計(jì)量地理學(xué)第三章統(tǒng)計(jì)分析方法趨勢面分析第一頁，共三十九頁，2022年，8月28日§1地理要素間的相關(guān)分析§2地理要素間的回歸分析§3時(shí)間序列分析法§4系統(tǒng)聚類分析方法§5主成分分析方法§6馬爾可夫預(yù)測方法§7地理系統(tǒng)的空間趨勢面分析第二頁，共三十九頁，2022年，8月28日§7地理系統(tǒng)的空間趨勢面分析一、空間趨勢面分析概述趨勢面分析用數(shù)學(xué)的方法，以數(shù)學(xué)模型來模擬（或擬合）地理數(shù)據(jù)的空間分布及其區(qū)域性變化趨勢的方法它實(shí)質(zhì)上是通過回歸分析原理，運(yùn)用最小二乘法擬合一個(gè)二維非線性函數(shù)，模擬地理要素在空間上的分布規(guī)律，展示地理要素在地域空間上的變化趨勢。第三頁，共三十九頁，2022年，8月28日趨勢面分析方法常常被用來模擬資源、環(huán)境、人口及經(jīng)濟(jì)要素在空間上的分布規(guī)律，它在空間分析方面具有重要的應(yīng)用價(jià)值。

趨勢面是一種抽象的數(shù)學(xué)曲面，它抽象并過濾掉了一些局域隨機(jī)因素的影響，使地理要素的空間分布規(guī)律明顯化。第四頁，共三十九頁，2022年，8月28日通常把實(shí)際的地理曲面分解為趨勢面和剩余面兩部分，前者反映地理要素的宏觀分布規(guī)律，屬于確定性因素作用的結(jié)果；而后者則對應(yīng)于微觀局域，是隨機(jī)因素影響的結(jié)果。趨勢面分析的一個(gè)基本要求，就是所選擇的趨勢面模型應(yīng)該是剩余值最小，而趨勢值最大，這樣擬合度精度才能達(dá)到足夠的準(zhǔn)確性?？臻g趨勢面分析，正是從地理要素分布的實(shí)際數(shù)據(jù)中分解出趨勢值和剩余值，從而揭示地理要素空間分布的趨勢與規(guī)律。

第五頁，共三十九頁，2022年，8月28日趨勢面的性質(zhì)與特點(diǎn)是一種光滑的數(shù)學(xué)曲面，它能集中地代表地理數(shù)據(jù)在大范圍內(nèi)的空間分布變化趨勢與實(shí)際上的地理曲面不同，它只是實(shí)際曲面的一種近似值。實(shí)際曲面包括趨勢面和剩余（或離差）曲面兩部分，即實(shí)際曲面＝趨勢面+剩余曲面第六頁，共三十九頁，2022年，8月28日二、趨勢面分析的數(shù)學(xué)模型（一）趨勢面分析的數(shù)學(xué)原理設(shè)以Zi(xi，yi)表示某一地理特征值在空間上的分布。其中(xi，yi)為平面上點(diǎn)的坐標(biāo)。任一觀測點(diǎn)Zi可分解為兩個(gè)部分即式中：εi即為剩余值（殘差值）。顯然，當(dāng)（xi，yi）在空間上變動(dòng)時(shí),式就刻畫了地理要素的實(shí)際分布曲面、趨勢面和剩余面之間的互動(dòng)關(guān)系第七頁，共三十九頁，2022年，8月28日趨勢面分析的核心從實(shí)際觀測值出發(fā)推算趨勢面，一般采用回歸分析方法，使得殘差平方和趨于最小，即這就是在最小二乘法意義下的趨勢面擬合。

第八頁，共三十九頁，2022年，8月28日用來計(jì)算趨勢面的數(shù)學(xué)方程式有多項(xiàng)式函數(shù)和傅立葉級數(shù)，其中最為常用的是多項(xiàng)式函數(shù)形式。因?yàn)槿魏我粋€(gè)函數(shù)都可以在一個(gè)適當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)用多項(xiàng)式來逼近，而且調(diào)整多項(xiàng)式的次數(shù)，可使所求的回歸方程適合實(shí)際問題的需要。

