試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)期中專(zhuān)題01數(shù)列大題綜合1．（2022春·廣東深圳·高二翠園中學(xué)校考期中）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)，（）.(2)，（）.【分析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和，結(jié)合已知條件聯(lián)立方程可求出和，即可求出通項(xiàng)公式.（2）表示出，裂項(xiàng)相消求和即可.【詳解】（1）解：由題可知，，即，解得，，所以，（）.（2）由（1）知，，所以，所以，（）.2．（2022春·廣東廣州·高二校考期中）記是公差不為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求使成立的的最小值，【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)和求和公式可求得，由此可得；（2）由等差數(shù)列求和公式可得，由可得不等式，解不等式求得的范圍，進(jìn)而得到的最小值.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得：，解得：，.（2）由（1）得：；由得：，化簡(jiǎn)得：；解得：或，又，的最小值為.3．（2022春·廣東佛山·高二佛山一中校考期中）已知等差數(shù)列滿(mǎn)足：，，其前項(xiàng)和為(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意及等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到方程組，解得、，即可求出通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得；(1)解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，∴，(2)解：由（1）可得，∴數(shù)列的前項(xiàng)和為4．（2022春·廣東江門(mén)·高二江門(mén)市第二中學(xué)校考期中）設(shè)是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，且、、成等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記為的前項(xiàng)和，求的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，根據(jù)題意可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用等比數(shù)列的求和公式求出，再利用分組求和法可求得.(1)解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，因?yàn)椤ⅰ⒊傻炔顢?shù)列，則，可得，解得，所以，.(2)解：，所以，.5．（2022秋·廣東廣州·高二校考期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，遞增的等比數(shù)列滿(mǎn)足：，．(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前項(xiàng)和分別為，求．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)求出的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到，故可看作方程的兩根，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出，從而得到公比，求出的通項(xiàng)公式；（2）利用等比數(shù)列的公式求出答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，滿(mǎn)足上式故的通項(xiàng)公式為，設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以可看作方程的兩根，解得：或，因?yàn)榈缺葦?shù)列單調(diào)遞增，所以舍去，故，解得：，故的通項(xiàng)公式為；（2）由等比數(shù)列求和公式得：.6．（2022春·廣東珠海·高二珠海市第二中學(xué)?？计谥校┰O(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)與得關(guān)系，計(jì)算即可得出答案；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法即可得出答案.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，所以，，，所以，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比得等比數(shù)列，是以；（2）解：，則，，兩式相減得，所以.7．（2022春·廣東廣州·高二統(tǒng)考期中）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求證：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意列出方程求得進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由，結(jié)合題意求得，得到，利用乘公比錯(cuò)位相減法，求得數(shù)列的前項(xiàng)和為，進(jìn)而證得，即可求解.(1)解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，可得，即，解得或（舍去），所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)解：由，可得因?yàn)榕c之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，可得，所以，所以，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，可得，則，兩式相減，所以，因?yàn)椋?，所以，?8．（2022春·廣東佛山·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列、滿(mǎn)足，若數(shù)列是等比數(shù)列，且．(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)令，求的前項(xiàng)和為.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由條件解出的公比后求通項(xiàng)公式，由指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求；（2）寫(xiě)出的通項(xiàng)公式，由錯(cuò)位相減法求和．【詳解】（1）

當(dāng)時(shí)，，，又，∴

是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

∴當(dāng)時(shí)，由累加法可得：，又當(dāng)時(shí)，也適合上式，∴（2）

∴①∴②①-②得：

∴9．（2022春·廣東佛山·高二校考期中）在等比數(shù)列中，公比，其前n項(xiàng)和為，且，______．從①，②，③是與2的等差中項(xiàng)這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到上面問(wèn)題中的橫線(xiàn)上，并作答．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，且數(shù)列滿(mǎn)足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)(2)【分析】（1）無(wú)論選哪一個(gè)，都利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；（2）利用裂項(xiàng)相消法、累和法進(jìn)行求解即可.(1)選條件①．由及，得，，兩式相減得，即，所以，又，所以，代入，得，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．選條件②．因?yàn)?，，所以，，兩式相除，得，又，所以，所以，解得，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為．選條件③是與2的等差中項(xiàng)．由是與2的等差中項(xiàng)，得，即，又，所以，所以，，消去，得，又，所以，代入，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．(2)由（1）得，，當(dāng)時(shí)，．又也符合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是．10．（2022春·廣東佛山·高二順德市李兆基中學(xué)校考期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列為等差數(shù)列，，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列是由數(shù)列的項(xiàng)刪去數(shù)列的項(xiàng)后按從小到大的順序排列構(gòu)成的新數(shù)列，求數(shù)列的前50項(xiàng)和.【答案】(1)，.(2)3066.【分析】（1）由可推出，從而得是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得，設(shè)數(shù)列的公差為d，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程，求解即可；（2）數(shù)列的前50項(xiàng)即為數(shù)列的前56項(xiàng)刪去數(shù)列中的前6項(xiàng)，利用分組求和求數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)因?yàn)棰?，所以②，由②①得，即，?dāng)時(shí)，，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，設(shè)數(shù)列的公差為d，，，所以，所以，.(2)因?yàn)?，，所以?shù)列的前50項(xiàng)即為數(shù)列的前56項(xiàng)刪去數(shù)列中的前6項(xiàng)，故所求數(shù)列的前50項(xiàng)和.所以.11．（2022春·廣東佛山·高二佛山市南海區(qū)九江中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由可得及，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求的通項(xiàng)公式；（2）利用分組求和可求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.(1)因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，②，①－②得即，而，故，故，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以；(2)由（1）得，所以.12．（2022春·廣東深圳·高二校考期中）等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，求n的最小值．【答案】(1)(2)8【分析】（1）根據(jù)題中給的等式求解出數(shù)列的首項(xiàng)和公差，再寫(xiě)出通項(xiàng)公式即可；（2）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求解其前項(xiàng)和，最后根據(jù)不等式的知識(shí)求解的最小值．(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，則，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．(2)，，由題得，解得，因?yàn)椋缘淖钚≈凳?．13．（2022春·廣東深圳·高二深圳市建文外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，且求其通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）利用可得答案；（2）利用錯(cuò)位相減求和可得答案．