重點難點

第五章定積分第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)掌握定積分的概念、性質(zhì)、幾何意義。定積分的概念、性質(zhì)、幾何意義復(fù)習(xí)… 3分鐘第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)一、定積分的問題舉例１．曲邊梯形面積：二、定積分定義１．定積分定義：設(shè)函數(shù)f(x)在［a，b］上有界。①分割：在［a，b］ax0

xx1

xn

b，［ab］[x0

,x],[x1

,x],,[x3

,xn1

]，并設(shè)xxi

xi1

,i1,2,,n。②求乘積：f)x，其中 [x ,x]。i i i i1 i③求和：n fii1

)x。i④求極限：limn0i1

f(i

)xi

，其中max{x}i若極限limn0i1

f(i

)xi

存在，則稱此極限值為函數(shù)f(x)在［a，b］上的定積分，或函數(shù)f(x)在a，］上可積，記a注：①區(qū)間分割是任意的；

f(x)dxlimn0i1

f(i

)xi②的取法是任意的；i③limn f0 i1

)xi

極限值是唯一的；④積分變量的記法與積分值無關(guān)。⑤補充定義：aba

f(x)dx0f(x)dxb

f(x)dx２．定積分的充分必要條件（了解內(nèi)容）定理１：函數(shù)f(x)在［a，b］上連續(xù)，則f(x)在［a，b］上可積。f(x在［a，b］f(x在［a，b］f(x在［a，b］上連續(xù)，則………………42分鐘（注意有些性質(zhì)對a,b,c）性質(zhì)1．

b[f(x)g(x)dxb

f(x)dxbg(x)dx性質(zhì)2．

abkf(x)dxk

a af(x)dx性質(zhì)3．

abf(x)dx

af(x)dx

f(x)dx性質(zhì)4．

a a cbdxbaa．若在a，］上，f(x)0，則a

f(x)dx0推論１：若在a，］上，f(x)g(x)，則a

f(x)dxbg(xdxa推論２：a

f(x)dxa

f(x)dx性質(zhì)6．若M,m分別是函數(shù)f(x)在［a，b］上的最大最小值，則mba)ba

f(x)dxM(ba)．（積分中值定理若函數(shù)f(x)［[a,b]，使fba)a四、舉例比較大小

f(x)dx。授課章節(jié)第五章定積分第二節(jié)微積分基本公式1x2dx與1x3dx 2. 2x2dx與2x3dx授課章節(jié)第五章定積分第二節(jié)微積分基本公式0 0 1 1…………………………42分鐘內(nèi)容小結(jié)：定積分的概念、性質(zhì)、幾何意義思考題：定積分與不定積分的區(qū)別作業(yè)：P2333(1)(3),6(1)(3),8(1)(2)(4)備注：…………………………３分鐘目的要求重點難點

利用牛頓萊布尼茲公式計算定積分。牛頓萊布尼茲公式復(fù)習(xí)… 3分鐘第二節(jié)微積分基本公式一、引例

Tv(x)dxS)S

S(t)v(t)2T 2 121為尋找定積分與原函數(shù)的關(guān)系，給出積分上限函數(shù)的定義。二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)１．積分上限函數(shù)：(x)a

f(x)dx注：(x)a

f(x)dxa

f(t)dt２．積分上限函數(shù)的可導(dǎo)性定理１：如果函數(shù)f(x)在b］上連續(xù)，則積分上限函數(shù)(x)ab］上可導(dǎo)，并且

f(x)dx在分析：(xx)(x)xxx

(x)f(x)f(x)dxf()x注：１端點可導(dǎo)是指左右導(dǎo)數(shù)存在；(xf(x３積分下限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：[x

