幾何概型練習題1．在正方體ABCD－A1B1C1D1內隨機取點則該點落在三棱錐A1－ABC內的概率是()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,4)2．如圖，在一個邊長為a、b(a＞b＞0)的矩形內畫一個梯形，梯形上、下底邊分別為eq\f(a,3)與eq\f(a,2)，高為b.向該矩形內隨機地投一點，則所投的點落在梯形內部的概率為()A．eq\f(1,12)B．eq\f(1,4)C．eq\f(5,12)D．eq\f(7,12)3．在區(qū)間[0,1]內任取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)的平方和也在[0,1]內的概率是()A．eq\f(π,4)B．eq\f(π,10)C．eq\f(π,20)D．eq\f(π,40)4．某人從甲地去乙地共走了500m，途中要過一條寬為xm的河流，他不小心把一件物品丟在途中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里就能找到，已知該物品能被找到的概率為eq\f(24,25)，則河寬為（)A．16mB．20mC．8mD．10m5．一個路口的紅綠燈，紅燈的時間為30秒，黃燈的時間為5秒，綠燈的時間為40秒，當某人到達路口時，看見的是紅燈的概率是________；看見的不是黃燈的概率是________．6．取一根長度為4m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段都不少于1m的概率是________．7．點A為周長等于3的圓周上的一個定點，若在該圓周上隨機取一點B，則劣弧的長度小于1的概率_．8．已知如圖所示的矩形，長為12，寬為5，在矩形內隨機地投擲1000粒黃豆，落在陰影部分的黃豆為600粒，則可以估計出陰影部分的面積為________．9．點P在邊長為1的正方形ABCD內運動，則動點P到頂點A的距離|PA|≤1的概率為______．10．利用計算機產生0～1之間的均勻隨機數(shù)a，則事件“3a－1＜0”發(fā)生的概率為________．11．一只螞蟻在三邊邊長分別為3、4、5的三角形的邊上爬行，某時刻該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過1的概率為________．12．在一個球內挖去一個幾何體，其三視圖如圖．在球內任取一點P，則點P落在剩余幾何體上的概率為________．13．在長為12cm的線段AB上任取一點C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積大于20cm2的概率為________．14．在1升高產小麥種子中混入一粒帶麥銹病的種子，從中隨機取出10毫升，含有麥銹病種子的概率是；從中隨機取出30毫升，含有麥銹病種子的概率是15．一只蜜蜂在一個棱長為3的正方體內自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為________．16．在區(qū)間上隨機取一個數(shù)x，cosx的值介于0至eq\f(1,2)之間的概率為________．17.如圖所示，設M是半徑為R的圓周上一個定點，在圓周上等可能地任取一點N，連接MN，則弦MN的長超過的概率為________．18．如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以OA，OB為直徑作兩個半圓．在扇形OAB內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是________．19．已知正三棱錐S－ABC的底邊長為4，高為3，在三棱錐內任取一點P，使得VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC的概率是．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，在正方體內隨機取點M，求使四棱錐M－ABCD的體積小于eq\f(1,6)的概率．21．(1)在半徑為1的圓的一條直徑上任取一點，過該點作垂直于直徑的弦，其長度超過該圓內接正三角形的邊長eq\r(3)的概率是多少(2)在半徑為1的圓內任取一點，以該點為中點作弦，問其長超過該圓內接正三角形的邊長eq\r(3)的概率是多少(3)在半徑為1的圓周上任取兩點，連成一條弦，其長超過該圓內接正三角形邊長eq\r(3)的概率是多少23．設關于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是從區(qū)間[0,3]任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]任取的一個數(shù)，求方程有實根的概率．24．設AB＝6，在線段AB上任取兩點(端點A，B除外)，將線段AB分成了三條線段，(1)若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，求這三條線段可以構成三角形的概率；(2)若分成的三條線段的長度均為正實數(shù)，求這三條線段可以構成三角形的概率．答案：1．在正方體ABCD－A1B1C1D1內隨機取點則該點落在三棱錐A1－ABC內的概率是()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,4)[答案]B[解析]體積型幾何概型問題．P＝eq\f(VA1－ABC,VABCD－A1B1C1D1)＝eq\f(1,6).2．如圖，在一個邊長為a、b(a＞b＞0)的矩形內畫一個梯形，梯形上、下底邊分別為eq\f(a,3)與eq\f(a,2)，高為b.向該矩形內隨機地投一點，則所投的點落在梯形內部的概率為()A．eq\f(1,12)B．eq\f(1,4)C．eq\f(5,12)D．eq\f(7,12)[答案]C[解析]S矩形＝ab.S梯形＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a＋\f(1,2)a))b＝eq\f(5,12)ab.