數(shù)學(xué)備課大師【全免費(fèi)】第九節(jié)失散型隨機(jī)變量的均值與方差[考綱傳真](教師用書獨(dú)具)1.理解取有限個(gè)值的失散型隨機(jī)變量的均值、方差的觀點(diǎn).2.會(huì)求簡(jiǎn)單失散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能利用失散型隨機(jī)變量的均值、方差觀點(diǎn)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)質(zhì)問(wèn)題．(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第189頁(yè))[基礎(chǔ)知識(shí)填補(bǔ)]1．失散型隨機(jī)變量的均值與方差若失散型隨機(jī)變量X的散布列為P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，，r)．均值EX＝a1p1＋a2p2＋＋arpr，均值EX刻畫的是X取值的“中心地點(diǎn)”．方差DX＝E(X－EX)2為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值EX的均勻偏離程度．2．均值與方差的性質(zhì)E(aX＋b)＝aEX＋B．D(aX＋b)＝a2DX(a，b為常數(shù))．3．兩點(diǎn)散布與二項(xiàng)散布的均值、方差均值方差變量X聽(tīng)從兩點(diǎn)散布EX＝pDX＝p(1－p)X～B(n，p)EX＝npDX＝np(1－p)[知識(shí)拓展]EX反應(yīng)了x取值的均勻水平，DX反應(yīng)了X針對(duì)EX的穩(wěn)固與顛簸，集中與失散的程度．劃分x、s2、μ、σ2、EX、DX.[基本能力自測(cè)]1．(思慮辨析)判斷以下結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)希望是算術(shù)均勻數(shù)觀點(diǎn)的推行，與概率沒(méi)關(guān)．( )(2)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的均勻值是隨機(jī)變量．( )(3)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反應(yīng)了隨機(jī)變量取值偏離均值的均勻程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離均值的均勻程度越小.( )在籃球競(jìng)賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分，假如某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是0.7.( )[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．(教材改編)已知X的散布列為“備課大師”全科【9門】：免注冊(cè)，不收費(fèi)！數(shù)學(xué)備課大師【全免費(fèi)】X－101P111236設(shè)＝2＋3，則EY的值為()YX7A．3B．4C．－1D．11111A[＝－1×＋0×＋1×＝－，EX236327則EY＝2EX＋3＝3－3＝3.]13．設(shè)隨機(jī)變量ξ的散布列為P(ξ＝k)＝5(k＝2,4,6,8,10)，則Dξ等于( )A．8B．5C．10D．121A[∵Eξ＝5(2＋4＋6＋8＋10)＝6，122222∴Dξ＝5[(－4)＋(－2)＋0＋2＋4]＝8.]4．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則＝________.DX1.96[由題意得X～B(100,0.02)，所以DX＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.]5．已知隨機(jī)變量X聽(tīng)從二項(xiàng)散布(，)，若＝30，＝20，則p＝________.BnpEXDX1[因?yàn)椤?，)，且＝30，＝20，3XBnpEXDXnp＝30，1所以解得p＝3.]npp(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第190頁(yè))失散型隨機(jī)變量的均值、方差(2017·全國(guó)卷Ⅲ)某商場(chǎng)計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每日進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)辦理，以每瓶2元的價(jià)錢當(dāng)日所有辦理完．根“備課大師”全科【9門】：免注冊(cè)，不收費(fèi)！