第十八章平行四邊形一、選擇題(本大題共6小題，每小題4分，共24分；在每小題列出的四個選項中，只有一項符合題意)1．已知?ABCD中，∠A＋∠C＝100°，則∠B的度數(shù)是()A．60°B．100°C．130°D．160°2．下列命題中，是真命題的是()A．兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形B．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形C．兩條對角線相等的四邊形是矩形D．兩條對角線相等的平行四邊形是矩形3．順次連接矩形ABCD各邊的中點，所得四邊形必定是()A．鄰邊不等的平行四邊形B．矩形C．正方形D．菱形4.如圖1，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，∠BAD＝90°，BO＝DO，那么下列條件中不能判定四邊形ABCD為矩形的是()圖1A．∠ABC＝90°B．AO＝COC．AB∥CDD．AB＝CD5．如圖2，在菱形ABCD中，M，N分別在AB，CD上，且AM＝CN，MN與AC交于點O，連接BO，若∠DAC＝28°，則∠OBC的度數(shù)為()圖2A．28°B．52°C．62°D．72°6．如圖3，正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中點，那么CH的長是()圖3A．\r(5)\f(3,2)eq\r(2)D．2二、填空題(本大題共6小題，每小題4分，共24分)7．如圖4，D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點，若△DEF的周長為18，則△ABC的周長為________．圖48.如圖5，已知矩形的對角線AC與BD相交于點O，若AO＝1，則BD＝________．圖59．如圖6，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，連接DE，DF，當△ABC滿足條件________時，四邊形AEDF是菱形．(填寫一個你認為恰當?shù)臈l件即可)圖610．如圖7，?ABCD中，對角線AC與BD相交于點E，∠AEB＝45°，BD＝2，將△ABC沿AC所在直線翻折180°到其原來所在的同一平面內，若點B的落點記為B′，則DB′的長為________．圖711．如圖8，四邊形ABCD是矩形，點E在線段CB的延長線上，連接DE交AB于點F，∠AED＝2∠CED，G是DF的中點，若BE＝1，AG＝4，則AB的長為________．圖812.如圖9，菱形ABCD的面積為120cm2，正方形AECF的面積為50cm2，則菱形的邊長為________cm.圖9三、解答題(本大題共5小題，共52分)13．(10分)如圖10，已知平行四邊形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于點E，AF∥CE，且交BC于點F.(1)求證：△ABF≌△CDE；(2)若∠1＝65°，求∠B的度數(shù)．圖1014．(10分)如圖11，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC，四邊形ABED是平行四邊形，DE交BC于點F，連接CE.求證：四邊形BECD是矩形．圖1115．(10分)如圖12，等邊三角形AEF的頂點E，F(xiàn)分別在矩形ABCD的邊BC，CD上，且∠CEF＝45°.求證：矩形ABCD是正方形．圖1216．(10分)如圖13，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以線段AB為邊向外作等邊三角形ABD，E是線段AB的中點，連接CE并延長交線段AD于點F.(1)求證：四邊形BCFD為平行四邊形；(2)若AB＝6，求平行四邊形BCFD的面積．圖13

詳解詳析1．[解析]C在?ABCD中，∠A＝∠C，∠A＋∠B＝180°.∵∠A＋∠C＝100°，∴∠A＝50°，∴∠B＝180°－∠A＝180°－50°＝130°.2．[解析]DA項，兩條對角線互相垂直的平行四邊形才是菱形．B項，對角線互相垂直且相等的平行四邊形才是正方形．C項，兩條對角線相等的平行四邊形才是矩形．3．[解析]D如圖，連接AC，BD.∵E，F(xiàn)，G，H分別是矩形ABCD的邊AB，BC，CD，AD上的中點，∴EF＝GH＝eq\f(1,2)AC，F(xiàn)G＝EH＝eq\f(1,2)BD(三角形的中位線等于第三邊的一半)．∵矩形ABCD的對角線AC＝BD，∴EF＝GH＝FG＝EH，∴四邊形EFGH是菱形．故選D.4．[答案]D5．[答案]C6．[解析]B連接AC，CF，則∠ACF＝90°.