第頁高中數(shù)學(xué)圓的方程典型例題類型一：圓的方程例1求過兩點(diǎn)A(1,4)、B(3,2)且圓心在直線y0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn)P(2,4)與圓的關(guān)系．分析：欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出圓心坐標(biāo)的圓的半徑的大小，而要判斷點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系，只須看點(diǎn)P與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，若距離大于半徑，則點(diǎn)在圓外；若距離等于半徑，則點(diǎn)在圓上；若距離小于半徑，則點(diǎn)在圓內(nèi)．解法一：（待定系數(shù)法）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2．∵圓心在y0上，故b0．∴圓的方程為(xa)2y2r2．又∵該圓過A(1,4)、B(3,2)兩點(diǎn)．(1a)216r2∴ (3a)24r2解之得：a1，r220．所以所求圓的方程為(x1)2y220．解法二：（直接求出圓心坐標(biāo)和半徑）因?yàn)閳A過A(1,4)、B(3,2)兩點(diǎn)，所以圓心C必在線段AB的垂直平分線l上，又因?yàn)?2k 1，故l的斜率為1，又AB的中點(diǎn)為(2,3)，故AB的垂直平分線l的方程為：AB13y3x2即xy10．又知圓心在直線y0上，故圓心坐標(biāo)為C(1,0)∴半徑rAC(11)24220．故所求圓的方程為(x1)2y220．又點(diǎn)P(2,4)到圓心C(1,0)的距離為dPC(21)24225r．∴點(diǎn)P在圓外．例2求半徑為4，與圓x2y24x2y40相切，且和直線y0相切的圓的方程．分析：根據(jù)問題的特征，宜用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解．解：則題意，設(shè)所求圓的方程為圓C：(xa)2(yb)2r2．圓C與直線y0相切，且半徑為4，則圓心C的坐標(biāo)為C(a,4)或C(a,4)． 1 2又已知圓x2y24x2y40的圓心A的坐標(biāo)為(2,1)，半徑為3．若兩圓相切，則CA437或CA431．(1)當(dāng)C(a,4)時(shí)，(a2)2(41)272，或(a2)2(41)212(無解)，故可得1a2210．∴所求圓方程為(x2210)2(y4)242，或(x2210)2(y4)242．(2)當(dāng)C(a,4)時(shí)，(a2)2(41)272，或(a2)2(41)212(無解)，故2a226．∴所求圓的方程為(x226)2(y4)242，或(x226)2(y4)242．說明：對本題，易發(fā)生以下誤解：由題意，所求圓與直線y0相切且半徑為4，則圓心坐標(biāo)為C(a,4)，且方程形如(xa)2(y4)242．又圓x2y24x2y40，即(x2)2(y1)232，其圓心為A(2,1)，半徑為3．若兩圓相切，則CA43．故(a2)2(41)272，解之得a2210．所以欲求圓的方程為(x2210)2(y4)242，或(x2210)2(y4)242．上述誤解只考慮了圓心在直線y0上方的情形，而疏漏了圓心在直線y0下方的情形．另外，誤解中沒有考慮兩圓內(nèi)切的情況．也是不全面的．例3求經(jīng)過點(diǎn)A(0,5)，且與直線x2y0和2xy0都相切的圓的方程．分析：欲確定圓的方程．需確定圓心坐標(biāo)與半徑，由于所求圓過定點(diǎn)A，故只需確定圓心坐標(biāo)．又圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上．解：∵圓和直線x2y0與2xy0相切，∴圓心C在這兩條直線的交角平分線上，又圓心到兩直線x2y0和2xy0的距離相等．x2yx2y ∴ ． 5 5∴兩直線交角的平分線方程是x3y0或3xy0．又∵圓過點(diǎn)A(0,5)，∴圓心C只能在直線3xy0上．設(shè)圓心C(t,3t)∵C到直線2xy0的距離等于AC，2t3t∴5t2(3t5)2∴5化簡整理得t26t50．解得：t1或t5∴圓心是(1,3)，半徑為5或圓心是(5,15)，半徑為55．∴所求圓的方程為(x1)2(y3)25或(x5)2(y15)2125．說明：本題解決的關(guān)鍵是分析得到圓心在已知兩直線的交角平分線上，從而確定圓心坐標(biāo)得到圓的方程，這是過定點(diǎn)且與兩已知直線相切的圓的方程的常規(guī)求法．例4、設(shè)圓滿足：(1)截y軸所得弦長為2；(2)被x軸分成兩段弧，其弧長的比為3:1，在滿足條件(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線l：x2y0的距離最小的圓的方程．