【詳解】（1）當(dāng)n＝1時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，由①，得②，①－②得，，∴，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）知，∴，∴，，∴，∴．14．（2022春·廣東佛山·高二南海中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列中，，.(1)求，并證明為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由遞推公式化簡(jiǎn)，根據(jù)等比數(shù)列的定義證明（2）由分組求和法求解(1)，，，故是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．(2)由（1）得，即，15．（2022春·廣東佛山·高二佛山市順德區(qū)鄭裕彤中學(xué)校考期中）已知數(shù)列中，，，且.(1)設(shè)，證明數(shù)列是常數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求數(shù)列的的前項(xiàng)和；(3)設(shè)，求數(shù)列的前2022項(xiàng)的和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)，(3)【分析】（1）根據(jù)遞推公式可得即，再由即可得證；（2）由（1）可得，從而得到是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式計(jì)算可得；（3）依題意可得，列出的前幾項(xiàng)，即可找到規(guī)律，從而得解；(1)證明：因?yàn)椋?，且所以，又，即，，又，所以，即是常?shù)列；(2)解：由（1）可得，即，又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，記數(shù)列的的前項(xiàng)和為，則；(3)解：因?yàn)樗运?，，，．所以同理可得，，，，所以，，每?jīng)過(guò)4個(gè)數(shù)循環(huán)一次，且，，所以，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以，，16．（2022春·廣東廣州·高二執(zhí)信中學(xué)校考期中）已知數(shù)列是公差大于1的等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，，且2，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）利用基本量代換求出公差d，即可得到通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和，即可證明.(1)設(shè)數(shù)列的公差為d（d>1）.由題意可得：，即，解得：（舍去）.所以.即.(2)由（1）可知：，所以.所以.所以.即證.17．（2022春·廣東汕頭·高二?？计谥校┰冖伲?；②，；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若______.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）選①②，用基本量法即可求出通項(xiàng)公式，選③，根據(jù)和的關(guān)系即可求解.(2)利用裂項(xiàng)相消法，即可求解.(1)解：若選①，，則，解得，所以；若選②，，則，解得，所以；若選③，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)也成立，所以(2)因?yàn)椋?8．（2022春·廣東·高二校聯(lián)考期中）已知首項(xiàng)為2的數(shù)列滿(mǎn)足，記.(1)求證：數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前10項(xiàng)和.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由遞推公式化簡(jiǎn)后證明（2）求出的通項(xiàng)公式，由裂項(xiàng)相消法求解(1)，，故是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列(2)由（1）知，，，故19．（2022春·廣東佛山·高二?？计谥校┮阎炔顢?shù)列滿(mǎn)足，，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.【答案】(1)，；(2)．【分析】(1)由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求、，進(jìn)而可求、；(2)根據(jù)通項(xiàng)公式的特征，采用裂項(xiàng)相消法求其前n項(xiàng)和．(1)等差數(shù)列中，，，，解得，，；；(2)∵，∴，∴．20．（2022春·廣東江門(mén)·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系，求出，再利用與的關(guān)系式求出；（2）首先求出，再利用裂項(xiàng)求和的方法求出.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，符合上式，所以的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）得所以.21．（2022春·廣東揭陽(yáng)·高二普寧市華僑中學(xué)校考期中）已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a3＋a5＝5，S4＝7．(1)求an；(2)記bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式建立方程組，求解即可；（2）由（1）得bn＝，運(yùn)用裂項(xiàng)求和法可求得答案.(1)解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則解得，故an＝；(2)解：因?yàn)閍n＝，所以bn＝＝＝2(－)，故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝2()

＝2＝.22．（2022春·廣東佛山·高二校聯(lián)考期中）“綠水青山就是金山銀山”是時(shí)任浙江省委書(shū)記習(xí)近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察時(shí)提出的科學(xué)論斷，2017年10月18日，該理論寫(xiě)入中共十九大報(bào)告.為響應(yīng)總書(shū)記號(hào)召，我國(guó)某西部地區(qū)進(jìn)行沙漠治理，該地區(qū)有土地1萬(wàn)平方公里，其中70%是沙漠，從今年起，該地區(qū)進(jìn)行綠化改造，每年把原有沙漠的16%改造為綠洲，同時(shí)原有綠洲的4%被沙漠所侵蝕又變成沙漠，記該地區(qū)今年綠洲的面積為萬(wàn)平方公里，第n年綠洲的面積為萬(wàn)平方公里.(1)求第n年綠洲的面積與上一年綠洲的面積的關(guān)系；(2)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(3)求第幾年該地區(qū)的綠洲面積可超過(guò)60%?（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)，；(2)證明見(jiàn)解析，；(3)第6年.【分析】（1）根據(jù)給定條件，列式、化簡(jiǎn)即可作答.（2）利用（1）中等式，變形并結(jié)合等比數(shù)列定義判斷，求出通項(xiàng)公式作答.（3）利用（2）中結(jié)論，列出不等式，借助對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解作答.(1)依題意，，，所以.(2)由（1）知，，，即，又，有，于是得是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，所以.(3)由（2）知，，即，兩邊取常用對(duì)數(shù)得，則，即，所以第6年該地區(qū)的綠洲面積可超過(guò)60%.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及實(shí)際意義給出的數(shù)列問(wèn)題，正確理解實(shí)際意義，列出關(guān)系式，作等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求解.23．（2022春·廣東佛山·高二?？计谥校┮阎炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和，且，為等比數(shù)列數(shù)列的第2、3項(xiàng)．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求證：【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)可求出，從而可求出，則可得公比，從而可求出的通項(xiàng)公式，（2）先利用錯(cuò)位相減法求出，然后利用放縮法可證得結(jié)論(1)由，則當(dāng)時(shí)，且時(shí)滿(mǎn)足上式，所以，，設(shè)數(shù)列的公式為，則，所以，(2)令∴24．（2022春·廣東佛山·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用與的關(guān)系，推出的遞推關(guān)系，從而判定是等比數(shù)列，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式；（2）利用（1）的結(jié)論，求出和，根據(jù)的特征采用裂項(xiàng)相消法求其前項(xiàng)和(1)當(dāng)時(shí)，，則.當(dāng)時(shí)，，則，即，從而是首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列，故.(2)由（1）可得，則，則.25．（2022秋·廣東廣州·高二校考期中）已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，，且，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得到，化為基本量和的關(guān)系，即可求解；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（1）等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差設(shè)為，由，，成等比數(shù)列，則，即，即，解得，所以.（2）由題意，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，兩式相減得即，化簡(jiǎn)得.26．（2022春·廣東江門(mén)·高二臺(tái)山市華僑中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)可構(gòu)造方程組求得，由此可得公比，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得；（2）由（1）可得，采用錯(cuò)位相減法可求得結(jié)果.【詳解】（1）數(shù)列為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，，或（舍），數(shù)列的公比，.（2）由（1）得：，，，兩式作差得：.27．（2022春·廣東韶關(guān)·高二校考期中）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；（Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析；（Ⅲ）.【分析】(Ⅰ)由題意分別求得數(shù)列的公差、公比，然后利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到結(jié)果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結(jié)論首先求得數(shù)列前n項(xiàng)和，然后利用作差法證明即可；(Ⅲ)分類(lèi)討論n為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后分別利用指數(shù)型裂項(xiàng)求和和錯(cuò)位相減求和計(jì)算和的值，據(jù)此進(jìn)一步計(jì)算數(shù)列的前2n項(xiàng)和即可.【詳解】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.由，，可得d=1.從而的通項(xiàng)公式為.由，又q≠0，可得，解得q=2，從而的通項(xiàng)公式為.(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，故，，從而，所以.(Ⅲ)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，對(duì)任意的正整數(shù)n，有，和①由①得②由①②得，由于，從而得：.因此，.所以，數(shù)列的前2n項(xiàng)和為.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，分組求和法，指數(shù)型裂項(xiàng)求和，錯(cuò)位相減求和等，屬于中等題.28．（2022春·廣東廣州·高二廣州市協(xié)和中學(xué)?？计谥校┮阎炔顢?shù)列中，前項(xiàng)和為，，為等比數(shù)列且各項(xiàng)均為正數(shù)，，且滿(mǎn)足：.（1）求與；（2）記，求的前項(xiàng)和；（3）若不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）,

