2021-2022學(xué)年福建省莆田市第十七中學(xué)高一數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.袋子中有大小、形狀完全相同的四個(gè)小球，分別寫有和、“諧”、“?！薄皥@”四個(gè)字，有放回地從中任意摸出一個(gè)小球，直到“和”、“諧”兩個(gè)字都摸到就停止摸球，用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好在第三次停止摸球的概率。利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，分別用1，2，3，4代表“和”、“諧”、“?！?、“園”這四個(gè)字，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示摸球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：由此可以估計(jì)，恰好第三次就停止摸球的概率為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】由題隨機(jī)數(shù)的前兩位1,2只能出現(xiàn)一個(gè)，第三位出現(xiàn)另外一個(gè).依次判斷每個(gè)隨機(jī)數(shù)即可.【詳解】由題隨機(jī)數(shù)的前兩位1,2只能出現(xiàn)一個(gè)，第三位出現(xiàn)另外一個(gè),∴滿足條件的隨機(jī)數(shù)為142,112,241,142，故恰好第三次就停止摸球的概率為.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查古典概型，熟記古典概型運(yùn)算公式是關(guān)鍵，是中檔題，也是易錯(cuò)題.2.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，使的值介于0到之間的概率為Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．參考答案：C3.下列函數(shù)中是偶函數(shù)，并且最小正周期為的（

）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．參考答案：B略4.如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，=x+y，且=3，則（）A．x=，y= B．x=，y= C．x=，y= D．x=，y=參考答案：D【考點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義．【專題】平面向量及應(yīng)用．【分析】由=3，利用向量三角形法則可得，化為，又=x+y，利用平面向量基本定理即可得出．【解答】解：∵=3，∴，化為，又=x+y，∴，y=．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量三角形法則、平面向量基本定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5.已知函數(shù)圖象上關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)至少有5對(duì)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：A若x＞0，則﹣x＜0，∵x＜0時(shí)，f（x）＝sin（x）﹣1，∴f（﹣x）＝sin（x）﹣1＝﹣sin（x）﹣1，則若f（x）＝sin（x）﹣1，（x＜0）關(guān)于y軸對(duì)稱，則f（﹣x）＝﹣sin（x）﹣1＝f（x），即y＝﹣sin（x）﹣1，x＞0，設(shè)g（x）＝﹣sin（x）﹣1，x＞0作出函數(shù)g（x）的圖象，要使y＝﹣sin（x）﹣1，x＞0與f（x）＝logax，x＞0的圖象至少有5個(gè)交點(diǎn)，則0＜a＜1且滿足f（9）＜g（9），即﹣2＜loga9，即loga9＞logaa﹣2，則9，解得0＜a，故選：A．6.若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）.A.

B.

C.

D.參考答案：D略7.在線段[0,3]上任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)坐標(biāo)大于1的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B設(shè)“所取點(diǎn)坐標(biāo)大于1”為事件A，則滿足A的區(qū)間為[1,3]根據(jù)幾何概率的計(jì)算公式可得，

8.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略9.若圓C的方程為（x﹣3）2+（y﹣2）2=4，直線l的方程為x﹣y+1=0，則圓C關(guān)于直線l對(duì)稱的圓的方程為（）A．（x+1）2+（y+4）2=4 B．（x﹣1）2+（y﹣4）2=4 C．（x﹣4）2+（y﹣1）2=4 D．（x+4）2+（y+1）2=4參考答案：B【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】寫出已知圓的圓心坐標(biāo)和半徑，求出圓心坐標(biāo)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得答案．【解答】解：圓C（x﹣3）2+（y﹣2）2=4的圓心坐標(biāo)為C（3，2），半徑為2，設(shè)C（3，2）關(guān)于直線l：x﹣y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)為C′（x′，y′），則，解得．∴C′（1，4），則圓C關(guān)于直線l對(duì)稱的圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣4）2=4．故選：B．10.設(shè)平面向量，，若，則（

）A. B. C.4 D.5參考答案：B由題意得，解得，則，所以，故選B.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，60°角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,m)，則實(shí)數(shù)m的值為

