八年級上學期期末【壓軸62題考點專練】

一、單選題

1.（2022?四川達州?八年級期末）如圖，點尸為定角NA08平分線上的一個定點，且/MPN

與NAOB互補.若NMPN在繞點P旋轉的過程中，其兩邊分別與OA、08相交于M、N兩

點，則以下結論：①PM=PN；②OM+ON的值不變；③MN的長不變；④四邊形PMON的面

積不變，其中，正確結論的是（）

A.（D@③B.①②④C.①③④D.②③④

2.（2022?河南省直轄縣級單位?八年級期末）程老師制作了如圖1所示的學具，用來探究“邊

邊角條件是否可確定三角形的形狀”問題，操作學具時，點Q在軌道槽AM上運動，點P既

能在以A為圓心、以8為半徑的半圓軌道槽上運動，也能在軌道槽QN上運動，圖2是操

有以下結論：

①當NPAQ=30。，PQ=6時，可得到形狀唯一確定的aPAQ

②當/PAQ=30。，PQ=9時，可得到形狀唯一確定的4PAQ

③當NPAQ=90。，PQ=10時，可得到形狀唯一確定的APAQ

④當/PAQ=150。，PQ=12時，可得到形狀唯一確定的APAQ

小……\

■t'*

:■一,：______

A8M

備用圖

其中所有正確結論的序號是（）

A.②③B.③④C.②③④D.①②③④

3.（2022?重慶渝北?八年級期末）如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC,NBAC=45。，過

點A作ACBC于點。，過點B作BELAC于點E,AD,BE交于點F,，為AB的中點,

連接EH,CH,FH,則下列說法正確的個數(shù)為（）

?ZBAD=ZCBEi?EH±AB；?CE=^AF；④AE=CE+CF；⑤SAEFH=SAEHC.

A.2個B.3個C.4個D.5個

4.（2022?重慶?西南大學附中八年級期末）己知出、。2、④、。〃，…（〃為正整數(shù)）滿足“〃+/

,則下列說法：

①a/a2a3=1;

②"5="20；

③若〃/=--,則4，"+%〃？+…+4864%+〃865〃+4866"+…+〃142|"=912〃?+586〃；

④若a/=x,y—pa103-2（P為非零常數(shù)），當x的值取源和2狀-2時，y的值相同；

。32a5

則P的最小值為-3；其中正確的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題

5.（2022?河南周口?八年級期末）如圖，在我國南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算術》一

書中，介紹了（a+b）"展開式的系數(shù)規(guī)律，稱為“楊輝三角如第5行的5個數(shù)是1,4,10,

4,1,恰好對應著（a+b）4=4+4/6+6/6+4加+/展開式中的各項系數(shù).利用上述規(guī)律

計算：1014-4xl013+6xl012-4x101=.

(a+Z?)"1

(a+Z?)'11

(a+4121

(a+b)31331

+14641

(a+b)515101051

6.（2022?遼寧葫蘆島?八年級期末）如圖，在“108和△CO￡>中，

OA=OB,OC=OD（OA<OC）,ZAOB=ZCOD=a,直線AC,8D交于點M,連接?！?以

下結論：?AC=BD；?ZOAC=ZOBD；③NCMD=a；④0W平分NBOC.其中正確

的是（填序號）.

7.（2022.安徽.安慶市第四中學八年級期末）如圖，在AABC中，NA=m。，NABC和NACD

的平分線交于點Ai，得NAi；/AiBC和/ACD的平分線交于點A2,得/A2;…NA2012BC

和/A2012CD的平分線交于點A20”，則/A20”=____度.

8.（2022?黑龍江齊齊哈爾?八年級期末）如圖，在△A8C中，ZA=a./ABC與/AC。的平

分線交于點A〃得NA/；NA/BC與NA/C。的平分線相交于點A2,得乙42；…；NA2019BC

與NA2019CD的平分線相交于點A2020，得NA2O2O，則/42020=.

9.（2022?全國?八年級期末）如圖，“1BC與△AEF中，AB=AE,BC=EF,NB=NE,AB交

EF于D.給出下列結論：?ZAFC=ZC；?DF=CF；③胡是NDFC的平分線；?ZBFD=

ZCAF.其中正確的結論是：一（填寫所有正確結論的序號）.

10.（2022?湖北武漢?八年級期末）對于二次三項式V+的+〃（〃?、附為常數(shù)），下列結論：

①若〃=36,且x?+〃w+〃=（x+a）~,則a=6；

②若1<4〃，則無論x為何值時，x?+,如+”都是正數(shù)；

③若d+儂+〃=（光+3）（%+。），則3,“一〃=9：

④若〃=36,Mx2+roc+/j=（x+a）（x+/））,其中“、。為整數(shù)，則，〃可能取值有10個.