（2）（3）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為,由,,且滿(mǎn)足:,.可得,,聯(lián)立解出即可得出.（2）,利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出.（2）不等式,即,化為:.對(duì)n分類(lèi)討論,利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為,,,且滿(mǎn)足:,，,,聯(lián)立解得,,；（2）,的前n項(xiàng)和,,兩式相減得,；（3）不等式,即,化為:，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),,解得，對(duì)一切恒成立,，實(shí)數(shù)m的取值范圍是【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查求等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求和，數(shù)列不等式恒成立求參數(shù)范圍，解答本題的關(guān)鍵是利用錯(cuò)位相減法求和，計(jì)算要準(zhǔn)確，不等式,即,化為:，再分的奇偶性分別求解即可.屬于中檔題.29．（2022春·廣東廣州·高二廣州市育才中學(xué)校考期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上，數(shù)列滿(mǎn)足，且(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明列數(shù)是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足對(duì)任意的成立，求的值．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析，(3)【分析】（1）利用求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)題干條件變形得到，從而得到結(jié)果；（3）求出，利用分組求和和等比數(shù)列求和公式進(jìn)行求解.【詳解】（1）點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，也適合，的通項(xiàng)公式為（2）∵∴∵∴其首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列∴∴（3）由（2）得由題意得：均有，∴∴∴又∵∴∴∴===30．（2022春·廣東廣州·高二廣州市禺山高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知數(shù)列中，，，且．(1)設(shè)，試用表示，并求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)提示將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可；（2）根據(jù)兩角差的正弦公式可將化為裂項(xiàng)式求和.(1)，，所以，所以，所以，.(2)，所以.試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)

期中專(zhuān)題02立體幾何大題綜合1．（2022秋·廣東江門(mén)·高二臺(tái)山市第一中學(xué)校考期中）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線(xiàn)與平面所成角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）要證平面，可證，結(jié)合正方體性質(zhì)即可求證；（2）以方向?yàn)檩S正方向，方向?yàn)檩S正方向，方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求出和平面的法向量，由向量的夾角公式求出與平面所成角的正弦值，結(jié)合同角三角函數(shù)即可求解.【詳解】（1）連接，因?yàn)閹缀误w為正方體，所以，四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以，平面，平面，所以平面；?）以方向?yàn)檩S正方向，方向?yàn)檩S正方向，方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，設(shè)，則，，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則，即，所以，故直線(xiàn)與平面所成角的余弦值為.2．（2022秋·廣東清遠(yuǎn)·高二校聯(lián)考期中）如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體中，分別是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且.(1)求證：；(2)當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，求平面與平面的夾角的正切值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析.(2).【分析】（1）不妨設(shè)，建立空間直角坐標(biāo)系，求的相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出向量，的坐標(biāo)，計(jì)算二者的數(shù)量積，即可證明結(jié)論；（2）確定三棱錐的體積取得最大值時(shí)m的值，求出平面與平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式即可求得答案.【詳解】（1）不妨設(shè)，以C為原點(diǎn)，為單位正交基底建立如圖空間直角坐標(biāo)系.則,，，,則,，故.（2）由（1）知,而

，故當(dāng)取到最大值時(shí)，三棱錐的體積取得最大值，，當(dāng)時(shí)，有最大值，即三棱錐的體積取得最大值，取為平面的法向量，,,設(shè)為平面EFB’的法向量，則，即，令，則，所以，令平面與平面的夾角為，

則，，平面與平面的夾角的正切值為.3．（2022秋·廣東肇慶·高二校考期中）如圖在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).(1)求直線(xiàn)到直線(xiàn)的距離；(2)求直線(xiàn)到平面的距離.【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，經(jīng)過(guò)計(jì)算可發(fā)現(xiàn)，則直線(xiàn)到直線(xiàn)的距離可轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，然后利用向量方法進(jìn)行求解即可；（2）經(jīng)過(guò)計(jì)算可發(fā)現(xiàn)平面，則直線(xiàn)到平面的距離可轉(zhuǎn)化成到平面的距離，然后利用向量方法進(jìn)行求解即可【詳解】（1）以為原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則所以，，則，即，則，所以直線(xiàn)到直線(xiàn)的距離可轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，，，在上的投影向量的長(zhǎng)度為，，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．所以直線(xiàn)到直線(xiàn)的距離為（2）由（1）可得，，，設(shè)平面的法向量為，由，令，則，得，因?yàn)?，所以，則平面，所以直線(xiàn)到平面的距離可轉(zhuǎn)化成到平面的距離，則，所以直線(xiàn)到平面的距離4．（2022秋·廣東江門(mén)·高二校考期中）如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，，F(xiàn)，G分別是PB，AD的中點(diǎn)．(1)求證：FG//平面PCD；(2)求點(diǎn)C到平面PGB的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)證明面的法向量與線(xiàn)的方向向量垂直即可；（2）求出面的法向量，利用空間向量法求出點(diǎn)到面的距離.【詳解】（1）以為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則明顯面的一個(gè)法向量為，又，，，又面，面；（2），設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，即，令，則所以平面的一個(gè)法向量為，又，所以點(diǎn)C到平面PGB的距離5．（2022秋·廣東清遠(yuǎn)·高二校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面PAD，E是AD的中點(diǎn)，為等腰直角三角形，，=(1)求證：；(2)求點(diǎn)A到平面PBE的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）利用線(xiàn)面垂直性質(zhì)定理去證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法去求點(diǎn)A到平面PBE的距離．【詳解】（1）∵平面，平面PAD，∴，又∵是等腰直角三角形，是斜邊AD的中點(diǎn)，∴，又∵平面，平面，，∴平面又∵平面ABCD，∴；（2）在平面ABCD內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作AD的垂線(xiàn)EF，交BC于F，由平面PAD，平面，可得平面PAD平面又平面PAD平面，平面，則平面PAD，又，則兩兩垂直則以為原點(diǎn)，分別以EP，EA，EF所在的直線(xiàn)為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖因?yàn)椋瑒t，，，則，，設(shè)平面PBE的一個(gè)法向量為，，取，則，故設(shè)點(diǎn)A到平面PBE的距離為h，則h=，∴點(diǎn)A到平面PBE的距離為．6．（2022秋·廣東江門(mén)·高二新會(huì)陳經(jīng)綸中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在直角梯形中，平面，，．(1)求證：；(2)在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)M，使平面與平面的夾角的大小為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）作，通過(guò)證明，來(lái)證明平面，從而證得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)，通過(guò)計(jì)算兩個(gè)平面的法向量得到，解出的值，再根據(jù)的取值范圍判斷即可．【詳解】（1）如圖，作，連接，，，∵且，，即點(diǎn)G在平面內(nèi)，所以四邊形為平行四邊形，四邊形為平行四邊形.又，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，平面，∴平面，因?yàn)槠矫妫?，所以平行四邊形為矩形，又因?yàn)?，所以矩形為正方形，所以，又因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）由（1）知，，為三條兩兩互相垂直的直線(xiàn)，所以以為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，設(shè)，∴，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，所以平面的法向量為，又平面，即平面，為平面的一個(gè)法向量，所以，解得，又因?yàn)椋试谏喜淮嬖邳c(diǎn)M，使平面與平面的夾角大小為.7．