PAGE航海數(shù)學(xué)講義第一章函數(shù)、極限與連續(xù)1.1函數(shù)的概念1.1.1基本初等函數(shù)我們把冪函數(shù)（為實(shí)數(shù)），指數(shù)函數(shù)且，對數(shù)函數(shù)且，三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).注：作為基本初等函數(shù)的三角函數(shù)僅有六個(gè)函數(shù)：；；；；；.反三角函數(shù)僅有四個(gè)函數(shù)：；；；.冪、指、對三大函數(shù)的變量只能是，常數(shù)和可以取一切實(shí)數(shù)；隨著常數(shù)和取不同的值，對應(yīng)的冪、指、對三大函數(shù)有無窮多個(gè)基本初等函數(shù).由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算所得到的函數(shù)稱為簡單函數(shù)．例如和等都是簡單函數(shù)．1.1.2復(fù)合函數(shù)如果是的函數(shù)，而是的函數(shù)，我們稱是的復(fù)合函數(shù)，記作，其中稱為中間變量.注：函數(shù)的值域應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)；若有多個(gè)函數(shù)復(fù)合而成，則中間變量可用變量，，，，等表示．例如和是基本初等函數(shù)，和是復(fù)合函數(shù)；而便失去意義.例1指出函數(shù)的復(fù)合過程．解由，，，．1.1.3初等函數(shù)由基本初等函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算或經(jīng)過有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成的，并只用一個(gè)解析式子表示的函數(shù)叫做初等函數(shù).例如，，，，，等都是初等函數(shù).1.2.4分段函數(shù)有些函數(shù)雖然也可以用解析式表示，但不能用一個(gè)解析式表示，在定義域的不同范圍具有不同的解析式，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù).例如，等都是分段函數(shù).練習(xí)題1.11．指出下列各函數(shù)的復(fù)合過程：（1）；（2）；（3）；（4）.2．已知，，，試把表示成的函數(shù).3．設(shè)，求，，，.4．設(shè)，求，，.1.2函數(shù)極限1.2.1當(dāng)時(shí)的極限圖1.1當(dāng)時(shí)的極限：圖1.1如圖1.1所示，考察函數(shù)的圖形，容易發(fā)現(xiàn)不論都有.我們稱該函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限為0（或收斂于0），記作=0或=0.一般地，當(dāng)無限地增大時(shí)，函數(shù)無限地趨近于一個(gè)固定的常數(shù)，則稱當(dāng)時(shí)，的極限為（或收斂于），記為.若無限地增大時(shí)，函數(shù)無限地趨近于一個(gè)固定的常數(shù)，則稱當(dāng)時(shí)，的極限為，記為.若無限地增大時(shí)，函數(shù)無限地趨近于一個(gè)固定的常數(shù)，則稱當(dāng)時(shí)的極限為，記為.判斷函數(shù)當(dāng)是否有極限，通常用如下的結(jié)論：的充要條件是.例1，其中為常數(shù).例2，其中.例3由于和，所以不存在（或發(fā)散）.例4由于和，所以不存在（或發(fā)散）.例5不存在.例6.1.2.2當(dāng)時(shí)的極限一般地，當(dāng)無限地趨近于時(shí)，函數(shù)無限地趨近于一個(gè)固定的常數(shù)，則稱當(dāng)時(shí)，的極限為（或收斂于），記為.若是從左側(cè)無限地趨近于時(shí)，函數(shù)無限地趨近于一個(gè)固定的常數(shù)，則稱當(dāng)（）時(shí)，的左極限為，記為.若是從右側(cè)無限地趨近于時(shí)，函數(shù)無限地趨近于一個(gè)固定的常數(shù)，則稱當(dāng)（）時(shí)的右極限為，記為.判斷函數(shù)在點(diǎn)處是否有極限，通常用如下的結(jié)論：的充要條件是.例7觀察說明.注意到函數(shù)在點(diǎn)處無意義，而當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值的變化總的趨勢卻是2.即.這說明當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限與在點(diǎn)有沒有定義無關(guān)；反之，有定義也未必有極限.如，在有定義，但由于，；即左右極限不相等，所以在點(diǎn)，的極限不存在.例8函數(shù)，判別函數(shù)在，，點(diǎn)極限的存在性，若存在則求之.解在，由于，，所以不存在；在，由于，，所以；而.例9設(shè)，求.解.求．解由于，，所以不存在．注：(1)對于分段函數(shù)求分段點(diǎn)的極限時(shí)，若需要用不同的函數(shù)，則要用左右極限求解；（2）若在點(diǎn)求極限所得到的結(jié)果不唯一，則要用左右極限求解．（3）可以用符號表示極限的結(jié)果，但極限不存在不一定是.（4），（為常數(shù)）.練習(xí)題1.21．證明：不存在.2．設(shè)，求當(dāng)時(shí)的左、右極限，并說明在點(diǎn)極限是否存在.3．設(shè)，求，，，.4.設(shè)，求.1.3極限的四則運(yùn)算1.3.1極限的四則運(yùn)算法則若與都存在（其中表示同時(shí)有或），則有①.注：此公式僅適用于有限項(xiàng)，否則不成立.如.②.特殊地有（c為常數(shù)）.③=（）.注:應(yīng)注重法則的前提條件，若前提條件不滿足，則法則失效．如:錯(cuò)誤解法:；正確解法：.又如：.再如：，是錯(cuò)誤的寫法，因?yàn)?1.3.2極限的計(jì)算方法1、直接代入法：即.例1.解原式.以下各例都無法直接應(yīng)用法則，需適當(dāng)?shù)幕喓笤賾?yīng)用（應(yīng)清楚每一步求法的根據(jù)）.2、型：求解的方法是分子和分母同時(shí)約去使分母為的式子.常用的方法有：因式分解法；提取公因式法；分子或分母有理化法；（下節(jié)介紹）.例2.解原式.例3.解原式.例4.解原式.3、型：求解的方法是分子和分母同時(shí)除以最大項(xiàng).例5.解原式.例6.解原式.例7.解原式.例8.解原式.例9.解原式.例10.解原式.4、（）型：求解的方法是轉(zhuǎn)化為或.常用的方法有：通分母法和分子有理化法.例11.解原式=.例12.解原式=.5、（）型：求解的方法是轉(zhuǎn)化為或.(略)練習(xí)題1.31.求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）.2.求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.1.4兩個(gè)重要極限1.4.1第一個(gè)重要極限公式：．推論：．例１．解原式．例２．解原式．例３．解原式．例4.解原式.例5.解原式.注：公式，適用于三角函數(shù)與冪函數(shù)相除的情形，解題的思路是把分母演化出正弦的角度函數(shù)，而后利用公式.1.4.2第二個(gè)重要極限公式：．推論:和.例6．解原式．例7．解原式．例8．解原式.例9．解原式.例10．解原式.注：公式適用于類型，解題思路是把指數(shù)演化出分母函數(shù)，而后利用公式.練習(xí)題1.41．求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.2．求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.1.5無窮小、無窮大1.5.1概念若，則稱為當(dāng)時(shí)的無窮小量（簡稱無窮?。?若，則稱為當(dāng)時(shí)的無窮大量（簡稱無窮大）.例1由于，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是無窮??；，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是無窮大.例2由于，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是無窮?。?，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是無窮大.例3由于，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是無窮?。?