分析：要求圓的方程，只須利用條件求出圓心坐標(biāo)和半徑，便可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．滿足兩個(gè)條件的圓有無數(shù)個(gè)，其圓心的集合可看作動(dòng)點(diǎn)的軌跡，若能求出這軌跡的方程，便可利用點(diǎn)到直線的距離公式，通過求最小值的方法找到符合題意的圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而確定圓的半徑，求出圓的方程．解法一：設(shè)圓心為P(a,b)，半徑為r．則P到x軸、y軸的距離分別為b和a．由題設(shè)知：圓截x軸所得劣弧所對的圓心角為90，故圓截x軸所得弦長為2r．∴r22b2又圓截y軸所得弦長為2．∴r2a21．又∵P(a,b)到直線x2y0的距離為a2bd5∴5d2a2b2a24b24aba24b22(a2b2)2b2a215當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“=”號，此時(shí)d．min 5ab 這時(shí)有 2b2a21a1a1 ∴或 b1b1又r22b22故所求圓的方程為(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22解法二：同解法一，得a2bd．5∴a2b5d．∴a24b245bd5d2．將a22b21代入上式得：2b245bd5d210．上述方程有實(shí)根，故8(5d21)0，5∴d．55將d代入方程得b1．5又2b2a21∴a1．由a2b1知a、b同號．故所求圓的方程為(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22．說明：本題是求點(diǎn)到直線距離最小時(shí)的圓的方程，若變換為求面積最小呢？類型二：切線方程、切點(diǎn)弦方程、公共弦方程例5已知圓O：x2y24，求過點(diǎn)P2，4與圓O相切的切線．解：∵點(diǎn)P2，4不在圓O上，∴切線PT的直線方程可設(shè)為ykx24根據(jù)dr2k4∴21k23解得k4所以y3x244即3x4y100因?yàn)檫^圓外一點(diǎn)作圓得切線應(yīng)該有兩條，可見另一條直線的斜率不存在．易求另一條切線為x2．說明：上述解題過程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補(bǔ)回漏掉的解．本題還有其他解法，例如把所設(shè)的切線方程代入圓方程，用判別式等于0解決（也要注意漏解）．還可以運(yùn)用xxyyr2，求出切點(diǎn)坐標(biāo)x、y的值來解決，此時(shí)沒有漏解．0 0 0例6兩圓C：x2y2DxEyF0與C：x2y2DxEyF0相交于A、B兩1 1 1 2 2 2 2點(diǎn)，求它們的公共弦AB所在直線的方程．分析：首先求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)式求直線AB的方程，但是求兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)的過程太繁．為了避免求交點(diǎn)，可以采用“設(shè)而不求”的技巧．解：設(shè)兩圓C、C的任一交點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，則有： 1 2 0 0x2y2DxEyF0① 0 0 10 10 12y2DxEyF0②0 20 20 2①－②得：(DD)x(EE)yFF0．2 0 1 2 0 1 2∵A、B的坐標(biāo)滿足方程(DD)x(EE)yFF0． 1 2 1 2 1 2∴方程(DD)x(EE)yFF0是過A、B兩點(diǎn)的直線方程． 1 2 1 2 1 2又過A、B兩點(diǎn)的直線是唯一的．∴兩圓C、C的公共弦AB所在直線的方程為(DD)x(EE)yFF0． 1 2 1 2 1 2 1 2說明：上述解法中，巧妙地避開了求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，雖然設(shè)出了它們的坐標(biāo)，但并沒有去求它，而是利用曲線與方程的概念達(dá)到了目標(biāo)．從解題的角度上說，這是一種“設(shè)而不求”的技巧，從知識內(nèi)容的角度上說，還體現(xiàn)了對曲線與方程的關(guān)系的深刻理解以及對直線方程是一次方程的本質(zhì)認(rèn)識．它的應(yīng)用很廣泛．例7、過圓x2y21外一點(diǎn)M(2,3)，作這個(gè)圓的兩條切線MA、MB，切點(diǎn)分別是A、B，求直線AB的方程。練習(xí)：1．求過點(diǎn)M(3,1)，且與圓(x1)2y24相切的直線l的方程．