多體相互作用的量子體系第1頁(yè)/共266頁(yè)多粒子問(wèn)題的一次量子化描述——N粒子態(tài)矢與力學(xué)量：缺點(diǎn)1：缺點(diǎn)2：對(duì)于粒子數(shù)不守恒的系統(tǒng)處理不方便！引入多粒子問(wèn)題的二次量子化描述——態(tài)矢與力學(xué)量分別進(jìn)行二次量子化的態(tài)矢空間(態(tài)空間)——Fock空間第2頁(yè)/共266頁(yè)其中：HN代表粒子數(shù)為N

的全同粒子系統(tǒng)的Hilbert空間1，F(xiàn)ock空間的基矢——占據(jù)數(shù)表示，F(xiàn)ock表示回憶：N粒子波函數(shù)的構(gòu)造：Fock空間：將各種粒子數(shù)的全同粒子系統(tǒng)的態(tài)(Hilbert)空間作直和，組成一個(gè)巨Hilbert空間第3頁(yè)/共266頁(yè)單粒子態(tài)空間的基矢：1.1、先找到單粒子態(tài)空間的基矢(單粒子基)|i>是力學(xué)量完全集的共同本征矢！滿足：完備性：正交歸一性i代表一組量子數(shù)——態(tài)指標(biāo)！顯然，{|i>}是某些力學(xué)量的對(duì)角表象!第4頁(yè)/共266頁(yè)舉例：3D箱中的無(wú)自旋單粒子或或基矢：坐標(biāo)算符：x,y,z的共同本征態(tài)動(dòng)量算符：px,py,pz的共同本征態(tài)有自旋單粒子注：態(tài)指標(biāo)i依賴于力學(xué)量的選取！第5頁(yè)/共266頁(yè)1.2、Fock空間基矢的占據(jù)數(shù)表示該基矢描述了任意單粒子態(tài)i上粒子的占據(jù)情況；是力學(xué)量完全集（一般情況下，無(wú)窮多）的共同本征態(tài)?。和陚湫裕。毫W(xué)量完全集！第6頁(yè)/共266頁(yè)引入粒子產(chǎn)生消滅算符：表示在單粒子態(tài)i上產(chǎn)生或消滅一個(gè)粒子1.3、Fock空間基矢的二次量子化形式實(shí)現(xiàn)態(tài)矢的二次量子化：其中：滿足：注：i態(tài)上的粒子數(shù)算符：第7頁(yè)/共266頁(yè)2，單體力學(xué)量的二次量子化單體力學(xué)量(一次量子化的定義)：N個(gè)粒子各自的力學(xué)量之和.例如總動(dòng)量，總動(dòng)能，總外勢(shì)能，總角動(dòng)量、總自旋，粒子數(shù)例：理想氣體的哈密頓量：?jiǎn)瘟Ｗ庸茴D量一次量子化：：N粒子單體力學(xué)量：?jiǎn)瘟Ｗ恿W(xué)量問(wèn)題：如何二次量子化？第8頁(yè)/共266頁(yè)第一步：取單粒子哈密頓量的本征態(tài)矢為基矢：h的對(duì)角表象！第二步：數(shù)數(shù)核心思想：(1)對(duì)角表象(2)數(shù)數(shù)注：看起來(lái)似乎(過(guò)分)簡(jiǎn)單、甚至平庸！第9頁(yè)/共266頁(yè)推廣到任意單體力學(xué)量的二次量子化一次量子化：取f的本征態(tài)作為單粒子空間的基矢：：N粒子單體力學(xué)量：?jiǎn)瘟Ｗ恿W(xué)量：f的對(duì)角表象！F的二次量子化(對(duì)角表象)：注：疑慮仍然存在，看起來(lái)雖然簡(jiǎn)單但似乎并不普遍！第10頁(yè)/共266頁(yè)單體力學(xué)量的二次量子化——用產(chǎn)生消滅算符表達(dá)，選擇單粒子基矢是單粒子算符f的本征基矢！任意單粒子基矢情況：最后一步：表象變換第11頁(yè)/共266頁(yè)利用單粒子基矢的表象變換：得到產(chǎn)生、消滅算符的表象變換：代入第12頁(yè)/共266頁(yè)總結(jié)：任意單體力學(xué)量在任意單粒子基下的二次量子化第13頁(yè)/共266頁(yè)例：以下單粒子(電子，?自旋)力學(xué)量的二次量子化1，2，3，4，注：自旋的z分量；對(duì)角表象注：自旋的x分量；sz的對(duì)角表象表象不限對(duì)角表象公式：第14頁(yè)/共266頁(yè)hermitianconjugate第15頁(yè)/共266頁(yè)例：粒子數(shù)算符在任意單粒子基下都是對(duì)角的任意單體力學(xué)量的一次量子化粒子數(shù)的一次量子化二次量子化第16頁(yè)/共266頁(yè)例：動(dòng)量算符P的二次量子化形式(3D箱，忽略自旋)表象變換（Fourier變換）：坐標(biāo)表象中的動(dòng)量算符：推導(dǎo)中利用了：重要的公式！動(dòng)量表象(對(duì)角表象)第17頁(yè)/共266頁(yè)兩個(gè)有用的公式：公式1：公式2：證明：利用單粒子基的完備性第18頁(yè)/共266頁(yè)利用分部積分，可以得到其等價(jià)形式：直接由坐標(biāo)表象的結(jié)果推廣到有磁矢勢(shì)的情況：等價(jià)形式：嚴(yán)格的推導(dǎo)：動(dòng)量的一次量子化第19頁(yè)/共266頁(yè)例：總動(dòng)能算符的二次量子化形式(3D箱)得到：存在磁矢勢(shì)的情況：第20頁(yè)/共266頁(yè)例：箱中的電子系統(tǒng)，其自旋的二次量子化第21頁(yè)/共266頁(yè)例2：對(duì)于以下幾種單粒子(電子，?自旋)密度量的二次量子化1，2，3，粒子數(shù)密度電流密度自旋密度選擇坐標(biāo)表象：第22頁(yè)/共266頁(yè)例：粒子數(shù)密度物理意義：R附近體積元中的粒子數(shù)！XYZ0容易驗(yàn)證：?jiǎn)瘟Ｗ恿W(xué)量：注：不要與第一章中的密度算符混淆，盡管存在聯(lián)系！第23頁(yè)/共266頁(yè)利用表象變換：取坐標(biāo)表象(對(duì)角表象)，二次量子化：或記作：第24頁(yè)/共266頁(yè)例：自旋密度算符例：電流密度算符一次量子化二次量子化一次量子化二次量子化第25頁(yè)/共266頁(yè)推廣到有磁矢勢(shì)的情況：考察哈密頓量的含磁矢勢(shì)的部分：與磁矢勢(shì)對(duì)應(yīng)的廣義力即為電流密度算符的積分！第26頁(yè)/共266頁(yè)3，二體力學(xué)量二次量子化二體力學(xué)量(一次量子化的定義)：N個(gè)粒子兩兩之間的力學(xué)量之和.例如總相互作用勢(shì)能等等。一次量子化：：N粒子通項(xiàng)：兩粒子力學(xué)量：?jiǎn)瘟Ｗ恿W(xué)量！舉例：兩個(gè)電子間的庫(kù)倫勢(shì)能第27頁(yè)/共266頁(yè)取f的單粒子本征矢作為基矢：同一單粒子態(tài)上的粒子之間的相互作用能不同單粒子態(tài)上的粒子之間的相互作用能相互作用在對(duì)角表象中的二次量子化——數(shù)數(shù)第28頁(yè)/共266頁(yè)二次量子化(過(guò)程略去)：下一步：表象變換其中：二體力學(xué)量的二次量子化完成！第29頁(yè)/共266頁(yè)例：三維箱中的相互作用勢(shì)能的二次量子化（動(dòng)量空間）一次量子化：通項(xiàng)二次量子化(坐標(biāo)表象)：?jiǎn)栴}：如何化到動(dòng)量表象？方法1：利用場(chǎng)算符的表象變換方法2：利用公式第30頁(yè)/共266頁(yè)采用方案2：變量代換重要公式：第31頁(yè)/共266頁(yè)最后一步，用到了互作用勢(shì)的傅里葉變換！第32頁(yè)/共266頁(yè)匯總：排斥勢(shì)常用形式！吸引勢(shì)常用形式！第33頁(yè)/共266頁(yè)相互作用的物理過(guò)程——散射：散射過(guò)程（忽略自旋）：初態(tài)是H0的任一本征態(tài)！第34頁(yè)/共266頁(yè)第零節(jié)、練習(xí)題1）短程二體勢(shì)：2）長(zhǎng)程二體勢(shì)：Fourier變換得到Fourier變換得到第35頁(yè)/共266頁(yè)有外場(chǎng)的三維箱中的相互作用全同粒子系——TOE其中：第36頁(yè)/共266頁(yè)習(xí)題：零溫情況，3D箱，寫出以下基態(tài)的二次量子化形式1，N個(gè)玻色子(無(wú)自旋，有質(zhì)量)處于基態(tài)2，N個(gè)電子處于基態(tài)第37頁(yè)/共266頁(yè)例題：理想玻色氣體中的非對(duì)角長(zhǎng)程序——考察單粒子約化密度矩陣：?jiǎn)瘟Ｗ蛹s化密度算符在動(dòng)量空間是對(duì)角的！考察本征值：是否存在非對(duì)角長(zhǎng)程序？第38頁(yè)/共266頁(yè)非對(duì)角長(zhǎng)程序！完成對(duì)k的積分，有注意：第39頁(yè)/共266頁(yè)例題：理想費(fèi)米氣體中的FriedelOscillation第40頁(yè)/共266頁(yè)零溫下費(fèi)米氣體中的FriedelOscillation思考題：溫度對(duì)FriedelOscillation的影響（可以考慮高溫極限，即玻尓茲曼分布）第41頁(yè)/共266頁(yè)第一.1節(jié)、二次型哈密頓量的對(duì)角化：線性代數(shù)里面的二次型函數(shù)Bilinear,Quadratic：上一節(jié)的哈密頓量的具有類似的形式一般的單體Hamiltonian——厄密算符厄密性目標(biāo)：將二次型哈密頓量對(duì)角化！找到本征能量與本征基！即：第42頁(yè)/共266頁(yè)哈密頓量的矩陣形式：第43頁(yè)/共266頁(yè)U：UnitaryMatrix厄密矩陣的(形式)對(duì)角化第44頁(yè)/共266頁(yè)哈密頓量的對(duì)角化第45頁(yè)/共266頁(yè)對(duì)角化完成——找到了(單粒子)本征能量與本征基！滿足代數(shù)：第46頁(yè)/共266頁(yè)注1——單粒子基的變換注2——粒子數(shù)算符始終是對(duì)角的注3—逆變換注4—無(wú)相互作用多粒子問(wèn)題再討論第47頁(yè)/共266頁(yè)巨配分函數(shù)：易證：練習(xí)題：利用注3！第48頁(yè)/共266頁(yè)舉例1：耦合二能級(jí)（態(tài)）系統(tǒng)的對(duì)角化單粒子基：可以化為耦合二能級(jí)系統(tǒng)的問(wèn)題：H2，磁場(chǎng)中的電子自旋，聚乙烯，Graphene(石墨烯)等等！第49頁(yè)/共266頁(yè)總粒子數(shù)！的對(duì)角化！本征能量：第50頁(yè)/共266頁(yè)變換矩陣U的解法——本征方程的求解第51頁(yè)/共266頁(yè)本征函數(shù)的求解過(guò)程：第52頁(yè)/共266頁(yè)決定了u,v之間的相對(duì)位相！決定了u,v的幅度！一般約定