故所投的點落在梯形內部的概率為P＝eq\f(S梯形,S矩形)＝eq\f(\f(5,12)ab,ab)＝eq\f(5,12).3．(2013～2014·山東濟南模擬)在區(qū)間[0,1]內任取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)的平方和也在[0,1]內的概率是()A．eq\f(π,4)B．eq\f(π,10)C．eq\f(π,20)D．eq\f(π,40)[答案]A[解析]設在[0,1]內取出的數(shù)為a，b，若a2＋b2也在[0,1]內，則有0≤a2＋b2≤1.如右圖，試驗的全部結果所構成的區(qū)域為邊長為1的正方形，滿足a2＋b2在[0,1]內的點在eq\f(1,4)單位圓內(如陰影部分所示)，故所求概率為eq\f(\f(1,4)π,1)＝eq\f(π,4).4．某人從甲地去乙地共走了500m，途中要過一條寬為xm的河流，他不小心把一件物品丟在途中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里就能找到，已知該物品能被找到的概率為eq\f(24,25)，則河寬為()A．16mB．20mC．8mD．10m[答案]B[解析]物品在途中任何一處丟失的可能性是相等的，所以符合幾何概型的條件．找到的概率為eq\f(24,25)，即掉到河里的概率為eq\f(1,25)，則河流的寬度占總距離的eq\f(1,25)，所以河寬為500×eq\f(1,25)＝20(m)．二、填空題5．一個路口的紅綠燈，紅燈的時間為30秒，黃燈的時間為5秒，綠燈的時間為40秒，當某人到達路口時看見的是紅燈的概率是________．解析以時間的長短進行度量，故P＝eq\f(30,75)＝eq\f(2,5).答案eq\f(2,5)6．取一根長度為4m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段都不少于1m的概率是________．解析把繩子4等分，當剪斷點位于中間兩部分時，兩段繩子都不少于1m，故所求概率為P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)7．點A為周長等于3的圓周上的一個定點，若在該圓周上隨機取一點B，則劣弧的長度小于1的概率為________．解析如圖可設與的長度等于1，則由幾何概型可知其整體事件是其周長3，則其概率是eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)8．已知如圖所示的矩形，長為12，寬為5，在矩形內隨機地投擲1000粒黃豆，落在陰影部分的黃豆為600粒，則可以估計出陰影部分的面積為________．解析設所求的面積為S，由題意，得eq\f(600,1000)＝eq\f(S,5×12)，則S＝36.答案369．(2014·長沙聯(lián)考)點P在邊長為1的正方形ABCD內運動，則動點P到頂點A的距離|PA|≤1的概率為______．解析如圖，滿足|PA|≤1的點P在如圖所示陰影部分運動，則動點P到頂點A的距離|PA|≤1的概率為eq\f(S陰影,S正方形)＝eq\f(\f(1,4)×π×12,1×1)＝eq\f(π,4).答案eq\f(π,4)10．(2013·福建)利用計算機產生0～1之間的均勻隨機數(shù)a，則事件“3a－1＜0”發(fā)生的概率為________．[答案]eq\f(1,3)[分析]解不等式，求出a的取值范圍，算出此范圍與所給區(qū)間的比值即可．[解析]由題意，得0＜a＜eq\f(1,3)，所以根據幾何概型的概率計算公式，得事件“3a－1＜0”發(fā)生的概率為eq\f(1,3).11．一只螞蟻在三邊邊長分別為3、4、5的三角形的邊上爬行，某時刻該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過1的概率為________．[答案]eq\f(1,2)[解析]如圖所示，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，則△ABC的周長為3＋4＋5＝12.設某時刻該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過1為事件A，則P(A)＝eq\f(DE＋FG＋MN,BC＋CA＋AB)＝eq\f(3＋2＋1,12)＝eq\f(1,2).12．在一個球內挖去一個幾何體，其三視圖如圖．在球內任取一點P，則點P落在剩余幾何體上的概率為________．[答案]eq\f(53,125)[解析]由三視圖可知，該幾何體是球與圓柱的組合體，球半徑R＝5，圓柱底面半徑r＝4，高h＝6，故球體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500π,3)，圓柱體積V1＝πr2·h＝96π，∴所求概率P＝eq\f(\f(500π,3)－96π,\f(500π,3))＝eq\f(53,125).13．(2012·遼寧卷改編)在長為12cm的線段AB上任取一點C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積大于20cm2的概率為________．解析設AC＝xcm,0＜x＜12，則CB＝(12－x)cm，要使矩形面積大于20cm2，只要x(12－x)＞20，則x2－12x＋20＜0，解得2＜x＜10，所求概率為P＝eq\f(10－2,12)＝eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)14．在1升高產小麥種子中混入一粒帶麥銹病的種子，從中隨機取出10毫升，含有麥銹病種子的概率是；從中隨機取出30毫升，含有麥銹病種子的概率是。解析1升＝1000毫升，記事件A：“取出10毫升種子含有這粒帶麥銹病的種子”．則P(A)＝eq\f(10,1000)＝，即取出10毫升種子含有這粒帶麥銹病的種子的概率為.記事件B：“取30毫升種子含有帶麥銹病的種子”．