f(x)dx]f(x)；４[(xa

f(x)dx]f[(x)](x)………………………42分鐘三、牛頓萊布尼茲公式F(xf(x的一個原函數(shù)，則bbf(x)dxF(x)ba

F(b)F(a)證明：稱上式為牛頓萊布尼茲公式（或稱微積分基本公式）四、舉例例1．求1x2dx0例2．求

1dx1x2例3．求11dx2x1

et2dx例4．求x0

cosxx2授課章節(jié)第五章定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法目的要求授課章節(jié)第五章定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法目的要求掌握定積分的換元法和分部積分法重點難點利用換元法時積分上下限的變換作業(yè)：P2405(1)(3),6(1)(3)(5)(7)(9)(11),9(1)(2)備注：………………………３分鐘復(fù)習(xí)… 3分鐘第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法一、定積分的換元法１．回顧（不定積分換元法２．定積分的換元法定理：假設(shè)函數(shù)f(x)在［a，b］上連續(xù)，(x)滿足：①()a,()b②(t)在[,]（或[,]）上具有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，且值域R

[a,b]則a

f(x)dx

f[(t)](t)dtF(x)f(x，則{F[(t)]}F[(t)](t)f[(t)](t)ft)t)dtFt)]

f(x)dx a注：做題方法與不定積分一樣，只是注意上下限的變換。３．舉例例1．a(chǎn)0xsin

a2x2dx(0t)2例例

2cos5xsinxdx0 sin3xsin5xdx0提示：0

sin

xsin

xdx0

3cosxsin

xdx例4．4 x2dx0 2x1xex2例5．設(shè)f(x) 1

x01x

，計算

f(x2)dxx2t

1cosx 1…………………………42分鐘二、定積分的分部積分法１．回顧不定積分分部積分法公式２．定積分分部積分法公式bbvdxuvbbuvdxaaa３．舉例例1．求1arcsin0例2．求1exdx0例3．求1xexdx0例4．求elnxdx1e…………………………42內(nèi)容小結(jié)：掌握定積分的換元法和分部積分法作業(yè)：P2491,2(1)(2),10備注：………………………３分鐘授課章節(jié)第五章定積分第四節(jié)反常積分目的要求掌握無窮區(qū)間和無界函數(shù)的反常積分重點難點無窮區(qū)間的反常積分復(fù)習(xí)… 3分鐘第四節(jié)反常積分兩種：１積分區(qū)間無限；２被積函數(shù)無界。一、無窮限反常積分定義１（無窮限反常積分定義：設(shè)f(x)在[a,)上連續(xù)，取ta，如果極限lim

tf(xdx存在，則稱此極限為f(x)在[a,)上的反常積分，記ta

f(x)dxlimtf(xdx，也稱

f(x)dx是收斂的否則發(fā)散。a ta a同理可定義區(qū)間(,a],(,)的反常積分。a f(x)dxlim tt

f(x)dx若0

f(x)dx和0

f(x)dx都收斂，則f(x)在(,)上的反常積分存在（或f(x)dx）收斂，且f(x)dx0

f(x)dx

f(x)dx。 0注：１a

f(x)dxF(x) a

；

f(x)dxF(x)；f(x)dxF(x) a

a ２若0

f(x)dx和0

f(x)dx有一個發(fā)散，f(x)dx發(fā)散。例1．設(shè)0

dx(a0)p1p1發(fā)散。xp例2．計算teptdt(p0)0例3．計算 1 dx1x2…………………………42分鐘二、無界函數(shù)的反常積分１．瑕點：如果在a的任意一個鄰域內(nèi)，函數(shù)f(x)都無界，則稱a為瑕點。（無界函數(shù)的反常積分f(x)在[ab上連續(xù)，a為瑕點，lim

f(x)dx存在，則稱此極限值為f(x)[ab]上的反常積分，仍記為tatbf(x)dxlim

f(x)dx，此時稱

f(x)dx收斂，否則發(fā)散。a tat a同理定義，b為瑕點的情況：

f(x)dxlim

f(x)dxa tbaacb，且c為瑕點的情況：

f(x)dx和

f(x)dx都收斂，則

f(x)dx收a c a斂，且

f(x)dx＝

f(x)dx＋

f(x)dxa注：１

a cf(x)dxFb)F(a)F(x)b；b

bf(x)dxF(b)F(a)F(x)ba a a a２c為瑕點時，

f(x)dx和

f(x)dx由一個發(fā)散，

f(x)dx發(fā)散。a c