第二章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)時(shí)域分析第一頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日

線(xiàn)性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的激勵(lì)e(t)與響應(yīng)r(t)之間的關(guān)系，可用以下線(xiàn)性常系數(shù)微分方程描述。系統(tǒng)分析的任務(wù)就是求解這個(gè)n階非齊次線(xiàn)性常微分方程?！?.1引言第二頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日微分方程求解時(shí)域分析法變換域法（LT法）全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)（卷積積分法）全響應(yīng)=齊次解+特解（自由響應(yīng)）（強(qiáng)迫響應(yīng)）第三頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日1.R、L、C元件端口電壓與流經(jīng)電流的約束關(guān)系（一）微分方程的建立§2.2微分方程的建立與算子表示法2.電路的電流、電壓約束關(guān)系（KVL、KCL）C第四頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日1Ω1F1H1Ω例：右圖所示電路，激勵(lì)為電流，響應(yīng)取，列寫(xiě)微分方程。解：消去中間變量，得方程階數(shù)等于電路階數(shù)（獨(dú)立儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù)）。第五頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日（二）微分方程的算子表示法（參考P78§2.10節(jié)）微分算子積分算子稱(chēng)為系統(tǒng)的傳輸算子傳輸算子是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的另一種形式。第六頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日例：第七頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日1.算子符號(hào)的運(yùn)算規(guī)則（1）算子多項(xiàng)式可進(jìn)行因式分解或由因式相乘展開(kāi)。例：（2）等式兩端的公共因子不能隨意消去。例：不等價(jià)于（3）第八頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日2.借助算子符號(hào)建立微分方程廣義阻抗1Ω1F1H1Ω例1：第九頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日例2：P83習(xí)題2-1（a）e(t)+vo(t)1HR12ΩL1R21ΩC1FL22H+--i2(t)i1(t)多余的公共因子可消去第十頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日總結(jié)：（1）引入算子符號(hào)后，RLC電路可借助純電阻電路的分析方法；（2）是否可消去公共因子的原則：微分方程的階數(shù)應(yīng)等于電路階數(shù)（獨(dú)立儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù)）。第十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日（1）求齊次解

特征方程特征根、

∴齊次解（2）求特解根據(jù)，設(shè)§2.3用時(shí)域經(jīng)典法求解微分方程，求完全響應(yīng)。，例：系統(tǒng)微分方程、激勵(lì)信號(hào)及初始條件如下：第十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日完全解（3）由初始條件確定待定系數(shù)②微分方程的齊次解稱(chēng)為系統(tǒng)的自由響應(yīng)，它由系統(tǒng)本身的特性決定；

特征方程的根稱(chēng)為系統(tǒng)的固有頻率，它決定了系統(tǒng)自由響應(yīng)的全部形式；③特解稱(chēng)為系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)，它只與激勵(lì)函數(shù)的形式有關(guān)。①系統(tǒng)的完全響應(yīng)=自由響應(yīng)

+強(qiáng)迫響應(yīng)；第十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日1、齊次解：由特征方程→求出特征根→寫(xiě)出齊次解的形式。經(jīng)典法求解微分方程步驟：特征根對(duì)應(yīng)的齊次解部分項(xiàng)單根二重根例：對(duì)特征根（二重根），齊次解第十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日激勵(lì)函數(shù)e(t)特解（不是系統(tǒng)的特征根）（是系統(tǒng)的特征根（非重根））3、全解=齊次解+特解，由初始條件定出齊次解系數(shù)。2、特解：根據(jù)激勵(lì)函數(shù)式形式，設(shè)含待定系數(shù)的特解函數(shù)式→代入原方程，比較系數(shù)定出特解。P51例2-5：第十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日§2.4起始點(diǎn)的跳變——從0-到0+狀態(tài)的轉(zhuǎn)換系統(tǒng)狀態(tài)階系統(tǒng)，在時(shí)刻的狀態(tài)若從時(shí)刻開(kāi)始作用，則系統(tǒng)狀態(tài)可能會(huì)發(fā)生躍變。0-狀態(tài)：0+狀態(tài)：0-狀態(tài)0+狀態(tài)確定的待定系數(shù)，需要用0+狀態(tài)。第十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日（一）實(shí)際電路條件：沒(méi)有沖激電流（或階躍電壓）強(qiáng)迫作用于C；沒(méi)有沖激電壓（或階躍電流）強(qiáng)迫作用于L。+-+-RCP54例2-6：,,求。第十七頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日例：如右圖所示電路，t<0開(kāi)關(guān)S處于1的位置且電路已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)；當(dāng)t=0轉(zhuǎn)向2。建立i(t)的微分方程，并求i(t)在時(shí)的變化。解：（1）列寫(xiě)微分方程第十八頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日（2）求系統(tǒng)的完全響應(yīng)齊次解：特征方程特征根齊次解設(shè)，將其代入微分方程，得系統(tǒng)的全響應(yīng)為：

