8.6三角形內(nèi)角和定理（2）

山東教育出版社七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)家的眼光

陳省身教授是當(dāng)代舉世聞名的數(shù)學(xué)家，被人們譽(yù)為“中國(guó)青年數(shù)學(xué)學(xué)子的總教練”.對(duì)三角形的角他有一個(gè)語(yǔ)出驚人的觀點(diǎn)：說(shuō)三角形的內(nèi)角和等于180°，不如說(shuō)三角形的外角和等于360°.

三角形內(nèi)角的一條邊與另一條邊的反向延長(zhǎng)線組成的角，稱為三角形的外角.認(rèn)識(shí)三角形的外角

ABCD關(guān)注三角形的外角

問(wèn)題1：如圖，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，你能由∠A、∠B求出∠ACD嗎？如果能，∠ACD與∠A、∠B有什么關(guān)系？問(wèn)題2：任意一個(gè)△ABC的一個(gè)外角∠ACD與∠A、∠B的大小會(huì)有什么關(guān)系呢？能證明你的結(jié)論嗎？ABCD如圖.∠ACD是△ABC的一個(gè)外角,則：∠ACD=∠A+∠B；∠ACD>∠A，∠ACD>∠B.三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.定理定理三角形內(nèi)角和定理的推論：

ABCD關(guān)注三角形的外角例1已知:如圖,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.求證:AD∥BC.ACDBE應(yīng)用三角形的外角證明：∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和),∠B=∠C(已知),∴∠C=

∠EAC(等式性質(zhì)).∵AD平分∠EAC(已知).∴∠DAC=∠EAC=∠EAC(角平分線的定義).∴∠DAC=∠C(等量代換).∴AD∥BC(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).

ACDBEF132例2

已知:如圖,∠BAF,∠CBD,∠ACE是ΔABC的三個(gè)外角.求證：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°證明：∵∠BAF是ΔABC的一個(gè)外角(已知),∴∠BAF=∠2+∠3(三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和).同理，∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)(等式的基本性質(zhì)).∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形內(nèi)角和定理).∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°(等量代換).

應(yīng)用三角形的外角1.如圖，∠1為△ABC的外角的是()

C2.如圖,∠1=100°,∠C=70°,則∠A的大小是()A.10°B.20°

C.30°

D.80°

C3.如圖，D是?ABC邊AC上一點(diǎn)，E為BD上一點(diǎn)，則∠A，∠1，∠2之間的關(guān)系正確的是()A.∠A>∠1>∠2B.∠2>∠1>∠AC.∠1>∠2>∠AD.無(wú)法確定

21ABCDEB【想一想錯(cuò)在哪？】若一個(gè)等腰三角形的一個(gè)外角為100°,求這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù).

梅西應(yīng)該將球傳給誰(shuí)？在綠茵場(chǎng)上，梅西在E處受到阻擋需要傳球，請(qǐng)幫助做出選擇，應(yīng)傳給B球員還是C球員，使其射門(mén)更容易射進(jìn)?（射門(mén)張角越大，射中的可能性越大）

收獲數(shù)學(xué)知識(shí)…

感悟思想方法…

收獲樂(lè)園

三角形內(nèi)角和定理

（2）嚴(yán)格性之于數(shù)學(xué)家，猶如道德之于人；由“因”導(dǎo)“果”，執(zhí)“果”索“因”是探索證明思路最基本的方