。參考答案：角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為,tan60°=故答案為

12.在等邊中，，為三角形的中心，過(guò)點(diǎn)O的直線交線段AB于M，交線段AC于N．有下列四個(gè)命題:①的最大值為，最小值為；②的最大值和最小值與無(wú)關(guān)；③設(shè),,則的值是與無(wú)關(guān)的常數(shù)；④設(shè),,則的值是與有關(guān)的常數(shù).其中正確命題的序號(hào)為：

.（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）參考答案：①③13.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，令，是數(shù)列的前項(xiàng)和，若是數(shù)列中的唯一最大項(xiàng)，則的公比的取值范圍是__________.參考答案：14.已知，則=

．參考答案：略15.如圖，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP=3，則=．參考答案：18【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】設(shè)AC與BD交于O，則AC=2AO，在RtAPO中，由三角函數(shù)可得AO與AP的關(guān)系，代入向量的數(shù)量積=||||cos∠PAO可求【解答】解：設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，則AC=2AO∵AP⊥BD，AP=3，在Rt△APO中，AOcos∠OAP=AP=3∴||cos∠OAP=2||×cos∠OAP=2||=6，由向量的數(shù)量積的定義可知，=||||cos∠PAO=3×6=18故答案為：1816.有四個(gè)命題：（1）若a＞b，則ac2＞bc2；（2）若a＜b＜0，則a2＜b2；（3）若，則a＜1；（4）1＜a＜2且0＜b＜3，則﹣2＜a﹣b＜2．其中真命題的序號(hào)是．參考答案：（4）【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】不等式的解法及應(yīng)用；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】利用不等式的基本性質(zhì)即可判斷出．【解答】解：（1）若a＞b，則ac2＞bc2，不正確，c=0時(shí)不成立；（2）若a＜b＜0，則a2＞b2，因此不正確；（3）若，則0＜a＜1，因此不正確；（4）∵0＜b＜3，∴﹣3＜﹣b＜0，又1＜a＜2，∴﹣2＜a﹣b＜2，正確．故答案為：（4）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的基本性質(zhì)、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．17.sin255°=_________．參考答案：【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，化為銳角，再用兩角和差公式轉(zhuǎn)化為特殊角，即可求解.【詳解】.故答案:【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、兩角和正弦公式求值，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知圓O：與圓B：．（1）求兩圓的公共弦長(zhǎng)；（2）過(guò)平面上一點(diǎn)向圓O和圓B各引一條切線，切點(diǎn)分別為C，D，設(shè)，求證：平面上存在一定點(diǎn)M使得Q到M的距離為定值，并求出該定值．參考答案：（1）（2）【分析】（1）把兩圓方程相減得到公共弦所在直線方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式與圓的垂徑定理求兩圓的公共弦長(zhǎng)；（2）根據(jù)圓的切線長(zhǎng)與半徑的關(guān)系代入化簡(jiǎn)即可得到點(diǎn)的軌跡方程，進(jìn)而求解.【詳解】解：（1）由，相減得兩圓的公共弦所在直線方程為：，設(shè)(0,0)到的距離為，則所以，公共弦長(zhǎng)為所以，公共弦長(zhǎng)為.（2）證明：由題設(shè)得：化簡(jiǎn)得：配方得：所以，存在定點(diǎn)使得到的距離為定值，且該定值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的應(yīng)用.求兩圓的公共弦關(guān)鍵在求公共弦所在直線方程；求動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)距離問(wèn)題，首先要求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.19.在等比數(shù)列{an}中，a1=2，a3，a2+a4，a5成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足b1++…+=an（n∈N*），{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求使Sn﹣nan+6≥0成立的正整數(shù)n的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．（2）利用方程法求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求出{bn}的前n項(xiàng)和公式，解不等式即可．【解答】解：（1）∵等比數(shù)列{an}中，a1=2，a3，a2+a4，a5成等差數(shù)列．∴2（a2+a4）=a3+a5，即2（a2+a4）=q（a2+a4），∴q=2，則an=a1qn﹣1=2×2n﹣1=2n，即；（2）∵數(shù)列{bn}滿足b1+，∴b1++…++=an+1，兩式相減得=an+1﹣an=2n+1﹣2n=2n，則bn+1=（n+1）?2n，即bn=n?2n﹣1，n≥2，當(dāng)n=1時(shí)，b1=a1=2，不滿足bn=n?2n﹣1，n≥2．即bn=．當(dāng)n=1時(shí)，不等式等價(jià)為S1﹣a1+6=6≥0成立，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=2+2?21+3?22+4?23+…+n?2n﹣1，①則2Sn=4+2?22+3?23+4?24+…+n?2n，②②﹣①，得Sn=2+2?21﹣22﹣23﹣24﹣…﹣2n﹣1+n?2n=6﹣+n?2n=6+n?2n=6+4﹣2n+1+n?2n=10+（n﹣2）?2n，則當(dāng)n≥2時(shí)，不等式Sn﹣nan+6≥0等價(jià)為10+（n﹣2）?2n﹣n?2n+6≥0，即16﹣2?2n≥0，則2n≤8，得n≤3，則n的最大值是3．20.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R}．若A∩B＝[1,3]，求實(shí)數(shù)m的值；參考答案：解：A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．∵A∩B＝[1,3]，∴得：m＝3略21.已知函數(shù)．（1）那么方程在區(qū)間[－2019,2019]上的根的個(gè)數(shù)是___________．（2）對(duì)于下列命題：①函數(shù)f(x)是周期函數(shù)；②函數(shù)f(x)既有最大值又有最小值；③函數(shù)f(x)的定義域是R，且其圖象有對(duì)稱軸；④在開(kāi)區(qū)間(1,2)上，f(x)單調(diào)遞減．其中真命題的序號(hào)為_(kāi)_____________（填寫真命題的序號(hào)）．參考答案：(1)4039；

