第一節(jié)機動目錄上頁下頁返回結束不定積分及其計算

第四章整理課件一、不定積分的概念定義1.

若在區(qū)間I

上定義的兩個函數F(x)及f(x)滿足在區(qū)間

I

上的一個原函數.則稱F(x)為f(x)整理課件定理1.原函數都在函數族(C為任意常數)內.證:1)又知故即屬于函數族機動目錄上頁下頁返回結束即整理課件定義2.在區(qū)間

I上的原函數全體稱為上的不定積分,其中—積分號;—被積函數;—被積表達式.—積分變量;若則(C為任意常數)C

稱為積分常數不可丟!例如,記作機動目錄上頁下頁返回結束整理課件不定積分的幾何意義:的原函數的圖形稱為的圖形的所有積分曲線組成的平行曲線族.機動目錄上頁下頁返回結束的積分曲線

.整理課件例1.

設曲線通過點(1,2),

且其上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標的兩倍,求此曲線的方程.解:所求曲線過點(1,2),故有因此所求曲線為機動目錄上頁下頁返回結束整理課件二、基本積分表從不定積分定義可知:或或利用逆向思維(k

為常數)機動目錄上頁下頁返回結束整理課件或或機動目錄上頁下頁返回結束整理課件機動目錄上頁下頁返回結束整理課件例3.求解:

原式=例4.

求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結束整理課件二、不定積分的性質推論:

若則機動目錄上頁下頁返回結束整理課件例5.求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結束整理課件例6.

求解:

原式=例7.

求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結束整理課件例8.

求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結束整理課件內容小結1.不定積分的概念?原函數與不定積分的定義?不定積分的性質?基本積分表2.直接積分法:利用恒等變形,及基本積分公式進行積分.常用恒等變形方法分項積分加項減項利用三角公式,代數公式,積分性質機動目錄上頁下頁返回結束整理課件思考與練習機動目錄上頁下頁返回結束1.

求下列積分:提示:整理課件2.求不定積分解：機動目錄上頁下頁返回結束整理課件第二類換元法第一類換元法三、不定積分的換元積分法

基本思路機動目錄上頁下頁返回結束設可導,則有整理課件第一類換元法定理1.則有換元公式(也稱配元法即,湊微分法)機動目錄上頁下頁返回結束整理課件例1.

求解:

令則故原式

=注:

當時機動目錄上頁下頁返回結束整理課件例2.

求解:令則想到公式機動目錄上頁下頁返回結束整理課件例3.

求想到解:(直接配元)機動目錄上頁下頁返回結束整理課件例4.

求解:機動目錄上頁下頁返回結束類似整理課件例5.

求解:∴原式

=機動目錄上頁下頁返回結束整理課件常用的幾種配元形式:萬能湊冪法機動目錄上頁下頁返回結束整理課件例6.

求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結束整理課件例7.

求解:

原式=例8.

求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結束整理課件例9.

求解法1解法2兩法結果一樣機動目錄上頁下頁返回結束整理課件例10.

求解法1機動目錄上頁下頁返回結束整理課件解法2同樣可證或機動目錄上頁下頁返回結束整理課件例11.

求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結束整理課件例12.

求解:機動目錄上頁下頁返回結束整理課件例13.

求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結束分析:

整理課件小結常用簡化技巧:(1)分項積分:(2)降低冪次:(3)統(tǒng)一函數:利用三角公式;配元方法(4)巧妙換元或配元萬能湊冪法機動目錄上頁下頁返回結束利用積化和差;分式分項;利用倍角公式,如整理課件思考與練習1.下列各題求積方法有何不同?機動目錄上頁下頁返回結束整理課件2.

求提示:法1法2法3作業(yè)目錄上頁下頁返回結束整理課件第二類換元法機動目錄上頁下頁返回結束第一類換元法解決的問題難求易求若所求積分易求,則得第二類換元積分法.難求，整理課件定理2.設是單調可導函數,且具有原函數,證:令則機動目錄上頁下頁返回結束則有換元公式整理課件例14.

求解:

令則∴原式機動目錄上頁下頁返回結束整理課件例15.

求解:

令則∴原式機動目錄上頁下頁返回結束整理課件例16.

求解:令則∴原式機動目錄上頁下頁返回結束整理課件令于是機動目錄上頁下頁返回結束整理課件說明:被積函數含有時,除采用采用雙曲代換消去根式,所得結果一致.或或機動目錄上頁下頁返回結束三角代換外,還可利用公式整理課件原式例17.

求解:

令則原式當

x<0時,類似可得同樣結果.機動目錄上頁下頁返回結束整理課件小結:1.第二類換元法常見類型:令或令或令或機動目錄上頁下頁返回結束整理課件機動目錄上頁下頁返回結束2.常用基本積分公式的補充(5)

分母中因子次數較高時,可試用倒代換

令整理課件機動目錄上頁下頁返回結束整理課件解:

原式機動目錄上頁下頁返回結束例18.

求例19.

求解:整理課件例20.

求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結束例21.

求解:

原式整理課件例22.

求解:

令得原式機動目錄上頁下頁返回結束整理課件例23.

求解:

原式令例16目錄上頁下頁返回結束整理課件由導數公式積分得:分部積分公式或1)v容易求得;容易計算.機動目錄上頁下頁返回結束四、不定積分的分部積分法整理課件例1.

求解:

令則∴原式思考:

如何求提示:

令則原式機動目錄上頁下頁返回結束整理課件例2.

求解:

令則原式=機動目錄上頁下頁返回結束整理課件例3.

求解:

令則∴原式機動目錄上頁下頁返回結束整理課件例4.

求解:

令,則∴原式再令,則故原式=說明:

也可設為三角函數,但兩次所設類型必須一致.機動目錄上頁下頁返回結束整理課件解題技巧:把被積函數視為兩個函數之積,按“反對冪指三”的順序,前者為后者為例5.

求解:

令,則原式=機動目錄上頁下頁返回結束反:反三角函數對:對數函數冪:冪函數指:指數函數三:三角函數整理課件例6.

求解:

令,則原式=機動目錄上頁下頁返回結束整理課件例7.

求解:

令則原式機動目錄上頁下頁返回結束令整理課件例8.

求解:

令則∴原式=機動目錄上頁下頁返回結束整理課件說明:分部積分題目的類型:1)直接分部化簡積分;2)分部產生循環(huán)式,由此解出積分式