則(1)當(dāng)f(-y,-x)=-f(x,y)，則有JJf(x,y)dxdy=0;⑵當(dāng)f(-y,-x)=f(x,y)，則有JJf(xy)dxdy=2JJf(x,y)dxdy.DD1例10計算I=JJ(x2+y2)arcsin(x+y)dxdy,其中D為D區(qū)域：0<x<1,—1<y<0.解：如圖所示,積分區(qū)域D關(guān)于直線y=-x對稱,且滿足f(-y,-x)=-f(x,y),由以上性質(zhì)