./一、參考例題［例1］如下圖,△ABC中,點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC,設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E,交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F.<1>求證：EO=FO<2>當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),四邊形AECF是矩形？并說(shuō)明你的結(jié)論.分析：<1>要證明OE=OF,可借助第三條線段OC,即證：OE=OC,OF=OC,這兩對(duì)線段又分別在兩個(gè)三角形中,所以只需證△OEC、△OCF是等腰三角形,由已知條件即可證明.<2>假設(shè)四邊形AECF是矩形,則對(duì)角線互相平分且相等,四個(gè)角都是直角.由已知可得到：∠ECF=90°,由<1>可證得OE=OF,所以要使四邊形AECF是矩形,只需OA=OC.證明：<1>∵CE、CF分別是∠ACB、∠ACD的平分線.∴∠ACE=∠BCE,∠ACF=∠DCF∵M(jìn)N∥BC∴∠OEC=∠ECB,∠OFC=∠FCD∴∠ACE=∠OEC,∠ACF=∠OFC∴OE=OC,OF=OC∴OE=OF<2>當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí),即OA=OC又由<1>證得OE=OF∴四邊形AECF是平行四邊形<對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形>由<1>知：∠ECA+∠ACF=∠ACB+∠ACD=<∠ACB+∠ACD>=90°即∠ECF=90°∴四邊形AECF是矩形.因此：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF是矩形.［例2］如下圖,已知矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O,OF⊥AD于F,OF=3cm,AE⊥BD于E,且BE∶ED=1∶3,求AC的長(zhǎng).分析：本題主要利用矩形的有關(guān)性質(zhì),進(jìn)行計(jì)算.即：由矩形的對(duì)角線互相平分且相等；可導(dǎo)出BE=OE,進(jìn)而得出AB=AO,即得出BE=OF=3cm,求出BD的長(zhǎng),即AC的長(zhǎng).解：∵四邊形ABCD是矩形.∴AC=BD,OB=OD=OA=OC又∵BE∶ED=1∶3∴BE∶BO=1∶2∴BE=EO又∵AE⊥BO∴△ABE≌△ADE∴AB=OA即AB=AO=OB∴∠BAE=∠EAO=30°,∠FAO=30°∴△ABE≌△AOF∴BE=OF=3cm,∴BD=12cm∴AC=BD=12cm二、參考練習(xí)1.如圖,有一矩形紙片ABCD,AB=6cm,BC=8cm,將紙片沿EF折疊,使點(diǎn)B與D重合,求折痕EF的長(zhǎng).解：連結(jié)BD、BE、DF由折疊的意義可知：EF⊥BD,EF平分BD.∴BE=ED,BF=FD∵四邊形ABCD為矩形∴AB=CD,AD=BC,∠C=90°,AD∥BC∴∠EDO=∠FBO∵點(diǎn)B和D重合∴BO=DO,∠BOF=∠DOE∴△BOF≌△DOE∴ED=BF,∴ED=BF=FD=BE∴四邊形BFDE是菱形S菱形=×BD×EF=BF×CD∵BF=DF,∴可設(shè)BF=DF=x則FC=8－x在Rt△FCD中,根據(jù)勾股定理得：x2=<8－x>2+62x=∴EF=7.5因此,折痕EF的長(zhǎng)為7.5cm.2.當(dāng)平行四邊形ABCD滿足條件_________時(shí),它成為矩形<填上你認(rèn)為正確的一個(gè)條件即可>.答案：∠BAC=90°或AC=BD或OA=OB或∠ABC+∠ADC=180°或∠BAD+∠BCD=180°等條件中的任一個(gè)即可.典型例題例1如圖,在菱形ABCD中,E是AB的中點(diǎn),且,求：〔1的度數(shù)；〔2對(duì)角線AC的長(zhǎng)；〔3菱形ABCD的面積．分析〔1由E為AB的中點(diǎn),,可知DE是AB的垂直平分線,從而,且,則是等邊三角形,從而菱形中各角都可以求出．〔2而,利用勾股定理可以求出AC．〔3由菱形的對(duì)角線互相垂直,可知解〔1連結(jié)BD,∵四邊形ABCD是菱形,∴是AB的中點(diǎn),且,∴∴是等邊三角形,∴也是等邊三角形．∴〔2∵四邊形ABCD是菱形,∴AC與BD互相垂直平分,∴∴,∴〔3菱形ABCD的面積說(shuō)明：本題中的菱形有一個(gè)內(nèi)角是60°的特殊的菱形,這個(gè)菱形有許多特點(diǎn),通過(guò)解題應(yīng)該逐步認(rèn)識(shí)這些特點(diǎn)．例2已知：如圖,在菱形ABCD中,于于F．求證：分析要證明,可以先證明,而根據(jù)菱形的有關(guān)性質(zhì)不難證明,從而可以證得本題的結(jié)論．證明