u為正的實(shí)數(shù)，即位相為0！第53頁(yè)/共266頁(yè)定出v的位相以下討論僅限于t為負(fù)實(shí)數(shù)！不妨令：本征方程求解完畢！第54頁(yè)/共266頁(yè)Hamiltonian的對(duì)角化：第55頁(yè)/共266頁(yè)“成鍵態(tài)”與“反鍵態(tài)”：第56頁(yè)/共266頁(yè)+e--e+e單電子hamiltonian的一次量子化形式！難以嚴(yán)格對(duì)角化！H2中的電子問(wèn)題(忽略相互作用)首先建立在雙質(zhì)子勢(shì)場(chǎng)中的電子Hamiltonian的二次量子化形式其中：?jiǎn)瘟Ｗ踊倪x取：二能級(jí)簡(jiǎn)化！代表中心在R點(diǎn)的氫原子本征態(tài)矢！第57頁(yè)/共266頁(yè)即：為基態(tài)矩陣元的計(jì)算：TightBinding近似第58頁(yè)/共266頁(yè)反鍵態(tài)！成鍵態(tài)！第59頁(yè)/共266頁(yè)舉例2：H2的推廣——一維分子鏈，能帶123N-1N1D鏈周期邊條件晶格常數(shù)：a=1格點(diǎn)數(shù)：N鏈長(zhǎng)：L=Na=N單粒子基：在位能：躍遷能：-t消滅算符：第60頁(yè)/共266頁(yè)ii+1i-1ii+1周期性！第61頁(yè)/共266頁(yè)如何對(duì)角化？利用Hamiltonian的平移對(duì)稱性——本征態(tài)應(yīng)是平面波！類比連續(xù)體系：利用場(chǎng)算符的Fourier變換！第62頁(yè)/共266頁(yè)或1維分立體系(周期性邊條件)的平面波函數(shù)：幺正變換！態(tài)矢第63頁(yè)/共266頁(yè)易證：利用：逆變換：代入Hamiltonian中的1項(xiàng)第64頁(yè)/共266頁(yè)利用取厄密共軛，推出：第65頁(yè)/共266頁(yè)對(duì)角化完成！-22N=20第66頁(yè)/共266頁(yè)單粒子態(tài)密度的計(jì)算：第67頁(yè)/共266頁(yè)舉例3：一維閉鏈的推廣——二維正方網(wǎng)格

(周期邊條件)NN(m,n)(m-1,n)(m+1,n)(m,n+1)(m,n-1)第68頁(yè)/共266頁(yè)第69頁(yè)/共266頁(yè)第一.1節(jié)、練習(xí)1請(qǐng)對(duì)角化該哈密頓量，得到本征能譜，并分析其能帶寬度與t和t’的關(guān)系。123N-1N一維閉鏈——近鄰與次近鄰跳遷i+1i+2ii-1i-2第70頁(yè)/共266頁(yè)第一.1節(jié)、練習(xí)21232N-12N周期邊條件！請(qǐng)對(duì)角化該哈密頓量，得到本征能譜，并作圖(N趨于無(wú)窮)注：一維閉鏈——二聚化！第71頁(yè)/共266頁(yè)123...N-1N1D開(kāi)鏈—開(kāi)放邊條件—哈密頓量的對(duì)角化思考題：1二維三角網(wǎng)格的哈密頓量的對(duì)角化思考題：2注：每個(gè)格點(diǎn)有6個(gè)最近鄰第72頁(yè)/共266頁(yè)二維蜂巢網(wǎng)格的哈密頓量的對(duì)角化——Graphene思考題：3第73頁(yè)/共266頁(yè)碳60分子：思考題：4碳納米管：思考題：5第74頁(yè)/共266頁(yè)第一.2節(jié)、Bloch-deDominisis定理已對(duì)角化的單體廣義哈密頓量！目的：計(jì)算“偶數(shù)”個(gè)產(chǎn)生消滅算符乘積的系綜平均（Wick定理）定義兩個(gè)算符乘積的“收縮”：第75頁(yè)/共266頁(yè)定義：2s

個(gè)算符乘積的“完全收縮系”：將乘積分成s對(duì)，并將每一對(duì)算符代之以相應(yīng)的收縮，在費(fèi)米統(tǒng)計(jì)下還須乘以(-1)P，其中P代表全部算符從原來(lái)位置變到各自收縮中相鄰位置時(shí)，所必需的對(duì)換數(shù)。其中P為由序列(123456)變到(152346)時(shí)的對(duì)換數(shù)，所以P=3。2s個(gè)算符的乘積可以構(gòu)成第76頁(yè)/共266頁(yè)Bloch-deDominisis定理：

