對稱性和周期性都是函數(shù)的重要性質，而這兩種性質之間，有沒有什么關系呢？今日我們就來經過幾個例子，軸對稱、中心對稱與周期性之間的關系。先看例題例：f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，fx1f1x，0x1時，fxlog2(x1)，則f(31)等于（）A.0B.1C.2D.1依據(jù)已知，由函數(shù)為奇函數(shù)，能夠找到一個對稱中心，依據(jù)fx1f1x，能夠找到函數(shù)的一條對稱軸即x=1fx1f1x=fx1fx2=fx由周期函數(shù)的知識，可知：fx4=fx2f(x)因此函數(shù)是以T=4為周期的函數(shù)，因此：f31f321f1f11一般規(guī)律：若函數(shù)f(x)的圖象對于點(a,0)和直線x=b對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，4|a-b|是它的一個周期；fxf2axfxf2bxf2axf2bxfxf2b2axf

2b

2a

x

f4b

4a

xf

x

f

4b

4a

x整理：若函數(shù)f(x)對于直線x=a和直線x=b對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a-b|是它的一個周期；若函數(shù)f(x)對于點(a,0)和點(b,0)對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a-b|是它的一個周期；若函數(shù)f(x)對于點(a,0)和直線x=b對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，4|a-b|是它的一個周期；練：f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，fx2fx，當0x1時，fxx，則f7.5=0.5依據(jù)已知，由奇函數(shù)我們知道，函數(shù)有對稱中心為(0,0)又依據(jù)fx2fx，函數(shù)有一條對稱軸為，x=1因此原函數(shù)是一個周期函數(shù)，且T=4|1-0|=4因此f0.50.5注意：此類周期函數(shù)的周期，與軸對稱，與中心對稱所提到的周期算法不一致！總結：1.假如函數(shù)有不一樣的對稱中心和對稱軸，那么它必定是周期函數(shù)2.該類函數(shù)的周期為T=4|a-b|練習：1.定義域為

R的函數(shù)

f

x

知足

f

4x

fx

8

，且

y

fx

8

為偶函數(shù)，則

f(x)（）（A）是周期為（C）是周期為

4的周期函數(shù)12的周期函數(shù)

（B）是周期為8的周期函數(shù)（D）不是周期函數(shù)2.若函數(shù)f(x)在R上是奇函數(shù)，且在1，0上是增函數(shù)，且f(x2)f(x).①求f(x)的周期；②證明f(x)的圖象對于點(2k,0)中心對稱;對于直線x2k1軸對稱,(kZ);③議論f(x)在(1,2)上的單一性；3.已知函數(shù)xyxyf(x)對隨意實數(shù)x,y均有f(x)f(y)2f()f(),f(0)0，且存在22非零常數(shù)c,使f(c)0.1）求f(0)的值；2）判斷f(x)的奇偶性并證明；（3）求證f(x)是周期函數(shù)，并求出f(x)的一個周期.答案：1.C2.解：①由已知f(x)f(x2)f(x22)f(x4)，故周期T4.②設P(x,y)是圖象上隨意一點,則yf(x),且P對于點(2k,0)對稱的點為P(4kx,y).P1對于直線x2k1對稱的點為P2(4k2x,y)∵f(4kx)f(x)f(x)y,∴點P1在圖象上,圖象對于點(2k,0)對稱.又f(x)是奇函數(shù),f(x2)f(x)f(x)∴f(4k2x)f(2x)f(x)y∴點P2在圖象上,圖象對于直線x2k1對稱.③設1x1x22，則2x2x11，02x22x11∵f(x)在(1,0)上遞加,∴f(2x1)f(2x2)(*)又f(x2)f(x)f(x)∴f(2x1)f(x1),f(2x2)f(x2).因此：f(x2)f(x1)，f(x)在(1,2)上是減函數(shù).3.解：（1）取，得f2(0)a0,b0f(0)f(0)2f(0)f(0),f(0)f(0)0,f(0)1f(x)是偶函數(shù)。證明：原式中，不變，取yx,得f(x)x(x)x(x)22即f(x)f(x)2f(0)f(x)2f(x),f(x)f(（3）令，yxc,則f(x)f(x2c)2f(xx=xf(x)f(x2c)0,將換成，f(x2c)xx2cf(x2c)f(x2c),