數(shù)學(xué)備課大師【全免費(fèi)】據(jù)早年銷售經(jīng)驗(yàn)，每日需求量與當(dāng)日最高氣溫(單位：℃)相關(guān)．假如最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；假如最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；假如最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確立六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下邊的頻數(shù)散布表：最高氣[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)溫天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻次取代最高氣溫位于該區(qū)間的概率．求六月份這類酸奶一天的需求量X(單位：瓶)的散布列；設(shè)六月份一天銷售這類酸奶的收益為Y(單位：元)．當(dāng)六月份這類酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位：瓶)為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)希望達(dá)到最大值？[解](1)由題意知，X所有可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知P(X＝200)＝2＋163690＝0.2，P(X＝300)＝90＝0.4，25＋7＋4P(X＝500)＝＝0.4.90所以X的散布列為X200300500P0.20.40.4(2)由題意知，這類酸奶一天的需求量至多為500瓶，起碼為200瓶，所以只要考慮200≤n≤500.當(dāng)300≤≤500時(shí)，n若最高氣溫不低于25，則Y＝6n－4n＝2n；若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1200－2n；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.所以EY＝2n×0.4＋(1200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.當(dāng)200≤n<300時(shí)，若最高氣溫不低于20，則Y＝6n－4n＝2n；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，所以＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2)×0.2＝160＋1.2n.EYn所以n＝300時(shí)，Y的數(shù)學(xué)希望達(dá)到最大值，最大值為520元．[規(guī)律方法]求失散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟理解X的意義，寫出X可能取的所有值.求X取每個(gè)值時(shí)的概率.“備課大師”全科【9門】：免注冊(cè)，不收費(fèi)！數(shù)學(xué)備課大師【全免費(fèi)】寫出X的散布列.由均值的定義求EX.由方差的定義求.DX易錯(cuò)警告：注意EaX＋b＝aEX＋b，DaX＋b＝a2DX的應(yīng)用.[追蹤訓(xùn)練](2017·青島一模)為迎接2022年北京冬奧會(huì)，推行滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場(chǎng)展開(kāi)滑雪促銷活動(dòng)．該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超出1小時(shí)免費(fèi)，超出1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)．有甲、乙兩人互相獨(dú)立地來(lái)該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超出1小時(shí)走開(kāi)的概率分別為11，；1小時(shí)以上且不超出246123小時(shí)．小時(shí)走開(kāi)的概率分別為2，3；兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超出求甲、乙兩人所付滑雪花費(fèi)相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪花費(fèi)之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的散布列與數(shù)學(xué)希望Eξ，方差Dξ.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140377】[解](1)兩人所付花費(fèi)相同，相同的花費(fèi)可能為0,40,80元．