經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)第九章微分方程第一頁，共七十八頁，2022年，8月28日§9.1微分方程的基本概念一、微分方程的定義凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程，稱為微分方程未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程未知函數(shù)為多元函數(shù)，同時(shí)含有多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的微分方程，稱為偏微分方程定義1第二頁，共七十八頁，2022年，8月28日二、微分方程的階微分方程中，未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階三、微分方程的解如果某個(gè)函數(shù)代入微分方程后使其兩端恒等，則稱此函數(shù)為該微分方程的解，如果微分方程的解所含獨(dú)立的任意常數(shù)個(gè)數(shù)等于方程的階數(shù)，則稱此解為微分方程的通解。而微分方程任意確定的解稱為微分方程的特解定義2定義3第三頁，共七十八頁，2022年，8月28日§9.2一階微分方程一、可分離變量的微分方程第四頁，共七十八頁，2022年，8月28日第五頁，共七十八頁，2022年，8月28日第六頁，共七十八頁，2022年，8月28日第七頁，共七十八頁，2022年，8月28日第八頁，共七十八頁，2022年，8月28日第九頁，共七十八頁，2022年，8月28日第十頁，共七十八頁，2022年，8月28日第十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日第十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日二、齊次微分方程齊次微分方程不是可分離變量的微分方程，但通過變量代換可將其化為可分離變量的微分方程，方法如下：第十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日第十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日第十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日第十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日第十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日第十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日第十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日第二十頁，共七十八頁，2022年，8月28日第二十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日第二十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日第二十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日一階線性微分方程

（Lineardifferentialequationoffirstorder)線性方程(Lineardifferentialequation)伯努利方程(Bernoullidifferentialequation)三小結(jié)思考判斷題第二十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:上方程稱為齊次的.上方程稱為非齊次的.一線性方程(Lineardifferentialequation)例如線性的;非線性的.第二十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日齊次方程的通解為1.線性齊次方程一階線性微分方程的解法(使用分離變量法)第二十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.作變換2.線性非齊次方程第二十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日積分得第二十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日一階線性非齊次微分方程的通解為對(duì)應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解第二十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日解例1第三十頁，共七十八頁，2022年，8月28日例2如圖所示，平行與軸的動(dòng)直線被曲線與截下的線段PQ之長(zhǎng)數(shù)值上等于陰影部分的面積,求曲線.兩邊求導(dǎo)得解解此微分方程第三十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日所求曲線為第三十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日解方程改寫為不是一階線性方程把看作的函數(shù)，于是變?yōu)榈谌摚财呤隧摚?022年，8月28日第三十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日第三十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日第三十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日第三十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日第三十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日第三十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日§9.3高階常系數(shù)線性微分方程一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程第四十頁，共七十八頁，2022年，8月28日第四十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日第四十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日

二階常系數(shù)齊次線性方程解法-----特征方程法將其代入上方程,得故有特征方程特征根第四十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日

有兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為特征根為第四十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日有兩個(gè)相等的實(shí)根一特解為得齊次方程的通解為特征根為第四十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日有一對(duì)共軛復(fù)根重新組合得齊次方程的通解為特征根為第四十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日第四十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日解特征方程為解得故所求通解為例1第四十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日解特征方程為解得故所求通解為例2第四十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日第五十頁，共七十八頁，2022年，8月28日二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第五十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日設(shè)對(duì)x求導(dǎo)為非齊次方程第五十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日令則有二階導(dǎo)數(shù)第五十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日第五十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日第五十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日第五十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日第五十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日第五十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日第五十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日第六十頁，共七十八頁，2022年，8月28日第六十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日第六十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日第六十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日第六十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日第六十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日第六十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日第六十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日第六十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日第六十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日第七十頁，共七十八頁，2022年，8月28日第七十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日§9.4差分方程的基本概念一、差分的概念定義第七十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日二階差分三階差分第七十三頁，共七十八頁，20