其中正確的有.（請?zhí)顚懶蛱枺?/p>

11.（2022.重慶長壽.八年級期末）某校若干名同學在課外活動時間舉行了“石頭、剪子、布”

猜拳游戲，游戲規(guī)則是每名同學都與其他同學比賽一盤，計分方法：勝一盤得2分，和一盤

各得1分，負一盤得0分.賽后統(tǒng)計：共有奇數(shù)個同學參加游戲活動，其中有兩名同學共得

20分，其他人的平均得分為正整數(shù)，則本次游戲共進行了______盤比賽.

三、解答題

12.（2022?廣東深圳?八年級期末）【問題背景】NMON=90°,點A、8分別在OM、ON上

【問題思考】（1）如圖①，AE、BE分別是NBAO和/ABO的平分線，隨著點A、點8的運

動，ZAEB=.

（2）如圖②，若BC是/48N的平分線，BC的反向延長線與NOAB的平分線交于點。.

①若NBAO=70。，則NO=°.

②隨著點A、B的運動，的大小會變嗎？如果不會，求/。的度數(shù)；如果會，請說明理

由；

【問題拓展】（3）在圖②的基礎上，如果NMCW=a,其余條件不變，隨著點A、8的運動

（如圖③），ND=.（用含〃的代數(shù)式表示）

13.（2022?河南南陽?八年級期末）如圖所示，在△ABC中，AB=AC=2,/B=40。，點。

在線段BC上運動（。不與&C重合），連接AD,作/A￡>E=40。，OE交線段4c于點E.

⑴當NBD4=115。時，NBAD=；點。從8向C運動時，ZBDA逐漸變（填

“大”或“小”）.

（2）當。。的長為多少時，AABD與LDCE全等?請說明理由.

（3）在點。的運動過程中，△ADE的形狀也在改變，請判斷當NBD4等于多少度時，△ADE

是等腰三角形.（直接寫出結論，不說明理由.）

14.（2021?四川樂山?八年級期末）我們常利用數(shù)形結合思想探索整式乘法的一些法則和公

式.類似地，我們可以借助一個棱長為。的大正方體進行以下探索：

圖1圖2

（I）在大正方體一角截去一個棱長為伏〃<〃）的小正方體，如圖1所示，則得到的幾何體

的體積為；

（2）將圖1中的幾何體分割成三個長方體①、②、③，如圖2所示，BC=a,AB=a-b,

CF=Z?,.?.長方體①的體積為質（a—b）.

類似地，長方體②的體積為,長方體③的體積為；（結果不需要化簡）

（3）將表示長方體①、②、③的體積相加，并將得到的多項式分解因式的結果為；

（4）用不同的方法表示圖1中幾何體的體積，可以得到的等式為.

（5）已知a-Z?=4,ah=2,求的值.

15.（2022?重慶?八年級期末）閱讀下列材料：

1637年笛卡爾在其《幾何學》中，首次應用“待定系數(shù)法”將四次方程分解為兩個二次方程

求解，并最早給出因式分解定理.

他認為：對于一個高于二次的關于x的多項式，“尤=。是該多項式值為0時的一個解”與“這

個多項式一定可以分解為（X-。）與另一個整式的乘積”可互相推導成立.

例如:分解因式偏+2f—3.

?.?犬=1是/+2/_3=0的一個解，二％3+2工2-3可以分解為（尤-1）與另一個整式的乘積.

設d+2x?-3=(x-l)(加+bx+c^

而乂?2+bx+c}=ax3+(b-a^x2+(c-b)x-c,則有

a=1

a=1

Co,得卜=3,從而x3+2x2-3=(x—l)(f+3x+3)

c=3

[-c=-3

運用材料提供的方法，解答以下問題：

(1)①運用上述方法分解因式V+2X+3時，猜想出V+2x+3=O的一個解為(只

填寫一個即可)，則V+2x+3可以分解為與另一個整式的乘積；

②分解因式x'+2x+3;

(2)若x-1與x+2都是多項式V+nt^+ar+p的因式，求利-〃的值.

16.(2022.河北張家口.八年級期末)閱讀下列材料:

通過小學的學習我們知道，分數(shù)可分為“真分數(shù)''和"假分數(shù)”，而假分數(shù)都可化為帶分數(shù)，如:

86+2c2y

-=2+—=2-

3333

我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時,

我們稱之為“假分式”；當分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式

如一X—1,工1*2這樣的分式就是假分式；再如：3鏟2x;這樣的分式就是真分式.類似

x+1x-\X+1X+\

的，假分式也可以化為帶分式(即：整式與真分式的和的形式).