111兩人都付0元的概率為P1＝4×6＝24，兩人都付212140元的概率為P＝2×3＝3，兩人都付80元的概率為111211131－－1－－P＝42×63＝4×6＝24，1115則兩人所付花費(fèi)相同的概率為P＝P1＋P2＋P3＝24＋3＋24＝12.(2)設(shè)甲、乙所付花費(fèi)之和為ξ，ξ可能取值為0,40,80,120,160，則：111P(ξ＝0)＝4×6＝24；(ξ＝40)12111＝×＋×＝；P43264P(ξ＝80)1112115＝4×6＋2×3＋4×6＝12；11121P(ξ＝120)＝×＋×＝；111P(ξ＝160)＝4×6＝24.ξ的散布列為“備課大師”全科【9門】：免注冊(cè)，不收費(fèi)！數(shù)學(xué)備課大師【全免費(fèi)】ξ04080120160P115112441242411511Eξ＝0×24＋40×4＋80×12＋120×4＋160×24＝80.Dξ＝(0－80)2×1＋(40－80)2×1＋(80－80)2×5＋(120－80)2×1＋(160－24412421400080)×24＝3.與二項(xiàng)散布相關(guān)的均值、方差(2017·鄭州診療)空氣質(zhì)量指數(shù)(AirQualityLndex，簡(jiǎn)稱AQI)是定量描繪空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量依據(jù)AQI大小分為六級(jí)，0～50為優(yōu)；51～100為良；101～150為輕度污染；151～200為中度污染；201～300為重度污染；大于300為嚴(yán)重污染．一環(huán)保人士記錄2017年某地某月10天的AQI的莖葉圖如圖10-9-1所示．圖10-9-1(1)利用該樣本估計(jì)該地本月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)秀(AQI≤100)的天數(shù)；(按這個(gè)月總合30天計(jì)算)(2)將頻次視為概率，從本月中隨機(jī)抽取3天，記空氣質(zhì)量?jī)?yōu)秀的天數(shù)為ξ，求ξ的概率散布列、數(shù)學(xué)希望和方差．[解](1)從莖葉圖中可發(fā)現(xiàn)該樣本中空氣質(zhì)量?jī)?yōu)的天數(shù)為2，空氣質(zhì)量良的天數(shù)為634，故該樣本中空氣質(zhì)量?jī)?yōu)秀的頻次為10＝5，3從而估計(jì)該月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)秀的天數(shù)為30×5＝18.3(2)由(1)估計(jì)某天空氣質(zhì)量?jī)?yōu)秀的概率為，5ξ的所有可能取值為0,1,2,3.31228132363“備課大師”全科【9門】：免注冊(cè)，不收費(fèi)！數(shù)學(xué)備課大師【全免費(fèi)】213232543273故ξ的散布列為ξ0123P8365427125125125125333318明顯ξ～B3，，Eξ＝3×5＝1.8，隨機(jī)變量ξ的方差Dξ＝3×5×1－25.55＝[規(guī)律方法]1.求隨機(jī)變量ξ的希望與方差時(shí)，可第一剖析ξ能否聽(tīng)從二項(xiàng)散布，假如ξ～Bn，p，則用公式ξ＝，ξ＝np－p求解，可大大減少計(jì)算量.EnpD2.有些隨機(jī)變量雖不聽(tīng)從二項(xiàng)散布，但與之擁有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量聽(tīng)從二項(xiàng)散布，這時(shí)，能夠綜合應(yīng)用Eaξ＋b＝aEξ＋b以及Eξ＝np求出Eaξ＋b相同還可求出Daξ＋b[追蹤訓(xùn)練]一家面包房依據(jù)過(guò)去某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻次散布直方圖，如圖10-9-4所示．圖10-9-4將日銷售量落入各組的頻次視為概率，并假定每日的銷售量互相獨(dú)立．(1)求在將來(lái)連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率；(2)用X表示在將來(lái)3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的散布列，希望EX及方差DX.[解](1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個(gè)”，A2表示事件“日銷售量低于50個(gè)”，B表示事件“在將來(lái)連續(xù)3天里，有連續(xù)2天日銷售量不低于100個(gè)且另一天銷售量低于50個(gè)”，所以P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值為0,1,2,3，相應(yīng)的概率為“備課大師”全科【9門】：免注冊(cè)，不收費(fèi)！