DnnA年線性數(shù)必考的知點(diǎn)DnnA1、列式1.n行列式共個(gè)元素，展開(kāi)后!項(xiàng)，可分解行列式；2.代數(shù)余子式的性質(zhì)：①、A和aij

ij

的大小無(wú)關(guān)；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為；③、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為；3.代

數(shù)

余

子

式

和

余

子

式

的

關(guān)

系：Mij

M

4.設(shè)行列式：將上下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為D，

D1

n(2

D

；將順針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

，得行列式為D，則

(D22DD

D

；將主角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得行列式為D，D將主角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為D，5.行列式的重要公式：①、主對(duì)角行列式：主對(duì)角元素的乘積；(n②、副對(duì)角行列式：副對(duì)角元素的乘積；

D

；

；③、上、下三角行列式（

）：主對(duì)角元素的乘積；④、◤和◢：對(duì)角元素的積

(n

；⑤、拉普拉斯展開(kāi)式：

OAOB

、

OnO

⑥、范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積；⑦、特征值；6.

對(duì)于階行列式主子式；

A

nA(k，恒有：k，其中

k

為階7.證明的方法：①、

A

；②、反證法；/

nBOBnBOB③、構(gòu)造齊次方程組

Ax

，證明其有非零解；④、利用秩，證明

rA

；⑤、證明是其特征值；2、陣1.

是階可逆矩陣：A（非奇異矩陣）；

r(A)

（是滿(mǎn)秩矩陣）A的行（列）向量組線性無(wú)關(guān)齊次方程組有零解；

R

n

，總唯一解；A與E等；A可表示成若干個(gè)初等矩陣的積；A的特征值全不為0

ATA

是正定矩陣；A的行（列）向量組是的一組基；

A

是

Rn

中某兩組基的過(guò)渡矩陣；*A*AA2.對(duì)于階矩陣：

無(wú)條件恒立；3.

(A)**)

(

)

T

AT

)

(A*

)

T

T

)

*()TTT

()***

()A4.矩陣是表格，推導(dǎo)符號(hào)為波浪號(hào)或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和；5.關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均、可逆：若

，則：Ⅰ、A；Ⅱ、A

A

A

A

；②、

AO

OB

；（主對(duì)角分塊）③、

OB

BO

；（副對(duì)角分塊）/

BCFBCFOrcr，例如：11111

；（拉普拉斯）O⑤、

A

OB

；（拉普拉斯）3、陣的初等變線性方程組1.一個(gè)矩陣，總可經(jīng)過(guò)初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一確定的：r；等價(jià)類(lèi)：所有與等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱(chēng)為一個(gè)等價(jià)類(lèi)；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡(jiǎn)單的矩陣；對(duì)于同型矩陣、，

r)r(B

AB

；2.行最簡(jiǎn)形矩陣：①、只能通過(guò)初等行變換獲得；②、每行首個(gè)非0元必須為1③、每行首個(gè)非0元所在列的其他元素必須為03.初等行變換的應(yīng)用：（初等列變換類(lèi)似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換）①、若(E)(EX)，則可逆，且X；②、對(duì)矩陣(A,B)

AB做初等行變化，當(dāng)變?yōu)镋時(shí)B就成，：

(AB(A)

；③、求解線形方程組：對(duì)于個(gè)知數(shù)個(gè)程Ax，果(Ab(x，A可，且；4.初等矩陣和對(duì)角矩陣的概念：①、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；②、

，左乘矩陣A，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素；ii③、對(duì)調(diào)兩行或兩列，符號(hào)Eij)

，且E(i,j)

E(i,j

1

；④、倍乘某行或某列，符號(hào)Ei())，E(i(k

(())

，例如：

(k

；⑤、倍加某行或某列，符號(hào)E(ij5.矩陣秩的基本性質(zhì)：

且E(ij(k(ij())

，如：1(；①、r(A

mn)

；②、r(

A

；③、若B，rAr(；④、若、Q可逆，則

r))AQ)rPAQ)/

；（可矩不響陣秩

1nn1nnm⑤、

r(A),r())(A)r(A)B)

；（※⑥、⑦、

A)(A(BrAB)r(Ar(B))

；（※；（※⑧、如果A矩陣，B是

矩陣，且AB

，則：（※Ⅰ、列向全部是齊次方程組Ⅱ、r(A)(B

解（轉(zhuǎn)置運(yùn)算后的結(jié)論）；⑨、若、B均n階陣，則r(((；6.三種特殊矩陣的方冪：①、秩為1的矩陣：一定可以分解為矩陣（向量）行矩陣（量）的形式，再采用結(jié)合律；a②、型矩陣：利用二項(xiàng)展開(kāi)式；二項(xiàng)展開(kāi)式：(a)amanmnnCmambn；nnnnm注：Ⅰ、(a)

n展后有

項(xiàng)；Ⅱ、C

(n!123m!()!

C

Ⅲ、組合的性質(zhì)：

C

C

r

rC

r

nC

r；③、利用特征值和相似對(duì)角化：7.伴隨矩陣：(*)

r((①、伴隨矩陣的秩：

(An

；②、伴隨矩陣的特征值：

A

(,*AA*X

A

X)

；*A

*

n③、

、8.9.