如：旦("2=」；

X+1x+1X+1

壬Mlfx2-1+1(x+l)(x-l)+l1

再如：----=--------------------L—=x+l+——

x-1x-1x-lX-1

解決下列問題:

2

⑴分式4是分式(填“真”或"假"

X

Y

(2)將假分式」—1!■化為帶分式的形式為一；

x+2

(3)把分式紅?化為帶分式；如果”的值為整數(shù)，求x的整數(shù)值.

x+1x+\

17.(2021?四川成都?八年級期末)閱讀材料:對于非零實數(shù)利,〃，若關于x的分式上處匚或

X

的值為零，則工=機或x=".又因為乜3二亞=三"2S=x+如-⑺+〃),

XXX

所以關于x的方程x+”=m+n的解為xi=m,X2=n.

x

(1)理解應用：方程x+1=2+；的解為：XI—_______,X2—_______:

x2

(2)拓展提升：若關于x的方程x+4±=k-1的解滿足X/=X2,求A的值.

X

18.(2022?河南駐馬店?八年級期末)圖1,線段48、CD相交于點O,連接A￡＞、CB,我們

把形如圖1的圖形稱之為“8字形”.如圖2,在圖1的條件下，ND4B和的平分線

AP和CP相交于點P,并且與CO、AB分別相交于M、N.試解答下列問題：

(1)在圖1中，請直接寫出N4、NB、NC、ND之間的數(shù)量關系：；

(2)仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：個；

(3)圖2中，當/。=50度，/8=40度時，求/尸的度數(shù).

(4)圖2中N。和NB為任意角時，其他條件不變，試問/P與N。、NB之間存在著怎樣

的數(shù)量關系.（直接寫出結果，不必證明）.

19.（2022?河北唐山?八年級期末）如圖（1）“WC是一個三角形的紙片，點￡＞、E分別是“3C

邊上的兩點,

圖1圖2圖3

研究（1）：如果沿直線DE折疊，寫出的4,與-A的關系，并說明理由.

研究（2）:如果折成圖2的形狀，猜想加M、NCE4,和—4的關系，并說明理由.

研究（3）:如果折成圖3的形狀，猜想NCE4,和-A的關系，并說明理由.

20.（2022?江西景德鎮(zhèn)?八年級期末）同學們以“一塊直角三角板和一把直尺”開展數(shù)學活動,

提出了很多數(shù)學問題，請你解答:

（1）如圖1,Na和N0具有怎樣的數(shù)量關系？請說明理由;

（2）如圖2,/OFC的平分線與NEGC的平分線相交于點Q,求NFQG的大小:

ZDFP+NFPG

（3）如圖3,點P是線段上的動點（不與A,。重合），連接PF、PG,

NEGP

的值是否變化？如果不變，請求出比值；如果變化，請說明理由.

AAA

B/BG\/B

圖］7圖27圖37

21.(2022?廣東清遠?八年級期末)［探究］如圖①所示，ZAFH和NCHF的平分線交于點。,

EG經(jīng)過點。且平行于FH,分別與AB、CD交于點E、G.

圖①B圖②

(1)若ZA/7/=60。，NCHF=50°,則NEOP=_________°,NFOH=__________°；

(2)若加H+NCW=100°,求NR9H的度數(shù).

［拓展］如圖②所示，NAfH和NC”Z的平分線交于點。，EG經(jīng)過點。且平行于尸“，分別

與A3、CD交于點E、G.若ZAFH+NCHF=a,直接寫出NFO"的度數(shù).(用含a的代數(shù)

式表示)

22.（2022?山東濟南?八年級期末）如圖1,直線MN與直線AB、CQ分別交于點E、F,Z1

與N2互補.

（1）試判斷直線A8與直線的位置關系，并說明理由；

（2）如圖2,48E尸與NEFQ的角平分線交于點P,EP與CD交于點G,點、H是MN上一

點，JSGH±EG,求證：PF//GH.

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接PH,K是G”上一點使作PQ平分

/EPK,問NHPQ的大小是否發(fā)生變化？若不變，請求出其值若變化，說明理由.

23.（2022.內蒙古通遼.八年級期末）【問題背景】在四邊形A8C。中，AB=AD,

XBAD=12O,^B=^ADC=90,E,尸分別是3C,CO上的點，且N￡AF=6(T,試

探究圖中線段BE，EF,廣。之間的數(shù)量關系.

A

B

(1)【初步探索】讀圖一，小亮同學認為：延長FD到點G,使DG=BE,連接4G,先證明

△43E%A4￡)G,再證明AA￡尸絲AAGF,則可得到BE，EF,尸￡＞之間的數(shù)量關系是.

(2)【探索延伸】在圖二四邊形ABC。中，AB=AD,18+1。=180,E,尸分別是3C,

CO上的點，ZEAF=~ZBAD,上述結論是否仍然成立？說明理由.

(3)【結論運用】如圖三，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心(0處)北偏西30。的A處,

艦艇乙在指揮中心南偏東70的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后,

艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50的方向以80海里/小時的

速度前進1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E,尸處，且兩艦艇之間的夾

角(NEOF)為70,試求此時兩艦艇之間的距離.

24.(2022?湖北十堰?八年級期末)如圖1已知點A,8分別在坐標軸上，點C(3,-3),

C4_LBA于點A,且BA=C4,CA,CB分別交坐標軸于。，E.