（2022秋·廣東江門(mén)·高二臺(tái)山市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，邊長(zhǎng)為1的正方形所在平面與正方形所在平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)、分別在正方形對(duì)角線(xiàn)和上移動(dòng)，且．(1)求證與平面平行；(2)當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）采用建系法，表示出坐標(biāo)，要證與平面平行，即證平面的法向量；（2）分別求出平面和平面的法向量，由向量夾角的余弦公式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，所以平面，，所以平面，顯然三垂直，以方向?yàn)檩S正方向，方向?yàn)檩S正方向，方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，，因?yàn)?，所以，，設(shè)，，，由，得，，，由得，，可設(shè)平面的法向量為，，所以與平面平行；（2）當(dāng)時(shí)，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，可設(shè)，故，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，故，設(shè)二面角的平面角為，則，故二面角的余弦值為.8．（2022秋·廣東肇慶·高二肇慶市端州中學(xué)校考期中）如圖在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)棱，底面為直角梯形，其中，，，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理即可證明；（2）利用向量法先求得兩平面的法向量的夾角的余弦值，再求正弦值即可．【詳解】（1），為的中點(diǎn)，，側(cè)面底面，側(cè)面底面，平面，平面；（2）底面為直角梯形，其中，，，，又平面，以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易得平面的法向量，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)二面角夾角為，則，則，二面角的正弦值為．9．（2022秋·廣東江門(mén)·高二江門(mén)市第二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知平面，底面為矩形，分別為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)若為中點(diǎn)，連接，易證為平行四邊形，則，根據(jù)線(xiàn)面平行的判定即可證明；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，易知是面的一個(gè)法向量，求出平面的法向量量，利用向量的夾角公式即可求解.【詳解】（1）若為中點(diǎn)，連接，又?為?的中點(diǎn)，底面為矩形，所以且，而且，所以且，故為平行四邊形，故，又面，面，則面.（2）由題意，可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，，所以，，，，則，，，若是面的一個(gè)法向量，則，令，故，又是面的一個(gè)法向量，所以，故平面與平面的夾角的余弦值.10．（2022秋·廣東陽(yáng)江·高二校聯(lián)考期中）圖1是直角梯形ABCD，，.以BE為折痕將折起，使點(diǎn)C到達(dá)C1的位置，且，如圖2.(1)證明：平面平面ABED；(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）首先作輔助線(xiàn)，連接AE，AC，AC交BE于點(diǎn)F，利用垂直關(guān)系證明C1F⊥平面ABED，即可證明；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，利用向量法求線(xiàn)面角的正弦值.【詳解】（1）證明：如圖①，連接AE，AC，AC交BE于點(diǎn)F.因?yàn)椋?，所以，所以，又，所以四邊形AECB是平行四邊形，,，所以四邊形是菱形，在中，AC=，所以.在圖②中，，所以，所以，由題意得，又，平面ABED，所以平面ABED，又平面，所以平面平面ABED.（2）如圖②，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為x，y軸的正方向，的方向?yàn)閦軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系則，F(xiàn)，，所以，,，設(shè)平面的法向量為=(x，y，z)，由得取，得，所以，記直線(xiàn)與平面所成的角為θ，則==.11．（2022秋·廣東深圳·高二深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┤鐖D所示，在四棱錐中，底面為正方形，E為側(cè)棱PC的中點(diǎn)．(1)設(shè)經(jīng)過(guò)A、B、E三點(diǎn)的平面交PD于F，證明：F為PD的中點(diǎn)；(2)若底面，且，求點(diǎn)到平面ABE的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理證明，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求解，【詳解】（1）因?yàn)榈酌鏋榫匦危?又平面，且平面，所以平面.又平面ABE，且平面平面，所以.又因?yàn)?，所以因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，所以F為PD的中點(diǎn).（2）如圖所示，以為原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，設(shè)是平面的法向量，則，即令，則平面的一個(gè)法向量為又因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離為，即點(diǎn)到平面的距離為．12．（2022秋·廣東陽(yáng)江·高二校聯(lián)考期中）如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB＝60°.側(cè)棱DD1⊥平面ABCD，DD1＝3.(1)求二面角B-D1C-D的平面角的余弦值；(2)設(shè)E是D1B的中點(diǎn)，在線(xiàn)段D1C上是否存在一點(diǎn)P，使得AE∥平面PDB？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的夾角即可求二面角，（2）根據(jù)線(xiàn)面平行的向量方法，利用法向量與方向向量垂直即可求解.【詳解】（1）如圖1，連接BD，由題意，△ADB是正三角形，設(shè)M是AB的中點(diǎn)，則DM⊥AB，所以DM⊥DC，又DD1⊥平面ABCD，所以DM⊥平面DD1C1C.以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，D1(0,0,3)，C(0,2,0)，B(,1,0)，則＝(－,1,0)，＝(－,－1,3).顯然，平面D1CD的一個(gè)法向量是，設(shè)平面BD1C的法向量為(x,y,z)，則令x＝，得(,3,2)，設(shè)二面角B-D1C-D的平面角為θ，由幾何體的特征可知為銳角，則＝＝.故二面角B-D1C-D的平面角的余弦值為.（2）設(shè)＝λ，即有，其中由（1）知D1，C，則，所以P，又D，B，于是＝，＝，設(shè)平面PBD的法向量為，則令x＝，得，因?yàn)锳，D1B的中點(diǎn)為E，所以＝，因?yàn)槠矫鍼DB，所以，即，得λ＝，即線(xiàn)段D1C上存在點(diǎn)P使得平面PDB，此時(shí)＝13．（2022秋·廣東茂名·高二統(tǒng)考期中）在直四棱柱中，四邊形為平行四邊形，為的中點(diǎn)，，.(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用勾股定理可證得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積運(yùn)算可證得，，由線(xiàn)面垂直的判定可得結(jié)論；（2）利用面面角的向量求法直接求解即可.【詳解】（1）四邊形為平行四邊形，，又，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，即，，，平面，平面.（2）由（1）：平面的一個(gè)法向量為；設(shè)平面的法向量，，，，令，解得：，，，，平面與平面夾角的余弦值為.14．（2022秋·廣東揭陽(yáng)·高二惠來(lái)縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎睦忮F中，底面是矩形，且，是正三角形，平面，、、、分別是、、、的中點(diǎn)．(1)求平面與平面所成角的大?。?2)線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)與平面所成角的大小為，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）證明出平面，，設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得結(jié)果；（2）設(shè)，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，結(jié)合可求得的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：因?yàn)槭钦切危瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，，平面，平面，因?yàn)榍?，、分別為、的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，、、、、、、，，，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，易知平面的一個(gè)法向量為，則，即平面與平面所成的銳二面角得余弦值為，因此平面與平面所成的銳二面角為；（2）解：假設(shè)線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)與平面所成角的大小為，設(shè)，其中，，由題意可得，整理可得，因?yàn)椋獾?，因此在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)與平面所成角的大小為，且.15．（2022秋·廣東佛山·高二順德一中?？计谥校┤鐖D，在直棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，，是上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.(1)當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求直線(xiàn)到平面的距離；(2)求直線(xiàn)和平面所成角的正弦值的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平面，可將所求距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，以與的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到平面距離的向量求法可求得結(jié)果；（2）設(shè)，利用線(xiàn)面角的向量求法可求得，根據(jù)的范圍，結(jié)合二次函數(shù)值域求法可求得的取值范圍.【詳解】（1），平面，平面，平面，直線(xiàn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，以為原點(diǎn)，正方向分別為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，，，為的中點(diǎn)，則，，，，則，令，解得：，，；點(diǎn)到平面的距離，即直線(xiàn)到平面的距離為.（2）設(shè)，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，解得：，，，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，，，，，即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的取值范圍為.16．