對(duì)于已對(duì)角化的單體哈密頓量，產(chǎn)生消滅算符乘積的統(tǒng)計(jì)平均值等于這個(gè)乘積所有可能的完全收縮系之和。第77頁(yè)/共266頁(yè)可以算出：意義：把一系列算符乘積的平均化成最小單位“二元”平均的乘積之和第78頁(yè)/共266頁(yè)Bloch-deDominisis定理——推論

對(duì)于可對(duì)角化的單體哈密頓量，產(chǎn)生消滅算符乘積的統(tǒng)計(jì)平均值等于這個(gè)乘積所有可能的完全收縮系之和。第79頁(yè)/共266頁(yè)引理1：證明：Bloch-deDominisis定理的證明：引理2：運(yùn)動(dòng)方程解法！引理3：第80頁(yè)/共266頁(yè)綜合引理2、3：對(duì)于產(chǎn)生或消滅算符A引理4：證明：第81頁(yè)/共266頁(yè)下面只針對(duì)玻色統(tǒng)計(jì)，有歸納法：引理5！對(duì)上式左右兩邊取統(tǒng)計(jì)平均：第82頁(yè)/共266頁(yè)注解1：利用引理4，第83頁(yè)/共266頁(yè)注解2：2s2(s-1)重復(fù)以上過(guò)程，針對(duì)玻色統(tǒng)計(jì)情況的Bloch-deDominisis定理得證！作業(yè)：證明對(duì)于費(fèi)米統(tǒng)計(jì)，思考：Bloch-deDominisis定理與Wick定理的聯(lián)系與區(qū)別？第84頁(yè)/共266頁(yè)為什么引入平均場(chǎng)方法？無(wú)相互作用的多粒子系統(tǒng)，只要知道單粒子態(tài)（本征能量、本征態(tài)矢）， 就可以知道多粒子系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)！（難度：?jiǎn)瘟Ｗ庸茴D量的對(duì)角化）(b)有相互作用的多粒子系，占據(jù)數(shù)表象不再是系統(tǒng)的本征表象（系統(tǒng)的本征能量不再是單個(gè)能級(jí)上的粒子能量之和），因此需要知道整個(gè)系統(tǒng)的量子態(tài)！而不僅僅是單粒子態(tài)?。y度：多粒子哈密頓量的對(duì)角化）第一.3節(jié)、Hartree-Fock“自洽”平均場(chǎng)方法平均場(chǎng)方法——化二體算符為單體算符的近似方法！有相互作用時(shí)的Hamiltonian|n>代表的是多粒子能量本征態(tài)第85頁(yè)/共266頁(yè)統(tǒng)計(jì)力學(xué)變分原理：已知Hamiltonian：密度矩陣：熱力學(xué)勢(shì)：做任意分解：密度矩陣：其中：意義：對(duì)于一個(gè)難以對(duì)角化的哈密頓量，可以嘗試將其分解出一個(gè)容易對(duì)角化的部分，嘗試得到巨勢(shì)的較好的估計(jì)！第86頁(yè)/共266頁(yè)證明：利用第一章引理第87頁(yè)/共266頁(yè)Hartree-Fock近似——將難以對(duì)角化的二體項(xiàng)近似為容易對(duì)角化的單體項(xiàng) 的一種辦法，T=0K時(shí)，二體項(xiàng)可以利用Wick定理進(jìn)行分解：常數(shù)項(xiàng)！4個(gè)單體項(xiàng)！第88頁(yè)/共266頁(yè)Hartree-Fock近似：T=0K時(shí)，<…>代表基態(tài)平均！T≠0K時(shí)，<…>代表系綜平均（密度矩陣待定）！Hartree——DirectFock——Exchange第89頁(yè)/共266頁(yè)Hartree平均場(chǎng)Fock平均場(chǎng)第90頁(yè)/共266頁(yè)注意：平均場(chǎng)哈密頓量中的系綜平均如何進(jìn)行仍未可知??！顯然第91頁(yè)/共266頁(yè)綜合：Hartree-Fock“自洽”平均場(chǎng)方法！Hartree-Fock自洽方程（組）：其中：兩端都含有未知量第92頁(yè)/共266頁(yè)更一般的：Hartree-Fock-Bogoliubov自洽平均場(chǎng)Hartree-Fock-Bogoliubov自洽方程（組）：第93頁(yè)/共266頁(yè)特例：坐標(biāo)空間的Hartree-Fock近似費(fèi)米子第94頁(yè)/共266頁(yè)自能的概念——selfenergy：粒子間相互作用對(duì)單粒子能量的貢獻(xiàn)！Hartree——DirectFock——Exchange第95頁(yè)/共266頁(yè)第一.4節(jié)、金屬巡游鐵磁理論——Hubbard模型的平均場(chǎng)解法電子間的相互作用(庫(kù)侖排斥)會(huì)導(dǎo)致自發(fā)磁化——鐵磁：Fe：Tc=1043KNi：Tc=628KCo：Tc=1388K理想（無(wú)相互作用）電子氣的Pauli順磁性：FerromagnetismParamagnetism第96頁(yè)/共266頁(yè)練習(xí)！單帶Hubbard模型：平均場(chǎng)近似：注意：區(qū)別于描述“局域”自旋的模型——Heisenberg模型第97頁(yè)/共266頁(yè)考慮空間均勻的情況：即平均值與空間位置無(wú)關(guān)第98頁(yè)/共266頁(yè)已對(duì)角化！“理想”電子氣體！但是：m:描述鐵磁-順磁相變的序參量！第99頁(yè)/共266頁(yè)由相互作用導(dǎo)致的“等效”“自洽”的磁場(chǎng)Pauli順磁是由外磁場(chǎng)引起的，而鐵磁性是存在相互作用的情況下的“自發(fā)磁化”現(xiàn)象！Pauli順磁相比：建立自洽方程：0第100頁(yè)/共266頁(yè)其中N代表格點(diǎn)總數(shù)，f(E)為費(fèi)米分布函數(shù)關(guān)于平均場(chǎng)m,n的自洽方程組！求和化積分：用一個(gè)近似：當(dāng)費(fèi)米能量在能帶底部附近時(shí)，可以將電子色散關(guān)系近似為拋物線型，從而態(tài)密度近似為3D自由電子態(tài)密度！結(jié)合Pauli順磁的知識(shí)，求解該方程組并不困難！第101頁(yè)/共266頁(yè)T=0K的情況——Stoner判據(jù)第102頁(yè)/共266頁(yè)Stoner判據(jù)！圖解法！練習(xí)題：U至少要多大才能在零溫時(shí)達(dá)到飽和磁化！第103頁(yè)/共266頁(yè)居里溫度Tc的確定：利用T->Tc時(shí)，m->0,將右邊展開(kāi)到m的線性項(xiàng)要求：第104頁(yè)/共266頁(yè)二維正方晶格上Hubbard模型的反鐵磁(自旋密度波)態(tài)(m,n)(m-1,n)(m+1,n)(m,n+1)(m,n-1)Hartree平均場(chǎng)近似第105頁(yè)/共266頁(yè)第106頁(yè)/共266頁(yè)練習(xí)：1),利用產(chǎn)生消滅算符的傅里葉變換將上述哈密頓量在動(dòng)量空間 中表達(dá)；2),將變換后的哈密頓量對(duì)角化；3),給出序參量m的自洽方程，并在半滿(格點(diǎn)平均電子數(shù)=1)的情況下進(jìn)行討論。第107頁(yè)/共266頁(yè)自旋(電荷)密度波，超導(dǎo)等實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象建立模型哈密頓量平均場(chǎng)哈密頓量對(duì)角化序參量自洽方程，平均場(chǎng)自由能，熱力學(xué)量等Hartree-Fock近似二次型(單體)哈密頓量二體哈密頓量第108頁(yè)/共266頁(yè)第二節(jié)、超導(dǎo)理論中的二次型“哈密頓量”的對(duì)角化——

二能級(jí)系統(tǒng)費(fèi)米子代數(shù)：可見(jiàn)：目標(biāo)是求巨配分函數(shù)：在1.1節(jié)中由于可以同時(shí)對(duì)角化！僅僅把H