（1）填空：點8的坐標是

（2）如圖2,連接。E,過點C作C7/LCA于C,交x軸于點H,求證：NADB=/CDE；

（3）如圖3,點尸（6,0）,點P在第一象限，連P凡過戶作PM_LPF交y軸于點M,在PM

上截取PN=PF,連尸O,過P作/OPG=45。交BN于G.求證：點G是BN中點.

25.（2022?四川南充.八年級期末）（1）閱讀理解：問題：如圖I,在四邊形A8C。中，對角

線平分ZA8C,ZA+ZC=180°.求證：DA=DC.

思考：“角平分線+對角互補”可以通過“截長、補短''等構造全等去解決問題.

方法1：在8C上截取3M=胡，連接DM,得到全等三角形，進而解決問題；

方法2：延長區(qū)4到點N,使得8N=8C,連接ON,得到全等三角形，進而解決問題.

結合圖1,在方法1和方法2中住造二種，添加輔助線并完成證明.

（2）問題解決：如圖2,在（1）的條件下，連接AC,當ND4C=60。時，探究線段A3,

BC,8。之間的數(shù)量關系，并說明理由；

(3)問題拓展：如圖3,在四邊形A8C。中，ZA+ZC=180°,2M=OC,過點。作￡>E_L8C,

垂足為點E,請直接寫出線段A3、CE、8c之間的數(shù)量關系.

圖1

26.(2022?黑龍江齊齊哈爾?八年級期末)己知：”由。中，過8點作BELAD,

ZACB=90°,AC=BC.

(1)如圖1,點。在8c的延長線上，連A。，作8E_LAT>于E,交AC于點尸.求證：AD=BF

(2)如圖2,點。在線段8c上，連AO,過A作AEJ_AT>,且AE=AD,連交AC于尸，

連nE,問8。與CF有何數(shù)量關系，并加以證明；

(3)如圖3,點。在CB延長線上，AE=A。且A￡_LA￡>,連接BE、AC的延長線交于點M,

若AC=3"C,請直接寫出罷的值.

圖1

27.（2022?河南鄭州?八年級期末）數(shù)學課上，劉老師出示了如下框中的題目:

A

如圖，在等邊中，E為線段AB上一點，。為線段CB延長

線上一點，且ED=EC,試確定AE與QB的大小關系，并說明理

由.

uB

小聰與同桌小明討論后，仍不得其解.劉老師提示道：“數(shù)學中常通過把一個問題特殊化來

找到解題思路”.兩人茅塞頓開，于是進行了如下解答，請你根據(jù)他們提供的思路完成下面

相應內容：

⑴特殊情況?探索結論

當點E為線段A8的中點時，如圖1,確定線段4E與的大小關系.請你直接寫出結論:

AEDB.（選填“>”，或“=”）

圖1圖2

（2）特例啟發(fā)?解答題目

當E為線段A8上除中點外的任意一點時，其余條件不變，如圖2,(1)中線段AE與QB的

大小關系會發(fā)生改變嗎？若不會，請證明；若改變，請說明理由.

(3)拓展結論?設計新題

經(jīng)過以上的解答，小聰和小明發(fā)現(xiàn)如果把劉老師的題目稍加改變，就會得到這樣一道題目：

在等邊中，點E在直線A8上，點。在直線2c上，且EO=EC.若的邊長為

I,AE=2,求C￡)的長.

請你根據(jù)(1)(2)的探究過程，嘗試解決兩人改編的此問題，直接寫出C。的長.

28.(2022?湖北武漢?八年級期末)如圖1,正方形ABCO中，點E、尸分別在邊8C、OC上,

且BE=DF.

AD

(1)當=時，求證：△AEF為等邊三角形；

(2)如圖2,在(1)的條件下，點G在線段尸C?上，ZAGC=120°,EC=6求CG的長;

(3)如圖3,BC=4,G為尸。的中點，則;AF+3G的最小值為.

29.(2022?福建?泉州七中八年級期末)如圖1,在"WC中，AB=AC,點。是AABC內一

點，DB=DC.

(1)判斷直線與線段BC的關系，并說明理由.

⑵如圖2,N8AC=30°,NDCB=30°,點E是8。延長線上一點且AE=AB.

圖2

①求證：DE=AD+DC;

②作8P平分NA8E,EF1BP,垂足為F（如圖3）,若EF=2,求8P的長.

A

P,

圖3

30.(2022.湖北武漢.八年級期末)在平面直角坐標系中，點A在x軸的負半軸上，點8在y

軸的正半軸上，點A與點C關于y軸對稱.

(1)如圖1,OA=OB,A尸平分交BC于尸，8E_LAF交AC于E,請直接寫出EF與EC

的數(shù)量關系為：

(2)如圖2,AF平分NBAC交BC于凡若AF=2OB,求NA8C的度數(shù)；

(3)如圖3,04=。8,點G在80的垂直平分線上，作NGOH=45。交BA的延長線于從連接

GH,試探究OG與GH的數(shù)量和位置關系.