，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是無窮大；，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是無窮大.注：1、說某個(gè)變量是無窮大或無窮小，一定要指出前提時(shí).2、無窮小、無窮大不是一個(gè)數(shù)，而是一個(gè)變量.3、0是無窮小.1.5.2性質(zhì)1、有限個(gè)無窮小的和仍是無窮小；注：若是無窮多個(gè)無窮小則不然，如.2、有界函數(shù)與無窮小之積仍是無窮??；注：這條性質(zhì)在極限的運(yùn)算中經(jīng)常用到.例4求.由于，而，所以.例5求由于，而是有界函數(shù)，所以.3、有限個(gè)無窮小的積仍是無窮小.4、當(dāng)時(shí)，無窮小的倒數(shù)是無窮大；反之亦然.例6求.因?yàn)?，所?1.5.3無窮小階的比較一般地，設(shè)和是時(shí)的兩個(gè)無窮小，若（1），則稱當(dāng)時(shí)，是比高階無窮小（即比趨于0的“速度”快），記為，（）.（2），則稱當(dāng)時(shí)，是比低階的無窮?。幢融呌?的“速度”慢）.（3），則稱當(dāng)時(shí)，與同階的無窮小，（即與趨于0的“速度”“幾乎相當(dāng)”）.特殊的，當(dāng)時(shí)，則稱與是等價(jià)無窮小.記為（其中）.例如：由于，，所以當(dāng)時(shí)，與；與是等價(jià)無窮小.例13比較時(shí)，無窮小與的階.解.所以當(dāng)時(shí)，無窮小與是等價(jià)無窮小.練習(xí)題1.51．指出下列各題是無窮小量還是無窮大量：（1）；（2）；（3）；（4）.（5）；（6）；2．求下列極限（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.1.6函數(shù)的連續(xù)性在現(xiàn)實(shí)世界中有許多連續(xù)變化著的量，如一天中溫度的變化、海水的漲跌、地球的自轉(zhuǎn)、等等，都是連續(xù)變化著的量，這種現(xiàn)象反映在函數(shù)關(guān)系上就是函數(shù)連續(xù)性.為了刻畫說明函數(shù)的連續(xù)性，我們先引入增量的概念.1.6.1增量1、：稱為從變到的自變量的增量，記為.2、：稱為從變到的函數(shù)的增量，記為.所以，；.1.6.2連續(xù)1、函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)若在點(diǎn)及其近旁有定義，且（或），則稱在點(diǎn)處連續(xù)；否則稱為間斷（不連續(xù)）.當(dāng)（即）時(shí)，若(即），通俗地說，即當(dāng)趨于時(shí)，的值也“同步平穩(wěn)”地到達(dá)，那么從圖象上觀察函數(shù)在點(diǎn)會(huì)有什么樣的性態(tài)呢？不難發(fā)現(xiàn)這正好刻畫了在點(diǎn)是連續(xù)的這個(gè)事實(shí).2、間斷（1）間斷條件從連續(xù)的定義可看出，函數(shù)間斷必至少具備如下三點(diǎn)之一：①在點(diǎn)無定義.②不存在.③，但.（2）間斷類型①極限存在的間斷，稱為可去間斷點(diǎn)；可通過補(bǔ)充定義或改變函數(shù)在某點(diǎn)的定義使之連續(xù).如，在點(diǎn)無定義，但存在，稱為可去間斷點(diǎn)；令，則函數(shù)是連續(xù)函數(shù).如圖1.6.1.②左右極限都存在但不相等的間斷，稱為跳躍間斷點(diǎn).如，在點(diǎn)處間斷，為跳躍間斷點(diǎn).如圖1.6.2.③，稱為無窮間斷點(diǎn).如，在點(diǎn)處間斷，為無窮間斷點(diǎn).又如，在點(diǎn)處是可去間斷；令，則函數(shù)是連續(xù)函數(shù).如圖1.6.3.圖象如下：圖1.6.3圖1.6.2圖1.6.1圖1.6.3圖1.6.2圖1.6.1注意到，當(dāng)極限存在時(shí)的間斷點(diǎn)的性質(zhì)僅是一點(diǎn)的問題，而當(dāng)極限不存在時(shí)的間斷點(diǎn)，其性質(zhì)不同，間斷是由于“斷裂”引起的，是全局的問題，是“不可補(bǔ)救”的.例1求證函數(shù)在點(diǎn)處是連續(xù)的.證明顯然在點(diǎn)及其近旁有定義，且，由于，；故有.所以在點(diǎn)處是連續(xù)的.例2試確定函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性.解顯然在點(diǎn)及其近旁有定義，且，.所以在點(diǎn)處是連續(xù)的.思考：判別在某點(diǎn)處的連續(xù)性，是否都需要分左右極限考慮？若不是分段函數(shù)，有沒有必要分左右極限計(jì)算？3、函數(shù)的連續(xù)性若在內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)，稱在內(nèi)連續(xù).若在內(nèi)連續(xù)，且有（右連續(xù)）和（左連續(xù)），則稱在上連續(xù).一般地，初等函數(shù)在其定義域內(nèi)均是連續(xù)的.即初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間等價(jià)于定義區(qū)間.例3求函數(shù)的間斷點(diǎn)和連續(xù)區(qū)間.解令，得，.所以，函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是.例4已知函數(shù)，試求的連續(xù)區(qū)間.解由于，；所以不存在.且當(dāng)時(shí)，間斷，因此，的連續(xù)區(qū)間是.例5已知函數(shù)=，求的連續(xù)區(qū)間.解在點(diǎn)及其近旁有定義，且，由于.所以，在點(diǎn)處是連續(xù)的，而在和點(diǎn)處是間斷的，因此，連續(xù)區(qū)間是.例6設(shè)函數(shù)，問怎樣選擇，使函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)？解在=0點(diǎn)及其近旁有定義，且，由于，所以，令，則有，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).1.6.3閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（1）最值性質(zhì)：若在閉區(qū)間上連續(xù)，則在閉區(qū)間上，至少取得最大值和最小值各一個(gè).（2）介值性質(zhì)：若在閉區(qū)間上連續(xù)，則對于介于與之間的任意的數(shù)，至少存在一個(gè)點(diǎn)，使.特殊地，若有成立，則在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.（零點(diǎn)性質(zhì)）例7證明=在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.證明顯然在上連續(xù)，且，，即.由零點(diǎn)性質(zhì)，在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.練習(xí)題1.61.設(shè)函數(shù)，求適合下列條件的函數(shù)的增量：（1）當(dāng)由1變到2；（2）當(dāng)由2變到1；（3）當(dāng)由1變到；（4）當(dāng)由變到.2.求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間.3.設(shè)函數(shù)，討論函數(shù)在點(diǎn)的連續(xù)性.4.求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.5.設(shè)函數(shù)，問怎樣選擇,使函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)？6.證明方程在1與2之間至少存在一個(gè)實(shí)根.7.求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），；（6）.復(fù)習(xí)題(一)1.求下列極限：(1)；(2)；（3）；（4）.2.求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）.3.求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（）.4.討論下列函數(shù)的連續(xù)性，如有間斷點(diǎn)，指出其類型：（1）；（2）；（3）；（4）.