解：設(shè)切線方程為y1k(x3)，即kxy3k10，∵圓心(1,0)到切線l的距離等于半徑2， |k3k1| 3∴2，解得k，k212 4，即3x4y130，當(dāng)過點(diǎn)M的直線的斜率不存在時(shí)，其方程為x3，圓心(1,0)到此直線的距離等于半徑2，故直線x3也適合題意。所以，所求的直線l的方程是3x4y130或x3．52、過坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓x2y24x2y0相切的直線的方程為2解：設(shè)直線方程為ykx，即kxy0.∵圓方程可化為， 10 2k1 10 1-1），半徑為.依題意有 ，解得k3或ky3x或 k21 21yx.33、已知直線5x12ya0與圓x22xy20相切，則a的值為.5a解：∵圓(x1)2y21的圓心為（1，0），半徑為1，∴1，解得a8或a18.52122類型三：弦長、弧問題例8、求直線l:3xy60被圓C:x2y22x4y0截得的弦AB的長.例9、直線3xy230截圓x2y24得的劣弧所對的圓心角為解：依題意得，弦心距d3，故弦長AB2r2d22，從而△OAB是等邊三角形，故截得的劣弧所對的圓心角為AOB.3例10、求兩圓x2y2xy20和x2y25的公共弦長類型四：直線與圓的位置關(guān)系例11、已知直線3xy230和圓x2y24，判斷此直線與已知圓的位置關(guān)系.例12、若直線yxm與曲線y4x2有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：∵曲線y4x2表示半圓x2y24(y0)，∴利用數(shù)形結(jié)合法，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍是2m2或m22.例13圓(x3)2(y3)29上到直線3x4y110的距離為1的點(diǎn)有幾個(gè)？分析：借助圖形直觀求解．或先求出直線l、l的方程，從代數(shù)計(jì)算中尋找解答． 1 2解法一：圓(x3)2(y3)29的圓心為O(3,3)，半徑r3．1334311設(shè)圓心O到直線3x4y110的距離為d，則d23． 1 3242如圖，在圓心O同側(cè)，與直線3x4y110平行且距離為1的直線l與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩1 1個(gè)交點(diǎn)符合題意．又rd321．∴與直線3x4y110平行的圓的切線的兩個(gè)切點(diǎn)中有一個(gè)切點(diǎn)也符合題意．∴符合題意的點(diǎn)共有3個(gè)．解法二：符合題意的點(diǎn)是平行于直線3x4y110，且與之距離為1的直線和圓的交點(diǎn)．設(shè)m11所求直線為3x4ym0，則d1，3242∴m115，即m6，或m16，也即l：3x4y60，或l：3x4y160． 1 2設(shè)圓O：(x3)2(y3)29的圓心到直線l、l的距離為d、d，則 1 1 2 1 2 33436 334316d3，d1． 1 3242 2 3242∴l(xiāng)與O相切，與圓O有一個(gè)公共點(diǎn)；l與圓O相交，與圓O有兩個(gè)公共點(diǎn)．即符合題意的 1 1 1 2 1 1點(diǎn)共3個(gè)．說明：對于本題，若不留心，則易發(fā)生以下誤解：334311設(shè)圓心O到直線3x4y110的距離為d，則d23． 1 3242∴圓O到3x4y110距離為1的點(diǎn)有兩個(gè)．1顯然，上述誤解中的d是圓心到直線3x4y110的距離，dr，只能說明此直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，而不能說明圓上有兩點(diǎn)到此直線的距離為1．到一條直線的距離等于定值的點(diǎn)，在與此直線距離為這個(gè)定值的兩條平行直線上，因此題中所求的點(diǎn)就是這兩條平行直線與圓的公共點(diǎn)．求直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，一般根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系來判斷，即根據(jù)圓心與直線的距離和半徑的大小比較來判斷．練習(xí)1：直線xy1與圓x2y22ay0(a0)沒有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是a1解：依題意有a，解得21a21.∵a0，∴0a21.2練習(xí)2：若直線ykx2與圓(x2)2(y3)21有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是.2k1 44解：依題意有1，解得0kk的取值范圍是(0,).k213圓x2y22x4y30上到直線xy10的距離為2的點(diǎn)共有（）．