31.(2022?遼寧大連?八年級期末)如圖，在△A8C中，/8AC=90。，AB=AC,點。在邊

AC上，點E在線段8力上，連接AE,且AE=BE,延長AE交8c于點尺過點A作AG_L

AE交8。的延長線于點G.

②如圖1,求證：NAGB=2NGBC；

(2)如圖2,連接CG,若BG平分/ABC,求證：BE=CG；

(3)如圖3,若。是AC的中點，求證：AF^AG.

32.(2022?遼寧大連?八年級期末)在心ZVIBC中，乙4cB=90。，BC=kCA,延長8C至點

D,使CQ=CA,AM±AB,且Q,M在A8的異側，AM=AB,連接L?M與AC交于點N.

D

D

，(N)

MM

圖1圖2

(1)如圖1,當我=1時，請直接寫出M黑N=_________，笠CN=________；

DNBD

(2)如圖2,當0<%<1時，(1)中的兩個結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請寫

出新的數(shù)量關系，并證明；

(3)若AN=mCN(/n>0且gd),請直接寫出k的值為.(用含〃?的代數(shù)式表示)

33.(2022.黑龍江哈爾濱.八年級期末)在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，△OAB為

等邊三角形，點8的坐標為(6,0),點A在第一象限，點P從點A出發(fā)沿線段AB以每秒2

個單位長度的速度向點B運動，同時點。從點。出發(fā)以相同的速度沿x軸負方向運動，當

點P停止運動時，點Q也停止運動.連接PQ,交OA于點D

(2)f為何值時，NOQP=30°?

(3)在(2)的條件下，點A關于PQ對稱的點為點E,連接￡>E,求證：DE//OB.

34.(2022?遼寧大連?八年級期末)如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸正半軸上，點5,

C在x軸上，NBAC=120。，AB=4C=4,BC=46,點。在y軸負半軸上，點E在線段

AC上，ZBDE=60°.

（2）如圖1,求證：DB=DE；

（3）如圖2,過點C作CRLOE,垂足為尸，交4B于點G,若CF=FG,求點。的坐標.

35.（2022?江西贛州?八年級期末）已知點A（”,0）,8（02），C（4,0）,且“、6滿足

|a+41+（a+/?）~=0.

圖1圖2

（1）直接判斷“3C的形狀；

（2）如圖1,過點8作射線/（射線/與邊AC有交點），過點A作A￡）_U于點。，過點C作CE，/

于點E,過點E作C。的垂線交V軸于點

①求證：AD=BE；②求點尸的坐標；

⑶如圖2,點G,H為N軸正半軸上的兩點（G在H的上方），點N在AH的延長線上，且

滿足GN=G〃，GN的延長線交x軸于點P,NGPO的角平分線交線段AH于點M,若

AM=OA,請?zhí)骄縈N和，。的數(shù)量關系，并證明你的結論.

36.（2022?山東德州?八年級期末）等邊三角形ABC中，點E為線段AB上一動點，點E與A、

8不重合，點。在CB的延長線上，且E/AEC.試確定4E與8。的數(shù)量關系

（1）【特例研究】

如圖①，當點E為AB的中點時，請判斷線段AE與BO的數(shù)量關系：AEBQ（填

"〉，，"<，，或"=，，）,并說明理由；

⑵【一般探索】

如圖②，當點E為AB邊上任意一點時，（I）中的結論是否成立？若不成立，請直接寫出

AE與3。的數(shù)量關系：若成立，請說明理由.

（3）【拓展應用】

在等邊三角形A8C中，點E在AB上的延長線上，點。在C8的延長線上，且E￡>=EC,AE=2,

AC=1,求CD的長.

37.（2022?福建泉州?八年級期末）如圖（1）,AABC中,ZABC=90°,A8=8C,點。是AC

的中點，點E在C。上（點E不與點。和點C重合），AGL3E于點G,交BD于點、F,連

接。G.

圖(1)圖⑵

(1)求證：AADFABDE;

(2)設GF=a,GE=h,GD=c,證明：a+b=6c;

(3)如圖(2),延長AG交8C于點M,若點M是BC中點，點N是A3的中點，請證明點N、

F、C三點共線.

38.(2022?福建漳州?八年級期末)已知△ABC絲ZVIOE,且它們都是等腰直角三角形，ZABC=

ZADE=90°.

(1)如圖1,當點力在邊AC上時，連接B力并延長交CE于點尸，

①求證：ZCBD=ZEDF；

②求證：點尸為線段CE的中點；

(2)Z\AZ)E繞著點A順時針旋轉，如圖2所示，連接并延長交CE于點F,點F還是線段

CE的中點嗎？請說明理由.