對(duì)角化無(wú)助于問(wèn)題的解決！注意與1.1節(jié)的區(qū)別！需要把這個(gè)量對(duì)角化！廣義哈密頓量！第109頁(yè)/共266頁(yè)常數(shù)不會(huì)帶來(lái)困難：Nambu表示為什么Nambu表示？(Fermion)particle-holetransformation!回到1.1節(jié)的二能級(jí)系統(tǒng)！c仍是費(fèi)米子算符!第110頁(yè)/共266頁(yè)本征能量：本征向量：令本征能量與本征向量第111頁(yè)/共266頁(yè)對(duì)角化完成！稱為：Bogoliubov準(zhǔn)粒子算符！第112頁(yè)/共266頁(yè)Bogoliubov準(zhǔn)粒子變換！Bogoliubov準(zhǔn)粒子是粒子與空穴的線性組合！第113頁(yè)/共266頁(yè)反對(duì)易關(guān)系驗(yàn)證：Bogoliubov逆變換第114頁(yè)/共266頁(yè)討論1：體系的基態(tài)能量(嚴(yán)格說(shuō)應(yīng)該是巨熱力學(xué)勢(shì))T=0K代表Bogoliubov準(zhǔn)粒子的數(shù)目對(duì)角化之后的討論——基態(tài)“能量”與基態(tài)波函數(shù)第115頁(yè)/共266頁(yè)討論2：體系的基態(tài)波函數(shù)準(zhǔn)粒子真空態(tài)！二能級(jí)費(fèi)米系統(tǒng)的Fock空間的基：或基態(tài)波函數(shù)的構(gòu)建：利用準(zhǔn)粒子真空的條件，確定疊加系數(shù)x!第116頁(yè)/共266頁(yè)歸一化的波函數(shù)！第117頁(yè)/共266頁(yè)直接驗(yàn)證第118頁(yè)/共266頁(yè)其他思路！本征態(tài)：薛定諤方程：等等！第119頁(yè)/共266頁(yè)練習(xí)題1：求任意溫度下的平均粒子數(shù)提示：利用練習(xí)題2：驗(yàn)證任意溫度下序參量第120頁(yè)/共266頁(yè)第三節(jié)、玻色超流理論中的二次型哈密頓量的對(duì)角化：二能級(jí) 系統(tǒng)玻色子代數(shù)：Intuition：Nambuonceagain??Fail!Becausenoparticle-holetransformationforboson!!What’sthis?Whoknows!第121頁(yè)/共266頁(yè)Solution：Bogoliuvbovquasiparticletransformationagain!Bogoliubov準(zhǔn)粒子算符：粒子產(chǎn)生-消滅算符的線性組合！容易得到逆變換：u,v由一下條件確定1）準(zhǔn)粒子滿足的對(duì)易關(guān)系2）使哈密頓量對(duì)角化第122頁(yè)/共266頁(yè)逆變換！Bogoliuvbovquasiparticleinverse-transformation!第123頁(yè)/共266頁(yè)u,v的確定目標(biāo)：對(duì)角化！要求：將代入以上哈密頓量，合并同類項(xiàng)聯(lián)立？？第124頁(yè)/共266頁(yè)第125頁(yè)/共266頁(yè)對(duì)角化完成！將代入哈密頓量第126頁(yè)/共266頁(yè)玻色超流費(fèi)米超導(dǎo)總結(jié)：變換逆變換第127頁(yè)/共266頁(yè)討論1：體系的基態(tài)能量，T=0K代表Bogoliubov準(zhǔn)粒子的數(shù)目對(duì)角化之后的討論——基態(tài)“能量”與基態(tài)波函數(shù)第128頁(yè)/共266頁(yè)討論2：體系的基態(tài)基態(tài)是準(zhǔn)粒子真空態(tài)！二能級(jí)玻色系統(tǒng)Fock空間的基：基態(tài)波函數(shù)的構(gòu)建：利用準(zhǔn)粒子真空的條件，確定疊加系數(shù)C(na,nb)!利用公式第129頁(yè)/共266頁(yè)合并同類項(xiàng)第130頁(yè)/共266頁(yè)即：12遞推關(guān)系！由遞推關(guān)系聯(lián)系的點(diǎn)構(gòu)成線！如圖所示：第131頁(yè)/共266頁(yè)同理，由001020由遞推關(guān)系，以及可知：第132頁(yè)/共266頁(yè)綜合：相干態(tài)！對(duì)于費(fèi)米超導(dǎo)二次型哈密頓量的基態(tài)：?jiǎn)栴}：玻色超流哈密頓量的基態(tài)可以表達(dá)成相干態(tài)的形式， 那么費(fèi)米超流問(wèn)題呢？第133頁(yè)/共266頁(yè)練習(xí)題：——單能級(jí)玻色超流哈密頓量1）、已知玻色子廣義哈密頓量：引入Bogoliubov變換其中u,v>0第134頁(yè)/共266頁(yè)練習(xí)：2）、上題中玻色子哈密頓量若含有線性項(xiàng)，即其中C為實(shí)常數(shù)，將該哈密頓量對(duì)角化思考題1：請(qǐng)計(jì)算玻色超流基態(tài)波函數(shù)的歸一化因子C(0,0)思考題2：對(duì)玻色超流體系，嘗試建立一種矩陣對(duì)角化方法？第135頁(yè)/共266頁(yè)第二節(jié)補(bǔ)充、(電子)超導(dǎo)理論中的二次型哈密頓量的對(duì)角化——

更一般情況的討論——2n能級(jí)系統(tǒng)n=1時(shí)，回到第二節(jié)！Nambu表示：用計(jì)算機(jī)將2n*2n的厄密矩陣對(duì)角化即可！第136頁(yè)/共266頁(yè)2n*2n維方程！稱為Bogoliubov-deGennes(BdG)方程！BdG方程第137頁(yè)/共266頁(yè)第三節(jié)補(bǔ)充、玻色超流理論中的二次型哈密頓量的對(duì)角化——