第二章導(dǎo)數(shù)與微分2．1導(dǎo)數(shù)的概念2.1.1兩個(gè)實(shí)例1、變速直線運(yùn)動(dòng)我們知道，求物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度有公式（其中S表示路程、t表示時(shí)間）.但如果是求變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度就無法用這個(gè)公式，此時(shí)我們可以先考慮時(shí)間區(qū)間內(nèi)的平均速度，顯然當(dāng)→0時(shí)，（如果存在）即是物體在時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度.2、曲線切線的斜率如圖2.1.1，曲線在點(diǎn)處的切線為當(dāng)割線繞著切點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至切線位置時(shí)的直線，圖2.1.1則斜率（如果極限存在的話）.2.1.2導(dǎo)數(shù)的概念以上兩例是變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度和曲線切線的斜率的具體問題，由此可抽象出導(dǎo)數(shù)的概念.定義1：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及其近旁有定義，若極限存在，則此極限稱為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)（或稱在點(diǎn)處可導(dǎo)，否則稱在點(diǎn)處不可導(dǎo)）.記作，，或.即.定義2：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)，則稱函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)；又若和存在，則稱函數(shù)在閉區(qū)間上可導(dǎo).其中，分別稱為函數(shù)在點(diǎn)處的左、右導(dǎo)數(shù).若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)，這時(shí)，對于內(nèi)的每一點(diǎn)，必存在一個(gè)導(dǎo)數(shù)與之對應(yīng)，這樣就確定了一個(gè)新的函數(shù)，稱為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱為導(dǎo)數(shù).記作，，或.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：的幾何意義是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，即.因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.法線方程為（）.例1求在1點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).解.例2試判定函數(shù)在點(diǎn)0處是否可導(dǎo).解,，.所以，函數(shù)在點(diǎn)0處不可導(dǎo).2.1.3導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系定義極限←連續(xù)←導(dǎo)數(shù).這是函數(shù)在點(diǎn)處四個(gè)概念之間的關(guān)系，但反之卻不然.即在點(diǎn)處可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)；不連續(xù)必不可導(dǎo).例3證明函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)但不可導(dǎo).證明，所以，函數(shù)在點(diǎn)0處連續(xù).但，.所以，函數(shù)在點(diǎn)0處不可導(dǎo).練習(xí)題2.11．求下列曲線在指定點(diǎn)處的切線方程和法線方程.（1）在點(diǎn)（e，1）處；（2）在點(diǎn)處.2．物體作直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為，求：（1）物體在1秒到秒的平均速度；（2）物體在到秒的平均速度；（3）物體在秒的速度.3．討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性和可導(dǎo)性.2．2直接求導(dǎo)法利用導(dǎo)數(shù)的定義（求增量、算比值、取極限），可以求得在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).例1求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解（1）求增量：；（2）算比值：；（3）取極限：，即.特別地，當(dāng)時(shí)，有.例2求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解（1）求增量：；（2）算比值：；（3）取極限：，即.同理可得.類似地，我們可以得到一些常用的求導(dǎo)基本公式：（1）（為常數(shù)）；（2）；（3），（4）；（5），（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）.導(dǎo)數(shù)的基本公式是由常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)構(gòu)成；六個(gè)三角函數(shù)相互搭檔且正負(fù)相間；四個(gè)反三角函數(shù)兩兩結(jié)論相同而符號相反.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：設(shè)函數(shù)，在點(diǎn)處都是可導(dǎo)的，則有（1）；（2）；（3）（為常數(shù)）；（4）（）.利用求導(dǎo)基本公式和四則運(yùn)算法則，求得導(dǎo)數(shù)的方法叫作直接求導(dǎo)法.例3求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解，.例4求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解.例5求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解，.注求導(dǎo)簡便方法：1、化積商為和差；2、利用三角恒等變換進(jìn)行化簡；3、化假分式為多項(xiàng)式與真分式的和.例6求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解，.例7求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解，.例8求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解，.例9求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解，.思考：與之區(qū)別.練習(xí)題2.2求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1．.2．.3．.4．.5．.6..7..8..9．.10..2．3復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法對于復(fù)合函數(shù)，則有，.我們前面求導(dǎo)數(shù)總是應(yīng)用運(yùn)算法則直接對自變量求導(dǎo)，但多數(shù)場合是不能這樣.例如求的導(dǎo)數(shù)就不能直接用公式，否則就會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤.正確答案：.錯(cuò)誤答案：比較之下，錯(cuò)誤答案的原因是把當(dāng)成了自變量.如何解決這個(gè)問題，有以下的法則：設(shè)對可導(dǎo)，對可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)也可導(dǎo)，且有或或.這樣回過頭再求的導(dǎo)數(shù)就不成問題了：，（中間變量和自變量共有兩個(gè)），即.求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可分兩步：第一步(關(guān)鍵步驟)先將復(fù)合函數(shù)分為若干個(gè)簡單函數(shù)，辨明各函數(shù)的中間變量和自變量是什么？第二步再逐一求導(dǎo)后相乘.具體解題過程在寫法上可采取兩種：例1求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解法1可分成：，，.=.等上述寫法熟練后，中間變量可不寫出(記在心里).解法2.例2求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解法2.解法3.例3求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解.例4求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解.例5求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解.例6求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解.例7求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解.練習(xí)題2.31..2..3..4..5..6..7..8..9..10..11..12..13..14.，.15.，.2．4隱函數(shù)的求導(dǎo)法前面我們所討論的函數(shù)是，這種函數(shù)稱為顯函數(shù).但還有另一種形式的函數(shù)，變量和是以隱函數(shù)的形式出現(xiàn).如式子、和等等.前面兩個(gè)函數(shù)可以通過隱函數(shù)顯化使之變成顯函數(shù)，即和；后一個(gè)函數(shù)則無法顯化.注：在隱函數(shù)中變量和地位是平等的，這樣如對求導(dǎo)則把看作函數(shù)，如對求導(dǎo)則把看作函數(shù).思考：說說與，與及與各表示什么？各等于什么？利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，在隱函數(shù)兩邊同時(shí)對自變量或求導(dǎo)，在解出所求的導(dǎo)數(shù)或.例1求方程由所確定隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解1，.解2，.例2已知（笛卡兒葉形線），求和.解..例3已知，求.解，，當(dāng)時(shí)，，所以.注：應(yīng)先求出時(shí)，；否則，會(huì)得出錯(cuò)誤答案.例4求方程由所確定隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解，.例5求方程由所確定隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解，.注：1、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在無法顯化時(shí)可保留隱函數(shù)形式；2、隱函數(shù)中若有n個(gè)，求導(dǎo)后就有n個(gè).練習(xí)題2.4求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1..2..3..4..5.設(shè)，求.2．5對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法.是對函數(shù)的兩邊同時(shí)取對數(shù)，再用隱函數(shù)的求導(dǎo)法求解.例1求的導(dǎo)數(shù).解兩邊取對數(shù)，求導(dǎo)，.例2求的導(dǎo)數(shù).解兩邊取對數(shù)，求導(dǎo)，.例3求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解兩邊取對數(shù)，求導(dǎo)，.例4求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解1，.解2，兩邊取對數(shù)，求導(dǎo)，.例5求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解，，.注：對數(shù)求導(dǎo)法一般適用于多個(gè)式子的積或商；含高次根式或含形式的情形.練習(xí)題2.5求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1..2..3..4..5..2．6高階導(dǎo)數(shù)求法一般的，對函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)再求導(dǎo)，所得的函數(shù)稱為函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)；把函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)再求導(dǎo)，所得的函數(shù)稱為函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)；如此類推，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為n階導(dǎo)數(shù).記法：二階導(dǎo)數(shù)，，或；三階導(dǎo)數(shù)，，或；四階導(dǎo)數(shù)，，或；……；n階導(dǎo)數(shù)，，或.一般地說，求n階導(dǎo)數(shù)應(yīng)先求出階導(dǎo)數(shù).例1設(shè)，求導(dǎo)數(shù)，并求.解，，.例2設(shè)，求n階導(dǎo)數(shù).解，，…，.例3設(shè)，求n階導(dǎo)數(shù).解由，，，，……由歸納法，得.顯然，當(dāng)例2和例3公式中的n取具體的自然數(shù)時(shí)，則可求出任意階的導(dǎo)數(shù).注：1、四階及以上的導(dǎo)數(shù)與低階導(dǎo)數(shù)在記法上的區(qū)別；2、求解n階導(dǎo)數(shù)，在于先求出前幾階導(dǎo)數(shù)，找出規(guī)律，利用歸納法可得.例4設(shè)，求n階導(dǎo)數(shù).解由，，，，……歸納以上所求可得.練習(xí)題2.61.，求.2.，求.3.，求.4.，求.5.，求.6.，求.2．7微分及其求法2.7.1微分的概念圖2.7.1從圖2.7.1看切線的斜率=，若記=，則也就表示“線段的長度”，即函數(shù)在點(diǎn)的切線的增量，而且有=.