∵四邊形ABCD是菱形,∴,且,∴,∴,,∴,∴例3已知：如圖,菱形ABCD中,E,F分別是BC,CD上的一點(diǎn),,,求的度數(shù).解答：連結(jié)AC.

∵四邊形ABCD為菱形,∴,.∴與為等邊三角形.

∴∵,∴∴∴∵,∴為等邊三角形.

∴∵,∴∴說(shuō)明本題綜合考查菱形和等邊三角形的性質(zhì),解題關(guān)鍵是連AC,證.例4如圖,已知四邊形和四邊形都是矩形,且．求證：垂直平分．分析由已知條件可證明四邊形是菱形,再根據(jù)菱形的對(duì)角線平分對(duì)角以及等腰三角形的"三線合一"可證明垂直平分．證明：∵四邊形、都是矩形∴,,,∴四邊形是平行四邊形∵,∴在△和△中∴△≌△

∴,∵四邊形是平行四邊形∴四邊形是菱形∴平分

∴平分

∵∴垂直平分．例5如圖,中,,、在直線上,且．求證：．分析要證,關(guān)鍵是要證明四邊形是菱形,然后利用菱形的性質(zhì)證明結(jié)論．證明

∵四邊形是平行四邊形∴,,,∴∵,∴在△和△中∴△≌△

∴∵

∴同理：

∴∵∴四邊形是平行四邊形∵

∴四邊形是菱形∴．典型例題例1一個(gè)平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角是它鄰角的3倍,那么這個(gè)平行四邊形的四個(gè)內(nèi)角各是多少度？分析根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等,鄰角互補(bǔ)可以求出四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．解設(shè)平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為x,則它的鄰角的度數(shù)為3x,根據(jù)題意,得,解得,∴∴這個(gè)平行四邊形的四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為45°,135°,45°,135°．例2已知：如圖,的周長(zhǎng)為60cm,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)多8cm,求這個(gè)平行四邊形各邊的長(zhǎng)．分析由平行四邊形對(duì)邊相等,可知平行四邊形周長(zhǎng)的一半＝30cm,又由的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)多8cm,可知cm,由此兩式,可求得各邊的長(zhǎng)．解

∵四邊形為平行四邊形,∴,∴,∴∴答：這個(gè)平行四邊形各邊長(zhǎng)分別為19cm,11cm,19cm,11cm．說(shuō)明：學(xué)習(xí)本題可以得出兩個(gè)結(jié)論：〔1平行四邊形兩鄰邊之和等于平行四邊形周長(zhǎng)的一半．〔2平行四邊形被對(duì)角線分成四個(gè)小三角形,相鄰兩個(gè)三角形周長(zhǎng)之差等于鄰邊之差．例3已知：如圖,在中,交于點(diǎn)O,過(guò)O點(diǎn)作EF交AB、CD于E、F,那么OE、OF是否相等,說(shuō)明理由．分析觀察圖形,,從而可說(shuō)明證明在中,交于O,∴,∴,∴,∴例4已知：如圖,點(diǎn)E在矩形ABCD的邊BC上,且,垂足為F。求證：分析觀察圖形,與都是直角三角形,且銳角,斜邊,因此這兩個(gè)直角三角形全等。在這個(gè)圖形中,若連結(jié)AE,則與全等,因此可以確定圖中許多有用的相等關(guān)系。證明

∵四邊形ABCD是矩形,∴,∴,∴,又,∴?！嗬?O是ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),的周長(zhǎng)為59,,,則________,若與的周長(zhǎng)之差為15,則______,ABCD的周長(zhǎng)=______.解答：ABCD中,,.∴的周長(zhǎng)∴.在ABCD中,.

∴的周長(zhǎng)－的周長(zhǎng)∴∴ABCD的周長(zhǎng)說(shuō)明：本題考查平行四邊形的性質(zhì),解題關(guān)鍵是將與的周長(zhǎng)的差轉(zhuǎn)化為兩條線段的差.例6已知：如圖,ABCD的周長(zhǎng)