（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)分析：把x2y22x4y30化為x12y228，圓心為1，2，半徑為r22，圓心到直線的距離為2，所以在圓上共有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于2，所以選C．過點(diǎn)P3，4作直線l，當(dāng)斜率為何值時(shí)，直線l與圓C：x12y224有公共點(diǎn)，如圖所示．分析：觀察動(dòng)畫演示，分析思路．PEOyPEOyxy4kx3即kxy3k40根據(jù)dr有k23k421k2 整理得 3k24k0解得40k．3類型五：圓與圓的位置關(guān)系問題導(dǎo)學(xué)四：圓與圓位置關(guān)系如何確定？例14、判斷圓C:x2y22x6y260與圓C:x2y24x2y40的位置關(guān)系， 1 2例15：圓x2y22x0和圓x2y24y0的公切線共有條。解：∵圓(x1)2y21的圓心為O(1,0)，半徑r1，圓x2(y2)24的圓心為O(0,2)， 1 1 2半徑r2，∴OO5,rr3,rr1.∵rrOOrr，∴兩圓相交.共有22121 2 2 1 2 1121 2條公切線。練習(xí)1：若圓x2y22mxm240與圓x2y22x4my4m280相切，則實(shí)數(shù)m的取值集合是.解：∵圓(xm)2y24的圓心為O(m,0)，半徑r2，圓(x1)2(y2m)29的圓心為 1 1O(1,2m)，半徑r3，且兩圓相切，∴OOrr或OOrr，∴2 2121 2122 1 12 5(m1)2(2m)25或(m1)2(2m)21，解得m或m2，或m0或m， 5 2 12 5∴實(shí)數(shù)m的取值集合是{,,0,2}. 5 22：求與圓x2y25外切于點(diǎn)P(1,2)，且半徑為25的圓的方程.解：設(shè)所求圓的圓心為O，則所求圓的方程為(xa)2(yb)220.∵兩圓外切于點(diǎn)P，1a3,b6，∴所求圓的方程為(x3)2(y6)220.∴OPOO， 3 1類型六：圓中的對稱問題例16、圓x2y22x6y90關(guān)于直線2xy50對稱的圓的方程是GOBNMyAxCA’例17自點(diǎn)A3，3發(fā)出的光線lGOBNMyAxCA’（1）求光線l和反射光線所在的直線方程．（2）光線自A到切點(diǎn)所經(jīng)過的路程．分析、略解：觀察動(dòng)畫演示，分析思路．根據(jù)對稱關(guān)系，首先求出點(diǎn)A的對稱點(diǎn)A的坐標(biāo)為3，3，其次設(shè)過A的圓C的切線方程為ykx33根據(jù)dr，即求出圓C的切線的斜率為 4 3k或k 3 4 進(jìn)一步求出反射光線所在的直線的方程為 圖4x3y30或3x4y30最后根據(jù)入射光與反射光關(guān)于x軸對稱，求出入射光所在直線方程為4x3y30或3x4y30光路的距離為A'M，可由勾股定理求得AM2AC2CM27．說明：本題亦可把圓對稱到x軸下方，再求解．類型七：圓中的最值問題例18：圓x2y24x4y100上的點(diǎn)到直線xy140的最大距離與最小距離的差是解：∵圓(x2)2(y2)218的圓心為（2，2），半徑r32，∴圓心到直線的距離10d52r，∴直線與圓相離，∴圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是2(dr)(dr)2r62.例19(1)已知圓O：(x3)2(y4)21，P(x,y)為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，求dx2y2的最大、最1小值．y2(2)已知圓O：(x2)2y21，P(x,y)為圓上任一點(diǎn)．求的最大、最小值，求x2y的 2 x1最大、最小值．分析：(1)、(2)兩小題都涉及到圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解決．解：(1)(法1)由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x3)2(y4)21．x3cos, 可設(shè)圓的參數(shù)方程為 （是參數(shù)）．y4sin,則dx2y296coscos2168sinsin24266cos8sin2610cos()（其中tan）．3所以d261036，d261016． max min(法2)圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值d1等于圓心到原點(diǎn)的距離d1'加上半徑1，圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值d等于圓心到原點(diǎn)的距離d1'減去半徑1．2所以d324216．1d324214．2所以d36．d16．max minx2cos, (2)(法1)由(x2)2y21得圓的參數(shù)方程： 是參數(shù)．