更一般情況的討論——n能級(jí)系統(tǒng)n=2時(shí)，回到第三節(jié)！n=1時(shí)回到第三節(jié)習(xí)題！可以證明：引入廣義Bogoliubov準(zhǔn)粒子變換：第138頁(yè)/共266頁(yè)Bogoliubov準(zhǔn)粒子變換的矩陣形式：分塊！第139頁(yè)/共266頁(yè)由Bogoliubov變換引入的準(zhǔn)粒子產(chǎn)生消滅算符須滿足矩陣形式：類似于歸一化條件！第140頁(yè)/共266頁(yè)類似于正交條件！第141頁(yè)/共266頁(yè)逆矩陣！代入Bogoliubov變換:得到逆變換：第142頁(yè)/共266頁(yè)逆變換！第143頁(yè)/共266頁(yè)參數(shù)u,v應(yīng)使哈密頓量對(duì)角化：由此可以得到參數(shù)u,v滿足的方程。首先考察準(zhǔn)粒子產(chǎn)生消滅算符滿足的運(yùn)動(dòng)方程：其次考察原粒子產(chǎn)生消滅算符滿足的方程：變換參數(shù)u,v所滿足的本征方程？第144頁(yè)/共266頁(yè)將逆變換代入上式：并考慮到準(zhǔn)粒子算符的運(yùn)動(dòng)方程，得到比較準(zhǔn)粒子產(chǎn)生、消滅算符的系數(shù)第145頁(yè)/共266頁(yè)本征方程！矩陣形式：決定本征值的方程！第146頁(yè)/共266頁(yè)問(wèn)題1：本征值是實(shí)數(shù)嗎？考察內(nèi)積：兩端取厄密共軛，并利用第147頁(yè)/共266頁(yè)問(wèn)題2：久期方程是2n維的，應(yīng)該有2n個(gè)本征態(tài)， 但是最初裸玻色子只有n個(gè)能級(jí)，因此應(yīng)該從2n的本征態(tài)中選擇n個(gè)！ 如何選??？引理：若存在本征值E,則–E也是本征值！由其中，E對(duì)應(yīng)的本征態(tài)為-E對(duì)應(yīng)的本征態(tài)為：第148頁(yè)/共266頁(yè)因此，久期方程的2n個(gè)本征值可分為n對(duì)(E,-E)，為保證結(jié)果的正定性，應(yīng)取大于0的n個(gè)本征值！第149頁(yè)/共266頁(yè)第四節(jié)、玻色超流體的宏觀(Landau)與微觀(Bogoliubov)理論1、液He4的超流現(xiàn)象回顧He4氣體在4.2K時(shí)變成液體，再降低溫度至Ｔλ=2.17K，它突然變成沒(méi)有粘滯性的“超流體”。稱為λ相變，因?yàn)榇藭r(shí)測(cè)量He4的比熱-溫度曲線像希臘字母λ。這是1938年蘇聯(lián)的卡皮察與美國(guó)的阿侖和邁斯納兩個(gè)研究組同時(shí)發(fā)現(xiàn)的。液HeII液HeI溫度壓強(qiáng)液He4相圖固體第150頁(yè)/共266頁(yè)理想玻色氣體BEC——“簡(jiǎn)并”幾個(gè)月后，倫敦提出一個(gè)定性解釋：He4原子是由2個(gè)質(zhì)子和2個(gè)中子形成的He4原子核加上核外2個(gè)電子組成的，這樣He4原子就是玻色子：具有交換對(duì)稱性。對(duì)于這樣一個(gè)玻色子系統(tǒng)，依照氦原子的質(zhì)量和密度計(jì)算，玻色-愛(ài)因斯坦凝聚發(fā)生在溫度為3.14K1.925超流更加復(fù)雜！第151頁(yè)/共266頁(yè)2、Landau超流理論——元激發(fā)方法元激發(fā)(elementaryexcitation)：宏觀多體系統(tǒng)基態(tài)附近的低能激發(fā)態(tài)可以看做是獨(dú)立的最小的激發(fā)單元的集合，這些最小激發(fā)單元就是元激發(fā)，往往具有確定的能量、動(dòng)量、自旋等性質(zhì)，有時(shí)稱為準(zhǔn)粒子。因此低能激發(fā)態(tài)可以看做是準(zhǔn)粒子(元激發(fā))構(gòu)成的理想氣體。舉例：固體中的聲子phonon，金屬中的準(zhǔn)電子，準(zhǔn)空穴，磁性材料中的磁振子magnon。第152頁(yè)/共266頁(yè)Landau1941年首次引入元激發(fā)（準(zhǔn)粒子）的新概念——比基態(tài)能量高的激發(fā)態(tài)。具有一定能量、質(zhì)量和速度的“準(zhǔn)粒子”，描述系統(tǒng)基態(tài)因相互作用或溫度激起的集體運(yùn)動(dòng)模式。朗道認(rèn)為，基態(tài)代表超流體，低能激發(fā)態(tài)對(duì)基態(tài)的偏離相當(dāng)于在基態(tài)背景(超流體成分)上產(chǎn)生了由準(zhǔn)粒子組成的理想氣體(正常流體成分)。在溫度T是絕對(duì)零度時(shí)，不存在準(zhǔn)粒子；在0<T≤Ｔλ時(shí)，He-II中存在由兩類的準(zhǔn)粒子(聲子和旋子)組成理想氣體。溫度超過(guò)Ｔλ，氦液體是正常液，這就是He-Ⅰ相。朗道預(yù)言了兩種準(zhǔn)粒子(聲子和旋子)的能量、速度關(guān)系第153頁(yè)/共266頁(yè)Landau元激發(fā)方法的物理意義：(b)有相互作用的多體系，占據(jù)數(shù)表象不再是系統(tǒng)的本征表象（系統(tǒng)的本征能量不再是單個(gè)能級(jí)上的粒子能量之和），因此需要知道整個(gè)系統(tǒng)的量子態(tài)！而不僅僅是單粒子態(tài)！（難度：多粒子薛定諤方程的解）無(wú)相互作用的多體系統(tǒng)，只要知道單粒子態(tài)（本征能量、本征態(tài)矢）， 就可以知道多體系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)?。y度：?jiǎn)瘟Ｗ友Χㄖ@方程的解）(c)把有相互作用的多體系“想象”成是由無(wú)相互作用的“準(zhǔn)粒子”構(gòu)成的理想氣體?！皽?zhǔn)粒子”的能動(dòng)量關(guān)系等性質(zhì)可以根據(jù)實(shí)驗(yàn)給予合理假設(shè)。1964年授予朗道諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)的理由也是“他對(duì)于凝聚態(tài)物質(zhì)特別是液氦的先驅(qū)性理論”-這個(gè)理論并沒(méi)有冗長(zhǎng)繁雜的數(shù)學(xué)推演，有些甚至是靠物理直覺(jué)“猜”出來(lái)的第154頁(yè)/共266頁(yè)1958年，蘇聯(lián)原子能研究所為慶賀Landau五十歲生日，送給他的刻有其在物理學(xué)上最重要的10成果的大理石板朗道十誡

1)密度矩陣(1927年)；2)自由電子抗磁理論(1930年)；

3)二級(jí)相變理論(1936-1937年)；

4)鐵磁磁疇理論(1935年)；

5)超導(dǎo)體的混合態(tài)理論(1934年)；

6)原子核統(tǒng)計(jì)理論(1937年)；

7)液氦Ⅱ超流理論(1940-1941年)；

8)基本粒子的電荷約束理論(1954年)；

9)費(fèi)米液體的量子理論(1956年)；

10)弱相互作用的CP不變性(1957年)。第155頁(yè)/共266頁(yè)Landau唯象理論給出的主要結(jié)果：Donnellyetal.,

J.LowTemp.Phys.(1981)Glydeetal.,

EuroPhys.Lett.(1998)第156頁(yè)/共266頁(yè)超流臨界速度的Landau判據(jù)：T=0K時(shí)，體系處于基態(tài)——超流體，保持宏觀靜止，一個(gè)障礙物在超流體中以某一初速度v運(yùn)動(dòng)，如圖：超流體M障礙物的動(dòng)量：障礙物的能量：若障礙物與超流體相互作用，產(chǎn)生1個(gè)準(zhǔn)粒子(聲子)：則障礙物狀態(tài)變?yōu)椋旱?57頁(yè)/共266頁(yè)根據(jù)能量守恒、動(dòng)量守恒：第158頁(yè)/共266頁(yè)類似的效應(yīng)：Cherenkovradiation（切倫科夫輻射）高速帶電粒子在非真空的透明介質(zhì)中穿行，當(dāng)粒子速度大于介質(zhì)中的光速時(shí)所產(chǎn)生的一種特殊輻射。第159頁(yè)/共266頁(yè)3、稀薄玻色氣體的Bogoliubov平均場(chǎng)理論——聲子激發(fā)的微觀理論“近”理想簡(jiǎn)并玻色氣體：“近”理想：弱相互作用綜合：3個(gè)尺度的關(guān)系稀薄氣體量子效應(yīng)第160頁(yè)/共266頁(yè)廣義哈密頓量：含相互作用的哈密頓量（非二次型），一般情況下無(wú)法嚴(yán)格求解。需要引入近似！以下僅在T=0K下展開(kāi)討論！T=0K,采用Ritz變分原理——試探波函數(shù)的思想性質(zhì)：A)N:粒子數(shù)平均值！BEC的相干態(tài)描述！第161頁(yè)/共266頁(yè)B)互作用項(xiàng)：導(dǎo)致粒子的散射！即使在零溫下粒子也不再完全處于k=0的單粒子能級(jí)上！試探波函數(shù)：N0代表仍然凝聚在k=0上的平均粒子數(shù)，待定優(yōu)化參數(shù)！N0~O(N),與N同數(shù)量級(jí)！如何處理相互作用項(xiàng)？第162頁(yè)/共266頁(yè)考察：第163頁(yè)/共266頁(yè)常數(shù)項(xiàng)！化學(xué)勢(shì)修正項(xiàng)粒子數(shù)不守恒項(xiàng)：待解哈密頓量！如何對(duì)角化？第164頁(yè)/共266頁(yè)鋪墊：第三節(jié)、玻色超流理論中的二次型哈密頓量的對(duì)角化第165頁(yè)/共266頁(yè)對(duì)角化的結(jié)果：基態(tài)波函數(shù)：基態(tài)熱力學(xué)勢(shì)（一部分）：“組裝”總的波函數(shù)：第166頁(yè)/共266頁(yè)熱力學(xué)勢(shì)：N0的確定（1）（化學(xué)勢(shì)與N0的關(guān)系）：再代入準(zhǔn)粒子色散關(guān)系：第167頁(yè)/共266頁(yè)其中聲速的定義：1，從微觀上驗(yàn)證了Landau的猜測(cè)2，臨界超流速度與相互作用有關(guān)！第168頁(yè)/共266頁(yè)N0的確定（2）：積分：第169頁(yè)/共266頁(yè)非線性方程，迭代求解：零級(jí)近似：BEC凝聚！1級(jí)近似：第170頁(yè)/共266頁(yè)總結(jié)：通過(guò)平均場(chǎng)方法（變分）和Bogoliubov變換，把相互作用的玻色體系 化為無(wú)相互作用的（理想）準(zhǔn)粒子（玻色）氣體！相互作用的玻色子無(wú)相互作用（理想）的準(zhǔn)粒子裸粒子準(zhǔn)粒子單粒子色散單粒子色散化學(xué)勢(shì)化學(xué)勢(shì)平均粒子數(shù)平均準(zhǔn)粒子數(shù)依賴于溫度（準(zhǔn)粒子不守恒）第171頁(yè)/共266頁(yè)討論： 通過(guò)對(duì)一個(gè)微觀哈密頓量在平均場(chǎng)近似下的研究，Bogoliubov給出了 線性準(zhǔn)粒子（聲子）激發(fā)譜，從而可以解釋低溫比熱的T3的行為。 這給朗道唯象理論提供了微觀基礎(chǔ)！ 但該模型是在弱相互作用條件下（稀薄玻色氣體）成立的， 真正的He4超流體是強(qiáng)相互作用的（玻色液體），這一點(diǎn)要注意！ 實(shí)驗(yàn)已經(jīng)證實(shí)，He4超流體在零溫下凝聚在k=0上的玻色子數(shù)目<10%