由勾股定理知AC＝eq\r(2)，CF＝3eq\r(2)，AF＝2eq\r(5).∵H是AF的中點，∴CH＝eq\f(1,2)AF＝eq\r(5).故選B.7．[答案]36[解析]根據(jù)三角形的中位線定理，可知△ABC的三邊長是△DEF的相應邊長的2倍，所以△ABC的周長是36.8．[答案]2[解析]因為矩形的對角線相等且互相平分，所以BD＝2.9．[解析]答案不唯一，如AB＝AC或∠B＝∠C或AD平分∠BAC或BD＝CD等10．[答案]eq\r(2)[解析]由折疊可知B′E＝BE，∠B′EA＝∠AEB＝45°，∴∠B′ED＝180°－∠B′EB＝90°.∵E是?ABCD的對角線的交點，∴B′E＝BE＝DE＝eq\f(1,2)BD＝1.在Rt△B′ED中，DB′＝eq\r(B′E2＋DE2)＝eq\r(2).11．[答案]eq\r(15)[解析]在Rt△ADF中，∵G是斜邊DF的中點，∴GA＝GD，∴∠AGE＝2∠ADE＝2∠CED.∵∠AED＝2∠CED，∴∠AGE＝∠AED，∴AE＝AG＝4.在Rt△ABE中，由勾股定理得AB＝eq\r(15).12．[答案]13[解析]連接AC，BD.∵正方形AECF的面積為50cm2，∴AE＝eq\r(50)cm＝5eq\r(2)cm，對角線AC＝eq\r(2)AE＝10cm.∵菱形ABCD的面積為120cm2，∴eq\f(1,2)AC·BD＝120，∴BD＝eq\f(2×120,10)＝24(cm)，∴菱形的邊長AB＝eq\r(（\f(10,2)）2＋（\f(24,2)）2)＝13(cm)．13．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠D，∴∠1＝∠ECB.∵AF∥CE，∴∠AFB＝∠ECB，∴∠AFB＝∠1.在△ABF和△CDE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠D，,∠AFB＝∠1，,AB＝CD，))∴△ABF≌△CDE(AAS)．(2)∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠ECB.由(1)得∠1＝∠ECB，∴∠1＝∠DCE＝65°，∴∠B＝∠D＝180°－2×65°＝50°.14．證明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD＝CD.∵四邊形ABED是平行四邊形，∴BE∥AD，BE＝AD，∴BE∥CD，BE＝CD，∴四邊形BECD是平行四邊形．∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴?BECD是矩形．15．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°.∵△AEF是等邊三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°.∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°，∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABE≌△ADF(AAS)，∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．16．解：(1)證明：∵△ABD是等邊三角形，∴∠ABD＝∠BAD＝60°.又∵∠CAB＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＋∠BAD＝30°＋60°＝90°.∵∠ACB＝90°，∴BC∥AD.∵CE是Rt△ABC的斜邊AB上的中線，∴CE＝AE，∴∠ACE＝∠CAB＝30°，∴∠BEC＝∠ACE＋∠CAB＝60°.∵∠ABD＝60°，∴∠ABD＝∠BEC，∴BD∥CE.又∵BC∥AD，∴四邊形BCFD為平行四邊形．(2)過點B作BG⊥CF，垂足為G.∵AB＝6，∴BD＝6，BC＝eq\f(1,2)AB＝3.∵CE是Rt△ABC的斜邊AB上的中線，∴BE＝CE.又∵∠BEC＝60°，∴△CBE是等邊三角形，∴CG＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(3,2)，BG＝eq\r(BC2－CG2)＝eq\f(3\r(3),2)，∴S?BCFD＝BD·BG＝6×eq\f(3\r(3),2)＝9eq\r(3).17．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∠ECD＝∠ECB.又∵CE＝CE，∴△ECD≌△ECB，∴∠CDE＝∠EBC.∵DC∥AB，∴∠CDE＝∠AFD，∴∠AFD＝∠EBC.(2)∵DE＝EC，∴∠EDC＝∠E