第2課時(shí)集合的表示方法集合與常用邏輯用語一二知識(shí)點(diǎn)一、列舉法1.思考用列舉法可以表示無限集嗎?提示:可以.但構(gòu)成集合的元素必須具有明顯的規(guī)律,并且表示時(shí)要把元素間的規(guī)律呈現(xiàn)清楚,如正整數(shù)集N+可表示為{1,2,3,4,5,6,…}.2.填空.把集合中的元素一一列舉出來(相鄰元素之間用逗號(hào)分隔),并寫在大括號(hào)內(nèi),以此來表示集合的方法稱為列舉法.3.做一做用列舉法表示集合{x∈N|-1≤x≤}為{0,1,2}.三一二知識(shí)點(diǎn)二、描述法1.思考用列舉法與描述法表示集合的區(qū)別是什么?提示:三一二2.填空一般地,如果屬于集合A的任意一個(gè)元素x都具有性質(zhì)p(x),而不屬于集合A的元素都不具有這個(gè)性質(zhì),則性質(zhì)p(x)叫做集合A的一個(gè)特征性質(zhì).此時(shí),集合A可以用它的性質(zhì)p(x)表示為{x|p(x)},這種表示集合的方法稱為特征性質(zhì)描述法,簡(jiǎn)稱描述法.3.做一做不等式5x<2018在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解集可表示為

。三一二三知識(shí)點(diǎn)三、區(qū)間的概念1.思考(1)如圖,如何把滿足數(shù)軸上的數(shù)的集合表示出來?提示:A={x|-3<x≤2}(2)能否用更為簡(jiǎn)潔的符號(hào)表示A={x|-3<x≤2}?提示:可以用區(qū)間表示為(-3,2].(3)區(qū)間與數(shù)集有何關(guān)系?提示:(1)聯(lián)系:區(qū)間實(shí)際上是一類特殊的數(shù)集(連續(xù)的)的符號(hào)表示,是集合的另一種表達(dá)形式;(2)區(qū)別:不連續(xù)的數(shù)集不能用區(qū)間表示,如整數(shù)集、自然數(shù)集等;(3)區(qū)間與區(qū)間之間可以用集合的運(yùn)算符號(hào)連接起來,表示兩個(gè)集合之間的運(yùn)算.一二三2.填寫下表

一二三一二三名師點(diǎn)撥

1.區(qū)間表示了一個(gè)數(shù)集,主要用來表示函數(shù)的定義域、值域、不等式的解集等.2.若[a,b]是一個(gè)確定的區(qū)間,則隱含條件為a<b.3.在數(shù)軸上表示區(qū)間時(shí),屬于這個(gè)區(qū)間端點(diǎn)的實(shí)數(shù),用實(shí)心點(diǎn)表示,不屬于這個(gè)區(qū)間端點(diǎn)的實(shí)數(shù),用空心圓圈表示.4.區(qū)間符號(hào)里面的兩個(gè)字母(或數(shù)字)之間用“,”隔開.5.用+∞,-∞表示區(qū)間的端點(diǎn)時(shí)不能寫成閉區(qū)間的形式.一二三3.做一做把下列集合用區(qū)間表示出來.(1){x|2<x<3};(2){x|x≤2};(3){x|2<x<4}∪{x|5<x<9};(4){x|x≠0};(5){x|2≤x<3}.答案:(1)(2,3);(2)(-∞,2];(3)(2,4)∪(5,9);(4)(-∞,0)∪(0,+∞);(5)[2,3).探究一探究二探究三思維辨析用列舉法表示集合例1

用列舉法表示下列集合:(1)36與60的公約數(shù)構(gòu)成的集合;(2)方程(x-4)2(x-2)=0的根構(gòu)成的集合;(3)一次函數(shù)y=x-1與