(2)②③；【分析】（1）方程在區(qū)間上的根，即為在區(qū)間上的根．（2）根據(jù)函數(shù)的周期性的定義、最值、對(duì)稱性以及單調(diào)性判斷可得；【詳解】解：（1），即，即，，解得，，由于，方程在區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)是4039個(gè)，（2）①函數(shù)是周期函數(shù)不正確，因?yàn)榉帜鸽S著自變量的遠(yuǎn)離原點(diǎn)，趨向于正窮大，所以函數(shù)圖象無(wú)限靠近于軸，故不是周期函數(shù)，故①錯(cuò)誤；③，，則恒成立；故函數(shù)的定義域?yàn)?，在函?shù)圖象上任取點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是而．直線是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸；故③正確，②因?yàn)橛凶钪?，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，從而（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)），所以既有最大值又有最小值；故②正確；④因?yàn)楹瘮?shù)在與時(shí)，，故在開(kāi)區(qū)間上，不可能單調(diào)遞減．故④錯(cuò)誤；故正確的有②③．故答案為：（1）、4039；（2）、②③；【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)思想，轉(zhuǎn)化思想，還考查函數(shù)圖象的對(duì)稱變化和一元二次方程根的問(wèn)題，以及函數(shù)奇偶性的判定方法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．22.當(dāng)x∈時(shí)，求函數(shù)f（x）=x2+（2﹣6a）x+3a2的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義．【專題】綜合題；數(shù)形結(jié)合；分類討論；數(shù)形結(jié)合法．【分析】先求得函數(shù)f（x）=x2+（2﹣6a）x+3a2的對(duì)稱軸，為x=3a﹣1，由于此問(wèn)題是一個(gè)區(qū)間定軸動(dòng)的問(wèn)題，故分類討論函數(shù)的最小值【解答】解：該函數(shù)的對(duì)稱軸是x=3a﹣1，①當(dāng)3a﹣1＜0，即時(shí)，fmin（x）=f（0）=3a2；②當(dāng)3a﹣1＞1，即時(shí)，fmin（x）=f（1）=3a2﹣6a+3；③當(dāng)0≤3a﹣1≤1，即時(shí)，fmin（x）=f（3a﹣1）=﹣6a2+6a﹣1．綜上所述，函數(shù)