ysin, y2sin2 sin2則 ．令t，x1cos3 cos3得sintcos23t，1t2sin()23t 23t33 33 sin()1t． 1t2 433 33所以t，t．max 4 min 4 y2 33 33即的最大值為 ，最小值為 ．x1 4 4此時(shí)x2y2cos2sin25cos()．所以x2y的最大值為25，最小值為25．y2(法2)設(shè)k，則kxyk20．由于P(x,y)是圓上點(diǎn)，當(dāng)直線與圓有交點(diǎn)時(shí)，如x1圖所示，兩條切線的斜率分別是最大、最小值．2kk2 33由d1，得k．1k2 4 y2 33 33所以的最大值為 ，最小值為 ．x1 4 4令x2yt，同理兩條切線在x軸上的截距分別是最大、最小值．2m由d1，得m25．5所以x2y的最大值為25，最小值為25．例20：已知A(2,0)，B(2,0)，點(diǎn)P在圓(x3)2(y4)24上運(yùn)動(dòng)，則PA2PB2的最小值是.解：設(shè)P(x,y)，則PA2PB2(x2)2y2(x2)2y22(x2y2)82OP28.設(shè)圓心為C(3,4)，則OP OCr523，∴PA2PB2的最小值為232826.min練習(xí)：1：已知點(diǎn)P(x,y)在圓x2(y1)21上運(yùn)動(dòng).y1求的最大值與最小值；（2）求2xy的最大值與最小值.x2y1解：（1）設(shè)k，則k表示點(diǎn)P(x,y)與點(diǎn)（2，1）連線的斜率.當(dāng)該直線與圓相切時(shí)，k取得x232k3 y13最大值與最小值.由 1，解得k，∴的最大值為 ，最小值為.k21 3 x2 3 33設(shè)2xym，則m表示直線2xym在y軸上的截距.當(dāng)該直線與圓相切時(shí)，m取得最1m大值與最小值.由1，解得m15，∴2xy的最大值為15，最小值為15.5y22設(shè)點(diǎn)P(x,y)是圓x2y21是任一點(diǎn)，求u 的取值范圍．x1分析一：利用圓上任一點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)代替x、y，轉(zhuǎn)化為三角問題來解決．解法一：設(shè)圓x2y21上任一點(diǎn)P(cos,sin)則有xcos，ysin[0,2)sin2∴u，∴ucosusin2cos1∴ucossin(u2)．即u21sin()u2（tanu）(u2)∴sin()．u21又∵sin()1u2∴1u213解之得：u．4y2 分析二：u 的幾何意義是過圓x2y21上一動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)(1,2)的連線的斜率，利用x1此直線與圓x2y21有公共點(diǎn)，可確定出u的取值范圍．y2 解法二：由u 得：y2u(x1)，此直線與圓x2y21有公共點(diǎn)，故點(diǎn)(0,0)到x1直線的距離d1．u2∴1u213解得：u．4另外，直線y2u(x1)與圓x2y21的公共點(diǎn)還可以這樣來處理：y2u(x1) 由 消去y后得：(u21)x2(2u24u)x(u24u3)0，x2y21此方程有實(shí)根，故(2u24u)24(u21)(u24u3)0，3解之得：u．4說明：這里將圓上的點(diǎn)用它的參數(shù)式表示出來，從而將求變量u的范圍問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的有關(guān)知識來求解．或者是利用其幾何意義轉(zhuǎn)化成斜率來求解，使問題變得簡捷方便．3、已知點(diǎn)A(2,2),B(2,6),C(4,2)，點(diǎn)P在圓x2y24上運(yùn)動(dòng)，求PA2PB2PC2的最大值和最小值.類型八：軌跡問題1例21、基礎(chǔ)訓(xùn)練：已知點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0)，A(3,0)的距離的比為，求點(diǎn)M的軌跡方程.2例22、已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，3），端點(diǎn)A在圓(x1)2y24上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.例23如圖所示，已知圓O：x2y24與y軸的正方向交于A點(diǎn)，點(diǎn)B在直線y2上運(yùn)動(dòng)，過B做圓O的切線，切點(diǎn)為C，求ABC垂心H的軌跡．分析：按常規(guī)求軌跡的方法，設(shè)H(x,y)，找x,y的關(guān)系非常難．由于H點(diǎn)隨B，C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，可考慮H，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系．