一般的，如果在點(diǎn)處可導(dǎo)，我們稱=為函數(shù)=在點(diǎn)處的微分（也稱在點(diǎn)處可微）.從幾何圖形上可明顯看出，雖然導(dǎo)數(shù)和微分在概念、幾何意義和表示上有所不同；但它們在本質(zhì)上是相通的，從定義上看，求得導(dǎo)數(shù)也就可寫出微分，所以今后說可導(dǎo)和可微是一致的.而且微分的運(yùn)算法則和公式也完全可以由導(dǎo)數(shù)平行得出，只是寫法上不同而已.2.7.2微分的運(yùn)算1、微分的四則運(yùn)算法則設(shè)函數(shù)，可微，則；；，（c為常數(shù)）；，.2、微分的基本公式（1）（c為常數(shù)）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）.例1，求.解.例2，求.解.例3，求.解.3、微分形式不變性對于復(fù)合函數(shù)，，.；由定義，，而，所以.這就是所謂的微分形式不變性.例4設(shè)，求.解法1由定義，得.解法2用微分形式不變性，得.例5設(shè)求.解法1由定義，得.解法2用微分形式不變性.例6設(shè)求.解.例7設(shè)，求，.解，；，.2.7.3微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用從微分的幾何意義中可看出當(dāng)很小時(shí)，有，2.7.1同時(shí)有.2.7.2當(dāng)很小時(shí)，有.2.7.3例7計(jì)算的近似值.解設(shè)函數(shù)，，，.由公式2.7.2，得.例8計(jì)算的近似值.解：設(shè)函數(shù)，，，.由公式2.7.2，得2.017.例9證明當(dāng)很小時(shí)，.證明設(shè)函數(shù)，由公式2.7.3，得.注：三角函數(shù)的角度，使用弧度制不要用角度制.練習(xí)題2.71.求下列函數(shù)的微分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.2.求下列函數(shù)的微分：（1）；（2）；（3）；（4）.3．求近似值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.4.設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)的微分.2．8函數(shù)單調(diào)性的判定及極值、最值的求法2.8.1單調(diào)性及其判定對任意的，設(shè)，若有，則稱在內(nèi)單調(diào)遞增.如圖2.8.1示.對任意的，設(shè)，若有，則稱在內(nèi)單調(diào)遞減.如圖2.8.2示.圖2.8.1圖2.8.2定理1：若在內(nèi)可導(dǎo)，且有(或)，則在內(nèi)單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減).例1判斷在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.解，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.2.8.2函數(shù)極值的及其求法1、極值的概念:若在及其近旁有定義，且對近旁的任意點(diǎn)，都有()，則稱為的極大值(極小值)，稱為的極大(極小)點(diǎn).極大(小)值統(tǒng)稱為極值；極大(小)點(diǎn)統(tǒng)稱為極點(diǎn).設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，稱使的點(diǎn)為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的駐點(diǎn).圖2.8.3如圖(2.8.3)示，點(diǎn)、、為極小點(diǎn)；點(diǎn)、為極大點(diǎn)；為駐點(diǎn).定理2：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及其近旁可導(dǎo)，且為駐點(diǎn)，在處：若左側(cè)有，右側(cè)有，則點(diǎn)為的極小點(diǎn)；若左側(cè)有，右側(cè)有，則點(diǎn)為的極大點(diǎn)，若在的左、右兩側(cè)，不變號，則點(diǎn)為的駐點(diǎn).注：1、極值只是局部最值的概念；2、極大值并非比極小值大；3、函數(shù)在極值點(diǎn)左右近旁有定義，因此極值點(diǎn)和駐點(diǎn)不可能出現(xiàn)在區(qū)間的端點(diǎn)上.2、極值的求法:從上面的討論說明：可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必是駐點(diǎn)，而駐點(diǎn)未必是極值點(diǎn).因此，求函數(shù)極值點(diǎn)的步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求駐點(diǎn)和連續(xù)且不可導(dǎo)點(diǎn)；（3）列表，確定極值點(diǎn)并求出極值.例2求的極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間.解；，令，得駐點(diǎn)，.列表：表2.8.1－極大值極小值從表中可知，在區(qū)間內(nèi)，曲線是單調(diào)遞增；在區(qū)間內(nèi)，曲線是單調(diào)遞減.是極大點(diǎn)，極大值為；是極小點(diǎn)，極小值為.例3求的極值.解；，令，得駐點(diǎn)，且是使不存在的點(diǎn).列表：表2.8.2/0極大值極小值從表3.2.2可知，在區(qū)間內(nèi)，曲線是單調(diào)增加；在區(qū)間內(nèi)，曲線是單調(diào)減少.是極大點(diǎn)，極大值為；是極小點(diǎn)，極小值為.注：1、連續(xù)且不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)；2、在駐點(diǎn)或連續(xù)不可導(dǎo)點(diǎn)的兩側(cè)，若導(dǎo)函數(shù)不變號，則該點(diǎn)不是極值點(diǎn).2.8.3函數(shù)最值的求法設(shè)是閉區(qū)間上的一個(gè)點(diǎn)，對任意的點(diǎn)，若都有()，則稱點(diǎn)為在閉區(qū)間上的最大值點(diǎn)(最小值點(diǎn))，簡稱最值點(diǎn)；稱為最大值（最小值），簡稱最值.注：最值點(diǎn)只可能出現(xiàn)在駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)和端點(diǎn).所以，只要求出這三種點(diǎn)比較之，函數(shù)值最大的點(diǎn)既是最大值點(diǎn)，函數(shù)值最小的點(diǎn)即使最小值點(diǎn).例4求在上的最值.解，令，得駐點(diǎn)，.由，，，.比較大小，得在上的最大點(diǎn)為0，最大值為；最小點(diǎn)為和，最小值為.練習(xí)題2.81.判定下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性：(1)，；(2)，；(3)，；(4)，.2.確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)和極值：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).(7)；(8)；(9)；(10)；(11)；(12).5.求下列函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值和最小值：(1)，；(2)，；(3)[-5,1]；(4)，.2．9曲線的凹凸性和拐點(diǎn)2.9.1凹凸性若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果曲線上每一點(diǎn)處的切線都位于該曲線的下方（上方），則稱曲線在區(qū)間內(nèi)是凹（凸）的.如圖2.9.1示.圖2.9.1凹凸的判斷法：設(shè)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)存在，在內(nèi)若，則曲線在內(nèi)是凹的；若，則曲線在內(nèi)是凸的.例1求曲線的凹凸區(qū)間.解；，.所以，在內(nèi)，曲線是凸的.2.9.2拐點(diǎn)連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)，稱為曲線的拐點(diǎn).求拐點(diǎn)的一般步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求，求出的點(diǎn)和不存在但連續(xù)的點(diǎn)；(3)用這些點(diǎn)把區(qū)間劃分為小區(qū)間，列出表格；注：1、駐點(diǎn)、極值點(diǎn)和最值點(diǎn)是指橫坐標(biāo)，拐點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)；2、若在點(diǎn)的左右兩側(cè)異號，則是曲線的拐點(diǎn)，否則不是.例2求曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).解；，，令，得，.列表：表2.9.1－從表中可得，在區(qū)間內(nèi)，曲線是凹的；在區(qū)間內(nèi)，曲線是凸的；拐點(diǎn)是和.練習(xí)題2.91．求下列曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)：(1)；(2)；(3)；(4).2.已知曲線在有拐點(diǎn)，試確定系數(shù)，并求曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)和凹凸區(qū)間.3．,為何值時(shí),點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)?4．設(shè)三次曲線，在處有極大值，點(diǎn)是拐點(diǎn)，試確定，，的值.5．已知連續(xù)函數(shù)滿足下列條件：，；當(dāng)時(shí),，；當(dāng)時(shí),，；試作出函數(shù)圖象的大致形狀.復(fù)習(xí)題(二)1.判斷正誤：（1）若函數(shù)在點(diǎn)不可導(dǎo)，則該函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)；（2）若函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)，則該函數(shù)在點(diǎn)不可導(dǎo)；（3）若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則該函數(shù)在不一定可微；（4）；（5）如果在點(diǎn)可導(dǎo)，在點(diǎn)不可導(dǎo)，則在點(diǎn)不可導(dǎo).2.填空：（1）設(shè)曲線方程為，曲線在點(diǎn)與之間割線的斜率是，在點(diǎn)的切線斜率（若斜率存在）是，在點(diǎn)的切線方程是；（2）若函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則函數(shù)在點(diǎn)處的微分=；（3）；（4）已知，；（5）設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為，則其速度為，加速度為；（6）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（7）函數(shù)的極小值為.函數(shù)的極大值點(diǎn)為；（8）函數(shù)在上的最小值為；（9）曲線的凸區(qū)間為；（10）函數(shù)取得最小值的點(diǎn)可能是下列諸點(diǎn):或或；（11）函數(shù)單調(diào)遞減且圖形為凹的區(qū)間是.3.選擇題：（1）函數(shù)在處可導(dǎo)，且，則曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角是（）.（A）；（B）；（C）銳角；（D）鈍角.（2）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)存在，則（）.（A）2；（B）2；（C）；（D）.（3）已知函數(shù)，則在處（）.（A）間斷；（B）連續(xù)但不可導(dǎo)；（C）；（D）.（4）若函數(shù)可導(dǎo)，且，則.（A）；（B）；（C）；（D）.（5）設(shè)，可導(dǎo)，則（A）；（B）；（C）；（D）.（6）下列命題正確的是().(A)駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn)；(B)駐點(diǎn)不是極值點(diǎn)；(C)駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)；(D)駐點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn).（7）曲線是凸的且具有一個(gè)極值點(diǎn)的區(qū)間為().(A)；(B)；(C)；(D).（8）已知(為常數(shù))在取得極值，則=().(A)2；(B)1；(C)0；(D)-1.（9）若在區(qū)間內(nèi)恒有，，則曲線在此區(qū)間內(nèi)是().(A)單調(diào)遞減，凹的；(B)單調(diào)遞減，凸的；(C)單調(diào)遞增，凹的；(D)單調(diào)遞增，凸的.（10）設(shè)函數(shù)在()內(nèi)二階可導(dǎo),且,如果當(dāng)＞0時(shí),＞0，且，則當(dāng)＜0時(shí)，曲線是().(A)單調(diào)遞增且是凸的；(B)單調(diào)遞增且是凹的；(C)單調(diào)遞減且是凸的；(D)單調(diào)遞減且是凹的.（11）如果=，則在處().(A)一定有極大值；(B)一定有極小值；(C)不一定有極值；(D)一定沒有極值.4.計(jì)算：（1）設(shè)，求；（2）設(shè)，求；（3），求；（4）設(shè)，求.5.討論下列函數(shù)在=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性：（1）；（2）；（3）.6.曲線上哪一點(diǎn)處的切線與軸平行？哪一點(diǎn)處的切線與直線平行？又在哪一點(diǎn)處的切線與軸交角為？7.已知電容器極板上的電荷為，其中都是常數(shù)，求電流強(qiáng)度.8.當(dāng)時(shí)，函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，求的取值范圍.9.確定曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).10.求使函數(shù)沒有極值的實(shí)數(shù)的取值范圍.11.設(shè)函數(shù)在時(shí)取極大值，在時(shí)取極小值，而極大值與極小值的差為27，試確定的值.