大部分玻色子占據(jù)高能態(tài)上！

Bogoliubov微觀理論無(wú)法給出旋子型元激發(fā)。

Feynman,Phys.Rev.91,1301(1953);Phys.Rev.94,262(1954)第172頁(yè)/共266頁(yè)思考：

理想玻色氣體在T=0K是處于BEC狀態(tài)，請(qǐng)根據(jù)Landa判據(jù)論證是否可以超流？1）、請(qǐng)根據(jù)計(jì)算壓強(qiáng)2）、根據(jù)1、玻色超流體中的聲速：練習(xí)：思考題：第173頁(yè)/共266頁(yè)第五節(jié)、費(fèi)米超流體——BCS超導(dǎo)理論（平均場(chǎng)）玻色超流費(fèi)米超流(超導(dǎo))朗道超流理論朗道超導(dǎo)理論Bogoliubov平均場(chǎng)理論BCS超導(dǎo)理論宏觀唯象微觀液He4液He3超冷玻色氣體超冷費(fèi)米氣體超導(dǎo)體第174頁(yè)/共266頁(yè)補(bǔ)充知識(shí)1：Cooperpair（庫(kù)伯對(duì)、電子對(duì)）——費(fèi)米面失穩(wěn)Toymodel:限制性兩體問(wèn)題！T=0K時(shí)，在費(fèi)米球外附加兩個(gè)電子，這兩個(gè)附加的電子之間有吸引相互作用?！M(fèi)米球給兩外來(lái)電子提供了(動(dòng)量空間)的“背景”，它通過(guò)Pauli不相容原理影響兩個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)，使得它們只能占據(jù)費(fèi)米球之外的態(tài)思考：需要費(fèi)米海作為背景？薛定諤方程——求基態(tài)解第175頁(yè)/共266頁(yè)分離變量！假設(shè)，兩電子質(zhì)心動(dòng)量為0，且處于自旋單態(tài)！費(fèi)米子波函數(shù)交換反對(duì)稱性：第176頁(yè)/共266頁(yè)注意：由于費(fèi)米球的存在，以上k均在大于費(fèi)米波矢！但這會(huì)導(dǎo)致求和不收斂！引入截?cái)啵旱?77頁(yè)/共266頁(yè)考察：如何解？第178頁(yè)/共266頁(yè)這表明，當(dāng)費(fèi)米面外的兩個(gè)電子存在吸引相互作用U時(shí)，不論U多小，都存在一個(gè)電子對(duì)束縛態(tài)。稱為Cooper對(duì)。更進(jìn)一步可以看出，這將導(dǎo)致費(fèi)米面的不穩(wěn)定性。第179頁(yè)/共266頁(yè)思考題2：當(dāng)兩電子波函數(shù)取自旋三重態(tài)時(shí)，例如：請(qǐng)論證將不會(huì)有束縛態(tài)存在，因此也不會(huì)導(dǎo)致費(fèi)米面失穩(wěn)。思考題1：請(qǐng)推導(dǎo)電子對(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)波函數(shù)的近似行為：第180頁(yè)/共266頁(yè)補(bǔ)充知識(shí)2：吸引力的來(lái)源——電聲相互作用，BCS約化哈密頓量第181頁(yè)/共266頁(yè)電子-聲子系統(tǒng)的哈密頓量：通過(guò)正則變換，可以化為“有效”哈密頓量：第182頁(yè)/共266頁(yè)“有效”哈密頓量的簡(jiǎn)化：BCS假設(shè)：第183頁(yè)/共266頁(yè)再次化簡(jiǎn)：表面上看起來(lái)，任意k點(diǎn)的電子均與附近的電子有吸引作用。好像配對(duì)可以在整個(gè)動(dòng)量空間發(fā)生。但是，費(fèi)米海深層的電子無(wú)法散射到空態(tài)上去（Pauli不相容原理），因此只有費(fèi)米面附近的電子能夠從吸引作用中受益，形成Cooper對(duì)！限制性求和！第184頁(yè)/共266頁(yè)相空間分析：給定質(zhì)心動(dòng)量K，可以看出，黃區(qū)內(nèi)的電子可以和綠區(qū)內(nèi)的某一對(duì)應(yīng)電子發(fā)生散射，散射后的兩個(gè)電子仍然在黃區(qū)和綠區(qū)。黃區(qū)和綠區(qū)的面積代表相空間的大小！第185頁(yè)/共266頁(yè)質(zhì)心動(dòng)量K=0時(shí)，黃區(qū)（綠區(qū)）擴(kuò)大到整個(gè)能殼，此時(shí)相空間最大！所以，取出貢獻(xiàn)最大的項(xiàng)：BCS約化哈密頓量：不作特殊說(shuō)明，以后的求和均在能殼內(nèi)進(jìn)行！第186頁(yè)/共266頁(yè)相互作用項(xiàng)的Bogoliubov平均場(chǎng)分解：引入自洽平均場(chǎng)——配對(duì)勢(shì)：第187頁(yè)/共266頁(yè)BCS平均場(chǎng)哈密頓量：第三節(jié)、超導(dǎo)理論中的二次型“哈密頓量”的對(duì)角化第188頁(yè)/共266頁(yè)分析0：T=0K時(shí),BCS基態(tài)波函數(shù)：歷史：值得一提的是，實(shí)際上BCS在求解哈密頓量的時(shí)候并 沒(méi)有采用平均場(chǎng)分解的方式，而是通過(guò)“猜”基態(tài)波函數(shù) 的方式，而且剛好猜對(duì)了。第189頁(yè)/共266頁(yè)BCS基態(tài)波函數(shù)中電子的真實(shí)分布：第190頁(yè)/共266頁(yè)分析1：準(zhǔn)粒子能譜——激發(fā)能隙GapEk代表了超導(dǎo)體低能激發(fā)的最小單位！第191頁(yè)/共266頁(yè)準(zhǔn)粒子態(tài)密度：利用：其中：正常態(tài)單電子態(tài)密度第192頁(yè)/共266頁(yè)分析2：自洽能隙方程的推導(dǎo)練習(xí)：計(jì)算超導(dǎo)態(tài)電子（裸粒子）態(tài)密度第193頁(yè)/共266頁(yè)關(guān)于能隙的自洽方程——能隙方程（gapequation）！第194頁(yè)/共266頁(yè)求和化積分：能隙方程的積分形式！分析3：T=0K下的能隙第195頁(yè)/共266頁(yè)分析3：T=0K下的能隙可見(jiàn)：盡管電子存在相互吸引的能量范圍可以較大(德拜頻率)，但產(chǎn)生的能隙往往很??！第196頁(yè)/共266頁(yè)分析4：超導(dǎo)相變溫度第197頁(yè)/共266頁(yè)分析5：BCS普適常數(shù)（不依賴于材料）AlCdGaVZn臨界場(chǎng)隧道譜3.533.43.443.23.523.503.43.443.2Pb~4.29Hg~4.6弱耦合超導(dǎo)體強(qiáng)耦合超導(dǎo)體強(qiáng)耦合理論：Eliashberg第198頁(yè)/共266頁(yè)分析5：能隙隨溫度的變化關(guān)系：第199頁(yè)/共266頁(yè)分析7：比熱與比熱跳變準(zhǔn)粒子理想氣體！利用了第200頁(yè)/共266頁(yè)利用了：第201頁(yè)/共266頁(yè)普適常數(shù)！AlCdGaV1.451.401.441.49Pb2.71Hg2.37弱耦合超導(dǎo)體強(qiáng)耦合超導(dǎo)體第202頁(yè)/共266頁(yè)練習(xí)：超導(dǎo)體在T=0K附近比熱隨溫度的變化：思考：通過(guò)考察準(zhǔn)粒子能譜，并根據(jù)朗道的超流判據(jù)， 給出超導(dǎo)體臨界電流。第203頁(yè)/共266頁(yè)第六節(jié)、正常費(fèi)米液體的朗道唯象理論對(duì)象：量子費(fèi)米“液體”（液氦He3，金屬，原子核等）量子（簡(jiǎn)并）液體：正常態(tài)：相對(duì)于“反常態(tài)”（He3超流、金屬(電子)超導(dǎo)）無(wú)序到有序相變之前的理論！第204頁(yè)/共266頁(yè)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到的費(fèi)米液體的低溫行為與理想費(fèi)米氣體的理論預(yù)期定性一致，定量上往往差一個(gè)因子：朗道唯象理論的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)：定性上：定量上：費(fèi)米液體：?jiǎn)为?dú)質(zhì)量重整還不夠！第205頁(yè)/共266頁(yè)舉例1：He3的低溫比熱理想費(fèi)米氣體的比熱He3的低溫比熱：質(zhì)量重整化第206頁(yè)/共266頁(yè)舉例：重費(fèi)米子材料CeAl3CeCu2Si2CeRu2Si2UPt3等Wilson比值!第207頁(yè)/共266頁(yè)電阻率其他費(fèi)米液體的性質(zhì)：第208頁(yè)/共266頁(yè)金屬中簡(jiǎn)并電子氣——電子間相互作用可以看做微擾嗎？單電子動(dòng)能：?jiǎn)坞娮觿?shì)能：動(dòng)能、勢(shì)能相當(dāng)！在高密度下，電子動(dòng)能為主，自由電子氣模型是較好的近似。在低密度下，電子之間的勢(shì)能或關(guān)聯(lián)變得越來(lái)越重要，電子可能由于這種關(guān)聯(lián)作用進(jìn)入液相甚至晶相（WignerCrystal）。對(duì)于金屬來(lái)說(shuō)，兩者相當(dāng)！