的圖像的交點(diǎn)構(gòu)成的集合.分析:(1)要明確公約數(shù)的含義;(2)注意4是重根;(3)要寫成點(diǎn)集形式.解:(1)36與60的公約數(shù)有1,2,3,4,6,12,所求集合可表示為{1,2,3,4,6,12};(2)方程(x-4)2(x-2)=0的根是4,2,所求集合可表示為{2,4};當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析反思感悟列舉法應(yīng)用的解題策略1.一般地,當(dāng)集合中元素的個(gè)數(shù)較少時(shí),可采用列舉法;當(dāng)集合中元素較多或無限,且有一定規(guī)律時(shí),也可用列舉法表示,但必須把元素間的規(guī)律呈現(xiàn)清楚,才能用省略號(hào).2.要弄清楚集合中的元素是什么,是數(shù)還是點(diǎn),還是其他的元素,從而用相應(yīng)的形式寫出元素表示集合.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析變式訓(xùn)練1試用列舉法表示下列集合:(1)滿足-3≤x≤0,且x∈Z;(2)倒數(shù)等于其本身數(shù)的集合;(3)滿足x+y=3,且x∈N,y∈N的有序數(shù)對(duì);(4)方程x2-4x+4=0的解.解:(1)∵-3≤x≤0,且x∈Z,∴x=-3,-2,-1,0.故滿足條件的集合為{-3,-2,-1,0}.(2)∵x=,∴x=±1.∴滿足條件的集合為{-1,1}.(3)∵x+y=3,且x∈N,y∈N,∴當(dāng)x=0時(shí),y=3;當(dāng)x=1時(shí),y=2;當(dāng)x=2時(shí),y=1;當(dāng)x=3時(shí),y=0.∴滿足條件的集合為{(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)}.(4)∵方程x2-4x+4=0的解為x=2,∴滿足條件的集合為{2}.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析用描述法表示集合例2

用描述法表示以下集合:(1)所有不小于2,且不大于20的實(shí)數(shù)組成的集合;(2)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第二象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合;(3)使

有意義的實(shí)數(shù)x組成的集合;(4)200以內(nèi)的正奇數(shù)組成的集合;(5)方程x2-5x-6=0的解組成的集合.分析:用描述法表示集合時(shí),關(guān)鍵要先弄清元素的屬性是什么,再給出其滿足的性質(zhì),注意不要漏掉類似“x∈N”等條件.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析解:(1)集合可表示為{x∈R|2≤x≤20}.(2)第二象限內(nèi)的點(diǎn)(x,y)滿足x<0,且y>0,故集合可表示為{(x,y)|x<0,y>0}.解得x≤2,且x≠0.故此集合可表示為{x|x≤2,且x≠0}.(4){x|x=2k+1,x<200,k∈N}.(5){x|x2-5x-6=0}.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析反思感悟用描述法表示集合應(yīng)注意的問題1.寫清楚該集合中的代表元素,即弄清代表元素是數(shù)、點(diǎn)還是其他形式;2.準(zhǔn)確說明集合中元素所滿足的特征;3.所有描述的內(nèi)容都要寫在集合符號(hào)內(nèi),并且不能出現(xiàn)未被說明的符號(hào);4.用于描述的語句力求簡(jiǎn)明、準(zhǔn)確,多層描述時(shí),應(yīng)準(zhǔn)確使用“且”“或”等表示描述語句之間的關(guān)系.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析變式訓(xùn)練2給出下列說法:①在平面直角坐標(biāo)平面內(nèi),第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合為{(x,y)|xy>0};②所有奇數(shù)組成的集合為{x|x=2n+1};③集合{(x,y)|y=1-x}與{x|y=1-x}是同一集合.其中正確的有(

)A.1個(gè) B.2個(gè)