第三章積分微積分中的兩個(gè)基本概念：微分和積分，它們都來源于實(shí)踐.在第二章中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)與微分，本章我們將學(xué)習(xí)它的逆運(yùn)算——積分.3．1原函數(shù)與不定積分3.1.1原函數(shù)與不定積分在第二章中我們所學(xué)的是已知一個(gè)函數(shù)，求這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（微分）；現(xiàn)在是已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求該函數(shù)的表達(dá)式.為此，先給出下面的幾個(gè)概念和結(jié)論.1、若=（），則稱函數(shù)為函數(shù)的一個(gè)原函數(shù).2、函數(shù)若有一個(gè)原函數(shù)，則有無窮多個(gè)原函數(shù)，即有的形式.設(shè)，，則有.從而有，所以.即同一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)間僅差一個(gè)常數(shù).3、設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，稱表示式為的不定積分，記為.即.（為任意常數(shù)）其中稱為積分變量，函數(shù)稱為被積函數(shù),稱為積分號，稱為積分表達(dá)式.4、導(dǎo)數(shù)（微分）與不定積分具有如下的關(guān)系：；；；.即先積分后導(dǎo)數(shù)為自己，先導(dǎo)數(shù)后積分為自己加.例1∵，∴是函數(shù)的一個(gè)原函數(shù).∴表示了函數(shù)所有的原函數(shù)，∴是的不定積分.即.注：(1)可以用求導(dǎo)的方法驗(yàn)證所求不定積分是否正確；(2)微分與積分是互逆的運(yùn)算；（3）也可稱為函數(shù)的原函數(shù)族；或稱為函數(shù)的全體原函數(shù).3.1.2直接積分法本節(jié)，我們專門學(xué)習(xí)如何求函數(shù)的不定積分.顯然求不定積分實(shí)質(zhì)上是求一個(gè)原函數(shù)的問題，而求導(dǎo)與求不定積分是互逆的運(yùn)算，所以可以從導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式推出一些簡單的不定積分公式.1、不定積分的性質(zhì)：性質(zhì)1.；性質(zhì)2..2、不定積分的基本公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）．以上公式是由16個(gè)導(dǎo)數(shù)公式推導(dǎo)出來的，如公式（5）的推導(dǎo)：由，兩邊同時(shí)積分，得，（先導(dǎo)后積），所以.運(yùn)用性質(zhì)和基本公式(有時(shí)需要作適當(dāng)?shù)淖冃?求得積分的方法，稱為直接積分法.例2求不定積分.解原式.例3.解原式.例4求不定積分.解原式.例5求不定積分.解原式.例6求不定積分.解原式.例7求不定積分.解原式.例8求不定積分.解原式.例9求不定積分.解原式.注：(1)對被積函數(shù)要充分利用化乘除為加減的方法；(2)要熟練對被積函數(shù)使用三角公式化簡的方法；(3)對被積函數(shù)要充分利用化假分式為真分式與多項(xiàng)式之和的方法；(4)不定積分的答案一定要且僅要加一個(gè).練習(xí)題3.11．若的一個(gè)原函數(shù)為，則？2．若的一個(gè)原函數(shù)為，則？3．若，則？4．若的一個(gè)原函數(shù)為，則？5．若的一個(gè)原函數(shù)為，則？6．若，則？7.求下列不定積分：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)；(11)；(12).8.已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且當(dāng)時(shí)，，求此函數(shù)．9.已知一條曲線在任一點(diǎn)的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的倒數(shù)，且曲線過點(diǎn)，求曲線方程．3．2第一類型換元法大多數(shù)的積分，不能直接利用積分公式，可考慮用變量代換法，即可求得.設(shè)，求.作變量代換，令，有，則.或是用“湊微分”法，即.例1.解1令，則，，則原式.解2原式.例2.解1令，則，則原式.解2原式.通過上述兩個(gè)例子，說明了求不定積分的一種方法，即利用變量代換，使所求的積分成為基本公式表中的形式，再利用公式得到答案，這種方法稱為第一類型換元法或“湊微分”法.當(dāng)讀者熟練后，一般都不寫出中間變量，而直接利用“湊微分”寫出答案.例3.解原式.例4.解原式.例5.解原式.以下例題是先適當(dāng)變形后再用湊微分法：例6.解原式.例7.解原式.例8.解原式.例9.解原式.例10.解原式.例11.解原式.例12.解原式.例13.解原式.例14.解原式.注：1、利用變量代換法，得到結(jié)論時(shí)要記住將變量回代；2、通常，我們用“湊微分”法而不用變量代換法求積分.練習(xí)題3.2求下列不定積分：1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.；13.；14.；15.；16.；17.；18.；19.；20.；21..3．3第二類型換元法有時(shí)被積函數(shù)較復(fù)雜，不能用前面所學(xué)的積分法求出積分，但當(dāng)我們作了適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q后，所得到新的積分可以求得，這就是第二類型換元積分法.對于，設(shè)是的一個(gè)原函數(shù).作變量代換，令，有，則.一般地，第二類型換元法的類型有：（1）含：作變量代換；（2）含：作變量代換；（3）含：作變量代換；（4）含：作變量代換.例1.解令，則.原式.例2.解令，則.原式.例3.解令，則.原式.圖3.3.1例4.圖3.3.1解令，則.原式.由作輔助三角形（如圖3.3.1），由圖中得，即原式.注：1、用哪類換元積分法，一般地說有其特定的題型.但不是絕對的，如例3，兩種方法都適用；2、用變量代換法求不定積分需回代.練習(xí)題3.3求下列不定積分：1.；2.；3.；4.；5.6..3．4分部積分法有些形如的積分，用前面的求法都無效，可以用下述的分部積分法來解決.由微分的乘法法則，有，兩邊求不定積分，，所以.這就是分部積分公式.1、單一函數(shù)的積分例1.解原式.例2.解原式.例3.解原式.2、兩個(gè)函數(shù)相乘的積分例4.解原式.例5.解原式.例6.解原式.例7.解原式.3、多次應(yīng)用分部積分公式例8.解原式.例9.解原式.例10.解原式，移項(xiàng)得，原式.注：(1)若是單一函數(shù)，則，；(2)若是兩個(gè)函數(shù)相乘，一般地選取求導(dǎo)數(shù)后變得快的函數(shù)為，如對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)和冪函數(shù).(3)若需要多次應(yīng)用分部積分公式，則的選取應(yīng)貫穿始終.練習(xí)題3.4求下列積分：1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.； 8.；9.；10.；11.；10..3．5積分表的使用在以后的專業(yè)學(xué)習(xí)和實(shí)際工作中還會(huì)遇到很多的積分，僅靠以上所學(xué)的這些公式和方法不一定能完全解決問題.因此，有必要附上簡明積分表以供查用.下面我們舉例說明積分表的使用方法.例1.解查表中(一)類公式(10)，，，得原式.例2.解查表中(五)類公式(52)，，，得原式.例3.解查表中(十三)類公式(137)，，，得原式.注：有些題目需做適當(dāng)?shù)恼砘蜃儞Q，才能查積分表.