考點測試22簡單的三角恒等變換一、基礎小題sin2α1．已知tanα＝2，則cos2α的值為( )A．2B．3C．4D．6答案Csin2α2sinαcosα分析cos2α＝cos2α＝2tanα＝4，應選C．1α2．已知cosα＝3，α∈(π，2π)，則cos2等于( )6633A．B．－C．D．－3333答案B1απα1＋cosα分析∵cosα＝3，α∈(π，2π)，∴2∈2，π．∴cos2＝－2＝－11＋362＝－3．應選B．13．若cosπ2－α＝13，則cos(π－2α)＝( )A．－42B．42C．－7D．79999答案Cπ1分析解法一：因為cos2－α＝sinα＝3，27所以cos(π－2α)＝－cos2α＝2sinα－1＝－9，應選C．2π17解法二：cos(π－2α)＝2cos2－α－1＝2×9－1＝－9，應選C．4．已知tan(α＋β)＝1，tanβ＝1，則tanα－π＝( )2343316A．4B．－4C．7D．7答案B11tanα＋β－tanβ2－31分析因為tanα＝tan[(α＋β)－β]＝1＋tanα＋βtanβ＝11＝7，所以1＋2×3π1πtanα－tan47－13tanα－＝π＝＝－，應選B．4141＋tanαtan41＋75．若α為銳角，3sinα＝tanα＝2tanβ，則tan2β＝( )3434A．4B．3C．－4D．－3答案Dsinα122分析因為3sinα＝tanα＝cosα，α為銳角，所以cosα＝3，sinα＝3，所以sinα44tanα＝cosα＝22＝2tanβ，所以tanβ＝2，tan2β＝1－4＝－3．應選D．26．cos20°cos40°cos80°的值為( )1111A．2B．4C．8D．16答案Ccos20°cos40°cos80°＝8sin20°cos20°cos40°cos80°sin160°1分析8sin20°＝8sin20°＝8．故選C．17．已知cos(x＋2θ)＋2sinθsin(x＋θ)＝，則cos2x的值為________．37答案－9分析cos(x＋2θ)＋2sinθsin(x＋θ)＝cos(x＋θ)cosθ＋sinθsin(x＋θ)＝cosx127＝3，則cos2x＝2cosx－1＝－9．2sinπ－α＋sin2α＝________．8．化簡：2αcos2答案4sinα分析2sinπ－α＋sin2α2sinα＋2sinαcosαcos2α＝1221＋cosα＝4sinα1＋cosα＝4sinα．1＋cosα二、高考小題3πcosα－109．(2015·重慶高考)若tanα＝2tanπ，則＝( )5πsinα－5A．1B．2C．3D．4答案C3cos3πsinπ3πα－102＋α－10分析sinα－π＝sinα－π55sinα＋πsinαcosπ＋cosαsinπtanα＋tanπ5555＝π＝ππ＝π，sinα－5sinαcos5－cosαsin5tanα－tan53π3tanπ∵tanα＝2tanπcosα－105，∴＝＝3．應選C．5πtanπsinα－5510．(2018·全國卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，則sin(α＋β)＝________．答案1－2分析解法一：因為sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，所以(1－sinα)2＋(－21111cosα)＝1，所以sinα＝2，cosβ＝2，所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝2×2212111－cosα＝4－1＋sinα＝4－1＋4＝－2．解法二：由(sinα＋cosβ)2＋(cosα＋sinβ)2＝1，得2＋2sin(α＋β)＝1，所以sin(α＋β)＝－1．211．(2016·浙江高考)已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，則A＝________，＝________．b答案21分析∵2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2xπ＋1，∴A＝2，b＝1．＝2sin2x＋4π3π12．(2016·全國卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sinθ＋4＝5，則tanθ－4＝________．44分析解法一：∵sinθ＋π＝2×(sinθ＋cosθ)＝3，42532∴sinθ＋cosθ＝5①，2sinθcosθ＝－7．