（2022秋·廣東佛山·高二順德一中校考期中）如圖，在直角梯形中，，，，，，.將矩形沿翻折，使得平面平面.(1)求與平面所成角的正弦值.(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)可證得平面，由線(xiàn)面角的向量求法可求得結(jié)果；（2）根據(jù)平面，可得平面的法向量為，由面面角的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】（1）平面平面，平面平面，，平面，平面，則以為原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得：，，，即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.（2）平面，平面的一個(gè)法向量，，即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.17．（2022秋·廣東珠海·高二珠海市第二中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，在中，，分別為棱的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，如圖2，連接.(1)求證：平面平面；(2)若為中點(diǎn)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；(3)線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)，使二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)存在，【分析】（1）通過(guò)證明平面，即可證明平面平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，利用空間向量求解即可；（3）設(shè)線(xiàn)段上存在一點(diǎn)使二面角的余弦值為，則，利用空間向量求解即可.【詳解】（1）因?yàn)橹校?，別為棱的中點(diǎn)，所以，即，又因?yàn)?，即，，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）由（1）得兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示坐標(biāo)系，由題意得，所以，，設(shè)平面的法向量，則，解得，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，所以，故直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.（3）設(shè)線(xiàn)段上存在一點(diǎn)使二面角的余弦值為，則，由（2）得，則，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，，設(shè)平面的法向量，平面的法向量，則，解得，設(shè)二面角為，所以，解得，故線(xiàn)段上存在一點(diǎn)使二面角的余弦值為，此時(shí).18．（2022秋·廣東廣州·高二廣州市第八十九中學(xué)校考期中）如圖，已知梯形，//，，四邊形為正方形，且平面平面．(1)求證：平面；(2)點(diǎn)M在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，求平面與平面夾角余弦值的取值范圍．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）利用勾股定理證明，再由面面垂直即可證明線(xiàn)面垂直；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得兩個(gè)平面的法向量，利用法向量夾角與二面角夾角之間的關(guān)系，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：在梯形中，由，得，∵//，設(shè)，∴，則，∴，得．∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.（2）根據(jù)（1）中所證可得：兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：令，則．，，，．設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由，取，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，得，設(shè)平面與平面所成二面角為，則．∵，∴，故.即平面與平面所成二面角余弦值的取值范圍為．19．（2022秋·廣東東莞·高二校考期中）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，E，M分別是BC，AE的中點(diǎn)，AD=AA1=1，AB=2.(1)試問(wèn)在線(xiàn)段CD1上是否存在一點(diǎn)N，使MN∥平面ADD1A1?若存在，確定N的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)在（1）中，當(dāng)MN∥平面ADD1A1時(shí)，試確定直線(xiàn)BB1與平面DMN的交點(diǎn)F的位置，并求BF的長(zhǎng).【答案】(1)存在，N為CD1的中點(diǎn)(2)點(diǎn)F是線(xiàn)段BB1上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)，BF=【分析】(1)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)CD1上存在點(diǎn)N使MN∥平面ADD1A1并設(shè)=λ利用空間向量法求出平面ADD1A1的法向量，根據(jù)⊥求出即可；(2)根據(jù)題意可知點(diǎn)F在平面DMN內(nèi)，設(shè)F（1，2，t)，結(jié)合空間向量的基本定理求出即可.【詳解】（1）如圖，以{}為基底建立空間直角坐標(biāo)系D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0)，E，M，所以=(0，2，0)，==(0，-2，1).法一：假設(shè)CD1上存在點(diǎn)N使MN//平面ADD1A1，并設(shè)=λ=λ(0，-2，1)=(0，-2λ，λ)

(0<λ<1)，則=+=(0，2，0)+(0，-2λ，λ)=，=-=，由題意知=(0，2，0)是平面ADD1A1的一個(gè)法向量，所以⊥，即2(1-2λ)=0，解得λ=.因?yàn)镸N?平面ADD1A1，所以當(dāng)N為CD1的中點(diǎn)時(shí)，MN//平面ADD1A1.法二：由CD1面Dyz，假設(shè)CD1上存在點(diǎn)N(0，y，z)，使MN//平面ADD1A1，在△CDD1中，由三角形相似的性質(zhì)知，，即①，=(0，2，0)是平面ADD1A1的一個(gè)法向量，而由得②，由①②得：y=1，，因?yàn)镸N?平面ADD1A1，所以當(dāng)N為CD1的中點(diǎn)時(shí)，MN//平面ADD1A1.，（2）法一：由已知，點(diǎn)F在直線(xiàn)BB1上，因直線(xiàn)BB1與z軸平行，可設(shè)F（1，2，t)，，又點(diǎn)F在平面DMN內(nèi)，因而存在實(shí)數(shù)，使得=+，即（1，2，t)=，，整理得：（1，2，t)=，因而，解得，所以F（1，2，)，故是線(xiàn)段BB1上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)，BF=.法二：由已知，點(diǎn)F在直線(xiàn)BB1上，因直線(xiàn)BB1與z軸平行，可設(shè)F（1，2，t)，，設(shè)平面DMN的法向量為=(x，y，z)，=，由·0，·0得化簡(jiǎn)得即，取得，，因而平面DMN的法向量為=(2，，3)，在平面DMN內(nèi)任取一點(diǎn)，不妨取點(diǎn)D，與點(diǎn)F組成的向量=（1，2，t)，可得·=0，即2×1+()×2+3t=0，解得，因而F（1，2，)，故是線(xiàn)段BB1上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)，BF=，法三：由已知，點(diǎn)F在直線(xiàn)BB1上，因直線(xiàn)BB1與z軸平行，可設(shè)F（1，2，t)，，設(shè)平面DMN內(nèi)任一點(diǎn)P(x，y，z)，在平面DMN內(nèi)任異于點(diǎn)P的一點(diǎn)，不妨取點(diǎn)D，與點(diǎn)P組成的向量=(x，y，z)，因?yàn)椤?0，即2xy+3z=0，，將F（1，2，t)代入，解得，因而F（1，2，)，故是線(xiàn)段BB1上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)，BF=.，法四：（思路）：由（1）N為CD1的中點(diǎn)，延長(zhǎng)DN，必過(guò)點(diǎn)C1，連結(jié)AB1，易證DC1//AB1.延長(zhǎng)DM交AB于點(diǎn)G，可證點(diǎn)G是線(xiàn)段AB的一個(gè)三等分點(diǎn).再過(guò)點(diǎn)G作GF//AB1與線(xiàn)段BB1交于點(diǎn)F，易得BF=.20．（2022秋·廣東湛江·高二湛江二十一中校考期中）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)在棱上移動(dòng)．(1)證明：；(2)求平面的法向量.(3)當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，（1）利用直線(xiàn)方向向量垂直證明線(xiàn)線(xiàn)垂直；（2）利用待定系數(shù)法求解平面的一個(gè)法向量；（3）利用數(shù)量積的幾何意義求點(diǎn)到平面的距離【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線(xiàn)為軸，建立如圖的坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)，所以，所以，故所以；（2）設(shè)平面的法向量為，則，由，得，令得；（3）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，，則，由點(diǎn)到平面的距離公式，得，所以點(diǎn)到面的距離是.21．（2022秋·廣東廣州·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐P—ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，，G為CD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是棱PD上兩點(diǎn)（F在E的上方），且．(1)若平面AEG，求DE；(2)當(dāng)點(diǎn)F到平面的距離取得最大值時(shí)，求直線(xiàn)AG與平面AEC所成角的正弦值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）連接交于，利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理可得，結(jié)合條件可得，即得；（2）由題可得三棱錐的體積為定值，進(jìn)而可得到的距離最小時(shí)，點(diǎn)F到平面的距離最大，利用坐標(biāo)法可得此時(shí)，再利用線(xiàn)面角的向量求法即得.【詳解】（1）連接交于，連接，因?yàn)镚為CD的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面平面，平面，所以，所以，又，所以；?）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又底面為正方形，所以，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)椋缘拿娣e為定值，又點(diǎn)到平面的距離為定值，所以三棱錐的體積為定值，即三棱錐的體積為定值，所以要使點(diǎn)F到平面的距離最大，則的面積最小時(shí)點(diǎn)F到平面的距離最大，即到的距離最小時(shí)，點(diǎn)F到平面的距離最大，設(shè)，則，，所以到的距離為，所以當(dāng)時(shí)，到的距離最小，點(diǎn)F到平面的距離最大，此時(shí)，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，又，設(shè)直線(xiàn)AG與平面AEC所成角為，則，即直線(xiàn)AG與平面AEC所成角的正弦值.22．（2022秋·廣東廣州·高二校聯(lián)考期中）在多面體中，平面為正方形，，，，二面角的平面角的余弦值為，且.