練習(xí)題3.5利用積分表求下列各不定積分1.；2.；3.；4.；5.；6..3．6定積分的概念、性質(zhì)和公式3.6.1定義和幾何意義圖3.6.1在這之前，我們能求規(guī)則圖形(如矩形、梯形等)的面積，但無法求如圖3.6.1所示的“曲邊梯形”面積.下面，我們利用古人“窮竭法”的思想，獲得求解“曲邊梯形”面積的方法.圖3.6.1(1)分割：用個(gè)分點(diǎn)….把區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間，，…，，每一個(gè)小區(qū)間的長度為….(2)求和：在每一個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作乘積的和式.(3)取極限：小區(qū)間的最大長度記為，則.從上面的分析可得：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則和式極限必存在.此時(shí)，我們稱和式的極限值為函數(shù)在閉區(qū)間上的定積分.記作，即.其中稱為積分變量，與分別稱為積分的下限與上限，函數(shù)稱為被積函數(shù)，區(qū)間稱為積分區(qū)間，稱為積分號.因此，定積分的幾何意義表示由曲線，，，所圍成平面圖形的面積的代數(shù)和.例1求.解將區(qū)間等分，得，取，則，作乘積的和式，則.注：1、定積分的值與積分區(qū)間的分法和積分變量無關(guān)；2、定積分的值與被積函數(shù)和積分的上、下限有關(guān).3.6.2基本性質(zhì)1、兩個(gè)規(guī)定(1)；(2).2、性質(zhì)(1)；(2)（為常數(shù)）；(3)；(4)；(5)若在區(qū)間上有，則有；(6)若在區(qū)間上連續(xù)，且，則；圖3.6.2(7)積分中值定理：若在區(qū)間上連續(xù)，則在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)（如圖3.6.2），使圖3.6.2.例2估計(jì)的值.解令，求導(dǎo)得，令，得.由，，，得在閉區(qū)間上的最大值和最小值為，.由性質(zhì)(6)，，所以.3.6.3牛頓-萊布尼茲公式那么我們該怎么求解定積分？它與不定積分之間又有什么樣的關(guān)系？設(shè)，顯然可以把看作是關(guān)于為自變量的函數(shù)（簡稱為變上限函數(shù)），由定積分的定義知，表示從點(diǎn)到點(diǎn)的曲邊梯形的面積，可以證明（略），所以是的一個(gè)原函數(shù).因此，若是的一個(gè)原函數(shù)，則有.將代入得得，==，從而得；將代入得得，，即有=.通常，將記為，即.這就是牛頓－萊布尼茲公式，也稱為微積分基本公式.這個(gè)公式巧妙地將計(jì)算定積分的問題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)的問題.因此牛頓－萊布尼茲公式是連接定積分與不定積分之間的一座橋梁，在積分學(xué)中起著重要的作用，通過它可以較簡單地計(jì)算出定積分的值.3.6.4直接積分法例3求.解.例4.解.從理論上說，會(huì)求不定積分，再求定積分已不是問題.但我們還得注意定積分運(yùn)算的具體特點(diǎn).例5求定積分.解原式.例6求定積分.解原式.例7求定積分.解原式.例8已知，求定積分.解.注：1、定積分的答案不要加常數(shù)；2、如果定積分的上下限是常數(shù)，則答案一定是常數(shù)；3、要理解絕對值函數(shù)和分段函數(shù)的定積分方法；4、要熟練對被積函數(shù)使用化簡或三角化簡的方法；5、充分利用化乘除為加減和化假分式為真分式的方法.練習(xí)題3.61.估計(jì)定積分的值.（1）；（2）；（3）；（4）.2.比較下列積分值的大小：（1）與；（2）與；（3）與；（4）與.3.計(jì)算定積分.4.設(shè)，求.5.計(jì)算下列定積分：（1）；（2）；（3）；(4)；(5)；（6）.3．7定積分的積分法在學(xué)習(xí)了不定積分求解方法的基礎(chǔ)上，我們可以很容易地應(yīng)用牛頓－萊布尼茲公式求解定積分；同時(shí)求解不定積分時(shí)所使用的換元法和分部積分法在求解定積分時(shí)仍然適用，但應(yīng)清楚它們之間的差異.3.7.1“湊微分”法(第一類換元法)例1.解原式.例2.解原式.例3.解原式.例4.解原式.注：定積分的“湊微分”法不必回代，不加，不要改變上下限.3.7.2第二類換元法在不定積分的基礎(chǔ)上，可以利用換元法求解定積分.但應(yīng)注意，做變量代換時(shí)，上下限也要跟著變換.例5.解令，則.原式.例6.解令，則.原式.例7設(shè)在上連續(xù)，證明：.證明由性質(zhì)3，.令，則.所以，.當(dāng)在上連續(xù)且為奇函數(shù)時(shí)，，所以；當(dāng)在上連續(xù)且為偶函數(shù)時(shí)，，所以=.例8.解由于被積函數(shù)在上為奇函數(shù)，于是有.例9.解由于被積函數(shù)在上為奇函數(shù)，有.于是，原式.注：1、例7的結(jié)果可以作為公式來使用；2、要清楚定積分與不定積分的區(qū)別，找出它們各自在解法上的特點(diǎn).定積分：①求出一個(gè)原函數(shù)不；②做了變量代換要變上、下限，不要回代；③當(dāng)上、下限是常數(shù)時(shí)，答案一定是常數(shù).3.7.3分部積分法公式.例10.解原式.例11.解原式.例11.解令，則，則原式.練習(xí)題3.7求下列定積分：1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.；13.；14.；15.；16.；17.；18..3．8無窮積分本節(jié)主要解決積分區(qū)間為無限的情形.若在區(qū)間上連續(xù)，極限叫做在區(qū)間上的無窮積分，記為，即=.若存在，則稱無窮積分收斂，否則稱無窮積分發(fā)散.類似地可定義和.例1計(jì)算.解1原式=.解2原式.例2計(jì)算.解原式.例3計(jì)算.解原式.例4計(jì)算.解原式.注：1、可以采用例題1解法2的計(jì)算方法；2、，答案對，但算法在概念上錯(cuò)誤（與在對稱區(qū)間上定積分的性質(zhì)不同）.否則，，.這是錯(cuò)誤的，因?yàn)樗鼈兊姆e分值都不存在.練習(xí)題3.8計(jì)算廣義積分的值：1.2.；3.；4.；5.；6.；7.；8..3．9定積分在幾何方面的應(yīng)用應(yīng)用定積分來解決幾何、物理、技術(shù)等方面的問題是一個(gè)常用的方法，本書只介紹定積分在幾何方面的應(yīng)用.3.9.1平面圖形面積：由定積分的幾何意義，表示由曲線，，，所圍成的平面圖形面積.因此，可以得到如下的結(jié)論：若時(shí)，則由曲線，，，所圍成的曲邊梯形的面積是(如圖3.9.1示).(上–下)圖圖3.9.1同理，若時(shí)，則由曲線，，，所圍成的曲邊梯形的面積是.(右–左)求解面積的步驟：(1)畫出簡圖；(2)求出曲線的交點(diǎn)，確定積分區(qū)間；(3)用定積分表示面積并求出解.例1求兩條拋物線、所圍成的平面圖形的面積.解如圖3.9.2示，解方程組，得交點(diǎn)及；圖3.9.31圖3.9.4-圖3.9.31圖3.9.4-1例2求由曲線，和所圍成平面圖形的面積.解如圖3.9.3，由，得；得.例3求由曲線和所圍成平面圖形的面積.解如圖3.9.4，由，得；圖3.9.5.圖3.9.53.9.2旋轉(zhuǎn)體的體積由曲線，，，所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體積公式是(如圖3.9.5示):.同理,由曲線，，，所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體積公式是.圖3.9.61圖3.9.711例4求由拋物線，直線和圍成的平面圖形繞軸及軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.圖3.9.61圖3.9.711解如圖3.9.6示，；如圖3.9.7示，.練習(xí)題3.91.