第209頁(yè)/共266頁(yè)Landau元激發(fā)的思想：相互作用的量子體系的困難在于確定整個(gè)系統(tǒng)（宏觀多體系統(tǒng)）的量子態(tài)但是，在足夠低的溫度下，只需要考慮基態(tài)以及低能量的激發(fā)態(tài)（元激發(fā)）。Landau根據(jù)實(shí)驗(yàn)預(yù)期，費(fèi)米液體中的低能量激發(fā)態(tài)應(yīng)該跟理想費(fèi)米氣體的低能激發(fā)態(tài)類似！在研究He4超流現(xiàn)象時(shí)，Landau曾成功地應(yīng)用元激發(fā)（聲子，旋子）的思想。第210頁(yè)/共266頁(yè)理想費(fèi)米氣體的基態(tài)與激發(fā)態(tài)——粒子數(shù)守恒(N)體系基態(tài)：N個(gè)1僅限于三維各向同性情況！暫時(shí)不考慮費(fèi)米子自旋！基態(tài)：費(fèi)米海第211頁(yè)/共266頁(yè)最簡(jiǎn)單的激發(fā)態(tài)——粒子-空穴對(duì)元激發(fā)：N-1個(gè)1本征能量！第212頁(yè)/共266頁(yè)更一般的，任意偏離費(fèi)米海基態(tài)的分布都代表一個(gè)激發(fā)態(tài)：其本征能量為：溫度不為零時(shí)，體系的內(nèi)能表達(dá)式：量子數(shù),0或1FD分布函數(shù)平衡分布相對(duì)于費(fèi)米海的偏離導(dǎo)致內(nèi)能的變化！第213頁(yè)/共266頁(yè)總之：理想氣體所有本征態(tài)可以用占據(jù)數(shù)標(biāo)記本征能量是nk的線性函數(shù)對(duì)于費(fèi)米氣體，由于費(fèi)米面的存在，任何相對(duì)于費(fèi)米?；鶓B(tài)發(fā)生的偏離都對(duì)應(yīng)著體系的一種激發(fā)態(tài)，其中包括了最簡(jiǎn)單的電子-空穴型的元激發(fā)！任意溫度時(shí)，分布偏離費(fèi)米海基態(tài)，內(nèi)能表達(dá)式為：FD分布函數(shù)(區(qū)別于量子數(shù))！第214頁(yè)/共266頁(yè)朗道預(yù)期，當(dāng)費(fèi)米子(裸粒子)之間存在相互作用時(shí)（費(fèi)米液體），可以引入“準(zhǔn)粒子”(dressedparticle)代替裸粒子(bareparticle)，那么準(zhǔn)粒子將構(gòu)成“近”理想費(fèi)米氣體，并繼承裸粒子的主要性質(zhì)，1，繼承了費(fèi)米面，相同的費(fèi)米波矢kF，費(fèi)米動(dòng)量pF2，準(zhǔn)粒子與裸粒子數(shù)目相同3，電荷相同，自旋相同4，準(zhǔn)粒子與費(fèi)米氣體的在費(fèi)米面附近的色散關(guān)系相似(質(zhì)量不同)5，費(fèi)米液體的激發(fā)態(tài)來(lái)自于準(zhǔn)粒子分布相對(duì)于準(zhǔn)粒子費(fèi)米?；鶓B(tài)的偏離，元激發(fā)分為粒子型元激發(fā)和空穴型元激發(fā)，但是元激發(fā)之間存在相互作用。第215頁(yè)/共266頁(yè)準(zhǔn)粒子(費(fèi)米型)的對(duì)角單體項(xiàng)元激發(fā)相互作用項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)類比，固體晶格聲子聲子相互作用可以預(yù)見(jiàn)費(fèi)米液體的內(nèi)能形式（最終形式見(jiàn)后）：以及玻色超流體(He4)第216頁(yè)/共266頁(yè)費(fèi)米氣體中裸粒子的色散：費(fèi)米液體中準(zhǔn)粒子的色散(費(fèi)米波矢附近)：m*：有效質(zhì)量！第217頁(yè)/共266頁(yè)朗道基本假設(shè)：費(fèi)米液體的能量本征態(tài)可以按照理想費(fèi)米氣體同樣的原則構(gòu)造，兩者存在一一對(duì)應(yīng)。即它們都可以用同一組量子數(shù)即“占據(jù)數(shù)”{nk}（nk=0,1）標(biāo)記，本征能量是nk的函數(shù)。——給出理想費(fèi)米氣體的占據(jù)數(shù){nk}（每個(gè)單粒子能級(jí)k上的粒子數(shù)目為nk，則理想費(fèi)米氣體的能量本征態(tài)為|{nk}>，本征能量是關(guān)于{nk}的多元線性函數(shù)——?jiǎng)t費(fèi)米液體的本征態(tài)同樣可以用{nk}標(biāo)記，即|{nk}>，其本征能量為E({nk})，是關(guān)于{nk}的多元(非線性)函數(shù)。朗道基本假設(shè)第218頁(yè)/共266頁(yè)思想：絕熱銜接adiabaticcontinuity工具：絕熱定理adiabatictheorem瞬時(shí)能量本征態(tài)：朗道基本假設(shè)的論證第219頁(yè)/共266頁(yè)舉例：在無(wú)限深勢(shì)井中足夠緩慢的引入拋物線型勢(shì)，從而給出能量本征態(tài)之間的一一對(duì)應(yīng)！并且標(biāo)記本征態(tài)的量子數(shù)不變！受此啟發(fā)，朗道設(shè)想（思想實(shí)驗(yàn)）可以無(wú)窮慢的引入費(fèi)米子之間的相互作用力,那么理想費(fèi)米氣體的能量本征態(tài)將一對(duì)一的演化為費(fèi)米液體的能量本征態(tài)，且標(biāo)記它的量子數(shù)保持不變！第220頁(yè)/共266頁(yè)理想費(fèi)米氣體費(fèi)米液體幺正算符！第221頁(yè)/共266頁(yè)解薛定諤方程，得到時(shí)間演化算符：：負(fù)無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)刻，系統(tǒng)處于瞬時(shí)本征態(tài)按照絕熱定理，從負(fù)無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)刻的瞬時(shí)本征態(tài)(費(fèi)米氣體H0)演化到0時(shí)刻的瞬時(shí)本征態(tài)(費(fèi)米液體H=H0+Hint)！費(fèi)米液體的本征態(tài)！第222頁(yè)/共266頁(yè)容易驗(yàn)證：準(zhǔn)粒子算符是費(fèi)米子算符！Dressedparticle(區(qū)別于Bareparticle)其中，我們定義了DressedParticle(準(zhǔn)粒子)第223頁(yè)/共266頁(yè)根據(jù)絕熱定理：費(fèi)米液體的能量本征態(tài)可以按照理想費(fèi)米氣體同樣的原則構(gòu)造，即它們都可以用同一組“量子數(shù)”{nk}（nk=0,1）標(biāo)記，本征能量是nk的函數(shù)。其本征能量為E({nk})，是一個(gè)關(guān)于{nk}的多元函數(shù)。注意本征能量的形式是未知的！！第224頁(yè)/共266頁(yè)推論1：粒子數(shù)與準(zhǔn)粒子數(shù)相同推論2：粒子的總動(dòng)量與準(zhǔn)粒子的總動(dòng)量相同推論2’：粒子的總自旋與準(zhǔn)粒子的總自旋相同第225頁(yè)/共266頁(yè)理想費(fèi)米氣體與費(fèi)米液體的基態(tài)的對(duì)應(yīng)：1T=0K時(shí)理想費(fèi)米氣體中裸粒子的分布1T=0K時(shí)費(fèi)米液體中準(zhǔn)粒子的分布推論3：費(fèi)米面的繼承，費(fèi)米液體基態(tài)——準(zhǔn)粒子費(fèi)米海、費(fèi)米面可以看出：費(fèi)米氣體與費(fèi)米液體具有同樣的費(fèi)米動(dòng)量（繼承）！第226頁(yè)/共266頁(yè)費(fèi)米液體中元激發(fā)——準(zhǔn)粒子，準(zhǔn)空穴元激發(fā)費(fèi)米液體中準(zhǔn)粒子-準(zhǔn)空穴激發(fā)態(tài)！對(duì)費(fèi)米海的最小偏離！1第227頁(yè)/共266頁(yè)總之：盡管費(fèi)米子間有相互作用的存在，但只要把粒子改成準(zhǔn)粒子（dressed），1，對(duì)本征態(tài)的描述方法（占據(jù)數(shù)表示）不變！其量子數(shù)不變2，準(zhǔn)粒子遵從費(fèi)米統(tǒng)計(jì)3，費(fèi)米面不變，費(fèi)米波矢與費(fèi)米動(dòng)量不變！4，準(zhǔn)粒子數(shù)與裸粒子數(shù)相同(費(fèi)米面包圍的面積不變)，等等。第228頁(yè)/共266頁(yè)推論4（朗道基本假設(shè)）：費(fèi)米液體的內(nèi)能是分布的多元函數(shù)（當(dāng)k連續(xù)時(shí)，內(nèi)能是分布函數(shù)的泛函）因此可以將U({nk})（多元函數(shù)）在零溫分布nk0附近Taylor展開(kāi)！因此考察的是對(duì)準(zhǔn)粒子費(fèi)米海的偏離！注：在連續(xù)極限下，分布是k的連續(xù)函數(shù)，U是分布的泛函，相應(yīng)的展開(kāi)就是泛函展開(kāi)！小量！第229頁(yè)/共266頁(yè)多元函數(shù)的泰勒展開(kāi)（2階）！參考二元函數(shù)的泰勒展開(kāi)：引入：零溫時(shí)準(zhǔn)粒子的“能量”“元激發(fā)”間的相互作用元激發(fā)：分布相對(duì)于費(fèi)米海的偏離！第230頁(yè)/共266頁(yè)

