課本上沒有，考試卻常見的函數(shù)模型大盤點一．導(dǎo)數(shù)6朵“金花”還有諸如下列的很多函數(shù)，我們先做梳理，后續(xù)再慢慢展開：1.（2017年全國3卷）.2.（2018年全國1卷）.3.（2017年全國2卷）.4.（2014年山東文科）.5.（2016四川卷）.6.（2016全國2卷文科）.7.（2016年山東理科）.8.（2014年全國大綱卷）.9.（2014年全國大綱卷）.10.（2014湖南理科）二．雙勾函數(shù)1.對勾函數(shù)的定義：形如的函數(shù)，叫做對勾函數(shù)．2.對勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）定義域（2）值域當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號）．[來源:學(xué)_科_網(wǎng)]當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號）．則：函數(shù)的值域為．（3）奇偶性由于雙勾函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，，則對勾函數(shù)為奇函數(shù)．（4）單調(diào)性函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)．（5）漸近線當(dāng)時，，當(dāng)時，，說明函數(shù)的的圖象在第一、第三象限．當(dāng)時，，說明函數(shù)在第一象限的圖象在直線的上方，當(dāng)時，，，說明函數(shù)在第三象限的圖象在直線的下方.雙勾函數(shù)就是以軸和直線為漸近線的雙曲線．三．分式函數(shù)（1）型.對于形如的函數(shù)，總可以變換成轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)進行求解.型.對于形如（分子分母均為一次的分式）的函數(shù)，通過換元，可轉(zhuǎn)化為的形式，進而上述（1）中進行求解.型.形如的函數(shù)可通過分離常數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式，進而可依靠的圖像（即前面研究過的雙勾函數(shù)、偽勾函數(shù)來研究），再求出值域.型.形如可通過換元將問題轉(zhuǎn)化為（3），然后進行求解.小結(jié)：總結(jié)一下我們所遇到的常見分式類型及一般處理方法：①：換元→分離常數(shù)→反比例函數(shù)模型.②：換元→分離常數(shù)→（雙勾函數(shù)、偽勾函數(shù)）模型.③：同時除以分子：→②的模型.④：分離常數(shù)→③的模型.共同點：讓分式的分子變?yōu)槌?shù)上述函數(shù)多出現(xiàn)在二次函數(shù)恒成立或者存在性問題中，利用分離參數(shù)法，經(jīng)常會得到上述分式函數(shù).四．指數(shù)型函數(shù)假設(shè)且.（1）.為偶函數(shù)（2）.為奇函數(shù)（3）.為奇函數(shù)（4）.可轉(zhuǎn)化為（2）或（3）五．對數(shù)型函數(shù)（1）.都是奇函數(shù).（2）.是奇函數(shù).（3）.(且)是偶函數(shù).典例分析例1.求函數(shù)的值域解析：設(shè).于是問題轉(zhuǎn)化為求的值域，由對勾函數(shù)當(dāng)時取等號，即.例2.設(shè)，函數(shù)．（1）已知，求證：函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)；（2）已知．（i）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；（ii）函數(shù)在區(qū)間上的值域是，求的取值范圍．例3.已知函數(shù)是偶函數(shù).(1).并求實數(shù)的值；(2).若方程有實數(shù)根，求的取值范圍；(3).設(shè)，若函數(shù)與的圖象有且僅有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍.例4．討論函數(shù)的零點個數(shù).解析：，即.令，則得.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.的圖像如圖所示.①當(dāng)時，無零點；②當(dāng)時，1個零點；③當(dāng)時，2個零點；④當(dāng)時，1個零點．例5．討論函數(shù)的零點個數(shù).解析：即.令，則得.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.的圖像如圖所示.①當(dāng)時，無零點；②當(dāng)時，1個零點；③當(dāng)時，2個零點；④當(dāng)時，1個零點．例6．討論函數(shù)的零點個數(shù).解析：，即.令，則得.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，①當(dāng)時，2個零點；②當(dāng)時，1個零點；③當(dāng)時，無零點；④當(dāng)時，1個零點．例8．討論函數(shù)的零點個數(shù).解析：，即.令，則得.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的圖像如圖所示①當(dāng)時，無零點；②當(dāng)時，1個零點；③當(dāng)時，2個零點；④當(dāng)時，1個零點．例9．討論函數(shù)的零點個數(shù).解析：，即.令，則得.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.的圖像如圖所示.=1\*GB3①當(dāng)時，個零點；=2\*GB3②當(dāng)時，無零點；=3\*GB3③當(dāng)時，個零點；=4\*GB3④當(dāng)時，個零點.例10．討論函數(shù)的零點個數(shù).解析：，即.令，則得.則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.的圖像如圖所示.=1\*GB3①當(dāng)時，無零點；=2\*GB3②當(dāng)時，個零點；=3\*GB3③當(dāng)時，個零點；=4\*GB3④當(dāng)時，個零點.例題解析：例2.解析：（1）證明：因為，所以，由得函數(shù)的定義域為，又所以函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)（2）當(dāng)時，因為，所以，所以函數(shù)的定義域為．（i）結(jié)論：函數(shù)為上的單調(diào)增函數(shù)．證明：設(shè)對任意的，，且，因為，所以即因為，所以，，又，所以，即，所以函數(shù)為上的單調(diào)增函數(shù)（ii）因為，所以，從而．又由知，，所以，因為，由（i）知，函數(shù)為上的單調(diào)增函數(shù)．因為函數(shù)在區(qū)間上的值域是，所以，即從而關(guān)于的方程有兩個互異實根．令，所以方程有兩個互異正根．所以，解得.例3.解析：（1）∵為偶函數(shù)，∴對任意，有，∴對恒成立.∴對恒成立，∴對恒成立，∴（2）由題意知有實數(shù)根，即：有解。令，則函數(shù)的圖像與直線有交點?！?，∴∴的取值范圍是。（3