求曲線，與軸圍成的平面圖形的面積.2．求曲線，，，所圍圖形的面積.3．求由直線和拋物線所圍圖形的面積.4．求曲線，，所圍圖形的面積.5.求曲線，，所圍圖形的面積.6．求曲線與所圍圖形的面積.7．求曲線，，，所圍圖形的面積.8．求由曲線在區(qū)間上的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.9．求由拋物線、、與圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.10．求由拋物線與圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.復(fù)習(xí)題(三)1.判斷正誤：（1）一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都有原函數(shù)；（2）若，則在上.（3）在上連續(xù)是在上可積的充分條件，但不是必要條件.（4）若，在上都不可積，則在上必不可積.（5）若，則有.2.填空：（1）.（2）設(shè)的一個(gè)原函數(shù)為，則．（3）若，則．（4）設(shè)的一個(gè)原函數(shù)為，則．（5）若，則．（6）設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，則．（7）已知，且，則．（8）設(shè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，，，則．（9）．3．選擇題：（1）設(shè)在上連續(xù)，則必有（）.(A)導(dǎo)函數(shù)；(B)不定積分；(C)極值；(D)最大值與最小值.（2）設(shè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上不恒為零，、是的兩個(gè)不同的原函數(shù)，則在上有（）.(A)=；(B)；(C)；(D).（3）連續(xù)曲線在區(qū)間上與軸圍成三塊面積、、，其中，在軸下方，在軸上方，已知，，，則（）.(A)；(B)；(C)；(D).（4）設(shè)的一個(gè)原函數(shù)是，則（）．(A) (B)(C)(D)（5）設(shè)的可導(dǎo)函數(shù)，則（）

．(A) (B) (C) (D)（6）設(shè)在上連續(xù)，則為（）.(A)小于零 (B)等于零 (C)大于零(D)不確定（7）設(shè)在上連續(xù)，令，則（）.(A)(B) (C)(D)（8）設(shè)，則（）．(A) (B) (C) (D)（9）（）.(A) (B)0 (C) (D)4.求下列不定積分：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺；⑻．5.已知一條曲線在任一點(diǎn)的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的倒數(shù)，求過點(diǎn)的曲線方程．6.已知一物體由靜止開始作直線運(yùn)動(dòng)，其速度m/s，求(1)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；(2)3s末物體離開出發(fā)點(diǎn)的距離是多少？(3)物體走完1000m需要多長時(shí)間？7.求下列不定積分：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺；⑻；⑼；⑽；⑾．8.求下列不定積分：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹．9.求下列不定積分：⑴；⑵；⑶；⑷⑸⑹；⑺．10.求下列定積分的值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）.11.設(shè)某函數(shù)當(dāng)時(shí)有極小值，當(dāng)時(shí)有極大值4，又知道這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)具有形式，求此函數(shù)．12.設(shè)函數(shù)圖象上有一拐點(diǎn)，在拐點(diǎn)處切線的斜率為，又知函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)具有形式，求此函數(shù)．13.已知一物體以速度（m／s）作直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)s，物體經(jīng)過的路程m，求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．

第四章球面幾何和球面三角球面幾何與平面幾何相比較，不難看出有如下特點(diǎn)：（1）相對于其球半徑而言，很小的一片球面可以看成是一個(gè)平面.（2）球面幾何上的一個(gè)大圓在平面幾何上相當(dāng)于扮演著一條直線.（3）球面幾何上的一個(gè)大圓與平面幾何上的一條直線都有反射對稱這個(gè)性質(zhì).球面三角學(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分科，主要研究球面上由三個(gè)大圓弧相交所構(gòu)成的球面三角形的特性、關(guān)系式及其解法等問題.在航海上，當(dāng)球面三角形的三條邊與其所在球的半徑相比相當(dāng)小時(shí)，則在容許的誤差范圍之內(nèi)，可視作平面三角形來解.球面三角是船舶駕駛專業(yè)兩門主要專業(yè)課（航海學(xué)、航海天文學(xué)）的主要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之一.在學(xué)習(xí)球面三角之前，先要學(xué)習(xí)球面幾何的基本知識．4．1球面幾何4.1.1球、球面空間中與定點(diǎn)等距離的所有點(diǎn)的軌跡，稱為以為球心，為半徑的球面，包圍在球面中的實(shí)體稱為球.連接球面上兩點(diǎn)且通過球心的線段稱為球直徑.半徑相等的球稱為等球.地球其局部地貌雖然是丘陵起伏、山川縱橫，但是其全局的形狀卻十分接近于一個(gè)球面.在航海實(shí)際應(yīng)用上可以把球作為它的第一近似體.航海學(xué)和天文航海學(xué)的主要問題是定位，即在地球上確定船舶的地理位置，這是航海專業(yè)學(xué)生必須掌握的最基本的知識.因此，必須研究球和球面上的基本點(diǎn)、線、圓以及球面三角形的性質(zhì)等.4.1.2大圓顯然，任一平面與球面相截的截痕是圓(如圖4.1.1示).一個(gè)過球心的截面，在球面上所截得的圓稱為大圓.在平面幾何上相當(dāng)于一條直線.大圓上一段圓周稱為大圓弧.反之，一個(gè)不過球心的截面，在球面上所截得的圓稱為小圓，小圓上一段圓周稱為小圓弧.任何兩個(gè)大圓都交于對頂?shù)膬牲c(diǎn)(如圖4.1.2示)，所以大圓分球和球面為相等的兩個(gè)部分；且過對頂?shù)膬牲c(diǎn)能作無數(shù)個(gè)大圓，而不能作小圓；但如果不過對頂?shù)膬牲c(diǎn)只能作一個(gè)大圓，卻能作無數(shù)個(gè)小圓；兩個(gè)大圓平面的交線是球的直徑也是這兩個(gè)大圓的直徑，并且把兩個(gè)大圓互相平分.圖4.1.1圖4.1.24.1.3球面距離球面上一個(gè)大圓的長是，球面上兩點(diǎn)、間小于的大圓弧（也稱劣?。╅L稱為球面距離，它是點(diǎn)、間的最短球面距離，在航海上稱為大圓航線.地球半徑大約為km.海上距離的單位是海里，即把地球子午線上的弧長稱為nmile.其換算公式是1nmilem.4.1.4軸、極、極距、極線垂直于任一圓的球直徑稱為該圓的軸，軸與球面的兩個(gè)交點(diǎn)稱為極，顯然，球上任一個(gè)圓都有兩個(gè)極.從大圓弧或小圓弧上的一點(diǎn)到極的球面距離稱為極距.因?yàn)橥瑘A上任意一點(diǎn)的極距都相等，所以也可以稱極為該圓的球面中心，稱極距為該圓的球面半徑.注：球面中心不是圓心；球面半徑不是球半徑.極距等于的大圓弧稱為極線或稱為赤道.