第九頁，共三十九頁，2022年，8月28日多項(xiàng)式方程作為趨勢面方程因?yàn)槿魏魏瘮?shù)在一定范圍內(nèi)總可以用多項(xiàng)式來逼近，并可調(diào)整多項(xiàng)式的次數(shù)來滿足趨勢面分析的需要，一般來說，多項(xiàng)式的次數(shù)越高則趨勢值越接近于觀測值，而剩余值越小第十頁，共三十九頁，2022年，8月28日（二）多項(xiàng)式趨勢面的數(shù)學(xué)模型第十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日第十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日（三）估計(jì)趨勢面模型的參數(shù)實(shí)質(zhì)根據(jù)觀測值zi，xi，yi（i=1,2,…,n）確定多項(xiàng)式的系數(shù)a0，a1，…，ap，使殘差平方和最小。第十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日趨勢面參數(shù)的確定（最小二乘法）使每一個(gè)觀測值與趨勢值的殘差平方和為最小，即按建立多元線性方程的方法，使Q對系數(shù)b0，b1，…，bn求偏導(dǎo)，并令這些偏導(dǎo)數(shù)等于零，得趨勢面的正規(guī)方程組，解正規(guī)方程組，即可求出系數(shù)，從而得到趨勢面方程第十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日過程

①將多項(xiàng)式回歸（非線性模型）模型轉(zhuǎn)化為多元線性回歸模型。第十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日令

則②其殘差平方和為

（3.6.5）

第十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日③求Q對a0，a1，…，ap的偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于0，得正規(guī)方程組(式中為p+1個(gè)未知量）（3.6.6）

第十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日④用矩陣形式表示則（3.6.6）式變?yōu)椋?.6.7）

第十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日⑤

對于二元二次多項(xiàng)式有

其正規(guī)方程組為

第十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日第二十頁，共三十九頁，2022年，8月28日由式（3.6.7）求解，可得（3.6.8）

第二十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日（三）趨勢面擬合程度的檢驗(yàn)趨勢面分析擬合程度與回歸模型的效果直接相關(guān)，因此，對趨勢面分析進(jìn)行適度性檢驗(yàn)是一個(gè)關(guān)系到趨勢面能否在實(shí)際研究中加以應(yīng)用的關(guān)鍵問題，也是趨勢面分析中不可缺少的重要環(huán)節(jié)。這可以通過以下檢驗(yàn)來完成：趨勢面擬合適度的R2檢驗(yàn)趨勢面擬合適度的顯著性F檢驗(yàn)趨勢面適度的逐次檢驗(yàn)第二十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日（一）趨勢面擬合適度的R2檢驗(yàn)趨勢面與實(shí)際面的擬合度系數(shù)R2是測定回歸模型擬合優(yōu)度的重要指標(biāo)。一般用變量z的總離差平方和中回歸平方和所占的比重表示回歸模型的擬合優(yōu)度?？傠x差平方和等于回歸平方和與剩余平方和之和。即第二十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日

越大（或越?。┚捅硎疽蜃兞颗c自變量的關(guān)系越密切，回歸的規(guī)律性越強(qiáng)、效果越好。記

越大，趨勢面的擬合度就越高。

為剩余平方和，它表示隨機(jī)因素對離差的影響，為回歸平方和，它表示自變量對因變量的離差的總影響。

（3.6.9）

第二十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日（二）趨勢面擬合適度的顯著性F檢驗(yàn)趨勢面適度的F檢驗(yàn)，是對趨勢面回歸模型整體的顯著性檢驗(yàn)。

方法：是利用變量z的總離差平方和中剩余平方和與回歸平方和的比值，確定變量z與自變量x、y之間的回歸關(guān)系是否顯著。即結(jié)果分析：在顯著性水平α下，查F分布表得Fα，若計(jì)算的F值大于臨界值Fα，則認(rèn)為趨勢面方程顯著；反之則不顯著。（3.6.10）

第二十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日（三）趨勢面適度的逐次檢驗(yàn)

方法(1)求出較高次多項(xiàng)式方程的回歸平方和與較低次多項(xiàng)式方程的回歸平方和之差;(2)將此差除以回歸平方和的自由度之差，得出由于多項(xiàng)式次數(shù)增高所產(chǎn)生的回歸均方差;(3)將此均方差除以較高次多項(xiàng)式的剩余均方差，得出相繼兩個(gè)階次趨勢面模型的適度性比較檢驗(yàn)值F。若所得的F值是顯著的，則較高次多項(xiàng)式對回歸作出了新貢獻(xiàn)，若F值不顯著，則較高次多項(xiàng)式對于回歸并無新貢獻(xiàn)。相應(yīng)的方差分析表見表3.6.1。