解：設(shè)H(x,y)，C(x',y')，連結(jié)AH，CH，則AHBC，CHAB，BC是切線OCBC，所以O(shè)C//AH，CH//OA，OAOC，所以四邊形AOCH是菱形．y'y2, 所以CHOA2，得 x'x.又C(x',y')滿足x'2y'24，所以x2(y2)24(x0)即是所求軌跡方程．說明：題目巧妙運(yùn)用了三角形垂心的性質(zhì)及菱形的相關(guān)知識．采取代入法求軌跡方程．做題時(shí)應(yīng)注意分析圖形的幾何性質(zhì)，求軌跡時(shí)應(yīng)注意分析與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的點(diǎn)，如相關(guān)聯(lián)點(diǎn)軌跡方程已知，可考慮代入法．例24已知圓的方程為x2y2r2，圓內(nèi)有定點(diǎn)P(a,b)，圓周上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A、B，使PAPB，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程．分析：利用幾何法求解，或利用轉(zhuǎn)移法求解，或利用參數(shù)法求解．解法一：如圖，在矩形APBQ中，連結(jié)AB，PQ交于M，顯然OMAB，ABPQ，xayb 在直角三角形AOM中，若設(shè)Q(x,y)，則M(, )． 2 2由OM2AM2OA2，即xa yb 1 ( )2( )2[(xa)2(yb)2]r2， 2 2 4也即x2y22r2(a2b2)，這便是Q的軌跡方程．解法二：設(shè)Q(x,y)、A(x,y)、B(x,y)，則x2y2r2，x2y2r2． 1 1 2 2 1 1 2 2又PQ2AB2，即(xa)2(yb)2(xx)2(yy)22r22(xxyy)．① 1 2 1 2 12 12又AB與PQ的中點(diǎn)重合，故xaxx，ybyy，即 1 2 1 2(xa)2(yb)22r22(xxyy)② 12 12①＋②，有x2y22r2(a2b2)．這就是所求的軌跡方程．解法三：設(shè)A(rcos,rsin)、B(rcos,rsin)、Q(x,y)，由于APBQ為矩形，故AB與PQ的中點(diǎn)重合，即有xarcosrcos，①ybrsinrsin，②rsinbrsinb 又由PAPB有 1③rcosarcosa聯(lián)立①、②、③消去、，即可得Q點(diǎn)的軌跡方程為x2y22r2(a2b2)．說明：本題的條件較多且較隱含，解題時(shí)，思路應(yīng)清晰，且應(yīng)充分利用圖形的幾何性質(zhì)，否則，將使解題陷入困境之中．本題給出三種解法．其中的解法一是幾何方法，它充分利用了圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系．而解法二與解法三，從本質(zhì)上是一樣的，都可以稱為參數(shù)方法．解法二涉及到了x、x、y、y四個(gè)參 1 2 1 2數(shù)，故需列出五個(gè)方程；而解法三中，由于借助了圓x2y2r2的參數(shù)方程，只涉及到兩個(gè)參數(shù)、，故只需列出三個(gè)方程便可．上述三種解法的共同之處是，利用了圖形的幾何特征，借助數(shù)形結(jié)合的思想方法求解．練習(xí)：1、由動(dòng)點(diǎn)P向圓x2y21引兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，APB=600，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是.解：設(shè)P(x,y).∵APB=600，∴OPA=300.∵OAAP，∴OP2OA2，∴x2y22，化簡得x2y24，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是x2y24.練習(xí)鞏固：設(shè)A(c,0),B(c,0)(c0)為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到A點(diǎn)的距離與到B點(diǎn)的距離的比為定值a(a0)，求P點(diǎn)的軌跡. PA (xc)2y2解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(x,y).由a(a0)，得a，PB (xc)2y2化簡得(1a2)x2(1a2)y22c(1a2)xc2(1a2)0.當(dāng)a1時(shí)，化簡得x2y22c(1a2)xc20，整理得(x1a2c)2y2(2ac)2； 1a2 a21 a21當(dāng)a1時(shí)，化簡得x0. 