因?yàn)槿我淮髨A與其極的極距為，所以大圓弧是它的極的極線；反之，極線必定是大圓弧.如果球面上某一點(diǎn)到其它兩點(diǎn)（不是直徑的兩個(gè)端點(diǎn)）的球面距離均為，則前一點(diǎn)必是通過后兩點(diǎn)的大圓的極.對一個(gè)圓而言，軸、極必定是成對而出現(xiàn)的；而極和極線也是成對出現(xiàn)的.兩個(gè)大圓的極之間的大圓弧所對的球心角等于此兩大圓平面的二面角.4.1.5球面角及其度量球面上兩個(gè)大圓弧所構(gòu)成的角稱為球面角.兩大圓弧的交點(diǎn)稱為球面角的頂點(diǎn)，大圓弧稱為球面角的邊.球面角的大小由這兩個(gè)大圓弧平面所構(gòu)成的二面角來確定.球面角的度量方法：1、作兩條邊的切線取其夾角（平面角）；2、頂點(diǎn)的極線被球面角兩邊所截的弧長；3、該弧長所對的球心角.注：極線上的弧長與其所對的球面角同度；球面角的取值范圍是.4.1.6小圓弧長與大圓弧長之比圖4.1.3A圖4.1.3APbB，如圖4.1.3示.4.1.7地球上的基本知識地球的第一近似體為圓球體，其半徑約為km，地球的自轉(zhuǎn)軸稱為地軸，地球繞地軸自西向東轉(zhuǎn).我們可由右手法則確定南北極.南北極的極線稱為赤道.赤道將地球分為南北兩個(gè)相等的半球.地球南北極與某地所連成的大圓稱為地的子午圈，通過英國格林尼治天文臺(tái)的子午圈稱為格林子午圈；連接地球南北極和某地之間的半個(gè)大圓稱為地的午圈（子午線或經(jīng)線）.在赤道上由格林午圈至地午圈之間的弧長稱為地的經(jīng)度.經(jīng)度相同的點(diǎn)的軌跡是午圈.位于東半球的稱為東經(jīng)；反之稱為西經(jīng).東西經(jīng)的取值范圍均是.在地午圈上由赤道到該地的弧長稱為地的緯度.緯度相同的點(diǎn)的軌跡是平行于赤道的小圓，該小圓稱為緯度圈或等緯圈.緯度越高，等緯圈的長度越短.若地位于南半球，稱之為南緯，反之稱為北緯.南北緯的取值范圍均是.在航海上，地的坐標(biāo)通常用表示，其中是緯度，是經(jīng)度.例1設(shè)某船由，向東航行至，求的距離.解由4.1.6知，在赤道上，nmile，所以nmile.即當(dāng)緯度為時(shí)，等緯圈的長度僅為赤道長度的一半.例2設(shè)兩船同在北緯，相距nmile，若它們以同速向北航行nmile，求兩船相距多少海里？解由4.1.6知，兩船在赤道上的距離為nmile，向北航行nmile，即，到達(dá)北緯，所以兩船相距nmile.注：1、子午圈，午圈，子午線，經(jīng)線指南北向；緯度圈，等緯圈指東西向.2、午圈上所有點(diǎn)的經(jīng)度相同；緯度圈上所有點(diǎn)的緯度相同.練習(xí)題4.11、是非題(1)小球分球?yàn)橄嗟鹊膬刹糠郑?2)過球面上在同一直徑兩端的兩點(diǎn)，只能作一個(gè)大圓；圖4.1.4(3)球面上兩點(diǎn)間小于圓弧的長是這兩點(diǎn)間的最短球面距離；圖4.1.4(4)地球子午線上的弧長稱為海里；(5)極到極線的球面距離為；(6)極距是指任一點(diǎn)到子午線上的球面距離；(7)球面半徑與球半徑相等；(8)球面角與其所對應(yīng)的大圓弧長相等；(9)緯度是指地球上某點(diǎn)到北（南）極的球面距離.2．如圖4.1.4所示，球面上的為地球北極，弧為赤道，弧為等緯圈.設(shè)長nmile，點(diǎn)的緯度為，求長（nmile）？3．設(shè)某船由向東航行nmile，后沿子午圈向北航行nmile，再轉(zhuǎn)向沿等緯圈向西航行nmile，最后轉(zhuǎn)向沿子午圈向南航行nmile，求：（1）船舶最后到達(dá)點(diǎn)的緯度；（2）起航點(diǎn)與到達(dá)點(diǎn)相距多少海里？4．設(shè)船位于（），船位于（），若兩船以同速向南航行，則它們在航行海里后相距多少海里？5．設(shè)兩船同在北緯，相距nmile，若它們以同速向北航行nmile，則兩船相距多少海里？4．2球面三角4.2.1球面三角形的定義球面上由三個(gè)大圓弧相交于三點(diǎn)所圍成的球面部分稱為球面三角形.稱這三個(gè)大圓弧為球面三角形的邊，這三點(diǎn)為球面三角形的頂點(diǎn)，由任意兩個(gè)大圓弧所構(gòu)成的球面角稱為球面三角形的角.三邊和三個(gè)角稱為球面三角形六要素.三邊用，，表示，三個(gè)角用，，表示，它們的取值范圍均是.六要素的取值范圍均是的球面三角形稱為歐拉球面三角形.本書僅討論歐拉球面三角形.4.2.2球面三角形的分類1、球面直角（邊）三角形至少有一個(gè)角（邊）為的球面三角形稱為球面直角（邊）三角形.2、球面等腰三角形和球面等邊三角形兩邊或兩角相等的球面三角形稱為球面等腰三角形；三邊或三角相等的球面三角形稱為球面等邊三角形.3、球面初等三角形相對于球半徑三邊都非常小的球面三角形稱為球面小三角形；一個(gè)邊和對角相對于其他兩邊及其對角都很小的球面三角形稱為球面窄三角形.球面小三角形和球面窄三角形統(tǒng)稱為球面初等三角形.4、球面任意三角形不屬于以上三類的球面三角形稱為球面任意三角形.注：球面直角（邊）三角形可以是兩個(gè)角（邊）或三個(gè)角（邊）為，這個(gè)特點(diǎn)不同于平面三角形.4.2.3兩個(gè)球面三角形的關(guān)系1、全等球面三角形在同球和等球面上，邊角對應(yīng)相等且排列順序相同的球面三角形稱為全等球面三角形.2、對稱球面三角形在同球和等球面上，邊角對應(yīng)相等且排列順序相反的球面三角形稱為對稱球面三角形.如圖4.2.1示.圖4.2.1圖4.2.23、相似球面三角形在半徑不同的球面上，邊角度數(shù)對應(yīng)相等的球面三角形稱為相似球面三角形.如圖4.2.2示.4、極線球面三角形圖4.2.3（1）定義：球面三角形三個(gè)頂點(diǎn)的極線所構(gòu)成的球面三角形稱為極線球面三角形.通常極線球面三角形的邊和角分別用，，和，，表示.如圖4.2.3示.圖4.2.3圖圖4.2.4圖圖4.2.5（2）特點(diǎn)：①若原球面三角形的三邊都大于，則極線球面三角形在原球面三角形內(nèi)；如圖4.2.4示.②若原球面三角形的三邊都小于，則極線球面三角形在原球面三角形外；如圖4.2.5示.③若原球面三角形的一邊或兩邊大于，則極線球面三角形與原球面三角形交叉形成.如圖4.2.3示.（3）關(guān)系：①原球面三角形與極線球面三角形是相互的關(guān)系，即原球面三角形的頂點(diǎn)是極線球面三角形對應(yīng)邊的極；反之，極線球面三角形的頂點(diǎn)是原球面三角形對應(yīng)邊的極.②原三角形的角（邊）與極線球面三角形的邊（角）互補(bǔ).即，，，，，.注：全等球面三角形與平面三角形全等的條件一樣.4.2.4球面三角形的性質(zhì)1、球面三角形與三面角的關(guān)系球面三角形與三面角之間可以相互度量，有如下的關(guān)系.如圖4.2.6示.圖4.2.6圖4.2.6（2）球半徑是三面角的棱；（3）球面三角形的邊是三面角的平面角；（4）球面三角形的角是三面角的二面角.2、球面三角形的邊（1）三邊都是大圓弧，且每一邊；（2）兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，如；（3）三邊之和大于且小于，即.3、球面三角形的角（1）每一角；（2））三角之和大于小于，即；（3）兩角之和減去第三角小于，如；（4）兩角之和（差）大于（小于）第三角的外角，如.如圖4.2.7示.圖4.2.74、邊與角圖4.2.7（1）等邊對等角，等角對等邊；（2）大（小）邊對大（?。┙?，大（?。┙菍Υ螅ㄐ。┻?4.2.5球面三角形成立的條件1、已知球面三角形的三個(gè)邊時(shí)：（1）每一邊；（2）；（3）兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.2、已知球面三角形的三個(gè)角時(shí)：（1）每一角；（2）；（3）兩角之和減去第三角小于.3、若給定球面三角形的兩個(gè)角（邊）及其夾邊（角），則僅需滿足每一個(gè)角和每一個(gè)邊大于，小于的條件，球面三角形都成立.注：邊和角在寫法上的區(qū)別.例判斷下面的球面三角形是否存在.1．，，.解∵，∴球面三角形不存在.2．，，.解∵，∴球面三角形不存在.3