總結(jié)朗道費(fèi)米液體理論以準(zhǔn)粒子代替裸粒子，并假設(shè)費(fèi)米液體低能激發(fā)態(tài)與費(fèi)米氣體低能激發(fā)態(tài)存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。費(fèi)米氣體：費(fèi)米液體：嚴(yán)格的！根據(jù)假設(shè)可知內(nèi)能是分布的多元函數(shù)(泛函)在基態(tài)分布附近做Taylor展開(kāi)得到的以上公式！第231頁(yè)/共266頁(yè)朗道費(fèi)米液體參數(shù)考慮到費(fèi)米液體中準(zhǔn)粒子的色散與費(fèi)米氣體的相似性：m*：準(zhǔn)粒子的有效質(zhì)量——朗道參數(shù)！回憶He-II第232頁(yè)/共266頁(yè)推論5：費(fèi)米液體的熵是分布的多元函數(shù)費(fèi)米氣體的熵：根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，費(fèi)米液體的熵與費(fèi)米氣體具有同樣的形式。推論6：費(fèi)米液體的巨勢(shì)是分布的多元函數(shù)非零溫時(shí)準(zhǔn)粒子的分布利用：第233頁(yè)/共266頁(yè)非零溫時(shí)準(zhǔn)粒子的分布滿足極值條件:利用：看起來(lái)與理想氣體的平衡態(tài)分布一致，但也要留意相互作用帶來(lái)的區(qū)別——聯(lián)立的方程組！準(zhǔn)粒子能量第234頁(yè)/共266頁(yè)1)，有效質(zhì)量的確定理想氣體裸粒子色散：費(fèi)米能附近態(tài)密度：準(zhǔn)粒子色散：費(fèi)米能附近態(tài)密度：第235頁(yè)/共266頁(yè)2)，朗道參數(shù)fk,k’的確定，多級(jí)展開(kāi)用到了近似：對(duì)于低能量激發(fā)k,k’在費(fèi)米波矢kF附近，因此相互作用近似只依賴于方向角用Legendre函數(shù)展開(kāi)！一般來(lái)說(shuō)只需要低級(jí)展開(kāi)！第236頁(yè)/共266頁(yè)考察液體的動(dòng)量：2.1)，f1與有效質(zhì)量m*的關(guān)系準(zhǔn)粒子群速度：第237頁(yè)/共266頁(yè)分部積分第238頁(yè)/共266頁(yè)對(duì)k’的求和化為積分，并采用球坐標(biāo)；另外只有z方向(k方向)的分量積分不為零！第239頁(yè)/共266頁(yè)代入：第240頁(yè)/共266頁(yè)第241頁(yè)/共