39.(2022?福建?廈門市湖濱中學八年級期末)已知A8〃C￡?,且C8J_A8于點B,ANLDC

于點N,M是線段NC上的一點，點尸是C8延長線上的動點，連接4W,AP,

(1)如圖1,若CB=PB,且C、P兩點不重合，ZAPB=60°,請用直尺在圖中連接一條線段,

使圖中存在一個等邊三角形，并說明理由.

(2)如圖2,若NNAP=2NAMN,

①請猜想此時NAPC與NM4M的數(shù)量關系，并進行證明.

②若點M為NC的中點，且4N=8C,請?zhí)骄緽C、BP、AP之間的數(shù)量關系，并進行證明.

40.（2022?廣東廣州?八年級期末）如圖，NAC。是等邊△4BC的一個外角，點E是NAC。

內部任意一點，作直線CE.

備用圖備用圖

（1）當CE平分/AC。時，證明：AB//CE.

（2）已知點A關于直線CE的對稱點為F,連接AF、BF、CF,其中AF、8F分別交直線CE

于P、。兩點.記NACE=a,當0Va<60。時，求/BFC,（用含a的式子表示）

（3）若（2）中的a滿足0。<（1<120。時,

?ZAFB=°；

②探究線段QB、QC.QP之間的數(shù)量關系，并證明.

41.（2022.浙江杭州.八年級期末）（1）如圖①，在"RC中，D為MBC外一點,若AC平

分/BAD,CEJ.AB于點E,ZB+ZAZX?=180°,求證：BC=CD；

琮琮同學：我的思路是在AB上取一點F,使得4）=詼，連結CF,先證明△AQCgZ\AFC

得到DC=FC

,再證明C8=b,從而得出結論；

宸宸同學：我覺得也可以過點C作邊AO的高線CG,由角平分線的性質得出CG=CE,再

證明AGOCGAEBC,從而得出結論.請根據(jù)兩位同學的思路選擇一種寫出證明過程.

（2）如圖②，。、E、尸分別是等邊從18C的邊8C、AB,4c上的點，AD平分NFDE,且

ZFDE=\20°.

求證：BE=CF.

42.（2022?湖北武漢?八年級期末）如圖1,在平面直角坐標系中，A（0,4）,C（-2,-2）,且

ZACB=90°,AC=BC.

F

（1）求點B的坐標；

（2）如圖2,若BC交y軸于點M,AB交x軸與點M過點8作BELy軸于點E,作8尸_Lx

軸于點F,請?zhí)骄烤€段“N,ME,NF的數(shù)量關系，并說明理由；

（3）如圖3,若在點8處有一個等腰Rr/XBOG,JiBD=DG,ZBDG=90°,連接AG,點

，為AG的中點，試猜想線段?！ㄅc線段CH的數(shù)量關系與位置關系，并證明你的結論.

43.（2022.福建.廈門五緣實驗學校八年級期末）平面直角坐標系中，點A（OM）在軸正半

軸，點8（瓦0）在x軸正半軸，以線段A3為邊在第一象限內作等邊AABC,點C關于）‘軸的

對稱點為點。，連接AD,BD,且8。交V軸于點E.

y

（i）補全圖形，并填空；

①若點C（2,3）,則點。的坐標是

②若ZCAD=140°，則NBEO=.

（2）若卜-3|+62-6"9=0,求證：AO垂直平分BC；

⑶若時，探究的數(shù)量關系，并證明.

44.（2022?浙江臺州.八年級期末）學習了平方差、完全平方公式后，小聰同學對學習和運用

數(shù)學公式非常感興趣，他通過上網(wǎng)查閱，發(fā)現(xiàn)還有很多數(shù)學公式，如立方和公式：（“+〃）

Ca2-ab+b2）=/+〃，他發(fā)現(xiàn)，運用立方和公式可以解決很多數(shù)學問題，請你也來試試

利用立方和公式解決以下問題：

（1）【公式理解】公式中的字母可以代表任何數(shù)、字母或式子

①化簡：（a—b）（a2+ab+b2'）—；

②計算：（993+1）+（992—99+1）=；

（2）【公式運用】已知：-+x=5,求dy+xX,+l）的值：

xR」X

（3）【公式應用】如圖，將兩塊樓長分別為〃、。的實心正方體橡皮泥揉合在一起，重新捏成

一個高為等的實心長方體，問這個長方體有無可能是正方體，若可能，。與6應滿足什么

關系？若不可能，說明理由.

45.（2022?湖南長沙?八年級期末）如圖1,在平面直角坐標系中，點A（a,0）在x軸負半軸上,

點8在y軸正半軸上，設=且〃2一4a2=（）.

(1)直接寫出NBA。的度數(shù).

(2)如圖2,點。為AB的中點，點尸為y軸負半軸上一點，以AP為邊作等邊三角形APQ,

連接OQ并延長交x軸于點“，若A8=6,求點”的坐標.

(3)如圖3,點C與點A關于y軸對稱，點E為0C的中點，連接BE,過點8作NCBF=NA￡B,

BP

且BF=BE,連接4尸交BC于點P,求二的值.