25∵θ是第四象限角，∴sinθ＜0，cosθ＞0，42∴sinθ－cosθ＝－1－2sinθcosθ＝－5②，272由①②得sinθ＝－10，cosθ＝10，1tanθ＝－，7∴tanθ－πtanθ－144＝1＋tanθ＝－3．πππ解法二：∵θ＋4＋4－θ＝2，ππ3∴sinθ＋4＝cos4－θ＝5，π又2kπ－2＜θ＜2kπ，k∈Z，∴2π－π＜θ＋π＜2kπ＋π，∈Z，k444k∴cosθ＋π4＝45，∴sinπ4－θ＝45，sinπ－θ∴tanπ4＝4，－θ＝4π3cos4－θ5tanθ－π4＝－tanπ4－θ＝－43．解法三：∵θ是第四象限角，π∴2kπ－2＜θ＜2kπ，k∈Z，∴2kπ－π＜θ＋π＜2kπ＋π，k∈Z，444π3π4又sinθ＋4＝5，∴cosθ＋4＝5，tanθ－1tanθ－4＝tanθ＋1cosπ＋θ－4sinθ－cosθ＝454＝π＝＝－．sinθ＋cosθsin＋θ3345三、模擬小題ππ13．(2018·河北衡水中學測試)若α∈2，π，且3cos2α＝sin4－α，則sin2α的值為()111717A．－18B．18C．－18D．18答案C分析由3cos2α＝sinπ－α可得3(cos2α－sin2α)＝42(cosα－sinα)，又由α∈π，π可知cosα－sinα≠0，于是3(cosα＋sinα)222117＝2，所以1＋2sinαcosα＝18，故sin2α＝－18．應選C．431114．(2018·河南信陽一模)已知α，β均為銳角，且sinα＝7，cos(α＋β)＝－14，則β等于( )6A．π3B．π4C．π6D．π12答案A431分析∵α為銳角且sinα＝7，∴cosα＝7．11∵α，β均為銳角，∴0<α＋β<π．又∵cos(α＋β)＝－14，3sin(α＋β)＝14．∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋1115343－11＋601πβ)sinα＝－14×7＋14×7＝98＝2．又∵β為銳角，∴β＝3．應選A．315．(2018·河南濮陽一模)設0°<α<90°，若sin(75°＋2α)＝－5，則sin(15°＋α)sin(75°－α)＝()121D．－2A．B．C．－20102010答案B分析因為0°<α<90°，所以75°<75°＋2α<255°．又因為sin(75°＋2α)＝－35<0，所以180°<75°＋2α<255°，角75°＋2α為第三象限角，所以cos(75°＋2α)＝－415．所以sin(15°＋α)sin(75°－α)＝sin(15°＋α)cos(15°＋α)＝2sin(30°＋2α)1(75°＋2α)－45°]＝＝sin[21°＋2α)cos45°－cos(75°＋2α)sin45°132422[sin(75]＝×－×＋×＝，故22525220選B．11tanα16．(2018·湖南湘東五校聯(lián)考)已知sin(α＋β)＝2，sin(α－β)＝3，則log5tanβ2等于( )A．2B．3C．4D．57答案C11分析由sin(α＋β)＝2，得sinαcosβ＋cosαsinβ＝2，①11由sin(α－β)＝3，得sinαcosβ－cosαsinβ＝3，②51由①②可得sinαcosβ＝12，cosαsinβ＝12．5tanαsinαcosβ12所以＝＝＝5．tanβcosαsinβ1tanα2所以log5tanβ＝log525＝4，應選C．17．(2018·河北、河南兩省要點中學4月聯(lián)考)已知atanα＋b＝(a－btanα)tanβ，πb且α＋6與β的終邊同樣，則a的值為()23223A．3B．3C．3D．4答案B分析已知等式可化為tanα＋＝tanβ－tanαtanβ，即b(1＋tanαtanβ)＝abab(tanβ－tanα)，∴b＝tanβ－tanα＝tan(β－α)，又∵α＋π與β的終邊同樣，即aa1＋tanαtanβ6β＝2kπ＋α＋π(k∈Z)，∴tan(ππ3b＝36β－α)＝tan2kπ＋＝tan＝，即，應選B．663a31＋cosθ1－cosθ618．(2018·湖北八校第一次聯(lián)考)已知3π<θ<4π，且2＋2＝2，則θ＝()10π11π37π47πA．3或3B．12或1213π15π19π23πC．4或4D．