關(guān)于矩陣秩的描述：①、(A，A中有n階式不為0n階式全部為；（兩句話）②、(An，中有階式全部為0；③、(An，中有階式不為0線性方程組：，其中為矩陣，則：①、與方程的數(shù)相同，即方程組有m個(gè)程；②、n與程組得未知數(shù)個(gè)相同，方程組元程；10.性方程組的求解：①、對(duì)增廣矩陣B進(jìn)初等行變換只能用等變）；/

nn2n22mnmmbb,nn2n22mnmmbb,nATTB,,,TABmln③、特解：自由變量賦初值后求得；11.個(gè)未知數(shù)個(gè)方程的方程組構(gòu)成元線性方程：xx11122n21222n①、

；

ax1

nmnn②、

a11a21am1

a12a22a

111

（向量方程，A為m矩，m個(gè)方程，n未知數(shù)）③、

a

a

xxx

（全部按列分塊，其中

）；④、x（性表出）nn⑤、有解的充要條件：r(,4、量組的線性性

)（為未知數(shù)的個(gè)數(shù)或維數(shù)）1.

個(gè)維列向量所組成的向量組：

,

構(gòu)成矩陣

,

；個(gè)維行向量所組成的向量組：構(gòu)成矩陣m含有有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)；

；2.①、向量組的線性相關(guān)、無(wú)關(guān)

Ax

有、無(wú)非零解；（齊次線性方程組）②、向量的線性表出

Ax

是否有解；（線性方程組）③、向量組的相互線性表示

AXB

是否有解；（矩陣方程）3.矩陣與行向量組等價(jià)的充分必要條件是：齊次方程組和同解；(P例1014.r(AT(；(P例1015.維向量線性相關(guān)的幾何意義：①、線相關(guān)

②、

線相關(guān)

,

坐成比例或共線（平行）；③、,

線相關(guān)

,

共；6.線性相關(guān)與無(wú)關(guān)的兩套定理：若線性相關(guān)，則

,s

s

必線性相關(guān)；/

ABArsrABP,PAPPrA~Q（ABArsrABP,PAPPrA~Q（、可逆）；ABmlBBBAmsCTCAABxABxB:b,b,,A:a,,a（）rr(K)AAQr)②、對(duì)矩陣，存在，mnr()PAP14.線性相關(guān)若

1

2

線性無(wú)關(guān)，則

1

必線性無(wú)關(guān)；（向量的個(gè)數(shù)加加減減，二者為對(duì)偶）若r維向量組A的個(gè)向量上添上個(gè)量，構(gòu)成維量組：若線性無(wú)關(guān)，則也性無(wú)關(guān)；反之若B線性相關(guān)，則A也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加減減）簡(jiǎn)言之：無(wú)關(guān)組延長(zhǎng)后仍無(wú)關(guān)，反之，不確定；7.向量組（個(gè)數(shù)為）能由向量組（個(gè)數(shù)為）線性表示，且線性無(wú)關(guān)，則；向量組能由向量組線性表示，則向量組能由向量組線性表示有解；AXBr(ArA

r(A(

；8.

r(r(Br()向量組能由向量組等價(jià)方陣可逆存在有限個(gè)初等矩陣，使；ll①、矩陣行等價(jià)A~BPA（左乘P可逆）②、矩陣列等價(jià)：（右乘，可逆）；③、矩陣等價(jià)：A~B

與同解9.對(duì)于矩陣與：①、若與行等價(jià)，則與的行秩相等；②、若與行等價(jià)，則與同解，且與的任何對(duì)應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)性；③、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；④、矩陣的行秩等于列秩；10.，則：①、的列向量組能由的列向量組線性表示，為系數(shù)矩陣；②、的行向量組能由的行向量組線性表示，為系數(shù)矩陣；（轉(zhuǎn)置）11.次方程組的解一定是的解，試中可以接作為定使用，而無(wú)需證明；①、只有零解

只有零解；②、有非零解

一定存在非零解；12.向量組可由向量組線性表示為：rs,,),,aAK其中為，且線性無(wú)關(guān)，則組線性無(wú)關(guān)；（與的列向量組具有相同線相關(guān)性）（必要性：rr(B)r(AK)KrK)r(K)r

；充分性：反證法）注：當(dāng)時(shí)，為方陣，可當(dāng)作定理使用；13.、對(duì)矩陣，存在，、的列向量線性無(wú)關(guān)；、的行向量線性無(wú)關(guān)；m,存在一組不全0的k,,k，使得0成；（定義）/

xxSrn；*T或1TijAAAB；;xxSrn；*T或1TijAAAB；;rrrB，、可逆；，、同型；②、與合同Ax③、與相似CAxnECC

,

,)

有非零解，即Ax

有非零解；()，數(shù)矩陣的秩于未知數(shù)的個(gè)數(shù)；15.的矩陣的秩為，則元齊次線性方程組的解集的秩為：r()16.*為的一個(gè)解，無(wú)關(guān)；

,,n

為的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則

,,

線性5、似矩陣和二（定義），性質(zhì)：1.正交矩陣TAA①、的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即a0②、若為正交矩陣，則也為正交陣，且；

iji

i,j1,2,

)

；③、若、正交陣，則也是正交陣；注意：求解正交陣，千萬(wàn)不要忘記施密特正化和位化2.施密特正交化：

a,a)r[,a]b[,b]

b

[]ba,][,]brbrbr[]b,]b[,]rr3.對(duì)于普通方陣，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)；