46.(2020.浙江.八年級期末)某藥店采購部于7月份和8月份分別用16000元和40000購兩

批口罩，8月份每盒口罩的進價比7月份上漲20元，且數(shù)量是7月份購進數(shù)量的2倍.

(1)求7月份購進了口罩多少盒？

(2)該藥店在7,8月份均將當月購進的口罩平均分給甲、乙兩家分店銷售，并統(tǒng)一規(guī)定每

盒口罩的標價為150元.已知7月份兩店按標價各賣出〃盒后，甲店剩余口罩按標價的八折

出售；乙店剩余口罩先按標價的九折售出b盒后，再將余下口罩按標價七折全部售出，結果

利潤與甲店相同.

①用含匕的代數(shù)式表示。.

②8月份，乙店計劃將分到的口罩按標價出售〃箱后，剩余口罩全部捐獻給醫(yī)院.若至少捐

贈96盒口罩，且預計乙店7,8月份能從這兩批口罩銷售中獲得的總利潤為2000元，求。泊,〃

所有可能的值.

47.（2022?重慶南岸?八年級期末）（1）如圖，整個圖形是邊長為的正方形，其中陰影

部分是邊長為的正方形，請根據(jù)圖形，猜想（。+與2與（。-6）2存在的等量關系，并證明

你的猜想;

（2）根據(jù)（1）中得出的結論，解決下列問題：

甲、乙兩位司機在同一加油站兩次加油，兩次油價有變化，兩位司機采用不同的加油方式.其

中，甲每次都加40升油，乙每次加油費都為300元.設兩次加油時，油價分別為加元/升，

〃元/升（w>0,〃>0,且相片〃）.

①求甲、乙兩次所購的油的平均單價各是多少？

②通過計算說明，甲、乙哪一個兩次加油的平均油價比較低？

48.（2022?重慶巴南?八年級期末）如果一個正整數(shù)的各位數(shù)字是左右對稱的，那么稱這個正

整數(shù)是“對稱數(shù)”，如33,787,1221,20211202都是“對稱數(shù)”,最小的“對稱數(shù)”是11,但沒

有最大的“對稱數(shù)下面給出一個正整數(shù)的記法：若一個四位正整數(shù)的千位、百位、十位、

個位上的數(shù)字分別為a、b、c、d,則可以把這個四位正整數(shù)記為旃，同理，若三位正整

數(shù)的百位、十位、個位上的數(shù)字分別為x、y、z,則可以把這個三位正整數(shù)記為正.

（1）若四位正整數(shù)嬴J是“對稱數(shù)”，證明式子府的值能被11整除；

（2）若三位正整數(shù)正是“對稱數(shù)”，式子x+y+z的值是4的倍數(shù)，式子忍+x+y+z的值能被

13整除，求這個三位正整數(shù)x)，z.

49.(2022.湖南長沙.八年級期末)方法探究：

已知二次多項式/-4X-21,我們把x=-3代入多項式，發(fā)現(xiàn)』-4*-21=0,由此可以推

斷多項式中有因式(x+3).設另一個因式為(x+A),多項式可以表示成

f-4x-21=(x+3)(x+Z),貝1］有了2-4￥-21=%2+僅+3)工+3々，因為對應項的系數(shù)是對應

相等的，即"3=T,解得《=-7,因此多項式分解因式得：X2-4X-21=(X+3)(X-7).我

們把以上分解因式的方法叫“試根法

問題解決：

(1)對于二次多項式V-4,我們把x=代入該式，會發(fā)現(xiàn)%2-4=0成立；

(2)對于三次多項式9-f-3x+3,我們把x=l代入多項式，發(fā)現(xiàn)x3—Y—3x+3=0,由止匕

可以推斷多項式中有因式(x-l),設另一個因式為(f+ax+匕)，多項式可以表示成

X3—X2—3x+3=(x—l)^x2+ax+b^,試求出題目中a,b的值；

(3)對于多項式d+4d-3x-18，用“試根法”分解因式.

50.(2022.福建泉州.八年級期末)我們知道，在學習了課本閱讀材料：《綜合與實踐一面積

與代數(shù)恒等式》后，利用圖形的面積能解釋與得出代數(shù)恒等式，請你解答下列問題：

(1)如圖，根據(jù)3個正方形和6個長方形的面積之和等于大正方形ABCO的面積.可以得到代

數(shù)恒等式：(a+b+c)2=；

(2)已知a+b+c=ll,/+從+。2=45,求必+ac+征的值；

(3)若小，滿足如下條件：

(〃-2019)2+(2021-+(〃+1『=*+218,

(n-2019)(2021-2n)+(n-2019)(n+l)+(2021-2n)(n+l)=l-Z,求/的值.

51.(2021?廣東惠州?八年級期末)如圖，將邊長為(a+8)的正方形剪出兩個邊長分別為。，

匕的正方形(陰影部分).觀察圖形，解答下列問題：

(1)根據(jù)題意，用兩種不同的方法表示陰影部分的面積，即用兩個不同的代數(shù)式表示陰影

部分的面積.