C.3個(gè) D.0個(gè)答案:A當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析含參數(shù)問題例3已知集合M={x|(x-a)(x2-ax+a-1)=0}中各元素之和等于3,求實(shí)數(shù)a的值,并用列舉法表示集合M.解:根據(jù)集合中元素的互異性知,當(dāng)方程(x-a)(x2-ax+a-1)=0有重根時(shí),重根只能算作集合的一個(gè)元素,又M={x|(x-a)(x-1)[x-(a-1)]=0}.當(dāng)a=1時(shí),M={1,0},不符合題意;當(dāng)a-1=1,即a=2時(shí),M={1,2},符合題意;當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析反思感悟1.對(duì)于集合的表示方法中的含參數(shù)問題不僅要注意弄清集合的含義,也要清楚參數(shù)在集合中的地位.2.含參數(shù)問題常用分類討論思想來解決,在討論參數(shù)時(shí)要做到不重不漏.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析延伸探究若將本例中的“各元素之和等于3”改為“各元素之和等于1”,則a的值又如何?解:a的值為1或

.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析元素分析法解決集合問題,應(yīng)對(duì)集合的概念有深刻理解,解題時(shí)能不能把集合轉(zhuǎn)化為相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵,而集合離不開元素,所以分析元素是解決問題的核心.元素分析法就是抓住元素進(jìn)行分析,即元素是什么?具備哪些性質(zhì)?是否滿足元素的三個(gè)特征?(即確定性、互異性、無序性)典例

下列四個(gè)集合:①{x|y=x2+1};②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y=x2+1};④{y=x2+1}.(1)它們各自的含義是什么?(2)它們是不是相同的集合?分析:在解答用描述法表示的集合的問題時(shí),不能只關(guān)注條件中的關(guān)系式,而不注意“代表元素”的含義.元素是集合的基本組成部分.看到一個(gè)集合,先要關(guān)注元素是什么,再關(guān)注元素的基本特征.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析解:(1)①{x|y=x2+1}中的代表元素是x(二次函數(shù)y=x2+1中的自變量),表示的是該函數(shù)自變量的取值范圍.顯然x∈R,該集合表示實(shí)數(shù)集R.②{y|y=x2+1}中的代表元素是y(二次函數(shù)y=x2+1中的因變量),表示的是該函數(shù)的函數(shù)值構(gòu)成的集合.由圖易知(圖略),y≥1,該集合就是{y|y≥1}.③{(x,y)|y=x2+1}中的代表元素是(x,y),該集合可以理解為是滿足y=x2+1的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)的集合,也可以認(rèn)為是坐標(biāo)平面內(nèi)滿足y=x2+1的點(diǎn)(x,y)構(gòu)成的集合.④集合{y=x2+1}表示的是以方程y=x2+1(或函數(shù)解析式y(tǒng)=x2+1)為元素的集合.(2)由(1)知,集合①是實(shí)數(shù)集,集合②是不小于1的實(shí)數(shù)集,集合③是拋物線上的點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集,集合④是單元素集.故它們是互不相同的集合.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析方法點(diǎn)睛

元素分析法是解決集合問題時(shí)常用的基本方法.本題的分析始終關(guān)注集合中代表元素及其滿足的條件.集合①是后面要學(xué)到的函數(shù)定義域,集合②是函數(shù)的值域.當(dāng)堂檢測(cè)1.集合{x∈N+|2x-1<9}的另一種表示方法是(

)A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}答案:B2.下列各組中的M,P表示同一集合的是(

)A.M={3,-1},P={(3,-1)}B.M={(3,1)},P={(1,3)}C.M={y|y=x2-1,x∈R},P={x|x=t2-1,t∈R}D.M={y|y=x2-1,x∈R},P={(x,y)|y=x2-1,x∈R}解析:選項(xiàng)A中,M是由3,-1兩個(gè)元素構(gòu)成的集合,而集合P是由點(diǎn)(3,-1)構(gòu)成的集合;選項(xiàng)B中,(3,1)與(1,3)表示不同的點(diǎn),故M≠P;選項(xiàng)D中,M是二次函數(shù)y=x2-1,x∈R的所有因變量構(gòu)成的集合,而集合P是二次函數(shù)y=x2-1,x∈R圖像上所有點(diǎn)構(gòu)成的集合.答案:C探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)3.用列舉法表示集合A={y|y=x2-1,-2≤x≤2,且x∈Z}是

.解析:∵x=-2,-1,0,1,2,∴對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y=3,0,-1,0,3