則P(B)＝eq\f(30,1000)＝，即取30毫升種子含有帶麥銹病的種子的概率為.15．一只蜜蜂在一個棱長為3的正方體內自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為________．解析由已知條件，可知蜜蜂只能在一個棱長為1的小正方體內飛行，結合幾何概型，可得蜜蜂“安全飛行”的概率為P＝eq\f(13,33)＝eq\f(1,27).答案eq\f(1,27)16．(2014·淮安模擬)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上隨機取一個數(shù)x，cosx的值介于0至eq\f(1,2)之間的概率為________．解析由0≤cosx≤eq\f(1,2)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，可得－eq\f(π,2)≤x≤－eq\f(π,3)，或eq\f(π,3)≤x≤eq\f(π,2)，結合幾何概型的概率公式可得所求的概率為P＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,3))),\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2))))＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)17.如圖所示，設M是半徑為R的圓周上一個定點，在圓周上等可能地任取一點N，連接MN，則弦MN的長超過eq\r(2)R的概率為________．解析如圖，在圓上過圓心O作與OM垂直的直徑CD，則MD＝MC＝eq\r(2)R，當點N不在半圓弧上時，MN＞eq\r(2)R，故所求的概率P(A)＝eq\f(πR,2πR)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)18．(2012·湖北卷改編)如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以OA，OB為直徑作兩個半圓．在扇形OAB內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是________．解析如圖，設OA＝2，S扇形AOB＝π，S△OCD＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，S扇形OCD＝eq\f(π,4)，∴在以OA為直徑的半圓中，空白部分面積S1＝eq\f(π,2)－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(1,2)))＝1，所有陰影面積為π－2.故所求概率P＝eq\f(π－1×2,π)＝1－eq\f(2,π).答案1－eq\f(2,π)19．(2014·徐州二模)已知正三棱錐S－ABC的底邊長為4，高為3，在三棱錐內任取一點P，使得VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC的概率是________．解析三棱錐P－ABC與三棱錐S－ABC的底面相同，VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC就是三棱錐P－ABC的高小于三棱錐S－ABC的高的一半，過高的中點作一平行底面的截面，這個截面下任取一點都符合題意，設底面ABC的面積為S，三棱錐S－ABC的高為h，則所求概率為：P＝eq\f(\f(1,3)Sh－\f(1,3)×\f(1,4)S×\f(1,2)h,\f(1,3)Sh)＝eq\f(7,8).答案eq\f(7,8)三、解答題20．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，在正方體內隨機取點M，求使四棱錐M－ABCD的體積小于eq\f(1,6)的概率．[分析]由題目可獲取以下主要信息：①正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，M為其內一點；②求四棱錐M－ABCD的體積小于eq\f(1,6)的概率．解答本題的關鍵是結合幾何圖形分析出概率模型．[解析]如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1，設M－ABCD的高為h，則eq\f(1,3)×S四邊形ABCD×h<eq\f(1,6)，又S四邊形ABCD＝1，則h<eq\f(1,2)，即點M在正方體的下半部分．故所求概率P＝eq\f(\f(1,2)V正方體,V正方體)＝eq\f(1,2).21．(1)在半徑為1的圓的一條直徑上任取一點，過該點作垂直于直徑的弦，其長度超過該圓內接正三角形的邊長eq\r(3)的概率是多少(2)在半徑為1的圓內任取一點，以該點為中點作弦，問其長超過該圓內接正三角形的邊長eq\r(3)的概率是多少(3)在半徑為1的圓周上任取兩點，連成一條弦，其長超過該圓內接正三角形邊長eq\r(3)的概率是多少[解析](1)設事件A＝“弦長超過eq\r(3)”，弦長只與它跟圓心的距離有關，∵弦垂直于直徑，∴當且僅當它與圓心的距離小于eq\f(1,2)時才能滿足條件，由幾何概率公式知P(A)＝eq\f(1,2).(2)設事件B＝“弦長超過eq\r(3)”，弦被其中點惟一確定，當且僅當其中點在半徑為eq\f(1,2)的同心圓內時，才能滿足條件，由幾何概率公式知P(B)＝eq\f(1,4).(3)設事件C＝“弦長超過eq\r(3)”，固定一點A于圓周上，以此點為頂點作內接正三角形ABC，顯然只有當弦的另一端點D落在上時，才有|AD|>|AB|＝eq\r(3)，由幾何概率公式知P(C)＝eq\f(1,3).22．設關于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是從區(qū)間[0,3]任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]任取的一個數(shù)，求方程有實根的概率．解設事