(1)證明：平面平面；(2)若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）根據(jù)勾股定理及線(xiàn)面垂直的判定定理可得平面，然后根據(jù)面面垂直的判定定理即得；（2）由題可得是二面角的平面角，作于點(diǎn)，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法結(jié)合面面角的向量求法可得面面角的夾角的余弦值，然后利用換元法結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】（1）∵，，，∴，即，又∵在正方形中，，且，平面，平面，∴平面，又平面，∴平面平面；（2）由（1）知，是二面角的平面角，作于點(diǎn)，則，，且平面平面，平面平面，平面，∴平面，取中點(diǎn)，連接，則，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，∴，令，則根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得或，∴，∴；當(dāng)時(shí)，；∴，即平面與平面所成銳二面角的余弦值的取值范圍為.23．（2022秋·廣東佛山·高二佛山市順德區(qū)容山中學(xué)校考期中）如圖，圓柱的軸截面為正方形，點(diǎn)在底面圓周上，且為上的一點(diǎn)，且為線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)（不與重合）(1)若，設(shè)平面面，求證：；(2)當(dāng)平面與平面夾角為，試確定點(diǎn)的位置.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)為中點(diǎn).【分析】（1）由線(xiàn)面垂直、圓的性質(zhì)有、，再由線(xiàn)面垂直的判定及性質(zhì)得，進(jìn)而有面，最后由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)、射影定理及線(xiàn)面平行的判定和性質(zhì)證結(jié)論；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系求的坐標(biāo)，設(shè)，可得，再分別求出面、面的法向量，結(jié)合已知面面角的大小求參數(shù)，即可確定點(diǎn)的位置.【詳解】（1）由題知面面，則，由為底面圓的直徑，則，由，面，面，又∵面，∴，又，面，面，又∵面，故.由，在中，由射影定理：，故面面,∴面，又面面，面，∴.（2）由（1）知，以為原點(diǎn)為軸正方向，過(guò)的母線(xiàn)為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，設(shè)，，設(shè)面的法向量為，則，令，則，又平面的一個(gè)法向量設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得或，其中時(shí)重合，不合題意，故當(dāng)平面與平面夾角為時(shí)，此時(shí)為中點(diǎn).24．（2022秋·廣東肇慶·高二肇慶市端州中學(xué)?？计谥校┤鐖D，四棱錐的底面為菱形，，底面，分別是線(xiàn)段的中點(diǎn)，是線(xiàn)段上的一點(diǎn).(1)若是直線(xiàn)與平面的交點(diǎn)，試確定的值；(2)若直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，求三棱錐體積.【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面的法向量，由可解得得到答案；（2）設(shè)，根據(jù)直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，求出確定的位置，求出平面的法向量，計(jì)算點(diǎn)到平面的距離，計(jì)算的面積，代入體積公式計(jì)算可得答案.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，則，分別以所在直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，設(shè)，則設(shè)平面的法向量，則，所以，取，易知，所以，解得，此時(shí)；（2）設(shè)，則則，整理得，解得或（舍去），，，設(shè)平面的法向量為，則，所以，取，又，則點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離為，由已知條件，在中，，可得所以，.25．（2022秋·廣東江門(mén)·高二校考期中）如圖甲，在矩形中，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，沿直線(xiàn)折起，使得，如圖乙.(1)求證：平面；(2)線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成的角為？若不存在，說(shuō)明理由；若存在，求出點(diǎn)的位置.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)【分析】（1）作出輔助線(xiàn)，得到，，從而得到線(xiàn)面垂直，得到面面垂直，再由，面面垂直的性質(zhì)得到線(xiàn)面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出的坐標(biāo)，求出平面的法向量，從而列出方程，求出的值，確定點(diǎn)位置.【詳解】（1）證明：連接，取線(xiàn)段的中點(diǎn)，連接，在Rt中，，，在中，，由余弦定理可得：，在中，，又平面，平面，又平面∴平面平面，在中，，∵平面平面平面，平面.（2）過(guò)作的平行線(xiàn)，以為原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，平面的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的方程為，設(shè)的坐標(biāo)為，則，設(shè)平面的法向量為，，所以，令，則，由已知，解之得：或9（舍去），所以點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn).26．（2022秋·廣東惠州·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，，，，，，分別是線(xiàn)段，的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)詳解.(2)【分析】（1）過(guò)作交于，利用勾股定理證得，進(jìn)而得到，進(jìn)而證得平面，故平面平面；（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再代入算得結(jié)果.【詳解】（1）如圖，在四邊形中，過(guò)作交于，在中，得，，則，得，，又由已知條件平面，故平面，又平面平面平面.（2）為等腰三角形，，又因?yàn)槠矫妫詾樵c(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：可得，，設(shè)平面的法向量為，根據(jù)，得，令，則，得，又，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則，故直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.27．（2022秋·廣東廣州·高二校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐中，平面平面，是的平分線(xiàn)，且.(1)若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，證明：平面；(2)已知二面角的大小為，求平面和平面的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析.(2).【分析】(1)延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接,證明即可；(2)以的中點(diǎn)為為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法解決問(wèn)題.【詳解】（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，在中，是的平分線(xiàn)，且，是等腰三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，，又平面平面，直線(xiàn)平面.（2）在中，，則，即，由已知得，又平面平面平面所以平面，即，所以以為二面角的平面角，所以，又，所以為正三角形，取的中點(diǎn)為，連，則平面如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)分別為平面和平面的法向量，則，即，取，則，，即，取，則，所以.則平面和平面所成夾角的余弦值為.28．（2022秋·廣東珠海·高二珠海市斗門(mén)區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，等腰直角△ACD的斜邊AC為直角△ABC的直角邊，E是AC的中點(diǎn)，F(xiàn)在BC上．將三角形ACD沿AC翻折，分別連接DE，DF，EF，使得平面平面ABC．已知，，(1)證明：平面ABD；(2)若，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）過(guò)D作，垂足為G，根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)與判定可得平面DEF，進(jìn)而證明即可；（2）先根據(jù)（1）結(jié)合可得，，，再以E為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面CDF的法向量，再根據(jù)面面垂直的向量求法求解即可【詳解】（1）證明：過(guò)D作，垂足為G，∵平面平面ABC，平面平面，平面DEF，∴平面ABC，∵平面ABC，∴，∵E是等腰直角三角形ADC斜邊AC的中點(diǎn)，∴，又，DE，平面DEF，∴平面DEF，∵平面DEF，∴，∵，∴，∵平面ABD，平面ABD，∴平面ABD．（2）由題意可知，在等腰直角三角形ADC中，∵，∴，由（1）可知，EF為直角三角形BAC的中位線(xiàn)，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，．以E為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面CDF的法向量，則，，，，，由得，令，則，顯然，平面ABC的法向量，．二面角的余弦值．29．（2022秋·廣東陽(yáng)江·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四面體ABCD中，是正三角形，是直角三角形，，AB=BD．(1)求證：平面平面ABC；(2)若，二面角的余弦值為，求m．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，則由已知可得為二面角的平面角，由已知可得，所以可得，從而可證得結(jié)論，（2）由于，所以以為原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解【詳解】（1）證明：因?yàn)槭钦切?，所以因?yàn)?，公共邊，所以?所以，因?yàn)槭侵苯侨切危裕〉闹悬c(diǎn)，連接，則,因?yàn)槭钦切?，所以，所以為二面角的平面角，在中，，因?yàn)?，所?所以，所以平面平面ABC；（2）由（1）可得，所以以為原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)等邊的邊長(zhǎng)為2，則，則，因?yàn)椋?，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐?，所以，化?jiǎn)得，，解得或，如圖，過(guò)作于，連接，則由（1）可得，因?yàn)?，所以平面，所以平面平面，所以二面角為直角二面角，因?yàn)?，所?所以,得，所以，所以,所以當(dāng)時(shí)，二面角為鈍角，所以舍去，所以30．（2022春·廣東廣州·高二執(zhí)信中學(xué)?？计谥校┮阎鰽BC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)M，N分別是邊AB，AC的三等分點(diǎn)，且，，沿MN將△AMN折起到的位置，使．(1)求證：平面MBCN；(2)在線(xiàn)段BC上是否存在點(diǎn)D，使平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，設(shè)，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，或，【分析】（1）由已知可得，則得，再結(jié)合，由線(xiàn)面垂直的判定定理可證得平面MBCN；（2）由（1）可知兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)存在，先求出平面的法向量，利用向量的夾角公式列方程求解判斷即可【詳解】（1）證明：△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)M，N分別是邊AB，AC的三等分點(diǎn)，且，，所以，所以由余弦定理得，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)椋云矫鍹BCN；（2）由（1）可知兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，因?yàn)?，，所以平面，所以為平面的一個(gè)法向量，假設(shè)線(xiàn)段BC上存在點(diǎn)D，設(shè)，則，所以（），所以,設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因?yàn)槠矫媾c平面所成銳二面角的余弦值為所以，化簡(jiǎn)得，，解得或，所以在線(xiàn)段BC上是存在點(diǎn)D，使平面與平面所成銳二面角的余弦值為，此時(shí)或，試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)