第二十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日

表3.6.1多項(xiàng)式趨勢面由K次增高至（K+1）次的回歸顯著性檢驗(yàn)離差來源平方和自由度均方差F檢驗(yàn)（K+1）次回歸

p

（K+1）次剩余

n–p–1K次回歸

qK次剩余

n–q–1由K次增高至（K+1）次的回歸p–q總離差SST第二十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日需要注意的是，在實(shí)際應(yīng)用中，往往用次數(shù)低的趨勢面逼近變化比較小的地理要素?cái)?shù)據(jù)，用次數(shù)高的趨勢面逼近起伏變化比較復(fù)雜的地理要素?cái)?shù)據(jù)。次數(shù)低的趨勢面使用起來比較方便，但具體到某點(diǎn)擬合較差；次數(shù)較高的趨勢面只在觀測點(diǎn)附近效果較好，而在外推和內(nèi)插時(shí)則效果較差。

第二十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日三、趨勢面分析應(yīng)用實(shí)例

某流域1月份降水量與各觀測點(diǎn)的坐標(biāo)位置數(shù)據(jù)如表3.6.2所示。下面，我們以降水量為因變量z，地理位置的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別為自變量x、y，進(jìn)行趨勢面分析，并對趨勢面方程進(jìn)行適度F檢驗(yàn)。

第二十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日表3.6.2流域降水量及觀測點(diǎn)的地理位置數(shù)據(jù)序號降水量Z/mm橫坐標(biāo)x/104m縱坐標(biāo)y/104m12345678910111227.638.42424.73255.540.437.53131.75344.901.11.82.953.41.80.70.20.851.652.653.6510.6000.21.71.323.353.153.12.55第三十頁，共三十九頁，2022年，8月28日建立趨勢面模型

(1)

首先采用二次多項(xiàng)式進(jìn)行趨勢面擬合，用最小二乘法求得擬合方程為

解題步驟第三十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日圖3.6.1某流域降水量的二次多項(xiàng)式趨勢面

第三十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日(2)再采用三次趨勢面進(jìn)行擬合，用最小二乘法求得擬合方程為

第三十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日圖3.6.2某流域降水量的三次多項(xiàng)式趨勢面

第三十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日(1)趨勢面擬合適度的R2檢驗(yàn):根據(jù)R2檢驗(yàn)方法計(jì)算，結(jié)果表明，二次趨勢面的判定系數(shù)為R22=0.839，三次趨勢面的判定系數(shù)為R32=0.965，可見二次趨勢面回歸模型和三次趨勢面回歸模型的顯著性都較高，而且三次趨勢面較二次趨勢面具有更高的擬合程度。

模型檢驗(yàn)第三十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日(2)

趨勢面適度的顯著性F檢驗(yàn):根據(jù)F檢驗(yàn)方法計(jì)算，結(jié)果表明，二次趨勢面和三次趨勢面的F值分別為F2=6.236和F3=6.054。在置信水平α=0.05下，查F分布表得F3α=。顯然，，故二次趨勢面的回歸方程顯著而三次趨勢面不顯著。因此，F(xiàn)檢驗(yàn)的結(jié)果表明，用二次趨勢面進(jìn)行擬合比較合理。。第三十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日趨勢面比較：在二次和三次趨勢面檢驗(yàn)中，對兩個(gè)階次趨勢面模型的適度進(jìn)行比較，相應(yīng)的方差分析計(jì)算結(jié)果見表3.6.3。(3)趨勢面適度的逐次檢驗(yàn)：

離差來源平方和自由度均方差F檢驗(yàn)三次回歸三次剩余二次回歸二次剩余由二次增高至三次的回歸

1129.78941.474982.244189.018147.545912-9-1512-5-14125.53220.737196.44931.50336.8866.0546.2361.779表3.6.3二次和三次趨勢面回歸模型的逐次檢驗(yàn)方差分析表第三十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日分析：從二次趨勢面增加到三次趨勢面，F(xiàn)3→2=1.779。在置信度水平α=0.05下，查F分布表得F0.05(4,