1a2 2ac所以當(dāng)a1時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是以(c,0)為圓心，為半徑的圓；a21 a21當(dāng)a1時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是y軸.2、已知兩定點(diǎn)A(2,0)，B(1,0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足PA2PB，則點(diǎn)P的軌跡所包圍的面積等于解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,y).由PA2PB，得(x2)2y22(x1)2y2，化簡得(x2)2y24，∴點(diǎn)P的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓，∴所求面積為4.14、已知定點(diǎn)B(3,0)，點(diǎn)A在圓x2y21上運(yùn)動(dòng)，M是線段AB上的一點(diǎn)，且AMMB，3問點(diǎn)M的軌跡是什么？11解：設(shè)M(x,y),A(x,y).∵AMMB，∴(xx,yy)(3x,y)， 1 1 3 1 1 3 1 4xx13(3x) x13x1∴ ，∴ .∵點(diǎn)A在圓x2yy21，∴yy1y y4y1 1 3 134 4 32 2 9 M的軌跡方程是(x3)2y29.(x1)2(y)21，即(x)y，∴點(diǎn)3 4 16 4 16例5、已知定點(diǎn)B(3,0)，點(diǎn)A在圓x2y21上運(yùn)動(dòng)，AOB的平分線交AB于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡方程是.解：設(shè)M(x,y),A(x1,y1).∵OM是AOB的平分線，∴AMMBOBOA13，∴AM13MB.由變式1可得點(diǎn)M的軌跡方程是(x3)2y29.16練習(xí)鞏固：已知直線ykx1與圓x2y24相交于A、B兩點(diǎn)，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，求點(diǎn)P的軌跡方程.解：設(shè)P(x,y)，AB的中點(diǎn)為M.∵OAPB是平行四邊形，∴M是OP的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為xy(,)，且OMAB.∵直線ykx1經(jīng)過定點(diǎn)C(0,1)，∴OMCM，∴22 xyxy x2yy x2(y1)21.∴點(diǎn)P的軌跡方程是OMCM(,)(,1)()(1)0，化簡得2222 2 22x2(y1)21.類型九：圓的綜合應(yīng)用例25、已知圓x2y2x6ym0與直線x2y30相交于P、Q兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，且OPOQ，求實(shí)數(shù)m的值．分析：設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)、(x,y)，則由kk1，可得xxyy0， 1 1 2 2 OP OQ 12 12y再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解．或因?yàn)橥ㄟ^原點(diǎn)的直線的斜率為，由直線l與圓的方xy程構(gòu)造以為未知數(shù)的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出kk的值，從而使問題得以解決．x OP OQ解法一：設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)為(x,y)、(x,y)．一方面，由OPOQ，得1122yykk1，即121，也即：xxyy0．①OP OQ xx 12 12 1 2x2y30另一方面，(x,y)、(x,y)是方程組 1 1 2 2 x2y2x6ym程5x210x4m270②的兩個(gè)根．4m27∴xx2，xx．③ 1 2 12 5又P、Q在直線x2y30上， 1 1 1∴yy(3x)(3x)[93(xx)xx]． 122 12 2 4 1 2 12m12將③代入，得yy．④ 12 5的實(shí)數(shù)解，即x、x是方0 1 2將③、④代入①，解得m3，代入方程②，檢驗(yàn)0成立，∴m3．解法二：由直線方程可得3x2y，代入圓的方程x2y2x6ym0，有 1 mx2y2(x2y)(x6y)(x2y)20， 3 9整理，得(12m)x24(m3)xy(4m27)y20．由于x0，故可得 y y(4m27)()24(m3)12m0．x x∴k，k是上述方程兩根．故kk1．得 OP OQ OP OQ12m1，解得m3．4m27經(jīng)檢驗(yàn)可知m3為所求．說明：求解本題時(shí)，應(yīng)避免