特解：第十九頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日換路后換路前

（3）確定換路后的第二十頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日全響應(yīng)（4）確定系統(tǒng)t≥0+的全響應(yīng)（二）用微分方程描述的系統(tǒng)——奇異函數(shù)平衡法包含項(xiàng)P54例2-6：第二十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日P84習(xí)題2-6：，求。、、解：將代入方程右端，得包含項(xiàng)當(dāng)系統(tǒng)用微分方程描述時(shí)，系統(tǒng)的0-到0+狀態(tài)有沒(méi)有跳變?nèi)Q于微分方程右端有無(wú)沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。第二十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日零輸入響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：§2.5零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)LTI系統(tǒng)響應(yīng)的另一種分解形式滿(mǎn)足：（一）零輸入響應(yīng)的求解（a）（b）系數(shù)Ak可直接由來(lái)確定。沒(méi)有外加激勵(lì)信號(hào)的作用，僅由起始狀態(tài)（起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能）所產(chǎn)生的響應(yīng)。系統(tǒng)的起始狀態(tài)為零，僅由外加激勵(lì)信號(hào)所產(chǎn)生的響應(yīng)。第二十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日特征方程特征根零輸入響應(yīng)將起始狀態(tài)代入，得零輸入響應(yīng)為解：P84習(xí)題2-6：，求。、、第二十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日（二）零狀態(tài)響應(yīng)的求解滿(mǎn)足：（a）（b）P84習(xí)題2-6：，求。、、解：設(shè)，將其代入微分方程，得（1）（2）第二十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日將代入方程右端，得包含項(xiàng)（3）確定第二十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日自由響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)第二十七頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日（三）零狀態(tài)響應(yīng)的卷積法求解作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)線(xiàn)性線(xiàn)性時(shí)不變性激勵(lì)分解為沖激函數(shù)之和

單位沖激信號(hào)作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，稱(chēng)為單位沖激響應(yīng)，以表示。記為L(zhǎng)TI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)分解為沖激響應(yīng)之和第二十八頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日（四）對(duì)系統(tǒng)線(xiàn)性的進(jìn)一步討論常系數(shù)線(xiàn)性微分方程描述的系統(tǒng)的線(xiàn)性包含以下三層含義：（a）響應(yīng)的可分解性完全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)（b）零輸入線(xiàn)性當(dāng)激勵(lì)為零時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)對(duì)于各起始狀態(tài)呈線(xiàn)性關(guān)系。（c）零狀態(tài)線(xiàn)性當(dāng)起始狀態(tài)為零時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)對(duì)于各激勵(lì)信號(hào)呈線(xiàn)性關(guān)系。第二十九頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日§2.6單位沖激響應(yīng)的求解單位沖激響應(yīng)：?jiǎn)挝粵_激信號(hào)作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，以表示。和的關(guān)系：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)：?jiǎn)挝浑A躍信號(hào)作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，以表示。第三十頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日次次當(dāng)時(shí)，中無(wú)沖激函數(shù)項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，中將含有給定微分方程（a）滿(mǎn)足：（b）內(nèi)，當(dāng)時(shí)，中將含有項(xiàng)；第三十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日解：例1:描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。設(shè)則第三十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日解：例3：求。教材P62例2-9：特征方程設(shè)則第三十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日第三十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日LTI系統(tǒng)：（一）卷積積分的定義一般地，兩函數(shù)的卷積積分定義為

卷積的基本計(jì)算方法：圖解法。§2.7卷積固定函數(shù)滑動(dòng)函數(shù)第三十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日（二）卷積的圖解法計(jì)算（1）先將e(t)和h(t)的自變量t改成，即：（2）將其中的一個(gè)信號(hào)反褶，（3）時(shí)移：步驟：（4）相乘：（5）對(duì)乘積后的圖形積分：難點(diǎn)：積分上、下限的確定右移t第三十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日0t12h(t)e(t)-1/210t1

例1：已知信號(hào)e(t)與h(t)如下圖所示，求解：-1/211tt-201201-2第三十七頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日

（1）當(dāng)

時(shí)，（2）當(dāng)時(shí)，重合區(qū)間（3）當(dāng)重合區(qū)間即時(shí)，11tt-211tt-211tt-2第三十八頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日（4）當(dāng)，即當(dāng)時(shí),重合區(qū)間（5）當(dāng)，即時(shí)，11tt-211tt-2第三十九頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日13t00t12h(t)e(t)10t1若參與卷積的兩個(gè)信號(hào)不含有

等奇異函數(shù)，則卷積的結(jié)果必定為一個(gè)連續(xù)函數(shù)；且左邊界等于左邊界之和，右邊界等于右邊界之和。第四十頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日解：

例2：已知

求。（1）當(dāng)t<0時(shí)，（2）當(dāng)t>0時(shí)，第四十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日需要記憶的幾個(gè)卷積：◆◆◆◆第四十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日（一）卷積代數(shù)（1）交換律（2）分配律e(t)h2(t)h1(t)§2.8卷積的性質(zhì)

分配律用于系統(tǒng)分析：并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于組成并聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。第四十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日（3）結(jié)合律

結(jié)合律用于系統(tǒng)分析：串聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于組成串聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。e(t)h2(t)h1(t)可逆系統(tǒng)逆系統(tǒng)第四十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日（2）積分特性（3）微分、積分特性條件：（二）卷積的微分與積分（1）微分特性第四十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日若（三）卷積的延時(shí)特性則需要記憶的卷積：◆◆◆◆例：（1）（2）第四十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日例1：已知f1(t)、f2(t)如圖所示，求s(t)=f1(t)*f2(t)，并畫(huà)出

s(t)的波形。解：第四十七頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日0t12h(t)