數(shù)學(xué)備課大師【全免費(fèi)】P(X＝0)03＝C3·(1－0.6)＝0.064，(＝1)1·0.6(1－0.6)2，＝C3＝0.288PXP(X＝2)2·0.62(1－0.6)＝0.432，3P(X＝3)3·0.63＝0.216.＝C3所以X的散布列為X0123P0.0640.2880.4320.216因?yàn)椤?3,0.6)，所以希望＝3×0.6＝1.8，方差＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.XBEXDX均值與方差在決議中的應(yīng)用(2018·廣州綜合測(cè)試(二))某商場(chǎng)擬對(duì)某商品進(jìn)行促銷，現(xiàn)有兩種方案供選擇，每種促銷方案都需分兩個(gè)月實(shí)行，且每種方案中第一個(gè)月與第二個(gè)月的銷售互相獨(dú)立．根據(jù)過(guò)去促銷的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，若實(shí)行方案1，估計(jì)第一個(gè)月的銷量是促銷前的1.2倍和1.5倍的概率分別是0.6和0.4，第二個(gè)月的銷量是第一個(gè)月的1.4倍和1.6倍的概率都是0.5；若實(shí)行方案2，估計(jì)第一個(gè)月的銷量是促銷前的1.4倍和1.5倍的概率分別是0.7和0.3，第二個(gè)月的銷量是第一個(gè)月的1.2倍和1.6倍的概率分別是0.6和0.4.令ξi(i1,2)表示實(shí)行方案i的第二個(gè)月的銷量是促銷前銷量的倍數(shù)．求ξ1，ξ2的散布列；不論實(shí)行哪一種方案，ξi與第二個(gè)月的收益之間的關(guān)系以下表，試比較哪一種方案第二個(gè)月的收益更大．銷量倍數(shù)ξi≤1.71.7<ξi<2.3ξi≥2.3收益(萬(wàn)元)152025[解](1)由題意，ξ1的所有取值為1.68,1.92,2.1,2.4，因?yàn)镻(ξ1＝1.68)＝0.6×0.5＝0.30，P(ξ1＝1.92)＝0.6×0.5＝0.30，(ξ1＝2.1)＝0.4×0.5＝0.20，PP(ξ1＝2.4)＝0.4×0.5＝0.20，所以ξ1的散布列為ξ11.681.922.12.4P10.300.300.200.20由題意，ξ2的所有取值為1.68,1.8,2.24,2.4，因?yàn)镻(ξ2＝1.68)＝0.7×0.6＝0.42，2＝0.3×0.6＝0.18，P(ξ＝1.8)“備課大師”全科【9門】：免注冊(cè)，不收費(fèi)！數(shù)學(xué)備課大師【全免費(fèi)】P(ξ2＝2.24)＝0.7×0.4＝0.28，P(ξ2＝2.4)＝0.3×0.4＝0.12，所以ξ2的散布列為ξ21.681.82.242.4P20.420.180.280.12令Qi表示實(shí)行方案i在第二個(gè)月所獲取的收益，則Q1152025P0.300.500.20Q2152025P0.12所以EQ1＝15×0.30＋20×0.50＋25×0.20＝19.5，EQ2＝15×0.42＋20×0.46＋25×0.12＝18.5.因?yàn)镋Q1>EQ2，所以實(shí)行方案1，第二個(gè)月的收益更大．[規(guī)律方法]利用均值、方差進(jìn)行決議的兩個(gè)方略當(dāng)均值不一樣時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見(jiàn)分歧，可對(duì)問(wèn)題作出判斷.若兩隨機(jī)變量均值相同或相差不大.則可經(jīng)過(guò)剖析兩變量的方差來(lái)研究隨機(jī)變量的離散程度或許穩(wěn)固程度，從而進(jìn)行決議.[追蹤訓(xùn)練](2018·呼和浩特一調(diào))春節(jié)前夜我市某企業(yè)要將一批新鮮牛羊肉用汽車運(yùn)往指定城市A，假如能按商定日期送到，則該企業(yè)可獲取銷售收入30萬(wàn)元，每提早一天送到，可獲取獎(jiǎng)賞1萬(wàn)元，每遲到一天送到，銷售收入將少獲取1萬(wàn)元．為保證準(zhǔn)時(shí)送到，企業(yè)只好在商定日期的前兩天出發(fā)，若行駛路線只好選擇公路1或公路2中的一條，運(yùn)費(fèi)及其余信息以下表所示.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140378】統(tǒng)計(jì)路線不堵車的狀況下送到到城堵車的狀況下送到到城市堵車的運(yùn)費(fèi)(萬(wàn)市A所需的時(shí)間(天)A所需的時(shí)間(天)概率元)公路1230.14公路2140.32記汽車走公路2時(shí)企業(yè)獲取的毛收益(收入－運(yùn)費(fèi))為ξ(萬(wàn)元)，求ξ的散布列和數(shù)學(xué)希望Eξ；假定你是企業(yè)的決議者，會(huì)選擇哪條公路運(yùn)送，并說(shuō)明原因．[解](1)汽車走公路2時(shí)，