期中專(zhuān)題03計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)大題綜合1．（2022春·廣東深圳·高二?？计谥校┮阎恼归_(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64(1)求n的值；(2)求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．【答案】(1)6；(2).【分析】（1）利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）由（1）求出，根據(jù)展開(kāi)式中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即可知道二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為，即可求解.(1)由題意的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，即，解得；(2)因?yàn)?，且展開(kāi)式中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為，即.2．（2022春·廣東東莞·高二?？计谥校┮阎归_(kāi)式中第3項(xiàng)和第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等.(1)求展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)；(2)展開(kāi)式系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？【答案】(1)(2)第3項(xiàng)和第4項(xiàng)【分析】（1）根據(jù)題意得到，求得展開(kāi)式的通項(xiàng)，令，解得，代入即可求解；（2）設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最大，列出不等式組，求得的值，即可求解.【詳解】（1）解：由展開(kāi)式中第3項(xiàng)和第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，可得，解得，則二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，令，解得，所以含有的項(xiàng)的系數(shù)為.（2）解：設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最大，則，即，解得且，所以系數(shù)的絕對(duì)值最大值的項(xiàng)為第3項(xiàng)和第4項(xiàng).3．（2022春·廣東深圳·高二深圳市光明區(qū)高級(jí)中學(xué)校考期中）已知的展開(kāi)式中第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).(1)求該二項(xiàng)展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)；(2)求該二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式由第9項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)求出值，然后確定所在項(xiàng)數(shù)，再由通項(xiàng)公式得系數(shù)；（2）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)得結(jié)論.(1)由于，所以，則，所以，所以，解得，，所以該二項(xiàng)展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為.(2)由于，展開(kāi)式共有11項(xiàng)，則第6項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大.所以二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為.4．（2022春·廣東深圳·高二深圳市寶安第一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┰诙?xiàng)式的展開(kāi)式中，______.給出下列條件：①若展開(kāi)式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于46；②所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為256.試在上面兩個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線(xiàn)上，并解答下列問(wèn)題：(1)求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)求展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)；(3)求展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng).【答案】(1)，(2)(3)【解析】（1）選擇①：，即，即，即，解得或（舍去）.選擇②：，即，解得.展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)和第6項(xiàng)，，.（2）展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，所以展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為第7項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)為；（3）由展開(kāi)式的通項(xiàng)為，假設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，則，解得，且，所以，即系數(shù)最大項(xiàng)為.5．（2022春·廣東茂名·高二統(tǒng)考期中）有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù).（算出具體數(shù)字）(1)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(2)全體排成一排，女生必須站在一起；(3)全體排成一排，男生互不相鄰；(4)全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊.【答案】(1)5040(2)576(3)1440(4)3720【分析】（1）分兩步完成，先選3人站前排，余下4人站后排，再利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解；（2）利用捆綁法，將女生看成一個(gè)整體，進(jìn)行全排列，再與3名男生進(jìn)行全排列求解；（3）利用插空法，先排女生，再在空位中插入男生求解；（4）先7名學(xué)生全排列，再減去甲在最左邊，乙在最右邊，然后加上甲在最左邊且乙在最右邊的情況求解.(1)解：分兩步完成，先選3人站前排，有種方法，余下4人站后排，有種方法，所以一共有（種）；(2)將女生看成一個(gè)整體，進(jìn)行全排列，有種，再與3名男生進(jìn)行全排列有種，共有=（種）.(3)先排女生有種方法，再在空位中插入男生有種方法，故有（種）；(4)7名學(xué)生全排列，有種方法，其中甲在最左邊時(shí)，有種方法，乙在最右邊時(shí)，有種方法，其中都包含了甲在最左邊且乙在最右邊的情形，有種方法，故共有（種）.6．（2022春·廣東深圳·高二校考期中）把五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).(1)可以組成多少個(gè)五位偶數(shù)？(2)可以組成多少個(gè)不相鄰的五位數(shù)？(3)可以組成多少個(gè)數(shù)字按由大到小順序排列的五位數(shù)？【答案】(1)48；(2)72；(3)20.【分析】（1）根據(jù)排列的定義進(jìn)行求解即可；（2）可以用捆綁法，結(jié)合排列的定義進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)排列的定義，結(jié)合題意進(jìn)行求解即可.(1)；(2)；(3).7．（2022春·廣東廣州·高二廣州科學(xué)城中學(xué)?？计谥校┌聪铝幸蠓峙?本不同的書(shū)，各有多少種不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外兩份每份1本.【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本，是無(wú)序不均勻分組問(wèn)題，直接利用組合數(shù)公式求解即可．（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，甲、乙、丙三人有序不均勻分組問(wèn)題．直接求出即可．（3）平均分成三份，每份2本．這是平均分組問(wèn)題，求出組合總數(shù)除以即可．（4）分給甲、乙、丙三人，每個(gè)人2本，甲、乙、丙三人有序均勻分組問(wèn)題．直接求出即可，（5）分成三份，1份4本，另外兩份每份1本．這是部分平均分組問(wèn)題，求出組合總數(shù)除以即可，(1)解：依題意，先選1本有種選法；再?gòu)挠嘞碌?本中選2本有種選法；最后余下3本全選有種方法，故共有種．(2)解：由于甲、乙、丙是不同的三人，在第（1）題基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，共有種．(3)解：先分三步，則應(yīng)是種方法，但是這里出現(xiàn)了重復(fù)．不妨記6本書(shū)為、、、、、，若第一步取了，第二步取了，第三步取了，記該種分法為，，，則種分法中還有，，、，，、，，、，，、，，，共種情況，而這種情況僅是、、的順序不同，因此只能作為一種分法，故分配方式有種．(4)解：在（3）的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，共有種．(5)解：無(wú)序均勻分組問(wèn)題，種，8．（2022春·廣東廣州·高二?？计谥校┛飚厴I(yè)了，7名師生站成一排照相留念，其中老師1人，男生4人，女生2人，在下列情況下，各有多少種不同站法?（每題都要用數(shù)字作答）(1)兩名女生必須相鄰而站；(2)4名男生互不相鄰；(3)若4名男生身高都不等，按從高到低的順序站.【答案】(1)1440(2)144(3)210【分析】（1）由捆綁法求解（2）由插空法求解（3）由倍縮法求解（1）將兩名女生視為整體，共有種（2）先排老師和女生，再將男生插入到4個(gè)空位中，共有種（3）4名男生按確定順序站，共有種9．（2022春·廣東茂名·高二統(tǒng)考期中）已知.求下列各式的值：(1)；(2)；(3).【答案】(1)-1(2)2187(3)-1094【分析】（1）令，代入計(jì)算即可得結(jié)果；（2）令，代入計(jì)算即可得結(jié)果；（3）結(jié)合（1）（2）兩式作差，化簡(jiǎn)求得結(jié)果.