6或68答案D3πθ分析∵3π<θ<4π，∴2<2<2π，θθ∴cos2>0，sin2<0，1＋cosθ1－cosθθθθθθ∴2＋2＝cos22＋sin22＝cos2－sin2＝2cos2＋π6θπ3θππθππ4＝2，∴cos2＋4＝2，∴2＋4＝6＋2kπ，k∈Z或2＋4＝－6＋2kπ，k∈Z，π5π即θ＝－6＋4kπ，k∈Z或θ＝－6＋4kπ，k∈Z，19π23π又∵3π<θ<4π，∴θ＝6或6．應選D．一、高考大題1．(2015·廣東高考)已知tanα＝2．π求tanα＋4的值；(2)求sin2α的值．sin2α＋sinαcosα－cos2α－1解(1)因為tanα＝2，πtanα＋tan所以tanα＋π＝4＝2＋1＝－3．4π1－2×11－tanα·tan4因為tanα＝2，sin2α所以sin2α＋sinαcosα－cos2α－12sinαcosα＝sin2α＋sinαcosα－cos2α＋192sinαcosα＝sin2α＋sinαcosα－2cos2α2tanα2×2tan2α＋tanα－2＝22＋2－2＝1．二、模擬大題2．(2018·咸陽質檢)已知角α的極點在座標原點，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經過點P(－3，3)．(1)求sin2α－tanα的值；(2)若函數(shù)f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(－α)sinα，求函數(shù)(xπ)＝3－2x－xgf22(x)在區(qū)間0，2π上的取值范圍．2f3解(1)∵角α的終邊經過點P(－3，3)，133∴sinα＝，cosα＝－，tanα＝－．223333sin2α－tanα＝2sinαcosα－tanα＝－2＋3＝－6．∵f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα＝cosx，x∈R，∴g(x)＝3cosπ2－2x－2cos2x3sin2x－1－cos2x＝2sin2x－π6－1，2πππ7π∵0≤x≤3，∴－6≤2x－6≤6．1π∴－≤sin2x－6≤1，2π∴－2≤2sin2x－6－1≤1，故函數(shù)g(x)＝3fπ－2x20，2π2－2f(x)在區(qū)間3上的取值范圍是[－2,1]．103．(2018·南昌調研)已知函數(shù)f(x)＝cosx·sinx＋π－3sinx＋π＋3．324若fθ＋5π＝3，0<θ<π，求tanθ的值；212102(2)求f(x)的最小正周期及函數(shù)g(x)＝f－x2的單一增區(qū)間．解f(x)＝cosxsinx＋π－3sinx＋π332＋433＝cosx12sinx＋2cosx－3cosx＋4＝cosx1sinx－332cosx＋24sinxcosx－3cos2x＋322411333＝sin2x－cos2x－＋4444134sin2x－4cos2x12x－π．＝2sin35π3(1)因為fθ＋212＝10，15ππ3所以2sinθ＋6－3＝10，133即2cosθ＝10，所以cosθ＝5．π4又θ∈0，2，所以sinθ＝1－cos2θ＝5，sinθ4進而tanθ＝cosθ＝3．112π(2)f(x)的最小正周期T＝2＝π．又g(x)＝fx1π－＝sin－x－223π＝－2sinx＋3，令2kπ＋π≤x＋π≤2kπ＋3π，k∈Z，232π7π得2kπ＋6≤x≤2kπ＋6，k∈Z，故g(x)的單一增區(qū)間是2kπ＋π，2kπ＋7π(k∈Z)．665ππ3π4．(2018·豫南九校4月聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sin6－2x－2sinx－4cosx＋4．求函數(shù)f(x)的最小正周期和單一遞加區(qū)間；若x∈π，π，且F(x)＝－4λf(x)－cos4x－π的最小值是－3，務實數(shù)λ的值．123325ππ3π13解(1)∵f(x)＝sin6－2x－2sinx－4cosx＋4＝2cos2x＋2sin2x＋(sinx－cosx)(sinx＋cosx)1322＝2cos2x＋2sin2x＋sinx－cosx132cos2x＋2sin2x－cos2xπ＝sin2x－6，2π∴函數(shù)f(x)的最小正周期T＝2＝π．πππ由2kπ－2≤2x－6≤2kπ＋2(k∈Z)得12kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)，∴函數(shù)f(x)的單一遞加區(qū)間為ππkπ－6，kπ＋3(k∈Z)．π(2)F(x)＝－4λf(x)－cos4x－3＝－4λsin2x－π6－1－2sin22x－π6＝2sin