方法1：,方法2：；

(2)從中你發(fā)現(xiàn)什么結論呢？;

(3)運用你發(fā)現(xiàn)的結論，解決下列問題：

①已知X+y=6,；孫=2,求f+y2的值；

②已知(2021—xf+(X-2020)2=9,求(2021—x)(x—2020)的值.

52.（2021?重慶實驗外國語學校八年級期末）對任意一個四位自然數(shù)〃，如果各個數(shù)位上的

數(shù)字均不為0,且千位與個位上的數(shù)字之積減去百位與十位上的數(shù)字之積等于8,則稱〃為“8

階乘差數(shù)例如：四位自然數(shù)5434,5x4-4x3=8,所以5434是一個“8階乘差數(shù)”.

（1）請任意寫出兩個千位和百位的數(shù)字均為2的“8階乘差數(shù)”；

（2）如果四位數(shù)礪是“8階乘差數(shù)”，b（a-4）”（c+2）也為“8階乘差數(shù)"，且求

所有滿足以上條件的“8階乘差數(shù)”前.

53.（2021.重慶渝北.八年級期末）在數(shù)的學習中，我們總會對其中一些具有某種特性的數(shù)進

行研究，若一個正整數(shù)機是兩個相差為3的數(shù)的乘積，即機=〃（"+3）,其中"為正整數(shù)，

則稱，"為“如意數(shù)”，〃為刑的“如意起點”.例如：18=3x6,則18是“如意數(shù)”，3為18的

“如意起點

（1）若女是88的“如意起點”，貝心=；若。的“如意起點''為1,則〃=.

（2）把“如意數(shù)”x與“如意數(shù)”的差記作E（x,y）,其中x>y,E（x,y）>0,例如：40=5x8,

10=2x5,則6（40,10）=40—10=30.若“如意數(shù)”x的“如意起點，，為s,“如意數(shù)”），的“如意

起點”為人當E（x,y）=48時，求j的最大值.

54.（2021.山東.日照市北京路中學八年級期末）同學們，在數(shù)學課本第9章《整式乘法與因

式分解》里學習了整式乘法的完全平方公式，還記得它是如何被發(fā)現(xiàn)的嗎？

【蘇科版教材P75頁】計算如圖1的面積，把圖1看做一個大正方形，它的面積是伍+加2,

2

如果把圖1看做是由2個長方形和2個小正方形組成的，它的面積為/+2ah+b，由此得

至ij：（a+b）2=a2+2ab+b2.

【類比探究（1）1

如圖2,正方形ABC。是由四個邊長分別是a,b的長方形和中間一個小正方形組成的，用

不同的方法對圖2的面積進行計算，你發(fā)現(xiàn)的等式是（用“，〃表示）

【應用探索結果解決問題】：

已知：兩數(shù)x,y滿足x+y=7,xy=6,求*一y的值.

【類比探究（2）］：

如圖3,正方形ABCD的邊長是c,它由四個直角邊長分別是a,6的直角三角形和中間一個

小正方形組成的，對圖3的面積進行計算，你發(fā)現(xiàn)的式子是.（用a,6c表示，

結果盡可能化簡）

【應用探索結果解決問題】：正方形A5CO的邊長是c,它由四個直角邊長分別是a,6的直

in3

角三角形和中間一個小正方形組成的，當/=3x4=丁丫時，。=4；當b2=2y

時，c=3,求x,y的值.

55.（2022?福建廈門?八年級期末）我們知道，任意一個正整數(shù)〃都可以進行這樣的分解：

"PF（p,q是正整數(shù)，且在〃的所有這種分解中，如果p,q兩因數(shù)之差的絕

對值最小，我們就稱。xq是〃的最佳分解，并規(guī)定；「（〃）=",例如12可以分解成1X12,

q

3

2x6或3x4,因為12-1>6-2>4-3,所以3x4是12的最佳分解，所以尸（12）=履

⑴求尸（24）；

（2）如果一個正整數(shù)，"（〃?>1）只有1與根本身兩個正因數(shù)，則加稱為質數(shù).若質數(shù)相滿足

產(chǎn)（加+4）=1,求機的值；

（3）是否存在正整數(shù)〃滿足/（n）=F（〃+12）=；,若存在，求〃的值：若不存在，說明理由.

56.（2021?河南省淮濱縣第一中學八年級期末）閱讀材料：1261年，我國南宋數(shù)學家楊輝

著《詳解九章算法》，在注釋中提到“楊輝三角”解釋了二項和的乘方規(guī)律.在他之前，北宋

數(shù)學家賈憲也用過此方法，“楊輝三角'’又叫“賈憲三角”.

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這個三角形給出了（a+6）”（n為正整數(shù)）的展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序、b的次

數(shù)由小到大的順序