（1）令，得（2）令，得由的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，知，，，為負(fù)數(shù)所以（3）由，得，所以10．（2022秋·廣東佛山·高二?？计谥校┠承Ｏ牧顮I(yíng)有名男同學(xué)和名女同學(xué)，現(xiàn)從這名同學(xué)中隨機(jī)選出人參加知識(shí)競(jìng)賽.(1)寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間；(2)設(shè)為事件“選出的人恰有名男生和名女生”，求事件發(fā)生的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）列出所有可能的結(jié)果即可得樣本空間；（2）由古典概型即可求得概率.【詳解】（1）所有可能的結(jié)果為：，，，，，，，，，，共10種情況.故樣本空間為：.（2）事件M包含的結(jié)果有：，共6個(gè)結(jié)果，故事件M發(fā)生的概率為.11．（2022秋·廣東深圳·高二翠園中學(xué)?？计谥校?duì)同時(shí)從五個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測(cè)，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量（單位：件）如下表所示，工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取件樣品進(jìn)行檢測(cè)．地區(qū)數(shù)量(1)求抽出的件商品中，來(lái)自各地區(qū)的數(shù)量；(2)在三個(gè)地區(qū)被抽檢的幾件樣品中，再隨機(jī)取件，做進(jìn)一步檢測(cè)，求這件商品來(lái)自相同地區(qū)的概率．【答案】(1)來(lái)自地區(qū)的有件，地區(qū)的有件，地區(qū)的有件(2)【分析】（1）根據(jù)分層抽樣原則直接計(jì)算即可得到結(jié)果；（2）列舉出所有可能的基本事件，并確定滿(mǎn)足題意的基本事件個(gè)數(shù)，由古典概型概率公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）根據(jù)分層抽樣原則知：抽取的件商品中，來(lái)自地區(qū)的有件；來(lái)自地區(qū)的有件；來(lái)自地區(qū)的有件；來(lái)自地區(qū)的有件，地區(qū)的有件，地區(qū)的有件.（2）記地區(qū)的兩件樣品為，地區(qū)的樣品為，地區(qū)的樣品為，則從中隨機(jī)取件，所有可能的結(jié)果為，，，，，，，，，，，，，，，共個(gè)；其中件樣品來(lái)自同一地區(qū)的有：，，，，共個(gè)；所求概率.12．（2022春·廣東深圳·高二校考期中）已知甲箱的產(chǎn)品中有件正品和件次品，乙箱的產(chǎn)品中有件正品和件次品.(1)若從甲箱中取出件產(chǎn)品，求在件產(chǎn)品中有一件是正品的條件下，另一件是次品的概率；(2)若從兩箱中隨機(jī)選擇一箱，然后從中取出件產(chǎn)品，求取到一件正品的概率.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)條件概率公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)全概率公式進(jìn)行求解即可.(1)設(shè)兩件產(chǎn)品中至少有一件是正品，兩件產(chǎn)品中有一件是次品；(2)設(shè)取到甲箱，取到一件正品，.13．（2022秋·廣東揭陽(yáng)·高二惠來(lái)縣第一中學(xué)校考期中）為了讓學(xué)生了解環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某中學(xué)舉行了一次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，共有900名學(xué)生參加了這次競(jìng)賽．為了解本次競(jìng)賽的成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績(jī)（得分均為整數(shù)，滿(mǎn)分為100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．請(qǐng)根據(jù)尚未完成的頻率分布表和頻數(shù)分布直方圖，解答下列問(wèn)題．分組頻數(shù)頻率40.080.160.2016合計(jì)501.00(1)填充頻率分布表的空格（將答案直接填在表格內(nèi)）；(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；(3)若成績(jī)?cè)?5.5~85.5分的學(xué)生獲得二等獎(jiǎng)，問(wèn)獲得二等獎(jiǎng)的學(xué)生約為多少人？【答案】(1)填表見(jiàn)解析；(2)作圖見(jiàn)解析；(3)234人.【分析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)和頻率的求解公式求解即可.（2）由（1）中表格中的數(shù)據(jù)完成頻數(shù)分布直方圖.（3）根據(jù)頻率分布表可求出成績(jī)?cè)?5.5～80.5分的學(xué)生頻率為0.10，成績(jī)?cè)?0.5～85.5分的學(xué)生頻率為0.16，從而可得成績(jī)?cè)?5.5～85.5分的學(xué)生頻率為0.26，進(jìn)而可求得獲得二等獎(jiǎng)的人數(shù).【詳解】（1）補(bǔ)全頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率40.0880.16100.20160.32120.24合計(jì)501.00（2）頻數(shù)分布直方圖如下圖所示：（3）成績(jī)?cè)?5.5～80.5分的學(xué)生占70.5～80.5分的學(xué)生的，因?yàn)槌煽?jī)?cè)?0.5～80.5分的學(xué)生頻率為0.20，所以成績(jī)?cè)?5.5～80.5分的學(xué)生頻率為0.10．成績(jī)?cè)?0.5～85.5分的學(xué)生占80.5～90.5分的學(xué)生的．因?yàn)槌煽?jī)?cè)?0.5～90.5分的學(xué)生頻率為0.32，所以成績(jī)?cè)?0.5～85.5分的學(xué)生頻率為0.16，所以成績(jī)?cè)?5.5～85.5分的學(xué)生頻率為0.26．∵有900名學(xué)生參加了這次競(jìng)賽，∴該校獲得二等獎(jiǎng)的學(xué)生有：0.26×900＝234，∴該校獲得二等獎(jiǎng)的學(xué)生有234人.14．（2022春·廣東深圳·高二校考期中）每年的月日是聯(lián)合國(guó)教科文組織確定的“世界讀書(shū)日”，又稱(chēng)“世界圖書(shū)和版權(quán)日”.為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了名高一學(xué)生進(jìn)行在線(xiàn)調(diào)查，得到了這名學(xué)生的日平均閱讀時(shí)間(單位：小時(shí))，并將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)為進(jìn)一步了解這名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時(shí)間和紙質(zhì)圖書(shū)閱讀時(shí)間的分配情況，從日平均閱讀時(shí)間在，，三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現(xiàn)從這人中隨機(jī)抽取人.記日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列；(2)以調(diào)查結(jié)果的頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，用“”表示這名學(xué)生中恰有名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在(單位：小時(shí))內(nèi)的概率，其中.求當(dāng)最大時(shí)，的取值.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，結(jié)合古典概型的計(jì)算公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形面積之和為1，結(jié)合二項(xiàng)分布的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.(1)由分層抽樣性質(zhì)知，從閱讀時(shí)間在中抽取5人，從閱讀時(shí)間在中抽取4人，從閱讀時(shí)間在中抽取1人，從該10人中抽取3人，則的可能取值為0，1，2，3，，，，，則的分布列為：0123(2)（2）由概率和為1得：，解得：.學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在的概率，則，因此有且，解得，當(dāng)時(shí)，最大.15．（2022秋·廣東湛江·高二湛江二十一中?？计谥校┠硨W(xué)生社團(tuán)為了解本校學(xué)生喜歡球類(lèi)運(yùn)動(dòng)的情況，隨機(jī)抽取了若干名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，要求每位學(xué)生只能填寫(xiě)一種自己喜歡的球類(lèi)運(yùn)動(dòng)，并將調(diào)查的結(jié)果繪制成如下的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表提供的信息，解答下列問(wèn)題：(1)則參加調(diào)查的人數(shù)共有__________人；在扇形圖中，__________；將條形圖補(bǔ)充完整；（不需要寫(xiě)過(guò)程）(2)該社團(tuán)計(jì)劃從籃球?足球和乒乓球中，隨機(jī)抽取兩種球類(lèi)組織比賽，請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法，求抽取到的兩種球類(lèi)恰好是“籃球”和“足球”的概率．【答案】(1)600；30，作圖見(jiàn)解析(2)【分析】（1）首先根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖，用喜歡籃球的人數(shù)除以它占參加調(diào)查人數(shù)的百分比，求出參加調(diào)查的總?cè)藬?shù)；然后再扇形圖中，利用百分比和為，即可求得的值，然后補(bǔ)充好條形圖即可；（2）應(yīng)用列表法，結(jié)合古典概型求解即可得抽取到的兩種球類(lèi)恰好是“籃球”和“足球”的概率．【詳解】（1）因?yàn)椋ㄈ耍瑒t參加調(diào)查的人數(shù)共有600人；在扇形圖中，，所以；將條形圖補(bǔ)充完整如下；（2）由題可知，抽取的兩種球類(lèi)可能為：籃球足球乒乓球籃球/籃球、足球籃球、乒乓球足球足球、籃球/足球、乒乓球乒乓球乒乓球、籃球乒乓球、足球/所以，抽取到的兩種球類(lèi)恰好是“籃球”和“足球”的概率．16．（2022秋·廣東佛山·高二佛山市順德區(qū)容山中學(xué)?？计谥校┘?、乙、丙三人組成一個(gè)小組參加電視臺(tái)舉辦的聽(tīng)曲猜歌名活動(dòng)，在每一輪活動(dòng)中，依次播放三首樂(lè)曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜錯(cuò)，則活動(dòng)立即結(jié)束；若三人均猜對(duì)，則該小組進(jìn)入下一輪，該小組最多參加三輪活動(dòng).已知每一輪甲猜對(duì)歌名的概率是，乙猜對(duì)歌名的概率是，丙猜對(duì)歌名的概率是，甲、乙、丙猜對(duì)與否互不影響.(1)求該小組未能進(jìn)入第二輪的概率；(2)該小組能進(jìn)入第三輪的概率；(3)乙猜歌曲的次數(shù)不小于2的概率.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）該小組未能進(jìn)入第二輪也即甲、乙、丙至少有一人未猜對(duì)，根據(jù)對(duì)立事件求解；（2）該小組能進(jìn)入第三輪即前兩輪三人都猜對(duì)，根據(jù)事件積的概率計(jì)算即可；（3）乙猜歌曲的次數(shù)不小于2即該組過(guò)第一輪且甲猜對(duì)，據(jù)此求概率即可．【詳解】（1）解：設(shè)該小組未能進(jìn)入第二輪為事件A，則，故該小組未能進(jìn)入第二輪的概率為．（2）解：設(shè)該小組能進(jìn)入第三輪為事件B，則，故該小組能進(jìn)入第三輪的概率為．（3）解：設(shè)乙猜歌曲的次數(shù)不小于2為事件C，．故乙猜歌曲的次數(shù)不小于2的概率